Hình học sơ cấp ngành giáo dục tiểu học

Mục lục
Chương 1. Phương pháp tiên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Sơ lược lịch sử của phương pháp tiên đề trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Phương pháp tiên đề trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Hệ tiên đề Hilbert của hình học Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1. Nhóm I: 08 tiên đề về liên thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.2. Nhón II: 04 tiên đề về thứ tự. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.3. Nhón III: 05 tiên đề về bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.4. Nhón IV: 02 tiên đề về liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.5. Nhón V: 01 tiên đề về song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.6. Một số mô hình của hệ tiên đề Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.4. Hệ tiên đề Pogorelop của hình học Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5. Hệ tiên đề để xây dựng hình học phổ thơng Việt Nam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.5.1. Hệ tiên đề Pogorelop trong sách giáo khoa phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.5.2. Hệ tiên đề để xây dựng hình học phổ thông Việt Nam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Chương 2. Đường, mặt, khối trong không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1. Hình hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.1. Hai hình bằng nhau và khoảng cách giữa các hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.2. Các phương pháp xác định hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2. Đường tròn và chùm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2.1. Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2.2. Chùm đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3. Đa giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.3.1. Đường gấp khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.3.2. Hình đa giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.4. Đa diện và khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.4.1. Góc đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.4.2. Hình đa diện, khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.4.3. Khối phỏng (gần) lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.4.4. Khối đa diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.5. Khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.6. Đo diện tích và thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.6.1. Đo diện tích của đa giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.6.2. Đo thể tích của khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2.7. Các hình đẳng hợp và đẳng diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

1


Chương 1
Phương pháp tiên đề
Trong chương này, chúng tơi trình bày những kiến thức cơ bản và hệ
thống về phương pháp tiên đề. Nội dung của chương này được viết dựa
trên các tài liệu [?, ?] trong phần Tài liệu tham khảo.
1.1. Sơ lược lịch sử của phương pháp tiên đề trong hình học . . . . . .

2

1.2. Phương pháp tiên đề trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Hệ tiên đề Hilbert của hình học Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1. Nhóm I: 08 tiên đề về liên thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.2. Nhón II: 04 tiên đề về thứ tự. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.3. Nhón III: 05 tiên đề về bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.4. Nhón IV: 02 tiên đề về liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.5. Nhón V: 01 tiên đề về song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.6. Một số mơ hình của hệ tiên đề Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.4. Hệ tiên đề Pogorelop của hình học Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5. Hệ tiên đề để xây dựng hình học phổ thơng Việt Nam . . . . . .

24

1.5.1. Hệ tiên đề Pogorelop trong sách giáo khoa phổ thông . . . . . . . . . . . . . .

24

1.5.2. Hệ tiên đề để xây dựng hình học phổ thơng Việt Nam . . . . . . . . . . . . .

25

1.1. Sơ lược lịch sử của phương pháp tiên đề trong
hình học
ˆ Hình học là một ngành của Tốn học, nghiên cứu các vấn đề liên quan

đến các câu hỏi về hình dạng, kích thước, vị trí tương đối của các hình
khối, và các tính chất của khơng gian. Cùng với số học, hình học là
một trong hai ngành tốn học được con người nghiên cứu từ thời cổ
đại.
ˆ Hình học cổ điển tập trung vào xây dựng các hình trên thước kẻ

và compa. Euclide đã cách mạng hóa hình học bằng cách giới thiệu
2

phương pháp chứng minh toán học và các tiên đề mà ngày nay vẫn
còn sử dụng. Cuốn sách “The Elements” của Euclide đã đặt nền móng
cho việc xây dựng cơ sở tốn học nói chung và hình học nói riêng,
làm cho toán học trở thành một khoa học trừu tượng, suy diễn và đa
dạng. Cuốn sách này được coi là cuốn sách có ảnh hưởng nhất mọi
thời đại và được sử dụng rộng rãi ở phương Tây cho tới giữa thế kỉ
20.
ˆ Ngày nay, khái niệm hình học đã được khái quát hóa đến một mức độ

trừu tượng cao và phức tạp. Hình học đã trở thành đối tượng của các
phương pháp giải tích và đại số trừu tượng, do đó nhiều ngành tốn
học hiện đại của hình học khác biệt nhiều đến mức khơng cịn gì liên
quan tới hình học cổ điển, chẳng hạn như: hình học đại số, hình học
giải tích, . . . .

1.2. Phương pháp tiên đề trong hình học
Muốn xây dựng một mơn tốn học nói chung và mơn hình học nói riêng,
trước hết người ta phải có các “khái niệm cơ bản”- đây là những khái
niệm đầu tiên khơng được định nghĩa. Đó là những khái niệm xuất phát
dùng để định nghĩa các khái niệm khác. Các khái niệm cơ bản gồm có các
“đối tượng cơ bản” và các “tương quan cơ bản”. Trong hình học người
ta thường dùng ba đối tượng cơ bản sau đây: “điểm”, “đường thẳng” và
“mặt phẳng”. Giữa các đối tượng cơ bản này lại có các mối liên hệ gọi
là các tương quan cơ bản như: “thuộc”, “ở giữa”, “bằng”. Người ta hiểu
các tính chất của khái niệm cơ bản đó thơng qua các tiên đề. Tiên đề là
một mệnh đề tốn học được cơng nhận là đúng, làm điểm xuất
phát để suy ra các định lí bằng lập luận logic chặt chẽ.
Để trình bày mơn Hình học theo phương pháp tiên đề, người ta làm
như sau:
1) Không định nghĩa các khái niệm: điểm, đường thẳng, mặt phẳng,

điểm nằm giữa hai điểm, độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, . . . . Các
khái niệm như vậy được gọi là các khái niệm cơ bản của hình học.
3


Các khái niệm khác sẽ được định nghĩa dựa vào những khái niệm cơ
bản đó.
Ví dụ 1.1. Sự bằng nhau của các tam giác được định nghĩa dựa vào
sự bằng nhau của các đoạn thẳng và sự bằng nhau của các góc.
2) Nêu ra một số mệnh đề được thừa nhận là đúng mà không phải
chứng minh. Các mệnh đề như thế được gọi là các tiên đề.
Ví dụ 1.2. Ta thừa nhận các tiên đề: “Có một và chỉ một đường thẳng
đi qua hai điểm phân biệt cho trước” hoặc tiên đề: “Có một và chỉ một
đường thẳng đi qua ba điểm phân biệt thẳng hàng cho trước”.
Mọi mệnh đề khác đều phải được chứng minh dựa vào các tiên đề và
các mệnh đề đã được chứng minh trước đó. Ở đây, ta cần lưu ý rằng,
“điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng” tuy không được định nghĩa nhưng
chúng buộc phải thỏa mãn các tiên đề. Do đó, có thể nói chúng được
định nghĩa một cách gián tiếp qua các tiên đề.
Như vậy, xây dựng hình học bằng phương pháp tiên đề là quá trình đưa
ra một hệ tiên đề, sau đó dùng các quy tắc logic để định nghĩa các khái
niệm mới (khái niệm dẫn xuất) và chứng minh các định lí mới. Hệ thống
tất cả các khái niệm cơ bản, khái niệm dẫn xuất, tiên đề và định lí gọi là
một mơn học.
• Hệ tiên đề cần phải thỏa mãn các yêu cầu sau:
i) Tính phi mâu thuẫn: điều này có nghĩa là những phát biểu trong
các tiên đề và những kết quả suy ra được từ chúng không có sự trái
ngược nhau. Hay nói một cách khác, một hệ tiên đề là khơng mâu
thuẫn nếu từ đó, bằng suy diễn logic, không bao giờ ta suy ra được
một kết quả mâu thuẫn với các tiên đề hay hai kết quả mâu thuẫn

với nhau.
Chú ý: Nếu một hệ tiên đề mà mâu thuẫn thì mọi mệnh đề có thể
suy ra được từ nó và do đó có cả cái đúng và cái sai đều được thừa
nhận. Trong logic toán, người ta đã chứng tỏ được rằng: một lí thuyết
được xây dựng dựa trên một hệ tiên đề mâu thuẫn thì người ta có thể
4


chứng minh được tất cả các mệnh đề, điều này có nghĩa là lí thuyết
đó khơng có giá trị gì về mặt khoa học. Vì vậy, tính phi mâu thuẫn
của một hệ tiên đề là vấn đề quan trọng nhất.
Câu hỏi: làm thế nào kiểm tra được tính phi mâu thuẫn của một hệ
tiên đề?
ii) Tính độc lập: mỗi tiên đề của hệ phải độc lập với các tiên đề cịn
lại, nghĩa là khơng thể suy ra được nó từ các tiên đề cịn lại.
iii) Tính đầy đủ: một hệ tiên đề là đầy đủ nếu mọi khẳng định của
môn học đều được suy ra từ hệ tiên đề này.

1.3. Hệ tiên đề Hilbert của hình học Euclide
Trong mục này ta trình bày hệ tiên đề của Hilbert gồm 20 tiên đề với 6
khái niệm cơ bản.
ˆ 06 khái niệm cơ bản gồm có:

+ 03 đối tượng cơ bản: “điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng”;
+ 03 tương quan cơ bản: “thuộc”, “ở giữa”, “bằng”.
ˆ 20 tiên đề của Hilbert được chia làm 5 nhóm:

+ Nhóm I: 08 tiên đề “liên thuộc”;
+ Nhóm II: 04 tiên đề “thứ tự”;
+ Nhóm III: 05 tiên đề “bằng nhau”;

+ Nhóm IV: 02 tiên đề về “liên tục”;
+ Nhóm V: 01 tiên đề về “song song”.
1.3.1. Nhóm I: 08 tiên đề về liên thuộc
Tương quan cơ bản của nhóm này là tương quan “thuộc”, đơi khi gọi là
“đi qua”, 08 tiên đề trong nhóm này là:
I1) Với hai điểm bất kì ln tồn tại đường thẳng đi qua;
I2) Với hai điểm phân biệt có khơng q một đường thẳng đi qua;
5


I3) Mỗi đường thẳng có ít nhất hai điểm. Có ít nhất ba điểm không
cùng thuộc một đường thẳng;
I4) Cho ba điểm A, B, C không cùng một đường thẳng, bao giờ cũng
có một mặt phẳng chứa tất cả các điểm đó. Mỗi mặt phẳng đều chứa
ít nhất một điểm.
I5) Cho ba điểm A, B, C bất kì, khơng cùng thuộc một đường thẳng,
khơng bao giờ có q một mặt phẳng đi qua mỗi điểm đó;
I6) Nếu hai điểm A, B cùng thuộc một đường thẳng a, đồng thời cùng
thuộc một mặt (α), thì mọi điểm khác của đường thẳng a cũng sẽ
thuộc mặt phẳng (α);
I7) Nếu hai mặt phẳng cùng đi qua một điểm A thì chúng sẽ đi qua
ít nhất một điểm thứ hai B nào đó;
I8) Có ít nhất 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Tiếp theo, chúng ta sẽ nêu ra một số định nghĩa và định lí có liên quan tới
Nhóm I.
Định nghĩa 1.1. Nếu mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng
(α) thì ta nói rằng đường thẳng a thuộc mặt phẳng (α), hoặc mặt
phẳng (α) thuộc đường thẳng a.
Ở đây, ta lưu ý rằng chỉ có tương quan "thuộc" giữa điểm và đường
thẳng, giữa điểm và mặt phẳng là tương quan cơ bản, còn các tương quan

khác đều phải được định nghĩa mới.
Các định lí liên quan là:
Định lí 1.1. Hai đường thẳng phân biệt có nhiều nhất là 1 điểm chung.
Chứng minh. Giả sử trái lại, nếu hai đường thẳng a, b phân biệt và có 2
điểm chung. Khi đó, theo tiên đề I2) hai đường thẳng a, b phải trùng nhau,
tức là chúng không phải là hai đường thẳng phân biệt nữa và điều này trái
với giả thiết.
Định lí 1.2. Một mặt phẳng và một đường thẳng khơng thuộc mặt phẳng
đó có nhiều nhất là 1 điểm chung.
6


Chứng minh. Giả sử trái lại, nếu mặt phẳng (α) và a đường thẳng đó có 2
điểm chung A, B. Khi đó, theo tiên đề I6), đường thẳng a phải thuộc mặt
phẳng (α), điều này trái với giả thiết (a khơng thuộc (α)). Vậy chúng có
nhiều nhất là 1 điểm chung.
Định lí 1.3. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm chung thì chúng có
1 đường thẳng chung chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng.
Định nghĩa 1.2.
i) Hai đường thẳng được gọi là cắt nhau nếu hai
đường thẳng đó chỉ có 1 điểm chung và điểm chung đó được gọi là
giao điểm của hai đường thẳng đã cho.
ii) Đường thẳng và mặt phẳng được gọi là cắt nhau nếu đường thẳng
và mặt phẳng chỉ có 1 điểm chung. Điểm chung đó gọi là giao điểm
của đường thẳng và mặt phẳng đã cho.
iii) Hai mặt phẳng được gọi là cắt nhau nếu hai mặt phẳng chỉ có
một đường thẳng chung và đường thẳng chung đó được gọi là giao
tuyến của hai mặt phẳng đã cho.
Định lí 1.4. Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng
đó hoặc qua hai đường thẳng cắt nhau bao giờ cũng có một và chỉ một mặt

phẳng đi qua chúng.
Định lí 1.5. Một mặt phẳng bất kì ln chứa ít nhất 3 điểm khơng thẳng
hàng.
1.3.2. Nhón II: 04 tiên đề về thứ tự
Ở đây ta có thêm một tương quan cơ bản “ở giữa”. Các tiên đề về thứ
tự cho ta biết về vị trí tương đối của các điểm trên một đường thẳng và
trong một mặt phẳng. Mỗi điểm trên một đường thẳng có tương quan “ở
giữa” đối với hai điểm khác trên đường thẳng đó.
Các tiên đề là:
II1) Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm C thì A, B, C là 3 điểm khác
nhau cùng thuộc một đường thẳng và điểm B cũng ở giữa C và A.
7


Chú ý rằng, tiên đề II1) cho biết tương quan "ở giữa" chỉ đặt ra đối với
ba điểm khác nhau thẳng hàng và tương quan này không phụ thuộc
vào thứ tự của hai đầu mút.
II2) Cho bất kì hai điểm A và C, bao giờ cũng có ít nhất 1 điểm B
trên đường thẳng với AC sao cho C ở giữa A và B.
Tiên đề II2) này cho ta biết bao giờ cũng có một điểm B ở ngồi đoạn
AC, tức là mỗi đoạn thẳng có ít ra là một điểm ở ngồi. Do đó, từ
tiên đề này ta biết thêm rằng, mỗi đường thẳng có ít nhất là 3 điểm
phân biệt.
II3) Trong bất kì ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng khơng
bao giờ có q một điểm ở giữa hai điểm kia.
Tiên đề II3) cho biết rằng trong ba điểm thẳng hàng thì có nhiều nhất
là một điểm ở giữa.
Định nghĩa 1.3. Một cặp điểm A và B được gọi là một đoạn thẳng , kí
hiệu là AB hoặc BA. Các điểm ở giữa A và B được gọi là điểm trong
của đoạn thẳng AB, hay thuộc đoạn thẳng AB. Các điểm A và B được

gọi là hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Tất cả các điểm thuộc đường thẳng
AB mà không phải là điểm trong và các điểm đầu mút của đoạn AB được
gọi là điểm ngoài của đoạn AB.
II4) Tiên đề Pasch: Cho ba điểm A, B, C không cùng thuộc một
đường thẳng và một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) nhưng
không thuộc bất cứ điểm nào trong ba điểm A, B, C. Nếu đường thẳng
a có một điểm chung với đoạn AB thì nó cịn có một điểm chung khác
nữa hoặc với đoạn AC hoặc với đoạn BC.

8


Tiếp theo ta phát biểu các định lí ở nhóm này.
Định lí 1.6. Bất kì một đoạn AB nào, bao giờ cũng có ít nhất một điểm
ở giữa hai điểm A và B đó.
Chứng minh. Theo tiên đề I3), tồn tại điểm D không thuộc đoạn thẳng
AB. Theo tiên đề II2), trên đường thẳng AD có một điểm E sao cho D ở
giữa A và E. Cũng theo tiên đề II2) trên đường thẳng EB có một điểm F
sao cho B nằm giữa E và F.

Theo tiên đề II4), đối với 3 điểm A, B, E không thẳng hàng, đường
thẳng F D có điểm chung với đoạn AE tại D nên nó phải có điểm chung
với đoạn AB hoặc đoạn EB. Nếu đường thẳng F D có điểm chung với đoạn
EB thì đường thẳng F D và đường thẳng EF phải trùng nhau theo tiên
đề I2), đây là điều vô lí vì E và D là hai điểm phân biệt.
Vậy đường thẳng F D phải có một điểm chung C với đoạn AB. Ta nói
rằng F D cắt AB tại C, như vậy điểm C nằm giữa A và B.
Định lí 1.7. Trong bất cứ 3 điểm A, B, C nào trên 1 đường thẳng bao giờ
cũng có một điểm nằm giữa hai điểm kia.
Từ các tiên đề II2)-II3) và kết hợp với các Định lí 1.6 và 1.7 ta có hệ

quả sau.
Hệ quả 1.1. a) Với đoạn AC bất kì, bao giờ trên đường thẳng AC cũng
có những điểm ở trong và ở ngoài đoạn AC.
b) Với 3 điểm trên một đường thẳng bao giờ cũng có một và chỉ một
điểm ở giữa hai điểm kia.
Định lí 1.8. Nếu điểm B ở giữa A và C, điểm C ở giữa B và D thì các
điểm B và C đều ở giữa A và D.
9


Định lí 1.9. Nếu điểm C ở giữa hai điểm A và D, điểm B ở giữa A và C
thì điểm B ở giữa A và D, điểm C ở giữa B và D.
Định lí 1.10. Nếu B là một điểm của đoạn AC, thì đoạn AB và đoạn BC
đều thuộc đoạn AC, nghĩa là mọi điểm của đoạn AB hoặc BC đều thuộc
đoạn AC.
Định lí 1.11. Nếu B là một điểm của đoạn AC thì mỗi điểm của đoạn
AC khác với B phải thuộc hoặc là đoạn AB hoặc là đoạn BC.
Định lí 1.12. Nếu mỗi điểm B và C đều ở giữa A và D thì mọi điểm của
đoạn BC đều thuộc đoạn AD.
Định lí 1.13. Mỗi đường thẳng đều có vơ số điểm.
Định nghĩa 1.4. Cho 3 điểm O, A, B cùng thuộc một đường thẳng. Nếu
điểm O khơng ở giữa A và B thì ta nói rằng A và B nằm cùng phía đối
với O. Nếu O nằm giữa A và B thì ta nói rằng A và B nằm khác phía
đối với O.
Định lí 1.14. Một điểm O của đường thẳng a chia tất cả các điểm cịn
lại của đường thẳng đó ra làm 2 lớp không rỗng sao cho bất cứ 2 điểm nào
thuộc cùng một lớp thì ở cùng phía đối với O và bất cứ hai điểm nào nằm
khác lớp thì ở khác phía đối với O.
Định nghĩa 1.5. Một điểm O trên đường thẳng a chia tập hợp các điểm
trên đường thẳng này ra làm 2 lớp. Mỗi lớp là một nửa đường thẳng

hay một tia nhận O làm gốc. Hai nửa đường thẳng hay hai tia gọi là bù
nhau nếu chúng có chung gốc và tạo nên 1 đường thẳng.
Định nghĩa 1.6. Trên 1 tia gốc O, điểm A được gọi là đi trước điểm B
nếu A thuộc đoạn OB.

10


Định nghĩa 1.7. Cho 3 điểm A, B, C không cùng thuộc 1 đường thẳng.
Khi đó 3 đoạn thẳng AB, BC, CA tạo nên một hình gọi 1 tam giác. Các
điểm A, B, C gọi là các đỉnh và các đoạn AB, BC, CA gọi là các cạnh
của tam giác. Trong 1 tam giác, 1 đỉnh và 1 cạnh không thuộc nhau được
gọi là 1 đỉnh và 1 cạnh đối diện.
Định lí 1.15. Mỗi đường thẳng a của mặt phẳng (α) chia tất cả các điểm
không thuộc a của mặt phẳng (α) thành 2 lớp không rỗng sao cho hai điểm
A, B bất kì thuộc hai lớp khác nhau nếu đoạn AB chứa 1 điểm của đường
thẳng a, còn 2 điểm A, A′ thuộc cùng 1 lớp nếu đoạn AA′ không chứa điểm
nào của a cả.

Định nghĩa 1.8. Mỗi lớp của mặt phẳng (α) trong Định lí 1.15 được gọi
là một nửa mặt phẳng có đường biên là đường thẳng a. Hai điểm M1 và
M2 thuộc cùng một nửa mặt phẳng được gọi là cùng phía đối với đường
thẳng a. Hai điểm M, N thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau được gọi là
khác phía đối với đường thẳng a.
Định nghĩa 1.9. Hai tia x, y có cùng gốc O gọi là một góc và được kí
[
hiệu là (x,
y). Điểm O được gọi là đỉnh và các tia x, y được gọi là 2 cạnh
của góc. Nếu A, B tương ứng là 2 điểm nằm trên 2 tia x, y thì ta có thể
[

[ thay cho (x,
dùng kí hiệu góc AOB
y).

11


Định lí 1.16. Nếu A và B là 2 điểm nằm trên 2 cạnh x, y của một góc,
thì mọi tia xuất phát từ O và thuộc miền trong của góc đều cắt đoạn AB.
Ngược lại, mọi tia nối đỉnh O với 1 điểm bất kì của đoạn AB đều thuộc
miền trong của góc.

1.3.3. Nhón III: 05 tiên đề về bằng nhau
Tương quan cơ bản của nhóm này là tương quan "bằng" của một đoạn
thẳng này với một đoạn thẳng khác và của một góc này với một góc khác.
Các tiên đề trong nhóm này là:
III1) Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên một nửa đường thẳng có
gốc A′ bao giờ cũng có một điểm B ′ sao cho đoạn thẳng AB bằng
đoạn thẳng A′ B ′ và được kí hiệu là A′ B ′ = AB.

Rõ ràng, với mọi đoạn thẳng AB ta ln có AB = BA.
III2) Nếu A′ B ′ = AB và A′′ B ′′ = AB thì ta có A′ B ′ = A′′ B ′′ .
III3) Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, ở đó B ở giữa 2 điểm A, C và
cho 3 điểm A′ , B ′ , C ′ thẳng hàng, ở đó B ′ ở giữa 2 điểm A′ , C ′ . Nếu
AB = A′ B ′ và BC = B ′ C ′ thì AC = A′ C ′ .

12


[

III4) Cho một góc (x,
y) và một nửa mặt phẳng xác định bởi một
đường thẳng chứa tia x′ . Khi đó, trong nửa mặt phẳng nói trên bao
giờ cũng có một và chỉ một tia y ′ chung gốc với tia x′ sao cho góc
′ , y ′ ) bằng góc (x,
′ , y ′ ) = (x,
\
[
\
[
(x
y) và được kí hiệu là (x
y).

[
[
[
Rõ ràng, với mọi góc (x,
y) ta ln có (x,
y) = (x,
y).
III5) Cho tam giác ABC và tam giác A′ B ′ C ′ . Nếu AB = A′ B ′ , AC =
′ A′ C ′ , thì bao giờ ta cũng có ABC
′ B ′ C ′ , và
[ = B\
[ = A\
A′ C ′ và BAC
′B ′C ′.
[ = A\
ABC

Tiếp theo, ta phát biểu các định lí trong nhóm này.
Định lí 1.17.

i) Nếu AB = A′ B ′ thì AB = B ′ A′ .

ii) Mọi đoạn thẳng AB đều bằng chính nó, tức là AB = BA, ta gọi
tính chất này là tính phản xạ.
iii) Nếu AB = A′ B ′ thì A′ B ′ = AB, ta gọi tính chất này là tính đối
xứng.
iv) Nếu AB = A′ B ′ và A′ B ′ = A′′ B ′′ thì A′ B ′ = A′′ B ′′ , ta gọi tính
chất này là tính bắc cầu.
Chứng minh.
i) Ta có AB = A′ B ′ , theo tiên đề III1) ta có B ′ A′ =
A′ B ′ . Do đó, theo tiên đề III2) ta có AB = B ′ A′ .
ii) Theo tiên đề III1), ta có AB = BA, áp dụng phần i) vừa chứng
minh trên ta có AB = AB.
iii) Theo phần ii) ở trên ta có A′ B ′ = A′ B ′ và theo giả thiết thì
AB = A′ B ′ , áp dụng tiên đề III2) ta có thì A′ B ′ = AB.
iv) Do A′ B ′ = A′′ B ′′ theo giả thiết và A′′ B ′′ = A′ B ′ theo phần iii) ở
trên, nên áp dụng tiên đề III2) và AB = A′ B ′ (theo giả thiết) ta có
A′ B ′ = A′′ B ′′ .
13


Định lí 1.18. Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên nửa đường thẳng gốc
A′ có duy nhất một điểm B ′ sao cho A′ B ′ = AB.
Định nghĩa 1.10. Tam giác ABC được gọi là bằng tam giác A′ B ′ C ′ nếu
b=A
b′ , B
b =B

b′, C
b=C
b′ . Ta kí
AB = A′ B ′ , AC = A′ C ′ , BC = B ′ C ′ và A
hiệu ∆ABC = ∆A′ B ′ C ′ .
Định lí 1.19 (Trường hợp (c.g.c)). Nếu hai tam giác ABC và tam giác
b=A
b′ thì ∆ABC = ∆A′ B ′ C ′ .
A′ B ′ C ′ có AB = A′ B ′ , AC = A′ C ′ và A
Định lí 1.20 (Trường hợp (g.c.g)). Nếu hai tam giác ABC và tam giác
b=A
b′ và B
b=B
b ′ thì ∆ABC = ∆A′ B ′ C ′ .
A′ B ′ C ′ có AB = A′ B ′ , A
[ = CBA
[ và
Định lí 1.21. Nếu tam giác ABC có AC = CB thì CAB
[ = CAB.
[
CBA
Định nghĩa 1.11. Tam giác ABC có AC = CB được gọi là tam giác cân
tại C và theo Định lí 1.21, trong tam giác này ta có hai góc B và A bằng
nau. B và A được gọi là hai góc đáy của tam giác cân ABC.
Định lí 1.22. Cho hai bộ ba tia (x, y, z) và (x′ , y ′ , z ′ ), mỗi bộ nằm trong
một mặt phẳng và xuất phát từ hai điểm O và O′ . Nếu sự sắp thứ tự của các
[
tia trong hai bộ là giống nhau (chẳng hạn y thuộc miền trong của góc (x,
z)
′ , z ′ )), thì khi đó nếu (x,

′ , y ′ ),
\
[
\
và y ′ thuộc miền trong của góc (x
y) = (x
′ , z ′ ) thì ta suy ra (x,
′ , z ′ ).
[
\
[
\
(y,
z) = (y
z) = (x
Định lí 1.23 (Trường hợp (c.c.c)). Nếu hai tam giác ABC và tam giác
A′ B ′ C ′ có AB = A′ B ′ , AC = A′ C ′ và BC = B ′ C ′ thì ∆ABC = ∆A′ B ′ C ′ .
′ , y ′ ), (x,
′′ , y ′′ ) thì ta suy ra (x
′, y′) =
[
\
[
\
\
Định lí 1.24. Nếu (x,
y) = (x
y) = (x
′′ , y ′′ ).
\

(x

Định nghĩa 1.12.
a) Hai góc có chung đỉnh và chung một cạnh, còn
các cạnh thứ hai là hai tia bù nhau được gọi là hai góc bù nhau.
b) Hai góc có chung đỉnh, cịn các cạnh của chúng là các tia bù nhau
được gọi là hai góc đối đỉnh.
14


c) Một góc bằng góc bù của nó được gọi là góc vng.
Định lí 1.25. Nếu hai góc mà bằng nhau thì hai góc bù của chúng cũng
bằng nhau.
Định lí 1.26. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Định lí 1.27. Tất cả các góc vng đều bằng nhau.
Định lí 1.28. Một đoạn thẳng có một điểm duy nhất chia nó thành hai
đoạn bằng nhau.
Định nghĩa 1.13. Cho hai đoạn thẳng AB và A′ B ′ . Nếu trên đoạn thẳng
AB có một điểm C sao cho AC = A′ B ′ thì ta nói rằng đoạn AB lớn hơn
đoạn A′ B ′ , hay đoạn A′ B ′ bé hơn đoạn AB. Ta kí hiệu là AB > A′ B ′ hay
A′ B ′ < AB.

′ , y ′ ). Nếu xuất phát từ gốc O
[
\
Định nghĩa 1.14. Cho hai góc (x,
y) và (x
′ , y ′ ), thì
[
[

\
của góc (x,
y) có một tia z nằm trong góc đó sao cho (z,
y) = (x
′ , y ′ ), hay góc (x
′ , y ′ ) bé hơn góc (x,
[
\
\
[
ta nói rằng góc (x,
y) lớn hơn góc (x
y).
′ , y ′ ) hay (x
′ , y ′ ) < (x,
[
\
\
[
Kí hiệu là (x,
y) > (x
y).

Định lí 1.29. Góc ngồi của một tam giác ln lớn hơn mỗi góc trong
khơng kề với nó.
b và xAB
b
[ >B
[ > C.
Trong hình vẽ trên ta có xAB

15


Định lí 1.30. Trong của một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn thì góc
lớn hơn và ngược lại đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn.
Định nghĩa 1.15. Cho hai tập hợp H và H ′ . Nếu giữa các điểm của hai
tập hợp đó có một song ánh sao cho ứng với hai điểm bất kì A, B nào của
H và hai điểm tương ứng A′ , B ′ của H ′ , ta cũng có AB = A′ B ′ , thì ta nói
có một phép dời hình f biến H thành H ′ (và phép dời hình đảo ngược
f −1 biến H ′ thành H).
1.3.4. Nhón IV: 02 tiên đề về liên tục
Tiên đề Dedekind: Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được
chia thành hai lớp không rỗng sao cho:
ˆ Mỗi điểm của đường thẳng đều thuộc một lớp và chỉ một lớp mà thôi;
ˆ Mỗi điểm của lớp thứ nhất đều đi trước mỗi điểm của lớp thứ hai.

Khi đó có một điểm ln ln ở giữa hai điểm bất kì thuộc hai lớp. Có thể
coi điểm này là điểm cuối cùng của lớp thứ nhất hoặc là điểm đầu tiên của
lớp thứ hai.
Định nghĩa 1.16. Ta gọi điểm phân chia tập hợp các điểm trên một đường
thẳng thành hai lớp trong tiên đề Dedekind là một lát cắt Dedekind của
đường thẳng.
Định lí 1.31. Nếu tập hợp các điểm trên một đường thẳng có một lát cắt
Dedekind thì điểm đó là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử trên đường thẳng có hai lát cắt C và C ′ . Khi đó, ta
có thể lấy một điểm P thuộc đoạn CC ′ . Theo tiên đề Dedekind điểm P
chỉ thuộc một và chỉ một lớp mà thơi. Nếu có hai lát cắt C và C ′ thì khi
16

đó vì P ở giữa C và C ′ nên P vừa thuộc lớp thứ nhất đồng thời lại vừa
thuộc lớp thứ hai. Điều này là mâu thuẫn.
Định lí 1.32. Trên một đường thẳng a bất kì, nếu ta có một dãy vô hạn
các đoạn thẳng A1 B1 , A2 B2 , . . . , An Bn , . . . sao cho:
ˆ Mỗi đoạn sau đều nằm trong đoạn trước, tức là Ai Bi ⊂ Ai−1 Bi−1 , ∀i =

1, 2, . . . ;
ˆ Cho trước bất kì đoạn AB nào cũng có một số tự nhiên n để cho đoạn

An Bn của dãy bé hơn đoạn AB.
Khi đó, có duy nhất một điểm C thuộc tất cả các đoạn Ai Bi của dãy.
Định lí 1.33 (Tiên đề Archimedes). Cho hai đoạn thẳng AB và CD
bất kì (AB > CD). Khi đó có một số hữu hạn các điểm A1 , A2 , . . . , An
thuộc đường thẳng AB được sắp xếp sao cho A1 ở giữa A và A2 , A2 ở giữa
A1 và A3 , . . . , An−1 ở giữa An−1 và An , B ở giữa An−1 và An và thỏa mãn
các đoạn thẳng AA1 , A1 A2 , . . . , An−1 An đều bằng đoạn CD.

1.3.5. Nhón V: 01 tiên đề về song song
Định nghĩa 1.17. Hai đường thẳng , b phân biệt cùng nằm trên một mặt
phẳng và khơng có điểm chung gọi là hai đường thẳng song song với
nhau. Kí hiệu là a//b.
Định lí 1.34. Cho a, b, c là ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng
và nếu c cắt a, b tạo nên hai góc so le trong bằng nhau thì a và b song song
với nhau.

17


Hệ quả 1.2. Trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vng góc với đường
thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Định lí 1.35. Qua một điểm khơng thuộc một đường thẳng cho trước bao
giờ cũng có một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước đó.
Tiên đề song song được phát biểu như sau:
V) Cho một đường thẳng a bất kì và một điểm A khơng thuộc đường
thẳng a. Khi đó trong mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường thẳng a
có nhiều nhất là một đường thẳng đi quan A và không cắt a.
Chú ý rằng, tiên đề này chỉ nêu lên sự duy nhất của đường thẳng qua
A và khơng cắt a. Các địnhh lí, hệ quả phát biểu ở trên tuy có đề cập tới
khái niệm song song của hai đường thẳng nhưng chưa cần dùng tới tiên đề
song song.
Định lí 1.36. Hai đường thẳng song song tạo với một cát tuyến hai góc so
le trong bằng nhau.
Chứng minh. Giả sử đường thẳng c cắt hai đường thẳng song song a, b lần
lượt tại A và B. Theo Định lí 1.35, qua điểm B có đường thẳng b′ song

song với a và theo Định lí 1.34 thì c tạo với a và b′ các góc so le trong bằng
nhau. Theo tiên đề V) thì b′ trùng với b và định lí được chứng minh.
Định lí 1.37. Trong mỗi tam giác tổng các góc trong bằng hai góc vng.
Đo độ dài, diện tích, thể tích
a) Độ dài:
Định nghĩa 1.18. Với một đoạn thẳng AB cho trước tồn tại duy nhất
một hàm số f (AB) thoả mãn các điều kiện sau đây:
18


i) Với mỗi đoạn thẳng AB ta có f (AB) > 0.
ii) Nếu hai đoạn thẳng AB và A′ B ′ bằng nhau thì f (AB) = f (A′ B ′ ).
iii) Nếu có một điểm C ở giữa hai điểm A và B thì f (AC) + f (CB) =
f (AB).
iv) Có một đoạn OE sao cho f (OE) = 1.

Hàm số f (AB) gọi là độ dài của đoạn thẳng AB. Đoạn OE gọi là đơn vị
dài hay là đoạn thẳng đơn vị.
Chú ý rằng, 4 điều kiện ở trên trong định nghĩa chính là các tiên đề về
độ dài đoạn thẳng.
Như vậy, ứng với mỗi đoạn thẳng AB ta có một số thực dương xác định
gọi là độ dài của đoạn thẳng đó.
Định lí 1.38. Với mỗi đơn vị độ dài cho trước, mỗi đoạn thẳng có một độ
dài là duy nhất.
Định lí 1.39. Với bất cứ số thực dương a cho trước, bao giờ ta cũng có
một đoạn thẳng có độ dài bằng a.
b) Đo góc: Độ lớn của một góc cũng được xác định tương tự như độ
dài của một đoạn thẳng, tức là ta có:
[
[
Định nghĩa 1.19. Số đo của góc (x,
y) là một hàm số φ(x,
y) thoả mãn
các điều kiện sau đây:
[
[
i) Với mỗi góc (x,
y) ta có φ((x,
y)) > 0.
′ , y ′ ) bằng nhau thì φ((x,
′ , y ′ )).
[
\
[
\
ii) Nếu hai góc (x,

y) và (x
y)) = φ((x

[
[
iii) Nếu có một tia z ở giữa hai tia x và y thì φ((x,
z)) + φ((z,
y)) =
[
φ((x,
y)).
\
iv) Có một góc (x
[
0 , y0 ) sao cho φ(x
0 , y0 ) = 1.
Chú ý rằng, sự tồn tại và duy nhất của số đo của góc hay cịn gọi là
độ lớn của góc cũng được chứng minh tương tự như đối với độ dài đoạn
thẳng.
c) Diện tích của các đa giác đơn trong mặt phẳng
19


Định nghĩa 1.20. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp tất cả các đa
giác đơn của mặt phẳng sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) Giá trị của hàm f là luôn dương;
ii) Nếu hai đa giác bằng nhau thì giá trị của f tương ứng với chúng
cũng bằng nhau;
iii) Nếu P, P1 , P2 là các đa giác mà P = P1 + P2 , thì
f (P ) = f (P1 ) + f (P2 );

iv) Ứng với hình vng có cạnh bằng đơn vị đo độ dài đoạn thẳng thì
giá trị của hàm f bằng 1.
Khi đó, giá trị của hàm f tại mỗi đa giác đơn P, tức là số f (P ) được gọi
là diện tích của P theo đơn vị diện tích là hình vng nói trong điều kiện
iv) ở trên.
d) Thể tích của các hình đa diện đơn: theo sơ đồ tương tự như việc
xây dựng lí thuyết về diện tích của đa giác đơn trong mặt phẳng, người ta
đã xây dựng được lí thuyết về thể tích của các hình đa diện trong khơng
gian.
1.3.6. Một số mơ hình của hệ tiên đề Hilbert
a) Mơ hình vật lí của hệ tiên đề Hilbert: Các kiến thức hình học
có được chính là sự mơ hình hóa và trừu tượng hóa khơng gian vật chất
chúng ta đang sống. Người ta hình dung:
ˆ Một điểm như một cái gì đó "khơng có chiều dài, khơng có chiều

rộng", như đầu mũi kim, hạt bụi, . . . và biểu diễn bằng một dấu chấm;
ˆ Một đường thẳng là một cái gì đó chỉ có chiều dài, được chiếu thẳng

như là một tia sáng và biểu diễn bởi một nét kẻ;
ˆ Một "mặt phẳng" là một cái gì đó chỉ có bề rộng khơng có bề dày

như hồ nước yên lặng và biểu diễn bởi một hình bình hành, . . . .

20


ˆ Bằng những hình vẽ như vậy, ta có thể mô tả khái niệm "thuộc", "ở

giữa".
ˆ Khái niệm bằng nhau giữa các hình được mơ tả bởi việc đặt chồng

khít lên nhau.

b) Mơ hình số học: Từ đại số ta có mơ hình sau đây của hệ tiên đề
Hilbert và gọi là mơ hình số học.
Kí hiệu R là tập hợp các số thực, R3 là tập hợp các bộ ba số có thứ
tự (x, y, z) của ba số thực. Khi đó, các khái niệm cơ bản của hệ tiên đề
Hilbert được thể hiện như sau:
1. Điểm: là một phần tử của R3 và biểu diễn bằng các chữ cái in hoa,
chẳng hạn: A = (x, y, z), B = (x1 , y1 , z1 ), . . . ;
2. Đường thẳng:



x


y



z

là một hệ phương trình có dạng
= x0 + at,
= y0 + bt,

với a2 + b2 + c2 ̸= 0, t ∈ R.

(1.1)

= z0 + ct,

3. Mặt phẳng: là một phương trình có dạng
Ax + By + Cz + D = 0

với A2 + B 2 + C 2 ̸= 0.

(1.2)

1. Điểm A = (x, y, z) thuộc đường thẳng, mặt phẳng nếu tọa độ của nó
tương ứng thỏa mãn các phương trình (1.1) và (1.2).
2. Ba điểm A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ), C(x3 , y3 , z3 ) phân biệt thuộc đường
thẳng (1.1) ứng với ba tham số t1 , t2 , t3 . Khi đó, để điểm B nằm giữa
hai điểm A và C thì t1 < t2 < t3 hoặc t3 < t2 < t1 .
21


3. Đường thẳng (1.1) thuộc (nằm trong) mặt phẳng (1.2) nếu
A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0 với mọi t.
4. Cũng bằng đại số người ta thể hiện được khái niệm bằng nhau và ta
nhận được mơ hình số học của hệ tiên đề Hilbert. Người ta dùng mơ
hình số học để nghiên cứu hình học Euclide, đó chính là phương pháp
tọa độ trong hình học Euclide.

1.4. Hệ tiên đề Pogorelop của hình học Euclide
Hệ tiên đề Pogorerolop có các khái niệm cơ bản là:
ˆ Đối tượng cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng;
ˆ Quan hệ cơ bản: thuộc (điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt

phẳng), ở giữa, độ dài đoạn thẳng và số đo góc.
Hệ tiên đề này gồm 6 nhóm tiên đề:
Nhóm 1: Nhóm tiên đề về liên thuộc giữa điểm và đường thẳng trong
mặt phẳng:
I1) Tồn tại một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt;
I2) Mỗi đường thẳng chứa ít nhất hai điểm. Tồn tại ba điểm khơng
cùng thuộc một đường thẳng.
Nhóm 2: Nhóm tiên đề về thứ tự (vị trí tương đối của điểm trên đường
thẳng và trên mặt phẳng):
II1) Trong ba điểm thẳng hàng thì có một và chỉ một điểm nằm giữa
hai điểm kia;
II2) Mỗi đường thẳng chia tập các điểm của mặt phẳng không thuộc
đường thẳng ấy thành hai tập con sao cho đoạn thẳng nối hai điểm
bất kì của cùng một tập không cắt đường thẳng ấy, đoạn thẳng nối
hai điểm thuộc hai tập khác nhau bao giờ cũng cắt đường thẳng ấy.
Nhóm 3: Nhóm tiên đề về đo đoạn thẳng và đo góc:
22


III1) Mỗi đoạn thẳng có một độ dài là một số thực dương. Nếu điểm
C ở giữa hai điểm A, B thì độ dài đoạn thẳng AB bằng tổng độ dài
của các đoạn AC và CB;
III2) Mỗi góc có một số đo độ xác định. Góc bẹt có số đo bằng 1800 .
d bằng tổng
Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy thì số đo góc xOy
d và zOy.
d
số đo của hai góc xOz
Nhóm 4: Nhóm tiên đề về tồn tại các tam giác bằng nhau:
IV) Với tam giác ABC bất kì, trong nửa mặt phẳng có bờ chứa tia

A1 x có điểm B1 ∈ A1 x, C1 ∈
/ A1 x sao cho ∆ABC và ∆A1 B1 C1 có độ
dài các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng có số đo bằng
nhau.
Nhóm 5: Nhóm tiên đề về tồn tại đoạn thẳng có độ dài cho trước:
V) Với mọi số thực a > 0, tồn tại duy nhất một điểm A trên nửa
đường thẳng Ox sao cho OA = a.
Nhóm 6: Nhóm tiên đề về song song:
VI) Qua một điểm nằm ngồi một đường thẳng có không quá một
đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho.
Tiên đề của hình học khơng gian:
C1) Với một mặt phẳng bất kì có những điểm thuộc và khơng thuộc
mặt phẳng đó;
C2) Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có
một đường thẳng chung;
C3) Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau.

23


1.5. Hệ tiên đề để xây dựng hình học phổ thông Việt
Nam
1.5.1. Hệ tiên đề Pogorelop trong sách giáo khoa phổ thơng
Trong cuốn sách giáo khoa hình học viết cho học sinh phổ thơng ở Nga,
nhà tốn học Pogorelop đã nghiên cứu các hệ tiên đề có trước đó và cải
tiến, sắp xếp, trình bày lại cho phù hợp với trình độ tiếp thu của học sinh.
Đây là hệ tiên đề được lấy làm căn cứ chủ yếu để xây dựng các cuốn sách
giáo khoa hình học viết theo chương trình cải cách giáo dục ở Việt Nam.
Hệ tiên đề này gồm 6 nhóm với 13 tiên đề như sau:
1. Nhóm gồm 2 tiên đề về liên thuộc giữa điểm và đường thẳng trong

mặt phẳng:
I1) Với một đường thẳng bất kì, có những điểm thuộc và có những
điểm khơng thuộc đường thẳng đó.
I2) Qua hai điểm phân biệt bất kì có một và chỉ một đường thẳng.
2. Nhóm gồm 2 tiên đề về vị trí tương đối của điểm trên đường thẳng
và trên mặt phẳng:
II1) Với ba điểm thuộc một đường thẳng thì có một và chỉ một
điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
II2) Đường thẳng chia mặt phẳng ra làm hai nửa mặt phẳng.
3. Nhóm gồm 2 tiên đề về đo đoạn thẳng và đo góc:
III1) Mỗi đoạn thẳng có một độ dài xác định lớn hơn 0. Nếu điểm
C ở giữa hai điểm A, B thì độ dài đoạn AB bằng tổng độ dài của
các đoạn AC và CB.
III2) Mỗi góc có một số đo độ xác định lớn hơn 0. Góc bẹt có số
đo bằng 1800 . Nếu tia Oz ở giữa hai tia Ox và Oy thì số đo của
d bằng tổng số đo của các góc xOz
d và zOy.
d
góc xOy
4. Nhóm gồm 3 tiên đề về đặt đoạn thẳng có độ dài cho trước và đặt
góc có số đo cho trước:
24


IV1) Trên nửa đường thẳng Ox bất kì ta chỉ đặt được một và chỉ
một đoạn thẳng OA có độ dài cho trước (điểm A được xác định
duy nhất).
IV2) Trong nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng chứa nửa
d có
đường thẳng Ox, ta có thể đặt được một và chỉ một góc xOy

số đo cho trước (nửa đường thẳng Oy được xác định duy nhất).
IV3) Cho tam giác ABC bất kì và tia A′ x, có một và chỉ một tam
giác A′ B ′ C ′ bằng tam giác ABC sao cho cạnh A′ B ′ nằm trên tia
Ax′ và điểm C ′ thuộc nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng
chứa tia A′ x.
5. Nhóm gồm 1 tiên đề về song song:
V) Trong mặt phẳng cho một đường thẳng a bất kì và một điểm
A bất kì khơng thuộc a, khi đó có nhiều nhất một đường thẳng
đi qua A và khơng cắt a.
6. Nhóm gồm 3 tiên đề về hình học khơng gian:
VI1) Với một mặt phẳng bất kì có những điểm thuộc và khơng
thuộc mặt phẳng đó.
VI2) Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng
sẽ cắt nhau theo một đường thẳng.
VI3) Nếu hai đường thẳng phân biệt có một điểm chung thì chỉ
có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng đó.
1.5.2. Hệ tiên đề để xây dựng hình học phổ thơng Việt Nam
a) Hệ tiên đề hình học phẳng
Hai hình cơ bản: điểm, đường thẳng.
Hai quan hệ cơ bản: điểm thuộc đường thẳng, điểm nằm giữa hai điểm
khác.
Hai số đo cơ bản: độ dài đoạn thẳng, số đo (độ) của góc.
1. Nhóm I gồm 2 tiên đề về liên thuộc:
25