Phân tích ổn định khung phẳng có nút liên kết đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn (tóm tắt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ XÂY DỰNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI

NGUYỄN HỒNG CƯ

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH KHUNG PHẲNG CÓ
NÚT LIÊN KẾT ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG

Hà Nội - 2022


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ XÂY DỰNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI
NGUYỄN HỒNG CƯ
KHĨA: 2020 - 2022

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH KHUNG PHẲNG CÓ
NÚT LIÊN KẾT ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN
Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng
Mã số

: 8.58.02.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN THỊ THÚY VÂN
TS. ĐỖ XUÂN TÙNG

XÁC NHẬN
CỦA CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN

Hà Nội - 2022


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Kiến trúc Hà
Nội, các thầy cô trong khoa Sau đại học cùng với các thầy giáo, cô giáo các
khoa, bộ môn đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện để tơi hồn thành khóa học
2020 - 2022.
Đặc biệt tôi cảm ơn cô TS. Trần Thị Thúy Vân, người trực tiếp hướng
dẫn khoa học luận văn đã tạo mọi điều kiện, dành nhiều thời gian, nhiệt tình
giúp đỡ cũng như giới thiệu đầy đủ các tài liệu để tơi hồn thành tốt luận văn
tốt nghiệp.
Cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn Sức bền – Kết cấu trường Đại
học Kiến trúc Hà Nội, các thầy cô trong tiểu ban bảo vệ đề cương, các thầy cô
trong tiểu ban kiểm tra tiến độ luận văn, đã có những ý kiến góp ý quý báu cho
nội dung luận văn.
Vì thời gian thực hiện luận văn có hạn nên khơng tránh khỏi những hạn
chế, thiếu sót. Tơi xin hứa sẽ đầu tư nghiên cứu thêm những vấn đề cịn hạn
chế, thiếu sót đó để hồn thiện thêm kiến thức của mình trong quá trình làm
việc sau này.

Hà Nội, ngày ...... tháng ..... năm 2022
Học viên

Nguyễn Hồng Cư


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn Thạc sỹ này là cơng trình nghiên cứu khoa
học độc lập của tôi. Các số liệu khoa học, kết quả nghiên cứu của Luận văn là
trung thực và có nguồn gốc rõ ràng.
Học viên

Nguyễn Hồng Cư


MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục hình, sơ đồ, đồ thị
Danh mục bảng, biểu
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Lý do chọn đề tài .................................................................................... 1
Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 2
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................ 2
Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 2
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn .............................................................. 2
Cấu trúc luận văn. ................................................................................. 2
NỘI DUNG....................................................................................................... 4

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ KẾT CẤU KHUNG PHẲNG VÀ
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH KHUNG PHẲNG CĨ NÚT
LIÊN KẾT ĐÀN HỒI ..................................................................................... 4
1.1. Tổng quan về sử dụng khung phẳng trong kết cấu cơng trình ........... 4
1.2. Nút liên kết đàn hồi .................................................................................. 9
1.2.1. Khái quát về nút liên kết đàn hồi ................................................... 9
1.2.2. Các trường hợp có nút liên kết đàn hồi ....................................... 11
1.2.3. Mơ hình nghiên cứu ..................................................................... 13
1.3. Các phương pháp phân tích ổn định khung phẳng có nút liên kết đàn
hồi.................................................................................................................... 14
1.3.1. Phương pháp giải tích .................................................................. 14
1.3.2. Phương pháp số ........................................................................... 22


CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH ỔN ĐINH KHUNG PHẲNG CĨ LIÊN KẾT
ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN .................... 25
2.1. Cơ sở lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích
ổn định hệ khung phẳng ............................................................................... 25
2.1.1. Nội dung phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích ổn định
hệ khung phẳng ............................................................................................... 25
2.1.2. Ma trận độ cứng của phần tử thanh trong hệ tọa độ riêng ........... 25
2.1.3. Trình tự phân tích bài tốn ổn định theo phương pháp PTHH .... 34
2.2. Phân tích ổn định khung phẳng với các mơ hình liên kết đàn hồi
bằng phương pháp phần tử hữu hạn........................................................... 36
2.2.1. Thiết lập các thông số hiệu chỉnh kể đến liên kết đàn hồi........... 36
2.2.2 Thiết lập ma trận độ cứng hiệu chỉnh cho cấu kiện có nút liên kết
đàn hồi ............................................................................................................. 39
2.2.3. Thiết lập phương trình ổn định cho thanh có nút liên kết đàn hồi
47
2.3 Quy trình tính tốn ổn định khung phẳng có nút liên kết đàn hồi

bằng phương pháp phần tử hữu hạn........................................................... 48
2.3.1. Trình tự giải bài tốn ổn định khung phẳng có liên kết đàn hồi
bằng phương pháp phần tử hữu hạn ................................................................ 48
2.3.2. Thiết lập sơ đồ khối của bài tốn ổn định khung phẳng có liên
kết đàn hồi ....................................................................................................... 55
CHƯƠNG 3. VÍ DỤ TÍNH TỐN .............................................................. 57
3.1. Bài tốn phân tích ổn định khung phẳng với nút liên kết đàn hồi . 57
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ...................................................................... 71
Kết luận .......................................................................................................... 71
Kiến nghị ........................................................................................................ 71
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

Tên đầy đủ

HCB

Hệ cơ bản

PP PTHH

Phương pháp phần tử hữu hạn

HTĐC

Hệ tọa độ chung

HTĐR

Hệ tọa độ riêng


DANH MỤC HÌNH, SƠ ĐỒ, ĐỒ THỊ
Số hiệu
hình

Tên hình

Trang

Hình 1.1

Khung phẳng bê tơng cốt thép

4

Hình 1.2

Khung với một hoặc hai hệ thóng dầm

5

Hình 1.3

Ví dụ về cơng trình nhà có hệ khung chịu lực

5

Hình 1.4

Ví dụ tải trọng tác dụng lên khung

6

Hình 1.5

Khung thép phẳng

7

Hình 1.6

Ví dụ về cơng trình sử dụng khung thép

8

Hình 1.7

Khung nhà thép tiền chế tại cơng trình

8

Hình 1.8

Ví dụ khung nhà thép tiền chế tại cơng trình

9

Hình 1.9

Sơ đồ khung phẳng thép có liên kết đàn hồi

9

Hình 1.10

Ví dụ liên kết tại nút khung

11

Hình 1.11

Mơ hình chuyển vị xoay của liên kết đàn hồi

12

Hình 1.12
Hình 1.13

Mơ hình chuyển vị thẳng và xoay của liên kết đàn
hồi
Mơ hình khung phẳng hai tầng hai nhịp có liên kết
đàn hồi tại nút

12
13

Hình 1.14

Momen trong thanh hai đầu khớp

16

Hình 1.15

Momen trong thanh đầu tự do – ngàm cứng

16

Hình 1.16

Ví dụ sơ đồ tính khung có liên kết đàn hồi

17


Hình 1.17

Hệ cơ bản của khung có liên kết đàn hồi

18

Hình 1.18

Ví dụ về hệ khung có liên kết đàn hồi

21

Hình 1.19

Hệ cơ bản của khung có liên kết đàn hồi theo
phương pháp chuyển vị

22

Hình 2.1

Mơ hình phần tử thanh hai đầu ngàm

26

Hình 2.2

Mơ hình phần tử thanh chịu chuyển vị tương đối
đầu thanh

28

Hình 2.3

Liên kết tại nút thứ i trước và sau biến dạng

37

Hình 2.4

Ý nghĩa vật lý các hệ số đối với cấu kiện

39

Hình 2.5

Các hàm dạng của dầm có nút liên kết cứng

40

Hình 2.6

Ý nghĩa vật lý các hàm dạng của dầm có nút liên kết
đàn hồi

41

Hình 2.7

Sơ đồ khung có liên kết đàn hồi

48

Hình 2.8

Sơ đồ khối bài tốn ổn định khung phẳng có nút
liên kết đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn

56

Hình 3.1

Khung phẳng một tầng một nhịp có liên kết đàn hồi

58

Hình 3.2

Khung phẳng một tầng một nhịp trường hợp có nút
liên kết là khớp

65

Hình 3.3

Hệ cơ bản

65

Hình 3.4

Biểu đồ mơmen đơn vị

66

Hình 3.5

Khung phẳng một tầng một nhịp trường hợp có nút
liên kết là cứng

67


DANH MỤC BẢNG, BIỂU
Số hiệu bảng, biểu
Bảng 1.1

Tên bảng, biểu
Giá trị nội lực đầu thanh chịu uốn cùng
nén hoặc kéo

Trang

Bảng 2.1

Các hàm thay thế ∅

29

Bảng 3.1

Thông số liên kết đàn hồi

57

Bảng 3.2

Bảng 3.3

Bảng kết quả thông số tải trọng tới hạn

của hệ thống có nút liên kết đàn hồi
Bảng so sánh kết quả tính tốn giữa phần
mềm MathCad và phương pháp giải tích
trong 2 trường hợp liên kết nút khung là
khớp và ngàm lý tưởng

19

64
70


1

MỞ ĐẦU
 Lý do chọn đề tài
Phân tích ổn định cơng trình là một vấn đề ln được quan tâm nghiên
cứu trong thiết kế và tính tốn cơng trình. Tuy nhiên, khi tính tốn thiết kế thì
việc lựa chọn mơ hình tính tốn phù hợp với sự làm việc thực tế của kết cấu là
một bước rất quan trọng, được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Điều này giúp
cho người thiết kế dễ dàng kiểm soát được các ứng xử của kết cấu, từ đó đưa
ra các phương án tính tốn thiết kế chính xác hơn. Đối với kết cấu khung phẳng,
trong nhiều trường hợp để đơn giản tính tốn người ta thường coi nút liên kết
giữa dầm và cột là liên kết cứng hoặc liên kết khớp hoàn toàn. Nếu trong tính
tốn, giả thiết là liên kết cứng thì đã bỏ qua độ đàn hồi của liên kết, điều đó dẫn
tới chuyển vị xoay tại các nút khung nhỏ hơn so với thực tế và ngược lại nội
lực tại nút lại có giá trị lớn. Do đó thường chọn kích thước dầm tại khu vực nút
thường lớn hơn so với yêu cầu của thực tế. Trường hợp ngược lại, nếu giả thiết
là liên kết khớp thì thì đã bỏ qua mơmen tại nút vì lúc này mơmen tại nút bằng
không, không phù hợp với sự làm việc thực tế của hệ. Do đó, nếu tính đến độ

đàn hồi của liên kết nút khung trong những trường hợp cần thiết thì sẽ mơ tả
được chính xác hơn sự làm việc của nút khung trong kết cấu khung phẳng và
kết quả tính tốn phù hợp với ứng xử của kết cấu thực tế hơn.
Ngoài ra, trong một số tài liệu và các tiêu chuẩn tính tốn bài tốn phân
tích ổn định kết cấu khung phẳng đã đề cập tới sự ảnh hưởng của độ đàn hồi
của nút liên kết nhưng chưa đưa ra được quy trình tính tốn cụ thể, cũng như
đối với các trường hợp nút liên kết đàn hồi một cách rõ ràng. Vì vậy, học viên
lựa chọn đề tài “Phân tích ổn định khung phẳng có nút liên kết đàn hồi bằng
phương pháp phần tử hữu hạn” đề hồn thành luận văn Thạc sỹ của mình.


2

Mục đích nghiên cứu
Thiết lập quy trình phân tích ổn định kết cấu khung phẳng bằng phương
pháp phần tử hữu hạn.
Khảo sát sự ảnh hưởng của độ đàn hồi liên kết tới kết quả phân tích ổn
định khung phẳng, từ đó đưa ra một số kiến nghị cần thiết.
 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Kết cấu khung phẳng có nút liên kết đàn hồi.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu phân tích ổn định kết cấu khung phẳng
với mơ hình liên kết ngàm đàn hồi.
 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Nghiên cứu các phương pháp và mơ
hình tính tốn kết cấu khung phẳng để phân tích ổn định trong hệ. Lựa chọn
phương pháp phần tử hữu hạn và mơ hình tính tốn có kể đến độ đàn hồi của
nút liên kết.
Sử dụng phần mềm ứng dụng Mathcad để lập trình giải một số các ví dụ
tính tốn.
 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: Đưa ra trình tự tính toán của độ đàn hồi liên kết và các
loại liên kết đàn hồi tới kết quả phân tích ổn định của hệ kết cấu khung phẳng.
Ý nghĩa thực tiễn: Các kết quả nghiên cứu có thể áp dụng trong việc phân
tích kết cấu cơng trình.
 Cấu trúc luận văn.
Ngồi phần Mở đầu và Kết luận thì nội dung chính của Luận văn gồm 03
Chương:
Chương 1. Tổng quan về kết cấu khung phẳng và phương pháp phân tích
ổn định khung phẳng có nút liên kết đàn hồi.


3

Chương 2. Phân tích ổn định khung phẳng có nút liên kết đàn hồi bằng
phương pháp phần tử hữu hạn
Chương 3. Ví dụ tính tốn


THƠNG BÁO
Để xem được phần chính văn của tài liệu này, vui
lịng liên hệ với Trung Tâm Thơng tin Thư viện
– Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội.
Địa chỉ: T.1 – Nhà E – Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội
Đ/c: Km 10 – Nguyễn Trãi – Thanh Xuân Hà Nội.
website:
Email:

TRUNG TÂM THÔNG TIN THƯ VIỆN

Lưu ý: Tất cả những tài liệu trôi nổi trên mạng (không phải trên trang web chính

thức của Trung tâm Thơng tin Thư viện – Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội) là
những tài liệu vi phạm bản quyền. Nhà trường không thu tiền, và cũng khơng phát
hành có thu tiền đối với bất kỳ tài liệu nào trên mạng internet.


71

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận
Trong Luận văn, tác giả đã tìm hiểu và phân tích tính tốn ổn định kết cấu
khung phẳng có nút liên kết đàn hồi.
Luận văn trình bày về kết cấu khung phẳng có nút liên kết đàn hồi và khả
năng ứng dụng trong thực tế, các loại nút liên kết đàn hồi, các phương pháp nghiên
cứu phân tích ổn định với kết cấu khung phẳng có nút liên kết đàn hồi.
Luận văn đã tìm hiểu và phân tích một số phương pháp phân tích ổn định
khung phẳng có nút liên kết đàn hồi và qua đó có thể rút ra kết luận là việc áp dụng
phương pháp phần tử hữu hạn, một phương pháp số được áp dụng phổ biến nhất
hiện nay vào bài toán mà đề tài đặt ra là tương đối hiệu quả.
Trong luận văn tác giả đã thiết lập được quy trình tính tốn cho bài tốn phân
tích ổn định khung phẳng có nút liên kết đàn hồi dựa vào phương pháp phần tử
hữu hạn. Từ đó đưa ra sơ đồ khối tính tốn trong phần mềm lập trình tính tốn
MathCad, một phần mềm có giao diện thân thiện với người sử dụng, cho kết quả
và hình ảnh tường minh, tính tốn nhanh.
Từ kết quả tính tốn của luận văn thấy rằng độ đàn hồi của liên kết ảnh hưởng
đáng kể tới các thông số ổn định của hệ khung phẳng. Nút có độ cứng liên kết đàn
hồi càng cao thì tải trọng tới hạn tác dụng lên thanh càng tăng. Kết quả tính tốn
bằng phần mềm lập trình được so sánh với kết quả tính tốn theo phương pháp
giải tích đối với 2 trường hợp nút khung là nút cứng và nút khung là khớp, thể hiện
độ tin cậy trong kết quả tính tốn.

Kiến nghị
Tiếp tục nghiên cứu và triển khai phương pháp phần tử hữu hạn trong bài
tốn phân tích ổn định khung có nút liên kết đàn hồi có sơ đồ hình học phức tạp
hơn.
Hướng nghiên cứu tiếp theo: Phân tích tính tốn phi tuyến hệ khung có nút
liên kết đàn h


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Vũ Quốc Anh (2002), “Phương pháp tính nội lực và chuyển vị khung

thép có xét đến độ đàn hồi của liên kết”, Tuyển tập công trình khoa học
Hội nghị Cơ học tồn quốc lần thứ VII, tr.45-51.
2. Vũ Quốc Anh, Nguyễn Trâm (2002), “Hiệu quả kinh tế khi thiết kế

khung thép có xét đến độ đàn hồi của liên kết”, Tuyển tập cơng trình
khoa học Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ VII, tr.603-609.
3. Vũ Quốc Anh (2013), Tính tốn và thiết kế khung thép liên kết đàn hồi,

Nxb Xây Dựng, Hà Nội.
4. Bộ Xây dựng (2012), TCVN 5575:2012 Kết cấu thép - Tiêu chuẩn thiết

kế, Hà Nội.
5. Phạm Đình Ba, Nguyễn Tài Trung (2010), Động lực học cơng trình, Nxb

Xây dựng, Hà Nội.
6. Đình Cống (2006), Tính tốn tiết diện cột bê tơng cốt thép, Nxb Xây

dựng, Hà Nội.

7. Cao Văn Mão (2005), Phân tích kết cấu khung phẳng có nút cứng và liên

kết mềm, Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, Trường Đại học Thủy Lợi, Hà Nội.
8. Cao Văn Mão (2005), Phân tích kết cấu khung phẳng có nút cứng và liên

kết mềm, Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, Trường Đại học Thủy Lợi, Hà Nội
9. Nguyễn Hồng Sơn (2007), Phân tích kết cấu khung phẳng có liên kết nửa

cứng phi tuyến, Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, Trường Đại học Kiến trúc Hà
Nội, Hà Nội, tr.8-9,17-22,28.
10. Lều Thọ Trình (2001), Cơ học kết cấu tập 2 - Hệ siêu tĩnh, Nxb Khoa

học và Kỹ thuật, Hà Nội, tr.3-14,95-108.
11. Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình (2002), Ổn định cơng trình, Nxb Khoa học

và Kỹ thuật.


12. Ngơ Đình Tùng (2020), Sử dụng ma trận độ cứng hiệu chỉnh trong phân

tích tĩnh kết cấu khung có nút liên kết đàn hồi, Luận văn Thạc sĩ Kỹ thuật,
Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, Hà Nội.
Tiếng Anh
13. Gerard R. Monforton (1962), Matrix analysis of frames with semi-rigid

connections, University of Windsor, Canada
14. M. Milicevic, S. Zdravkovic, Uticaj stepena krutosti veza na velicinu

kriticnog opterecenja i promenu naprezanja u linijskim sistemima,
Savetovanje o novoj tehnickoj regulative u građevinarstvu, DGKM

Skoplje, 1986.
15. M.Causevic, S. zdravkovic, Statika i stabilnost konstrukcija po teoriji

drugog reda, Svetlost, Sarajevo 1992.
16. S. Zdravkovic, M. Milicevic, Određivanje kriticnog opterecenja i duzine

izvijanja za konstrukcije sa elasticnim vezama stapova i cvorovima,
Zbornik radova gradjevinskog fakulteta i Nisu, br.10-11, 1989-1990.
17. S. Zdravkovic, M. Milicevoc, R. Folic, D. Zlatkov; “Significance and

part of elastic connections of member with join in earthquake
engineering”. Eleventh worlh conference on earthquake engineering,
11WCEF, Acapulco, Mexico, June 23-28.1996, pp.626.
18. S. Zdravkovic, S.Zivkovic, “Proracun linijskih nosaca sa polukrutim

vezama

metodom

deformacije”.

Nacionalni

simpozijum

sa

međunarodnim ucescem, Teorijska i eksperimentalna istrazivanja
konstrukcija i njihova primena u građevinarstvu, zbornik radova, knjiga
2, Građevinsko-arhitektonski fakultet i Nisu, 13-19 mart 2010, Nis

Srbija, pp.a193-a202.
19. Srdjan Zivkovic (2010), Stabilirity design of structural with semi-rigid

connections, University Nis.


20. Slavko Zdravković, Tomislav Igić, Biljana Mladenović, Dragan Zlatkov,

Dragana Turnić (2011), “Static design of systems with semi-rigid
connections based on experimental investigation of the full scale
structure”, International Balkans Conference on Challenges of Civil
Engineering, EPOKA University, Albania, pp.2
21. Wai-Fah Chen, Norimitsu Kishi, Masato Komuro (2011), Semi-rigid

connections handbook, J.Ross Publishing, America.


PHỤ LỤC
1. Ma trận hàm dạng:

1 0
0 0

0 0
A ( l ) =  1 l

0 0

0 0




1 0 0

0 0 0 

2
3
l l l 
2
1 2l 3l 

0 0 0

0

1 0 0

0

0
0
1
0

1 − x

l


N (x  l) →

 0


1 x
P ( x) = 
0 0

0
3

2 x

l

3

2

−

1

l

2

2

+ 1 x−

2 x

l

0

0

x
l

0

3 x



2 3
x x x 

0 0

3

+

x
l

2

0
2

0

N ( x  l) = P ( x) A ( l)

3 x

l

2

3

−




3
2 
x
x
−
2
l 

l

0

2 x

l

3

N1 ( x  l) = submatrixN
( ( x  l)  0  0  0  0)

N3 ( x  l) = submatrixN
( ( x  l)  1  1  2  2)

N4 ( x  l) = submatrixN
( ( x  l)  0  0  3  3)

N5 ( x  l) = submatrixN
( ( x  l)  1  1  4  4)

N2 ( x  l) = submatrixN
( ( x  l)  1  1  1  1)

N6 ( x  l) = submatrixN
( ( x  l)  1  1  5  5)


N1 ( x  l ) →  1 −



x

l 

 2x3 3x2

N2 ( x  l) → 
−
+ 1
3
2
l
 l


 3x2

N5 ( x  l ) → 

2
 l

3

−

2 x

l

3





2
3

2 x
x 
N3 ( x  l) →  x −
+

2
l
l 
 x


N4 ( x  l ) →  
l 
 x3 x2 
N6 ( x  l) → 
−

2
l 

l

N1k ( x  l) = submatrixN
( ( x  l)  1  1  1  2)
N2k ( x  l) = submatrixN
( ( x  l)  1  1  4  5)

(

Nk ( x  l) = augment N1k ( x  l)  N2k ( x  l)

)

−1


2. Ma trận hàm dạng có kể đến nút liên kết đàn hồi
+  ki 2  ik +  ki 3
x +
x
2
l
l
2 ik −  ki +  ki l
 ik −  ki +  ki l
2
3
N2 ( x  l ) =  ik x −
x +
x

2
l
l
2  ik +  ki
 ik +  ki
1
2
3
N3 ( x  l ) =  −  ik  x +
x −
x
2
l
l

l

1
N1 ( x  l ) = 1 −  −  ik  x −
l


(

)

N4 ( x  l ) =  ik −  ik l x −

2  ik

2  ik

+  ki − 2 ki l 2  ik +  ki −  ki l 3
x +
x
2
l
l

3. Ma trận độ cứng hiệu chỉnh
l








K ( x  l  E  I) = EI 







0

















d2



N1 ( x  l ) 



2

d
N2 ( x  l ) 
2
dx
  d2 N ( x  l) d2 N ( x  l) d2 N ( x  l) d2 N ( x  l)  dx
2 2

2 3
2 4

  dx2 1
dx
dx
dx

d2
N3 ( x  l ) 
2

dx


d2
N (x  l) 
2 4
dx

2

dx

K11( x l  E  I) = submatrix( K( x l  E  I)  0 0 0 0)
K12( x l  E  I) = submatrix( K( x l  E  I)  0 0 1 1)
K13( x l  E  I) = submatrix( K( x l  E  I)  0 0 2 2)
K14( x l  E  I) = submatrix( K( x l  E  I)  0 0 3 3)
K22( x l  E  I) = submatrix( K( x l  E  I)  1 1 1 1)
K23( x l  E  I) = submatrix( K( x l  E  I)  1 1 2 2)

K24( x l  E  I) = submatrix( K( x l  E  I)  1 1 3 3)


K33( x l  E  I) = submatrix( K( x l  E  I)  2 2 2 2)
K34( x l  E  I) = submatrix( K( x l  E  I)  2 2 3 3)

K44( x l  E  I) = submatrix( K( x l  E  I)  3 3 3 3)

Từ đó thu được:
 4 E I   2 +    +  2 
ik ki
ki 
 ik
K11( x l  E  I) → 

l



 2 E I  2 l  2 + 2    −    +    − 2    + l     
ki
ik ik
ik ki
ki ik
ki ki
ik ki

K12( x l  E  I) → 

l




 4 E I   2 +    +  2 
ik ki
ki 
 ik
K13( x l  E  I) → −

l


 2 E I  2    − l  2 +    +    + 2    − 2 l     
ki
ik ki
ki ik
ki ki
ik ki
 ik ik
K14( x l  E  I) → 

l



 4 E I  l2  2 + l    − 2 l    +  2 −    +  2 
ki ik
ki ki
ik
ik ki

ki 
 ki
K22( x l  E  I) → 

l


 2 E I  2 l  2 + 2    −    +    − 2    + l     
ki
ik ik
ik ki
ki ik
ki ki
ik ki

K23( x l  E  I) → −

l


K24( x l  E  I) →

 2 E I (2 ik − 2 ki + l ki) (ik + ki − l ki) 


l



 4 E I   2 +    +  2 

ik ki
ki 
 ik
K33( x l  E  I) → 

l








2

K34( x l  E  I) → E I  2 ki −

4 ik   ik + 2 ik   ki + 2 ki  ik + 4 ki  ki
l




+ 4 ik  ki 

 4 E I  l2  2 − 2 l    − l    +  2 +    +  2 
ki ik
ki ki
ik

ik ki
ki 
 ki
K44( x l  E  I) → 

l




4. Ma trận độ cứng của phần tử thanh trong đó xét đến ảnh hưởng
lực P tới độ cứng chống uốn của phần tử

 0
0
0
Kg_semi = 
0
0

0

Kg_semi_1( P  l ) =

0

0

0


kg14 
kg24 

0 

kg34

kg44 


0

0

kg11 kg12 0 kg13
kg12 kg22 0 kg23
0

0

0

0

kg13 kg23 0 kg33
kg14 kg24 0 kg34

lim Kg_semi( P  l )

 ki → 1

0
0 0

l
6
 0 5 − 10

2

l 2l
0 −
10 15
P 

lim Kg_semi( P  l) → −  
0
 l  0 0
 ki → 1
l

6
0 −

5
10

2
0 − l −l

10
10


0

0

0

−

6
5

l

0

10

0
0

0

0

K ( x  l  E  I) + kg_semi

0

−
−

l
10

l

2

10

0

0

6

l

5

10

l

2 l

10

15

5. Giải hệ phương trình tìm thông số tới hạn
K

0

2













