Đề cương ôn tập môn toán lớp 12 (kèm đáp án)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (135.81 KB, 6 trang )
BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013
Bài 1 : Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau :
a. Xét hàm số
( )
793
23
−−+= xxxxf
trên đoạn
[ ]
3;4−
. Đạo hàm :
( )
;963'
2
−+= xxxf
−=
=
⇔=
3
1
0)('
x
x
xf
.
Ta có :
20)3(;12)1(;20)3(;13)4( =−==−=− ffff
.Vậy:
[ ]
320)(max
3;4
±=⇔=
−∈
xxf
x
;
[ ]
112)(min
3;4
=⇔−=
−∈
xxf
x
.
b.Bạn đọc tự làm .
c. Xét h/s :
xxxf 2sinsin2)( +=
, trên đoạn
2
3
;0
π
. Đạo hàm :
xxxf 2cos2cos2)(' +=
.
0)(' =xf
−=
=
<<
⇔=−+⇔
1cos
5,0cos
2
3
0
01coscos2
2
x
x
x
xx
π
( )
=
=
=
⇔∈
+=
+−=
+=
<<
⇔
π
π
ππ
π
π
π
π
π
x
Zk
kx
kx
kx
x
3
x
0x
;
2
2
3
2
3
2
3
0
.
Lại có :
( )
0;
2
33
3
;0)0( ==
=
π
π
fff
; f
2
3
2
3
=
π
.
Như vậy :
2
33
)(min
2
3
;0
=
∈
xf
x
π
,đạt được khi x =
3
π
;
0)(min
2
3
;0
=
∈
xf
x
π
,đạt được khi
=
=
π
x
x 0
.
d. Xét hàm số :
( )
3ln2ln
2
−−= xxxf
, trên đoạn
[ ]
3
;1 e
. TXĐ : D = (0;+∞) .
Đạo hàm :
xx
x
ex
x
ex
xf
2ln.2
ln.
2
ln.
ln.
2
)(' −=−=
;
exxf =⇔= 0)('
. Lại có : f(1) = -3 ; f(e) -4 ; f(e
3
) = 0 .
Vậy :
[ ]
4)(min
3
;1
−=
∈
xf
ex
, đạt được khi x = e ;
[ ]
0)(max
3
;1
=
∈
xf
ex
, đạt được khi x = e
3
.
e. Xét hàm số :
xx
eexf
−
+=)(
, trên đoạn
2ln;
2
1
ln
. Đạo hàm :
xx
eexf
−
−=)('
;
00)(' =⇔= xxf
.
Ta lại có :
( ) ( )
42ln;20;1
2
1
ln ===
fff
. Vậy:
1)(min
2ln;
2
1
ln
=
∈
xf
x
, đạt được khi x =
2
1
ln
;
4)(max
2ln;
2
1
ln
=
∈
xf
x
, khi x =
ln2 .
f. Xét hàm số :
2
4)( xxxf −+=
. TXĐ : D = [-2;2] .
Đạo hàm :
20)(';
42
2
1)('
2
=⇔=
−
−= xxf
x
x
xf
.
Lại có : f(-2) = -2 ;
( )
222 =f
; f(2) = 2 .
Vậy :
[ ]
2)(min
2;2
−=
−∈
xf
x
, đạt được khi x = -2 ;
[ ]
22)(max
2;2
=
−∈
xf
x
, đạt được khi x =
2
.
g. Xét hàm số :
1
1
)(
2
+
+
=
x
x
xf
, trên đoạn [-1;2] . TXĐ : D = [-1;2] .
Đạo hàm :
( )
1).1(
1
1
1
)1(1
1
12
)1(2
1
)('
22
2
2
2
2
2
2
++
−
=
+
+
+−+
=
+
+
+
−+
=
xx
x
x
x
xxx
x
x
xx
x
xf
;
10)(' =⇔= xxf
.
Lại có : f(-1) = 0 ; f(1) =
5
53
)(;2 =xf
.Như vậy :
[ ]
0)(min
2;1
=
−∈
xf
x
, đạt được khi x = -1 ;
[ ]
2)(max
2;1
=
−∈
xf
x
, khi x = 1 .
_______________________________________________________________________________________
1
BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013
Bài 2: H/số :
164
3
2
23
−++−= mxxxy
. (1)
1. Với m = 1, h/số (1) trở thành : y =
xxxxf 64
3
2
)(
23
+−=
. TXĐ : D = R
Giới hạn ,tiệm cận :
+∞=
+−==
+∞→+∞→
xxxxf
xx
64
3
2
lim)(lim
23
;
−∞=
−∞→
)(lim xf
x
.Suy ra, ĐTHS kg có tiệm cận .
Đạo hàm :
682)('
2
+−= xxxf
;
=
=
⇔=
1
3
0)('
x
x
xf
.
Bảng biến thiên :
x -∞ 1 3 +∞
f'(x
)
+ 0 - 0 +
f(x)
3
8
+∞
-∞ 0
Vậy : Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+ ∞) ; hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) .
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ; y
CĐ
=
3
8
. H/số đạt cực tiểu tại x = 3 ; y
CT
= 0 .
Bạn đọc tự vẽ Đồ thị hàm số .
2. Xét hàm số : y =
xxxxf 64
3
2
)(
23
+−=
. Có đồ thị h/số (C) . TXĐ : D = R . Đạo hàm : f'(x) = 2x
2
- 8x + 6 .
Hoành độ tiếp điểm của ĐTHS (C) song song với đ/thẳng (d
1
) : y = 6x - 6 là nghiệm của phương trình : 2x
2
- 8x +6 = 6
=
=
⇔=−⇔
0
4
082
2
x
x
xx
.Với x = 4, pttt của ĐTHS (C) có dạng : y - f(4) = 6(x - 4) <=> y = 6x -
3
4
.
Với x = 0, pttt của ĐTHS (C) có dạng : y - f(0) = 6(x-0) <=> y = 6x .
3. ycbt
164
3
2
0164
3
2
:
2323
−=+−⇔=−++−⇔ mxxxmxxxpt
,có 3 nghiệm p/biệt
1
3
5
3
8
10 <<−⇔<−<⇔ mm
.
4. PT :
kxxxkxx
3
2
64
3
2
96
2323
=+−⇔=+−
.Như vậy : Với 0 <
3
8
3
2
<k
hay 0 < k < 4 thì pt
kxxx =+− 96
3
có 3
nghiệm phân biệt . Với
=
=
⇔
=
=
0
4
0
3
2
3
8
3
2
k
k
k
k
thì pt
kxxx =+− 96
3
có 2 nghiệm phân biệt . Với
<
>
⇔
<
>
0
4
0
3
2
3
8
3
2
k
k
k
k
thì pt
kxxx =+− 96
3
có 1 nghiệm duy nhất .
Bài 3 : 1. Khi m = 1, h/s trở thành :
2
1
2
3
)(
23
+−== xxxfy
(*). Bạn đọc tự khảo sát và vẽ ĐTHS (*) .
2. Xét h/số : y =
.
2
1
2
3
323
mmxx +−
TXĐ : D = R . Đạo hàm : y' = 3x
2
- 3mx.
Để hàm số có cực trị thì pt : y' = 0
033
2
=−⇔ mxx
có hai nghiệm phân biệt. Do đó :
009
2
≠⇔>=∆ mm
.
Giả sử A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của h/số .
Suy ra : x
1
, x
2
là hai nghiệm của pt : 3x
2
- 3mx = 0
=
=
⇔
mx
x 0
. Suy ra A
( )
0;;
2
1
;0
3
mBm
.
Suy ra :
−
2
;
3
m
mAB
và M
−
4
;
2
3
mm
là trung điểm của AB . Và
)1;1(n
là vtcp cuả đ/thẳng : y = x .
_______________________________________________________________________________________
2
BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013
Ycbt
0
42
0
2
1
:/
3
3
=⇔
−
=
=−
⇔
=∈
⊥
⇔ m
mm
mm
xytđM
nAB
.
3. Tương tự ý 4-Câu 2. Bạn đọc tự làm .
Bài 4 : 1. (ĐHKTQD-2001) Xét h/s :
3
1
)(
−
+
==
x
x
xfy
. TXD : D = R\{3} .
Giới hạn, tiệm cận :
1
3
1
lim)(lim =
−
+
=
∞→
x
x
xf
x
. Suy ra, h/số có tiệm cận ngang là đ/thẳng : y =1 .
−∞=+∞=
−+
→→
)(lim;)(lim
33
xfxf
xx
. Suy ra, hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng : x= 3 .
Đạo hàm :
Dx
x
xf ∈∀=<
−
−
= ,0
)3(
4
)('
2
. Suy ra, h/s
3
1
)(
−
+
==
x
x
xfy
nghịch biến trên toàn tập xác định .
Bảng b/thiên
.
Bạn đọc tự vẽ ĐTHS.
2.Pttt của (C) tại x
0
= 1 có dạng : y - f(1) = f'(1).(x - 1) hay : y + 1 = -1(x - 1)
xy =⇔
.
3.Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của ĐTHS vuông góc với đ/thẳng (d): y = x +2010 là ng của pt : y' . 1 = -1.
Từ đó tìm ra các giá trị của x ta sẽ viết được các pttt cần tìm. ĐS :có hai pttt thảo mãn là
( )
xyxy −=∆+−=∆ :;8:)(
21
.
4. Pttt đi qua điểm A(5;3) có dạng (
∆
): y = k(x - 5) + 3 . Đ/thẳng (
∆
) tiếp xúc với ĐTHS (C) khi hệ sau có nghiệm :
( ) ( )
( )
1
1
2
1
2
1
23
2
3
4
32
3
4
3
4
1
3
4
3)5(
3
1
2
22
−=⇔
=
+−−
+−=
−
⇔
=
−
−
+−
−
−=
−
+
⇔
=
−
−
+−=
−
+
k
kk
k
x
k
x
k
xx
k
x
xk
x
x
.Thay vào ta đc (
∆
): y = -x + 8.
5. Gọi M
( )
)(; aya
là tiếp điểm của (C) và tiếp tuyến. Pttt tại M của (C) có dạng (
∆
):
).(
)3(
4
)(
2
ax
a
ayy −
−
−
=−
.
( )
22
3
4
3
1
)3(
4
:)(
−
−
−
+
+
−
−
=∆
a
a
a
a
x
a
y
. Toạ độ giao điểm A của (
∆
) và Ox là ng của hệ :
=
−−
=
⇔
−
−
−
+
+
−
−
=
=
0
4
36
)3(
4
3
1
)3(
4
0
2
22
y
aa
x
a
a
a
a
a
x
y
y
. Vậy A
−−
0;
4
36
2
aa
. Tương tự, ta có B
−
−−
2
2
)3(
36
;0
a
aa
.
Diện tích
OAB
∆
:
( )
( )
2
2
2
2
22
3
36
8
1
)3(
36
.
4
36
.
2
1
.
2
1
−
−−
=
−
−−−−
==
∆
a
aa
a
aaaa
yxS
BAOAB
(đ.v.d.t)
Do
OAB
S
∆
= 1/8 nên
( )
( )
1
3
36
8
1
3
36
8
1
2
2
2
2
±=
−
−−
⇔=
−
−−
a
aa
a
aa
. Giải ra các giá trị của a thay vào (
∆
) ta được các pttt.
_______________________________________________________________________________________
x -∞ 3 +∞
f'(x) _ _
f(x)
1
-∞
+∞
1
3
BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013
Đáp số : Có hai pttt thoả mãn là
( )
4
1
4
1
:
1
+−=∆ xy
;
( )
3
1
9
4
:
2
−−=∆ xy
.
6. Bạn đọc tự vẽ ĐTHS :
3
1
−
+
=
x
x
y
(C) . Lưu ý : Ta có
<∀−
>∀
==
0,
0,
aa
aa
ay
. Do đó ĐTHS (C) gồm :
Phần từ trục Ox trở lên của ĐTHS
3
1
−
+
=
x
x
y
, và phần đối xứng phần ĐTHS
3
1
−
+
=
x
x
y
ở dưới trục Ox qua trục Ox .
Bài 5 : H/số :
mxmxy 3)1(2
34
−+−=
.
1. Do (Cm) cắt Oy tại điểm A(0;-3) nên toạ độ của A chính là nghiệm của pt:
mxmxy 3)1(2
24
−+−=
.
Thay vào ta có :
( )
34:./130).1(203
2424
−−=⇒=⇔−+−=− xxyCsôhmmm
.
Bạn đọc khảo sát và vẽ ĐTHS (C) .
2. y'' = 12x
2
- 8 ; y'' = 0
3
6
0812
0
2
0
=⇔=−⇔ xx
(vì x
0
> 0) . Suy ra pttt cần tìm là : y =
3
5
9
616
−− x
.
3. ĐS:Với -4<k<0,pt có 4 nghiệm.Với k = -4 và k>0,pt có 2 nghiệm.Với k = 0,pt có 3 nghiệm.Với k < -4,pt vô nghiệm.
4. Để h/số có 3 điểm cực trị thì pt: y' = 4x
3
- 4(m+1)x = 4x
3
- 4(m+1)x = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Suy ra pt : x
2
- (m+1) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0. Để thoả mãn điều này thì m+1 > 0 hay m > -1 .
Bài 6 : a.
1
)(,23
3
1
3
03.5)3.(3023.53
2212
−=⇔
−=
=
⇔−+⇔=−+
+
x
loai
x
x
xxx
.
b. Ta thấy : 4
x
> 0 ; 6
x
> 0 ; 9
x
> 0.Nên: 3.4
x
+ 8.6
x
+ 4.9
x
> 0,
Rx
∈∀
.Suy ra pt đã cho vô nghiệm .
Ta có thể giải bằng cách chia cả hai vế của pt đã cho cho 2
2x
,sau đó giải tiếp.
c.
2
1
2
10
2
10
log2)2(log
10
22log).2(log
10
12log).2(log
2
2
4
=⇒
−=
=
≠<
⇔
=+
≠<
⇔
=+
≠<
⇔
=+
≠<
⇔=+ x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
xxx
x
.
d.ĐS : x = 5. Bạn đọc tự giải .
.
−=−
≠
>
⇔
=
−
−
>
⇔
=−−−
>
⇔=−−−
22564
1
6log
5log
22
64
log
6log
222log)64(log
6log
2)22(log)64(log
4
55
4
55
4
2
5
5
xx
x
x
xx
xx
x
x
x
x
Từ đó giải tiếp ta được nghiệm là x = 2.
f. lg
2
x - 3lgx = lgx
2
- 4
=
=
⇔
=
=
>
⇔
=+−
>
⇔
10
10
1lg
4lg
0
04lg5lg
0
4
2
x
x
x
x
x
xx
x
.
Bài 7 : a. 4
x - 1
- 16
x
<
01244.40344
4
1
02log.
2
1
.2.31642log28log2
22
2
13
44
>+−⇔<−−⇔<−−⇔=
− xxxxxx
BPT trên nghiệm đúng với mọi x .
b. Bạn đọc tự giải .
c.
≤<
<≤
⇔
≤+−
+−<
⇔
≤+−
+−<
⇔
−≥+−−
+−<
⇔−≥+−
32
10
223
230
2log)23(log
230
1)23(log
230
1)23(log
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
d.
−≤
+
<<−
⇔
−≤
+
<<−
⇔
−≤+−
<<−
⇔−≤+
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
2
1
1
21
)2(log
1
1
log
21
)2(log)1(log
21
)2(log)1(log
22
22
2
2
1
.
Giải tiếp hệ trên ta được kết quả. ĐS :
2
51
2
51 +
<<
−
x
.
_______________________________________________________________________________________
4
BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013
e. Đặt
( )
0,,
3
3
1
1
>
=
=
−
+
vu
v
u
x
x
. Khi đó :
=
<<
⇔
=
<−+
⇔
=
<+
⇔
=
<+
v
u
v
v
u
vv
v
u
vu
uv
vu
9
91
9
0109
9
10
9
10
2
.
Thay vào, ta được :
02
2
0
9log3log
3log3log
93
13
3
1
3
3
1
3
1
1
<<−⇔
−>
<
⇔
<
>
⇔
<
>
−
−
−
−
x
x
x
x
x
x
x
.
f.
−
≠
<<
⇔
<
>
±
≠
<<
⇔
−>−
≠−
>−
⇔>−
−
2
53
10
1
3
2
53
30
33
13
03
1)3(log
2
2
2
3
2
x
x
x
x
x
x
xxx
xx
xx
x
xx
.
Bài 8 : 1.
∫
++−=+− Cxxxdxxx 5
2
3
3
2
).532(
232
.
2.
∫ ∫
++−+−=
+
−+−=
+
Cxxx
x
dx
x
xxdx
x
x
2ln.84
3
).
2
8
42(.
2
2
3
2
3
.
3.
∫ ∫∫
+−=−== Cxxdxxdx
x
dx
x
)sin(
2
1
).cos1(
2
1
.
2
sin.2
2
1
.
2
sin
22
.
4.
∫ ∫ ∫
+−−=−=
− Cxx
x
dx
dxxdx
x
x tan2cos3
cos
2.sin3.
cos
2
sin3
22
.
5 . Đặt e
x
+ 1 = t,
dxedt
x
.=
. Suy ra :
∫ ∫
+==
+
Ct
t
dt
dx
e
e
x
x
ln.
1
.
6. Đặt
dxdt
t
xttx =⇒+=⇒=+ .
3
2
1313
2
.Suy ra:
∫ ∫ ∫
++=+===
+
CxC
t
dtdt
t
t
x
dx
13
3
2
3
2
.
3
2
.
3
2
.
1
13
.
7.
∫ ∫ ∫
+
−
−
=+−−−=
−
−
−
=
−−
=
+−
C
x
x
Cxxdx
xxxx
dx
xx
dx
1
2
ln1ln2ln.
1
1
2
1
)1)(2(
23
2
.
Bài 9 :
Gọi O là chân đường cao kẻ từ S tới mp(ABC). Do S.ABC là hình chóp đều nên O
Cũng là trọng tâm, trực tâm của
ABC
∆
đều .
Gọi H là trung điểm của AB. Dẽ dàng c/minh : SH
AB⊥
. S
Tam giác SAH : cos
SC
a
SA
SA
AH
SAH ==⇒===∠
2
2
2
2
45cos
0
.
Do Tam giác ABC đều cạnh a nên độ dài trung tuyến CH là : CH =
2
3a
(đ.v.đ.d) .
Và CO =
3
3
2
3
.
3
2
3
2 aa
CH ==
. Suy ra
22
COSCSO −=
=
6
6
32
222
aaa
=−
. A C
Diện tích tam giác đều ABC cạnh a là :
4
3
2
a
S
ABC
=
∆
(đ.v.d.t) . H O
Do đó :
24
2
4
3
.
6
6
.
3
1
.
3
1
32
.
aaa
SSOV
ABCABCS
===
∆
(đ.v.t.t) . B
A C
Bài 10 : Ta thấy hình chiếu của A' trên mp(ABC) là điểm A.
Suy ra: hình chiếu của cạnh A'B trên mp(ABC) là AB
( )
0
60')(;' =∠=⇒ BAAABCmpBA
.
Xét
BAA'∆
vuông tại A và có
0
60' =∠ BAA
, nên : A'A = AB.tan
BAA'∠
= a.tan 60
0
hay A'A =
3a
(đ.v.đ.d).
_______________________________________________________________________________________
5
BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013
Mặt khác :
ABC∆
là tam giác vuông cân tại B nên diện tích là :
BCBAS
ABC
.
2
1
=
∆
Do đó : Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là : A' C'
2
3
.
2
1
.3.'
3
'''.
a
BCBAaSAAV
ABCCBAABC
===
∆
(đ.v.t.t) .
Bài 11:
a. Bạn đọc tự làm . ĐS :
3
2
3
.
a
V
ABCDS
=
(đ.v.t.t). S
b.Lấy O làm tâm của hình vuông ABCD hay O =
BDAC
∩
.
SO cắt B'D' tại H. Kéo dài AH cắt SC tại C' .
Ta có : BC
AB⊥
và BC
SA
⊥
nên BC
')( ABBCSABmp ⊥⇒⊥
. C' D'
Lại có
⊥
SB
AB' nên suy ra AB'
SCABSBCmp ⊥⇒⊥ ')(
.
Tương tự, ta có :
SCAD
⊥
'
. Suy ra : SC
)''( DABmp⊥
(đ.p.c.m) .
c. Có AC =
22
2
aa =
= SA . Suy ra
SAC
∆
vuông cân tại A. B'
AC'
⇒⊥
SC
C' là trung điểm của SC => SC' = 0,5.SC = 0,5
22
ACSA +
= a . A D
Ta có :
SB
SB
SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
V
ABCS
CABS
2
''
.
'
.
.
''.
==
,
SD
SD
SC
SC
SD
SD
SA
SA
V
V
ADCS
CADS
2
''
.
'
.
.
''.
==
.
Mặt khác :
ASB'
∆
₪
.
3
2
2
2''
22
2
2
2
=
+
==⇒=⇒∆
aa
a
SB
SA
SB
SB
SB
SA
SA
SB
SAB
Tương tự, ta có:
3
2'
=
SD
SD
. B D
Do
ABCDSADCSABCS
VVVADCABC
.5,0==⇒∆=∆
.
Suy ra :
+==+
3
2
3
2
.
2
1
.5,0
.
'''.
.
''.
.
''.
ABCDS
DCABS
ADCS
CADS
ABCS
CABS
V
V
V
V
V
V
9
2
6
2
.
3
2
33
'''.
aa
V
DCABS
==⇒
(đ.v.t.t) .
Bài 12 : Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
BCD, O' là tâm đường tròn
ngoại tiếp
∆
ACD và I =
'BOAO ∩
.Ta có: I
∈
AO cách đều 3 điểm B,C,D
và I
∈
BO' cách đều 3 điểm A,C,D. Suy ra I cách đều 4 điểm A,B,C,D.
Hay I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD .
Độ dài BO là : B D
BO =
.
3
6
9
3
1cos
3
3
sin
3
3
2
3
.
3
2
=−=∠⇒==∠⇒= OAB
AB
BO
OAB
aa
4
6
cos.2
a
OAB
AB
AI =
∠
=⇒
. Bán kính R = AI =
4
6a
(đ.v.đ.d).
C
_______________________________________________________________________________________
6
