ứng dụng của tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (747.39 KB, 28 trang )
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
1
Phạm Hồng Phong
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
2
Hà Nội – 2012
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 3
Loại 1. Khái niệm nguyên hàm 3
Loại 2. Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp và tính
chất của nguyên hàm 5
Loại 3. Phƣơng pháp đổi biến số 9
Loại 4. Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần 11
CHỦ ĐỀ 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 13
Loại 1. Sử dụng các công thức tính tích phân của một số hàm số thƣờng gặp và tính
chất của tích phân 13
Loại 2. Phƣơng pháp đổi biến 15
Loại 3. Phƣơng pháp tích phân từng phần 21
CHỦ ĐỀ 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 22
Loại 1. Tính diện tích hình phẳng 22
Loại 2. Tính thể tích vật thể 25
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
3
CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Loại 1. Khái niệm nguyên hàm
A. Tóm tắt lý thuyết
* Định nghĩa: Cho
f :K
. Hàm số
F
được gọi là một nguyên hàm của
f
trên
K
nếu
F' x f x x K
.
Nếu chỉ nói
F
là nguyên hàm của
f
(không nói rõ
K
là tập nào) thì ta hiểu
F
là nguyên hàm
của
f
trên tập xác định của
f
* Chú ý: Khi
K a;b
thì các đẳng thức
F' a f a
và
F' b f b
được hiểu
là
F x F a
xa
xa
lim f a
và
F x F b
xb
xb
lim f a
.
Cho hai hàm số
f
và
F
liên tục trên
a;b
. Nếu
F
là nguyên hàm của
f
trên
a;b
thì ta có thể
chứng minh được
F
cũng là nguyên hàm của
f
trên
a;b
.
* Họ nguyên hàm: Giả sử hàm số
F
là một nguyên hàm nào đó của hàm số
f
trên
K
. Khi đó
+) Với mỗi hàng số
C
, hàm số
y F x C
cũng là một nguyên hàm của
f
trên
K
.
+) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm
G
của
f
trên
K
đều tồn tại hằng số
C
sao cho
G x F x C
với mọi
xK
.
Từ đó suy ra
F x C
,
C
là họ tất cả các nguyên hàm của
f
trên
K
. Họ tất cả các nguyên
hàm của
f
trên
K
được ký hiệu là
f x dx
. Như vậy
f x dx F x C
,
C
.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây:
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
4
1)
3
1
f x x
.
2)
1
2
x
fx
.
3)
3
f x 1 x
.
Giải
1) Ta có
43
x ' 4x
4
3
x
4
'x
4
x
1
4
f x dx C
.
2) Ta có
1
2x
x'
1
x
2 x '
2
f x dx 2 x C
.
3) Ta có
3
2
1 x 1 x ' 1 x
2
3
1 x 1 x ' 1 x
2
f x dx 2 x C
.
Ví dụ 2. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây:
1)
2x
1
f x e
.
2)
2
f x sin3x
.
3)
3
f x cos2x
.
Giải
1) Ta có
2x 2x
e ' 2e
2x
2x
e
2
'e
2x
e
1
2
f x dx C
.
2) Ta có
cos3x ' 3sin3x
cos3x
3
' sin3x
cos3x
2
3
f x dx C
.
3) Ta có
sin2x ' 2cos2x
sin2x
2
' cos2x
sin2x
3
2
f x dx C
.
Ví dụ 3. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
f x x 1
Giải
Ta có
neáu
neáu
x 1 x 1
fx
1 x x 1
.
Xét hàm
neáu
neáu
2
x
2
2
x
2
x C x 1
Fx
x x 1
.
Ta tìm
C
để
F
là một nguyên hàm của
f
.
Dễ thấy
F' x f x
với mọi
x1
. Ta còn phải tìm
C
để
F' 1 f 1
F' 1 0
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
5
Để
F
có đạo hàm tại
1
thì trước hết
F
liên tục tại
1
x 1 x 1
lim F x lim F x F 1
11
22
C
C1
.
Với
C1
thì
neáu
neáu
2
x
2
2
x
2
x 1 x 1
Fx
x x 1
.
Ta có
2
x1
2
x1
x1
x
22
F x F 1
2 2 1
x 1 x 1 x 1 2
x 1 x 1 x 1 x 1
lim lim lim lim x 1 0 1
2
x1
2
x
x1
x
22
F x F 1
2 2 1
x 1 x 1 x 1 2
x 1 x 1 x 1 x 1
lim lim lim lim x 1 0 2
.
Từ
1
,
2
suy ra
F x F 1
x1
x1
lim
F
có đạo hàm tại
1
và
F' 1 0
.
Vậy
f x dx F x C
, với
neáu
neáu
2
x
2
2
x
2
x 1 x 1
Fx
x x 1
.
C. Bài tập
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây:
1)
2
f x 3x
.
2)
100
f x x 1
.
3)
2x
f x 10
.
4)
cosx
f x sinx.10
.
5)
3
f x x
.
6)
x x x
2
x
fx
.
7)
2
f x 4sin x
.
8)
1 cos4x
2
fx
.
9)
x
f x e
.
10)
2
f x max 1,x
.
Loại 2. Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số
thƣờng gặp và tính chất của nguyên hàm
A. Tóm tắt lý thuyết
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
6
* Công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
0dx C
.
neáu
neáu
1
x
1
C1
x dx
ln x 1
.
Hệ quả:
dx x C
(
0
),
dx
x
2 x C
(
1
2
).
xx
e dx e C
,
x
x
a
a dx C 0 a 1
lna
.
cosxdx sinx C
,
si nxdx cosx C
,
dx
2
cos x
tanx C
,
dx
2
sin x
cotx C
.
* Nguyên hàm của hàm hợp
f x dx F x C
F ax b
a
f ax b dx C
.
* Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
f x g x dx f x dx g x dx
.
kf x dx k f x dx
.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm sau:
1)
4
f x 4x
.
2)
f x x
.
3)
1
3
x
fx
.
4)
x
2
f x cos
.
5)
f x sin2x
.
Giải
1)
4 4 5
4
5
4x dx 4 x dx x C
.
2)
1
2
2
3
xdx x dx x x C
.
3)
3
1
2
2x
x dx C
.
4)
xx
22
cos dx 2sin C
.
5)
cos2x
2
sin2xdx C
.
Ví dụ 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm sau:
1)
x
2
2
x
fx
.
2)
4
f x x 1 x 3x
.
3)
2
f x sin x
.
Giải
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
7
1)
3
1
11
22
x x x
2 1 1 x x
22
2 2 2 3 1 3
x
2
2
dx x dx 2 x dx . 2. C 4 x C
.
2)
2
65
4 5 4 2 3
3x
xx
6 5 2
x 1 x 3x dx x x 3x 3x dx x C
.
3)
2
1 cos2x sin2x sin2x
1 1 x
2 2 2 2 2 4
sin xdx dx dx cos2xdx x C C
.
C. Bài tập
Bài 1. Tìm
1)
2
x x 5 dx
. ĐS:
32
xx
32
5x C
.
2)
2
2x 3x 1
3
x
dx
. ĐS:
3
1
x2
2x
2ln x C
.
3)
3 x 2
2 x x e 3x
3
x
dx
. ĐS:
x
4
3x x
e 3ln x C
.
4)
2
2x
x
dx
. ĐS:
2x x
3
8 x 4x C
.
5)
2
x 1 dx
. ĐS:
3
2
x
3
x x C
.
6)
3
2
1 2x dx
. ĐS:
7
5
3
8x
12x
57
x 2x C
.
7)
3
2x 3 dx
. ĐS:
4
2 x 3
8
C
.
8)
100
x 1 dx
. ĐS:
101
x1
101
C
.
9)
2012
x 1 x dx
. ĐS:
2014 2013
1 x 1 x
2014 2013
C
.
10)
2
4x x
3
x1
dx
. ĐS:
3
7
x 1 2
2 x 1
4ln x 1 C
.
11)
dx
2
x 4x 3
. ĐS:
x3
1
2 x 1
ln C
.
12)
2
4x 6x 1
2x 1
dx
. ĐS:
ln 2x 1
2
2
x 2x C
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
8
13)
32
4x 4x 1
2x 1
dx
. ĐS:
32
ln 2x 1
2x x x
3 2 2 4
C
.
14)
3
4x 9x 1
2
9 4x
dx
. ĐS:
2
2x 3
x1
2 12 2x 3
ln C
.
15)
3
5
x xdx
. ĐS:
5
2
5x x
7
C
.
16)
44
x x 2dx
. ĐS:
3
x1
3x
C
.
17)
x 1 1 xdx
. ĐS:
22
33
x 1 x 1 1 x 1 x C
.
18)
dx
x 2 x 3
. ĐS:
2
15
x 2 x 2 x 3 x 3 C
.
19)
dx
2x 3 2x 1
. ĐS:
1
6
2x 3 2x 3 2x 1 2x 1 C
.
20)
dx
3x 4 3x 2
. ĐS:
1
9
3x 4 3x 4 3x 4 3x 4 C
.
21)
x 1 2xdx
. ĐS:
2
11
10 6
1 2x 1 2x 1 2x 1 2x C
.
Bài 2. Tìm
1)
3x
e dx
. ĐS:
3x
e
3
C
.
2)
2
3x x
e e dx
. ĐS:
6x 4x 2x
eee
622
C
.
3)
xx
e 2 e dx
. ĐS:
x
2e x C
.
4)
x
e dx
x
2
. ĐS:
x
e
x
1 ln2 2
C
.
5)
2x x x
2 .3 .5 dx
x
10
. ĐS:
x
6
ln6
C
.
6)
2 5x
e1
x
e
dx
. ĐS:
2 6x
e
1
6x
e
C
.
Bài 3. Tìm
1)
sin5xdx
. ĐS:
cos5x
5
C
.
2)
cos6xdx
. ĐS:
sin6x
6
C
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
9
3)
sinxcosxdx
. ĐS:
cos2 x
4
C
.
4)
2
sinx cosx dx
. ĐS:
cos2x
2
xC
.
5)
44
sin x cos x dx
. ĐS:
3x sin4x
4 16
C
.
6)
66
sin 2x cos 2x dx
. ĐS:
5x 3sin8x
8 64
C
.
7)
34
cos 2x .cos 2x dx
. ĐS:
11
8 12 2 12
sin 4x xsin C
.
8)
2
x
2
sin dx
. ĐS:
sinx
x
22
C
.
9)
2
x
2
cos dx
. ĐS:
sinx
x
22
C
.
10)
3
sin xdx
. ĐS:
3cosx cos3x
4 12
C
.
11)
3
cos xdx
. ĐS:
3sinx sin3x
4 12
C
.
12)
4
sin xdx
. ĐS:
3x sin2x sin4x
8 4 32
C
.
13)
4
cos xdx
. ĐS:
3x sin2x sin4x
8 4 32
C
.
Loại 3. Phƣơng pháp đổi biến số
Bài 1. Tìm
1)
32
1 3x x dx
.
2)
5
32
1 3x x dx
Bài 2. Tìm
1)
x
2
x1
dx
.
2)
2
x
3
x1
dx
.
3)
dx
2
1 2x
.
4)
dx
3
2 2x
.
5)
3
4
3x 2
dx
.
6)
3
4x
4
x1
dx
.
7)
6
7x
7
x7
dx
.
8)
32
4x 3x
43
x x 1
dx
.
9)
6
7x 7
7
x 7x 1
dx
.
10)
9 10
10x 11x
10 11
x x 1
dx
.
Bài 3. Tìm
1)
3
2
x. x 1dx
.
2)
3
2
x. 2x 2dx
.
3)
4
23
x . x 2dx
.
4)
4
23
x . 2x 4dx
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
10
5)
23
x 1 2x dx.
.
6)
34
x . x 4dx
.
7)
67
x . x 7dx
.
8)
23
x . x 1dx
.
9)
3
23
3x . x 1dx
10)
3
2
x. x 1dx
.
11)
2x
2
x1
dx
.
12)
2
3x
3
x1
dx
.
13)
x
3
2
x1
dx
.
14)
2
x
4
3
x1
dx
.
15)
3
4x
4
x4
dx
.
16)
6
7x
7
x7
dx
.
17)
2
x
3
x1
dx
.
18)
2
3x
3
3
x1
dx
.
19)
2
9x
3
3
3x 4
dx
.
20)
2
6x
4
3
2x 4
dx
.
21)
1 x 1
3
2 x 1
x1
. dx
.
Bài 4. Tìm
1)
cosx 1 sinxdx
.
2)
1 2sinx cosxdx
.
3)
2
cosx 1 sinxdx
.
4)
3
1 2sinx cosxdx
.
5)
5
sin x.cosxdx
.
6)
2
sinx 1 .cosxdx
.
7)
sinx
2 cosx
dx
.
8)
cosx
2 sinx
dx
.
9)
sinx
2 3cosx
dx
.
10)
cosx
2 4sinx
dx
.
11)
sinx
cosx 1
dx
.
12)
cosx
sinx 1
dx
.
13)
sin2x
cos2 x 1
dx
.
14)
cos2 x
sin2x 1
dx
.
15)
cosxdx
4
sinx 1
.
16)
3
cos xdx
sinx 1
.
17)
2cosx 3sinxdx
.
18)
1 2sinxcosxdx
.
19)
sinx
2 cosx
dx
.
20)
cosx
2 sinx
dx
.
21)
cosx
sinx 1
dx
.
22)
sinx
cosx 1
dx
.
23)
cos2x
sin2x 1
dx
.
24)
sinx
5
2 3cosx
dx
.
25)
cosx 1 sinxdx
.
26)
1 2sinx cosxdx
.
27)
2
cosx 1 sinxdx
.
Bài 5. Tìm
1)
lnx 1
x
dx
.
2)
dx
lnx
.
3)
2lnx 1
x
dx
.
4)
lnx 1
x
dx
.
Bài 6. Tìm
1)
sin2x
e cos2xdx
.
2)
tgx
e
2
cos x
dx
.
3)
xx
e 1 2e dx
.
4)
4
xx
1 2e e dx
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
11
5)
x
e
x
e1
dx
.
6)
x
e
x
3e 1
dx
.
7)
xx
e 1 3e dx
.
8)
x
e
x
e1
dx
.
9)
2x
e
2x
e1
dx
.
10)
x
e dx
x
e2
.
11)
xx
e 1 e dx
.
Loại 4. Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần
Tìm
1)
xcosxdx
.
2)
x 2 cosxdx
.
3)
2x 1 cosxdx
.
4)
xcos 2x 1 dx
.
5)
xsinxdx
.
6)
2x 1 sinxdx
.
7)
x 1 sinxdx
.
8)
xsin 2x 1 dx
.
9)
x
xe dx
.
10)
x
2x 1 e dx
.
11)
2x
x 1 e dx
.
12)
2x 1
xe dx
.
13)
xlnxdx
.
14)
xln 2x 1 dx
.
15)
2x 1 lnxdx
.
16)
x
1 e xdx
.
17)
x 1 lnx dx
.
18)
x 1 cosx dx
.
19)
x 1 sinx dx
.
20)
2
3 sin x
sinxcos xe dx
.
21)
sinx
cosx e cosx dx
.
22)
sinx
x tanx e cosx dx
.
23)
2
ln x
dx
x lnx 1
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
12
24)
1 3lnx lnx
dx
x
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
13
CHỦ ĐỀ 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Loại 1. Sử dụng các công thức tính tích phân của một số hàm số
thƣờng gặp và tính chất của tích phân
Bài 1. Tính tích phân
1)
1
35
4
0
x x x x x dx
. ĐS:
71
20
.
2)
1
35
4
0
x 2 x 3 x 4 x 5 x dx
. ĐS:
229
20
.
3)
1
0
x 3x 1 dx
. ĐS:
20
9
.
4)
1
0
1
x dx
3x 1
. ĐS:
4
3
.
5)
1
0
dx
x 1 x
. ĐS:
42
3
.
6)
1
2010
0
x 1 dx
. ĐS:
1
2011
.
7)
10
0
dx
2010x 1
. ĐS:
ln20101
2010
.
8)
2
2
0
x
dx
x1
. ĐS:
ln3
.
9)
2
2
0
2x 1
dx
x x 1
. ĐS:
ln7
.
10)
2
2
2
0
2x 4x 3
dx
x x 1
. ĐS:
4 ln7
.
11)
3
2
1
2x 3x 1
dx
x x 4
. ĐS:
141
11 35ln2 ln3
4
.
12)
432
1
2
x 2x 3x 4x 5
dx
x x 1 x 2
. ĐS:
7 149 87
ln2 ln3
2 2 2
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
14
13)
0
2
x 1 dx
. ĐS:
1
.
14)
2
2
0
| x x | dx
. ĐS:
1
.
15)
5
3
x 2 x 2 dx
. ĐS:
8
.
16)
2
1
f x g x dx
với
32
f x 3x x 4x 1
và
32
g x 2x x 3x 1
. ĐS:
37
12
.
17)
1
0
x x m dx
. ĐS:
3
3m 2
, khi m 1
6
m m 1
I , khi 0 m 1
3 2 3
2 3m
, khi m 0
6
.
18)
0
1 sin2xdx
. ĐS:
22
.
19)
0
1 cos2xdx
. ĐS:
22
.
20)
4
44
0
cos x sin x dx
. ĐS:
1
2
.
21)
4
66
0
sin x cos x dx
. ĐS:
5
32
.
22)
2
0
sinxsin2xdx
. ĐS:
2
3
.
23)
4
3
0
sin xdx
. ĐS:
8 5 2
12
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
15
24)
3
4
0
cos xdx
. ĐS:
8 7 3
64
.
25)
2
0
2cosx 1 dx
sinx cosx 1
. ĐS:
2
.
26)
1
3
2x
0
e 1 dx
. ĐS:
6 4 2
1 3 3 17
eee
6 4 2 2
.
27)
2
x
2
2x
0
e2
dx
e
. ĐS:
4
42
2
8
ee
.
28)
4
3
0
sinx
dx
cos x
. ĐS:
1
2
.
29)
n
4
n2
0
sin x
dx
cos x
, với
n \{ 1}
. ĐS:
1
n1
.
30)
4
2
6
cosx
dx
sin x
, với
n \{ 1}
. ĐS:
1
n1
.
31)
4
2011 2009
0
tan x tan x dx
, với
n \{ 1}
. ĐS:
1
2010
.
32)
2
2011 2009
4
cot x cot x dx
, với
n \{ 1}
. ĐS:
1
2010
.
Loại 2. Phƣơng pháp đổi biến
1. Sử dụng công thức
b
a
f u(x) u'(x )dx f(t)dt
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
16
Diễn giải phương pháp: Xét tích phân
b
a
I g(x)dx
. Giả sử bằng một số biến đổi nào đó, ta thu
được
g(x)dx f u(x) u'(x)dx f u(x) d u(x)
.
Khi đó, ta có
I f(t)dt
. Ở đây
u(a)
u(b)
.
Bài 1. Tính tích phân
3
1
2
2
0
x
dx
x1
. ĐS:
ln2 1
24
.
Bài 2. Tính tích phân
53
1
2
2
0
xx
dx
x1
. ĐS:
ln2 1
22
.
Bài 3. Tính tích phân
85
2
2
3
0
xx
dx
x2
. ĐS:
44
ln5
15
.
Bài 4. [ĐHD09] Tính tích phân
3
x
1
dx
e1
. ĐS:
2
ln(e e 1) 2
.
Chú ý:
b
be
x
a
a
e
f(t)dt
f(e )dx
t
.
Bài 5. [ĐHB06] Tính tích phân
ln5
xx
ln3
dx
e 2e 3
. ĐS:
ln3 ln2
.
Bài 6. Tính tích phân
2x
ln2
xx
0
e dx
(e 1)(e 2)
. ĐS:
5ln2 3ln3
.
Bài 7. Tính tích phân
e
1
lnxdx
x(lnx 1)(lnx 2)
. ĐS:
2ln3 3ln2
.
Bài 8. Tính tích phân
2
2
e
1
ln x 2lnx 1
dx
x(lnx 1)(lnx 2)
. ĐS:
2-2ln3+ln2
.
Bài 9. [ĐHA09] Tính tích phân
2
32
0
(cos x 1)cos xdx
. ĐS:
8
15 4
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
17
Bài 10. [ĐHD05] Tính tích phân
2
sinx
0
(e cosx)cosxdx
. ĐS:
e1
4
.
Bài 11. Tính tích phân
2
0
cosxdx
5 2sinx
. ĐS:
ln5 ln3
2
.
Bài 12. Tính tích phân
4
0
cos2x
dx
1 2sin2x
. ĐS:
ln 3
4
.
Bài 13. [ĐHB03] Tính tích phân
2
4
0
1 2sin x
dx
1 sin2x
. ĐS:
ln 2
2
.
Bài 14. [ĐHB05] Tính tích phân
2
0
sin2xdx
1 cosx
. ĐS:
2 2ln2
.
Bài 15. [ĐHA06] Tính tích phân
4
22
0
sin2xdx
cos x 4sin x
. ĐS:
10 2
3
.
Bài 16. [ĐHB05] Tính tích phân
2
0
sin2xcosxdx
I
1 cosx
. ĐS:
2ln2 1
.
Bài 17. Tính tích phân
3
2
0
sin xtanxdx
. ĐS:
3
ln2
8
.
Bài 18. Tính tích phân
3
6
0
sin3x sin 3x
dx
1 cos3x
. ĐS:
ln5 ln3
2
.
Bài 19. [ĐHA08] Tính tích phân
4
6
0
tan xdx
I
cos2x
. ĐS:
ln 2 3
10 3
27 2
.
Bài 20. Tính tích phân
4
8
0
1 tan x dx
. ĐS:
76
105
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
18
Bài 21. [ĐHB08] Tính tích phân
4
0
sin x dx
4
sin2x 2(1 sinx cosx)
. ĐS:
4 3 2
4
.
Bài 22. Tính tích phân
2
3
3
sinx cosx
dx
sinx cosx
. ĐS:
2
3
31
1 2 3 1
22
.
Bài 23. Tính tích phân
2
4
sinx cosx
dx
1 sin2x
. ĐS:
ln 2
2
.
Bài 24. Tính tích phân
2
3
0
cos2x
dx
(sinx cosx 3)
. ĐS:
1
32
.
Bài 25. Tính tích phân
2
3
2
0
sin2x 1 sin x dx
. ĐS:
ln 3
4
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
19
2. Phép đổi biến
n
t f(x)
Bài 1. Tính tích phân
1
32
0
x x 3 dx
. ĐS:
6 3 8
5
.
Bài 2. Tính tích phân
1
52
0
x 1 x dx
. ĐS:
8
105
.
Bài 3. [ĐHA04] Tính tích phân
2
1
xdx
1 x 1
. ĐS:
11
4ln2
3
.
Bài 4. Tính tích phân
3
1
x3
dx
3 x 1 x 3
. ĐS:
6ln3 8
.
Bài 5. Tính tích phân
3
22
0
xdx
x 2 2 1 x
. ĐS:
10 2 11
3
.
Bài 6. Tính tích phân
7
3
0
(x 2)dx
x1
. ĐS:
231
10
.
Bài 7. Tính tích phân
9
3
1
x 1 xdx
. ĐS:
468
7
.
Bài 8. Tính tích phân
1
15 8
0
x 1 3x dx
. ĐS:
29
270
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
20
Bài 9. [ĐHB04] Tính tích phân
e
1
1 3lnx lnxdx
x
. ĐS:
116
135
.
Bài 10. Tính tích phân
e
1
3 2lnx
dx
x 1 2lnx
. ĐS:
10 2 11
3
.
Bài 11. [ĐHA05] Tính tích phân
2
0
sin2x sinx
dx
1 3cosx
. ĐS:
34
27
.
3. Các phép đổi biến
x tant
,
x c ott
,
x sint
,
x c ost
Bài 1. [ĐHB02] Tính tích phân
8
2
0
16 x dx
. ĐS:
24
.
Bài 2. Tính tích phân
3
2
3
2
33
2
dx
9x
. ĐS:
43
27
.
Bài 3. Tính tích phân
2
2
2
3
dx
x x 1
. ĐS:
6
.
Bài 4. Tính tích phân
6
2
32
dx
x x 9
. ĐS:
36
.
Bài 5. Tính tích phân
2
2
2
2
0
x dx
1x
. ĐS:
2
8
.
Bài 6. Tính tích phân
3
2
3
3
dx
1x
. ĐS:
6
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
21
Bài 7. Tính tích phân
1
2
0
dx
x x 1
. ĐS:
3
9
.
Bài 8. Tính tích phân
1
2
1
xdx
x x 1
. ĐS:
ln3 3
26
.
Bài 9. Tính tích phân
3
3
2
3
3
dx
1x
. ĐS:
13
2
.
Bài 10. Tính tích phân
1
0
1x
dx
1x
. ĐS:
1
2
.
Loại 3. Phƣơng pháp tích phân từng phần
Bài 1. [ĐHB09] Tính tích phân
3
2
1
3 lnx
dx
x1
. ĐS:
27
3 ln
16
4
.
Bài 2. [ĐHD08] Tính tích phân
2
3
1
lnx
dx
x
. ĐS:
3 2ln2
16
.
Bài 3. [ĐHD07] Tính tích phân
3
22
1
x ln xdx
. ĐS:
4
5e 1
32
.
Bài 4. [ĐHD06] Tính tích phân
1
2x
0
(x 2)e dx
. ĐS:
2
5 3e
4
.
Bài 5. [ĐHD04] Tính tích phân
3
2
2
ln(x x)dx
. ĐS:
3ln3 2
.
Bài 6. Tính tích phân
1
2
3x
0
x e dx
. ĐS:
1
2
.
Bài 7. Tính tích phân
2
2x
0
e cos3xdx
. ĐS:
3e 2
13
.
Bài 8. Tính tích phân
2x
2
2
0
xe
dx
x2
. ĐS:
1
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
22
Bài 9. Tính tích phân
4
2
0
xtan xdx
. ĐS:
2
ln2
4 32 2
.
Bài 10. Tính tích phân
7
1
2
4
0
x dx
1x
. ĐS:
2ln 2 1
8
.
CHỦ ĐỀ 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Loại 1. Tính diện tích hình phẳng
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f x , y 0
x a, x b (a b)
được tính bởi công thức:
b
a
S f x dx
.
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
x f y , x 0
y a, y b (a b)
được tính bởi công thức:
b
a
S f y dy
.
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
23
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f x , y g x
x a, x b (a b)
(
fx
,
g x 0
x a;b
) được tính bởi công thức:
b
a
S f x g x dx
.
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y x 4 x 3
và
y3
.
ĐS:
8
(đvdt).
Bài 2. [ĐHA02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y x 4 x 3
và
y x 3
.
ĐS:
109
6
(đvdt).
Bài 3. [ĐHB02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
x
y4
4
và
2
x
y
42
.
ĐS:
4
2
3
(đvdt).
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y x 2x
và
2
y x 4x
.
ĐS:
9
(đvdt).
Bài 5. Tính diện tích của hai phần đường tròn
22
(C):x y 8
chia bởi parabol
2
(P): y 2x
.
ĐS:
4
2
3
(đvdt) và
4
6
3
(đvdt).
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
yx
,
2
x
y
8
và
27
y
x
.
ĐS:
27ln2
(đvdt).
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
yx
,
2
x
y
4
,
2
y
x
và
8
y
x
.
ĐS:
20ln2
3
(đvdt).
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
24
Bài 8. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
2
(P):y 4x x
và các tiếp với
(P)
tại
O(0;0)
và
A(3;3)
.
ĐS:
9
4
(đvdt).
Bài 9. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
2
(P):y x 2x
và các tiếp kẻ từ
5
M ;6
2
tới
(P)
.
ĐS:
9
4
(đvdt).
Bài 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2
y x 1 x
, trục hoành và đường
thẳng
x1
.
ĐS:
2 2 1
3
(đvdt).
Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
1 lnx
y
x
, trục hoành và các
đường thẳng
x1
,
xe
.
ĐS:
2 2 2 1
3
(đvdt).
Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y sin| x|
và
y | x|
.
ĐS:
2
4
(đvdt).
Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y (e 1)x
và
x
y e 1 x
.
ĐS:
e
1
2
(đvdt).
Bài 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
1
C : y x
2x
, tiệm cận xiên của
(C)
,
x1
và
x3
.
ĐS:
1
3
(đvdt).
DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net
WWW.ToanCapBa.Net
25
Bài 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
2(y 1) x
và
2
(y 1) x 1
.
ĐS:
4
3
(đvdt).
Loại 2. Tính thể tích vật thể
* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y 0
x a, x b (a b)
xung quanh
Ox
là
b
2
a
V f (x)dx
.
