Ứng dụng của tích phân

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 131
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN




Vấn đề 1: DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG

1. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi 4 đường:

(c):yf(x)
y0(trụchoànhOx)
xa
xb(ab)
=
ì
ï
=
ï
í
=
ï
ï
=<
ỵ
được tính bởi công thức:
b
a
Sf(x)dx=
ò

(1)
2. Phương pháp giải toán:

* Ta cần phải tìm đầy đủ 4 đường như trên
* và vì cần phải bỏ dấu giá trò tuyệt đối nên ta có 2 cách giải sau:
ì
í
ỵ

Cách 1. Phương pháp đồ thò:
* Vẽ đồ thò (C) : y = f(x) với x Ỵ [a ; b]
a/ Trường hợp 1:
Nếu đồ thò (C) nằm hoàn toàn
trên trục hoành Ox (hình a) thì:

b
a
(1)Sf(x).dxÛ=
ò

b/ Trường hợp 2:
Nếu đồ thò (C) nằm hoàn toàn
dưới trục hoành Ox (hình b) thì:

b
a
(1)Sf(x).dxÛ=-
ò

c/ Trường hợp 3:

Nếu đồ thò (C) cắt trục hoành Ox tại một điểm
có hoành độ x = x
0
(như hình c) thì:

0
x
b
aa
(1)Sf(x).dxf(x).dxÛ=+-
òò

* Ghi chú: Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn [a ; b] thì ta dùng công thức sau:
b
a
Sf(x)dx=
ò


y
x
(C): y = f(x)
S
a b 0
(Hình a)
y
x S
a b
0
(Hình a)

(C): y = f(x)
a
y
S
S
a
0 b x
S = S
1
+ S
2

(Hình c)
§Bài 1: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 132
Cách 2. Phương pháp đại số:
Ÿ Giải phương trình hoành độ giao điểm : f(x) = 0 (*)
Ÿ Giải (*) để tìm nghiệm x trên đoạn [a ; b].
Ÿ Nếu (*) vô nghiệm trên khoảng (a ; b) thì ta xét dấu f(x) trên đoạn [a ; b] để bỏ dấu
giá trò tuyệt đối hoặc ta sử dụng trực tiếp công thức sau:

b
a
Sf(x)dx=
ò

Ÿ Nếu (*) có nghiệm x = x
0
và f(x)

có bảng xét dấu như hình bên thì:

0
0
x
b
ax
Sf(x)dxf(x)dx.=-
òò


Ghi chú:
(1) Diện tích S luôn là một giá trò dương (không có giá trò S £ 0).
(2) Với câu hỏi: “Tính diện tích giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục hoành” thì ta phải tìm
thêm hai đường x = a, x = b để làm cận tích phân, hai đường này chính là giao điểm
của (C) và trục Ox, là 2 nghiệm của phương trình f(x) = 0 (theo phương pháp đại số).
Với câu hỏi đơn giản hơn như: “Tính diện tích giới hạn bởi đường (C) : y = f(x) thì ta
phải hiểu đó là sự giới hạn bởi (C) và trục hoành.
(3) Một số hàm có tính đối xứng như: parabol, đường tròn, elip, hàm giá trò tuyệt đối, một
số hàm căn thức; lợi dụng tính đối xứng ta tính một phần S rồi đem nhân hai, nhân ba,
... (cũng có thể sử dụng tổng hoặc hiệu diện tích).
(4) Phần lớn dạng toán loại này ta nên dùng phương pháp đồ thò hiệu quả hơn; một số ít
phải dùng phương pháp đại số như hàm lượng giác vì vẽ đồ thò khó.
x a x
0
b
f(x) + 0 –

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 133

Vấn đề 2: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG (C
1
), (C
2
)

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (C
1
), (C
2
)

1
2
(C):yf(x)
(C):yg(x)
xa
xb(ab)
=
ì
ï
=
ï
í
=
ï
ï
=<
ỵ

được tính bởi công thức:
b
a
Sf(x)g(x)dx=-
ò


2. Phương pháp giải toán:
Cách 1. Phương pháp đồ thò:
* Trên cùng mặt phẳng toạ độ ta vẽ 2 đồ thò:
12
(C):yf(x)và(C):yg(x)==.
a/ Trường hợp 1: (C
1
) không cắt (C
2
)
§ Xác đònh vò trí: Trên đoạn [a ; b] thì (C
1
) nằm trên
(C
2
) hay (C
2
) nằm trên (C
1
) bằng cách vẽ một
đường thẳng song song với trục tung Oy cắt hai
đồ thò tại M và N.
Khi đó nếu M ở trên N thì đồ thò chứa M sẽ nằm trên đồ thò

chứa N.
§ Nếu (C
1
) nằm trên (C
2
) thì:
b
a
S[f(x)g(x)]dx.=-
ò
(h.2a)
§ Nếu (C
2
) nằm trên (C
1
) thì:
b
a
S[g(x)f(x)]dx.=-
ò
(h.2b)
§ Trong trường hợp 1, ta có thể dùng trực tiếp công thức sau:

b
a
S[f(x)g(x)]dx.=-
ò

b/ Trường hợp 2: (C
1

) cắt (C
2
) tại điểm I có hoành độ x
0
.

0
0
x
b
ax
Sg(x)f(x)dxf(x)g(x)dx=-+-
òò

Hoặc dùng công thức sau:

0
0
x
b
ax
S[f(x)g(x)]dx[f(x)g(x)]dx=-+-
òò

Cách 2. Phương pháp đại số:
§ Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
§ Nếu (*) vô nghiệm trên khoảng (a ; b) thì ta xét hiệu f(x) – g(x) để bỏ dấu “| |”.
§ Nếu (*) có một nghiệm x
0
thuộc khoảng (a ; b) thì:

y
x 0
M
N
a b
(C
2
)
(C
1
)
S
(hình 2a)

y
x 0
M
N
a b
(C
1
)
(C
2
)
S
(hình 2b)
x
y

0 a x
0

b
S
2

S
1

I
(C
2
): y = g(x)
(C
1
): y = f(x)
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 134

0
x
b
aa
Sf(x)g(x)dxf(x)g(x)dx=-+-
òò

rồi xét lại từ đầu trên các đoạn
00
[a;x]và[x;b].

Ghi chú:
(1) Trong thực hành ta nên dùng phương pháp đồ thò.
(2) Khi giao điểm của (C
1
) và (C
2
) không chắc chắn như số hữu tỉ hoặc số vô tỉ, ta nên
thực hiện thêm việc giải phương trình hoành độ f(x) = g(x) cho chính xác.
(3) Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) là các cận của tích phân.
(4) Trên đây khi tính diện tích ta đã coi x là biến, y là hàm. Tuy nhiên trong một số
trường hợp ta coi y là biến của hàm x (nghóa là x = f(y)), khi đó việc tính diện tích sẽ
đơn giản hơn.
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 135

Vấn đề 3: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI NHIỀU ĐƯỜNG

§ Xét đại diện 4 đường
1234
(C),(C),(C),(C).
§ Ta dùng phương pháp đồ thò (duy nhất)
§ Vẽ 4 đường trên cùng một mặt phẳng
và xác đònh hoành độ giao điểm giữa chúng
(x
1
, x

2
, x
3
, x
4
)
§ Diện tích hình phẳng S cần tìm:
123
SSSS=++

314
123
xxx
134342
xxx
S[(C)(C)]dx[(C)(C)]dx[(C)(C)]dx.Û=-+-+-
òòò

x
y
x
4
x
3
x
2
x
1
0
A

B
(C
3
)
(C
4
)
(C
1
)
(C
2
)
C
S
3

S
2

S
1

D
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 136

Vấn đề 4: DIỆN TÍCH LỚN NHẤT VÀ DIỆN TÍCH NHỎ NHẤT

Tìm diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của hình phẳng S.

Phương pháp:
§ Thiết lập công thức tính S theo một hoặc nhiều tham số của giả thiết (giả sử là m), tức
là, ta có: S = g(m).
§ Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của g(m) bằng một trong các phương pháp:
+ Tam thức bậc hai
+ Bất đẳng thức Côsi hoặc Bu Nhia Côp Ski.
+ Sử dụng đạo hàm
Chú ý: Các cận a, b thường lấy từ nghiệm x
1
, x
2
là hoành độ giao điểm của (C) và (d).

Ví dụ 1: (Vấn đề 1): Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đường cong

2
yx1x=+, trục Ox và đường thẳng x = 1.
Giải:
* Đường cong (C) :
2
yx1x=+ cắt trục hoành Ox khi:
2
x1x0x0.+=Û=
* Ta có:
2
x1x0,vớimọix[0;1]+³Ỵ. Do đó diện tích S cần tìm là:
1
2
0
Sx1x.dx.=+

ò

* Đặt:
222
u1xu1x2u.du2xdxu.duxdx.+Þ=+Þ=Þ=
* Đổi cận: x = 0 Þ u = 1; x = 1 Þ u2.=
* Ta có:
2
2
3
2
0
0
u1
Sudu(221)
33
ỉư
===-
ç÷
èø
ò
(đvdt)
Ví dụ 2: (vấn đề 1): Tính diện hình phẳng giới hạn bởi các đường

1lnx
y;x1,xe.
x
+
===
Giải:

* Diện tích hình phẳng S cần tìm:
e
1
1lnx
Sdx
x
+
=
ò

* Đặt:
2
1
u1lnxu1lnx2u.dudx.
x
=+Þ=+Þ=
* Đổi cận: x = 1 Þ u = 1; x = e Þ u2.=
* Ta có:
2
2
23
1
1
222
S2u.duu(221(221)
333
ỉư
===-=-
ç÷
èø

ò
(đvdt)
Ví dụ 3 (vấn đề 2): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
22
yx2xvàyx4x.=-=-+
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 137
Giải:
* Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường:
22
x2xx4x-=-+

2
2x6x0x0hayx3.Û-=Û==
* Đồ thò (P
1
):
22
2
yx2xvà(P):yx4x=-=-+
như trên hình vẽ.
Hai đồ thò cắt nhau tại 2 điểm O(0 ; 0) và A(3 ; 3).
* Diện tích hình phẳng S cần tìm:

3
33
3
2222
00
2x

Sx4x)(x2x)dx(2x6x)dx3x9(đvdt)
3
ỉư
éù
=-+--=-+=-+=
ç÷
ëû
èø
òò

Ví dụ 4 (vấn đề 2): Parabol y
2
= 2x chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn

22
xy8+= thành hai phần. tính diện tích mỗi phần đó
Giải:
* Phương trình hoành độ giao điểm của (P):
222
y2xvà(C):xy8;=+=

2
x2x8(vớix0)+=³
2
x2y2
x2x80
x4(loại)
=Þ=±
é
Û+-=Û

ê
=-
ë

Tọa độ giao điểm B(2 ; 2), C(2 ; –2).
* Ta tính diện tích tam giác cong OAB;
Đặt:
222
2
1OAB
02
SS2x.dx8x.dx==+-
òò

với:
2
2
3
0
0
28
2x.dx2.x.
33
ỉư
==
ç÷
èø
ò

Tính:

22
2
2
8x.dxI.-=
ò

Đặt: x22.sintdt22.cost.dt.=Þ=
Đổi cận: x2t/4=Þ=p ; x22t/2=Þ=p

/2/2/2
2
/4/4/4
/2
/4
1cos2t
I22.cost.22.cost.dt8cost.dt8dt
2
sin2t
4t2.
2
ppp
ppp
p
p
+
Þ===
ỉư
=+=p-
ç÷
èø

òòò

* Do đó:
1
82
S2.
33
=+p-=p+
* Do tính đối xứng nên:
OBACOAB
4
S2.S2.
3
==p+
y
x
4 3 2 1 0 –
1
–
1
3
4
(P
1
)
A
(P
2
)
(P)

x
A
22
S
1

B
C
o
–2
2
2
y
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 138
* Gọi S là diện tích hình tròn (C)
2
S.R8Þ=p=p
* Gọi S
2
là phần diện tích hình tròn còn lại
2OBAC
4
SSS82
3
ỉư
Þ=-=p-p+
ç÷
èø

2
4
S6.
3
Û=p-
Ví dụ 5 (vấn đề 4): Chứng minh rằng khi m thay đổi thì Parabol (P): y = x
2
+ 1 luôn cắt
đường thẳng (d): y = mx + 2 tại hai điểm phân biệt. Hãy xác đònh m sao cho phần diện
tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và parabol là nhỏ nhất.
Giải:
* Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

2
x1mx2+=+
2
xmx10(1)Û--=

2
m40,mD=+>"
* Vậy (d): luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
A, B có hoành độ x
1
, x
2
là nghiệm của (1).
* Diện tích hình phẳng S là:

2

2
1
1
x
x
32
2
x
x
xmx
S(mx2x1)dxx
32
ỉư
=+--=-++
ç÷
èø
ò


3322
212121
22
21212121
22223
1m
(xx)(xx)(xx)
32
1
(xx).2(xxxx)3m(xx)6
6

114
m4.2(m1)3m6(m4).
663
=--+-+-
éù
=--++-+-
ëû
éù
=-++--=+³
ëû

Vậy:
4
minSkhim0.
3
==
Ví dụ 6 (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
2
x27
yx,y,y.
8x
===
Giải:
* Đồ thò
2
2
12
x27
(P):yx,(P):y,(H):y

8x
===
như trên hình vẽ.
* Phương trình hoành độ giao điểm của
(P
1
) và (H):

2
27
x
x
=
3
x27x3toạđộA(3,9).Û=Û=Þ
* Phương trình hoành độ giao điểm của (P
2
) và (H):
y
x
A
x
1
0 x
2

B
2
(d)
(P)

y
x
S
2

S
1

(P
1
)
(P
2
)
B
A
(H)
9/2
3
9
0 3 6 9