Tai lieu chuyen de ung dung cua tich phan trong hinh hoc

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

III

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
I

LÝ THUYẾT.
I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Định lý 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục, không âm trên  a; b  . Khi đó diện tích S của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và 2 đường thẳng=
x a=
, x b là:
b

S = ∫ f ( x)dx
a

2. Bài tốn liên quan
Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn a;b  ,
trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S =

b

∫ f (x ) dx
a

y

y = f (x)

O

a c1

c2

y = f (x)

y = 0
(H ) 
x = a
x = b


c3 b x

S =

b

∫ f (x ) dx
a

Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x ) , y = g(x ) liên tục trên
đoạn a;b  và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định:

S
=
y

(C2 )

a c1

c2

∫ f (x ) − g(x ) dx
a

(C1 ) : y = f1 ( x )

(C ) : y = f2 ( x )
(H )  2
x = a
x = b


(C1 )

O

b

b

x

=
S

b

∫ f (x ) − f (x ) dx
1

2

a

Page 103


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Chú ý:
- Nếu trên đoạn [a;b ] , hàm số f (x ) khơng đổi dấu thì:

b

∫

f (x ) dx =

a

b

∫ f (x )dx
a

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Bài tốn 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y ) , x = h(y ) và hai đường
thẳng y = c , y = d được xác định:
=
S

d

∫ g(y ) − h(y ) dy
c

Bài tốn 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị (C1 ) : f1 ( x) , (C2 ) : f2 ( x) là:

=
S

xn

∫

x1

f ( x) − g( x) dx . Trong đó: x1 , xn tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

f ( x) = g( x)
II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRỊN XOAY
1. Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b;
S (x ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm x ,
(a ≤ x ≤ b) . Giả sử S (x ) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b ] .

(V )
O

x

a

b

x

V

b

= ∫ S (x )dx
a

S(x)

2. Thể tích khối trịn xoay
Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f (x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox:
y

y = f (x)

O

a

b

(C ) : y = f ( x )

b
2
(Ox ) : y = 0
Vx = π ∫ [ f ( x )] dx

x x = a
a
 x = b

Page 104


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
x = g(y ) , trục hoành và hai đường thẳng y = c , y = d quanh trục Oy:

y

d

O

c

(C ) : x = g( y )

(Oy ) : x = 0

y = c
 y = d

x

d

V y = π ∫ [ g ( y )] dy
2

c

Bài tốn 3: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
b

Ox: V π ∫ f 2 (x ) − g 2 (x ) dx
y = f (x ) , y = g(x ) và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục=
a

II

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Dạng 1: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi=
y f ( x), Ox=
, x a=
, x b.
Phương pháp Giải theo phương pháp tự luận: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân để tính
tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối .
+) Tính chất: Hàm số y = f ( x ) liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó, ta có
b

f ( x ) dx
∫=
a

c

∫
a

b

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
c

Phương pháp trắc nghiệm:

y f ( x ) , Ox=
, x a=
, x b.
- Xác định các yếu tố cần thiết như công thức=

- Sử dụng chức năng tính tích phân có sẵn trong máy tính Casio để tính.
Chú ý: Nếu đề bài chưa cho=
x a=
, x b thì ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm

f ( x ) = 0 để tìm cận tích phân.
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 4 , trục hoành và hai đường thẳng

x = −1 , x = 3
Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 1 −
tích là

1
1
, trục Ox và hai đường thẳng=
x =
, x 2 có diện
2
x
2

Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số=
y 2 x 2 − x 4 và trục hoành

Page 105


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , ( a, b, c ∈ , a ≠ 0 ) có đồ thị ( C ) . Biết rằng đồ thị ( C )
tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hồnh độ âm và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho bởi

hình vẽ dưới đây:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) và trục hoành.
Câu 5:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos 2 x , trục hoành, đường thẳng x = 0 và
x = π là.

Câu 6:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số =
y x3 − 4 x , trục hoành, đường thẳng x = −2
và x = 4 là

Câu 7:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x) =

x = 1 và x = 2 là.
Câu 8:

x −1
, trục hoành, hai đường thẳng
x

Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ 0; 4] như hình vẽ và có diện tích
=
S1

11

9
. Tính
=
, S2
6
2

4

tích phân I = ∫ f ( x )dx
0

Câu 9:

Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) trên đoạn
S=
S=
1
2

[ −2; 2]

như hình vẽ ở bên và có diện tích

2

22
76
. Tính tích phân I = ∫ f ( x )dx
, S=

3
15
15
−2

Page 106


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 10:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x 2 , trục hoành và hai đường thẳng
x=
−1, x =
3 là.

Câu 11:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số=
y sin x + 1, trục hoành và hai đường thẳng

x = 0 và x =
Câu 13:

7π
là.
6

=
Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm

số y x.ln ( 3 x + 1) , trục hoành
và hai đường thẳng=
x 0;=
x 1

Câu 14:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e x , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x = 2
là.

Câu 15:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y x 4 − 2 x 2 + 1 và trục Ox
=

Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
− x3 + 3 x 2 và trục hồnh là.
Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y =
− x 2 + 2 x và trục hoành là:
Câu 18:

5 0, x + y − =
3 0
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 + x − =

Câu 19: Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = x 2 − 4 x + 4 , trục tung và trục hoành. Xác
định k để đường thẳng ( d ) đi qua điểm A ( 0; 4 ) có hệ số góc k chia thành hai phần có diện
tích bằng nhau.
2. Dạng 2: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

=
y f ( x),=
y g ( x),=
x a=
, x b.

Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: ( C1 ) : y = f ( x )

( C2 ) : y = g ( x )

và hai đường thẳng=
x a=
, x b được xác

định bởi công thức:
=
S

b

∫ f ( x ) − g ( x ) dx .
a

Chú ý: Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
* Giải phương trình: f ( x ) = g ( x ) tìm nghiệm x1 , x2 ,..., xn ∈ ( a; b ) , ( x1 < x2 < ... < xn ) .
Tính: S =
=

∫

x1

a

f ( x ) − g ( x ) dx + ∫

x2

x1

f ( x ) − g ( x ) dx +... + ∫

b

xn

f ( x ) − g ( x ) dx

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx + ... + ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx .
x1

b

a

xn

Ngồi cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối.

Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 – x 2 và y = x và các đường thẳng
x=
−2, x =
1
Page 107


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 2: . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số =
y x3 + x; y = 2 x và các đường thẳng
x=
−1, x =
1 được xác định bởi cơng thức.

Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
x= 3, x= e + 2 được tính bằng:

Câu 4:

2x +1
; tiệm cận ngang và hai đường thẳng
x−2

Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x 2 , =
y 2 x + 3 và hai đường x = 0, x = 2 . Cơng
thức nào sau đây tính diện tích hình phẳng ( H ) ?

Câu 5:

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y =

x3 , y =
2 − x2 , x =
0.

Câu 6:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) : y =
và đường thẳng x = 2.

Câu 7:

x+2
, tiệm cận ngang của ( C ) , trục tung
x +1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C ) : y =
hai đường thẳng =
x 1,=
x 3.

Câu 8:

2x +1
, tiệm cận ngang của (C ) và
x +1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( P ) : y = x 2 − 2 x + 2, trục tung, tiếp tuyến của ( P )
tại M ( 3;5 ) là:

Câu 9:

y x 2 + 1 , tiếp tuyến với đường này tại điểm
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: =
M ( 2;5 ) và trục Oy .

3. Dạng 3: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn =
bởi y f=
( x), y g (x).
Phương pháp giải:
Dạng: Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) liên tục trên đoạn [ a;b] . Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường y = f ( x ) và y = g ( x=
) là S

β

∫ f ( x ) − g ( x ) dx . Trong đó α , β

là

α

nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f ( x ) = g ( x ) ( a ≤ α < β ≤ b )
Cách giải:
Bước 1: Giải phương trình f ( x ) = g ( x ) tìm các giá trị α , β .
Bước 2: Tính
=
S

β

∫ f ( x ) − g ( x ) dx .

α

Page 108


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

thì S
Chú ý: Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) ∀x ∈ [ a; b]=

b

∫  f ( x ) − g ( x ) dx
a

Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 ; y= x + 2 bằng?
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y  x 2  4x  5 và hai tiếp tuyến của ( P ) tại các
điểm A 1; 2 , B 4;5 là:
Câu 3:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =x + 3, y =x 2 − 4 x + 3 là:

Câu 4:

3
y x=
, y 4 x là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi=

Câu 5:

y x 3 − 12 x và y = x 2 là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường =

Câu 6:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 + x − 1, y = x 4 + x − 1 là:

Câu 7:

2
2 x,=
y 2 x − 2 là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=

Câu 8:

0, x + y =
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 2 − 2 y + x =
0 là:

Câu 9:

Gọi S là diện tích mặt phẳng giới hạn bởi parabol y = x 2 + 2 x − 3 và đường thẳng =
y kx + 1
với k là tham số thực. Tìm k để S nhỏ nhất.

Page 109

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY
Dạng 1: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) ,
trục hoành và hai đường thẳng x = a , x  b quanh trục Ox :
Phương pháp giải:
y

y = f (x)

O

a

b

(C ) : y = f ( x )

b
2
(Ox ) : y = 0
V
=
π

x
∫a [ f ( x )] dx
x x = a
 x = b

Chú ý:
- Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ) ,
trục hoành và hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy:
y

d

O

c

x

(C ) : x = g( y )

(Oy ) : x = 0

y = c
 y = d

d

V y = π ∫ [ g ( y )] dy
2

c

x

Câu 1: Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e 2 x , x = 1 , x = 2
và y = 0 quanh trục Ox là:

y 2 x − x 2 và y = 0 . Tính thể tích vật thể
Câu 2: Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số =
tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox .
Câu 3: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x ln x , trục hoành và đường thẳng x = e quay quanh Ox

Câu 4:

Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường=
y x 2=
; y 0;=
x 2 . Tính thể tích V ủa khối trịn
xoay thu được khi quay ( H ) quanh trục Ox .

Câu 5:

Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y =
4 − x2 , y =
0 . Tính thể tích V của khối trịn
xoay hình thành khi cho ( H ) quay xung quanh Ox

Câu 6:

Câu 7:

Tính thể tích V của vật thể trịn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
1

=
y
,=
y 0,=
x 1,=
x a ( a > 1) quay xung quanh trục Ox
x
x
2

Cho hình phẳng ( D ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e trục Ox và hai đường thẳng x = 0,

x = 1 . Viết cơng thức tính thể tích V của khối trịn xoay khi quay hình ( D ) quay quanh trục Ox.

Page 110


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 8:

Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn bởi
các đường

Câu 9:

y=
x 2 − 2 x, y =
0, x =
0 và x = 1.

Cho hình ( H ) giới hạn bở đồ thị ( C ) : y = x ln x , trục hoành và các đường thẳng x = 1 ,

x = e.

Tính thể tích của khối trịn xoay được tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành.

=
y f=
Dạng 2. Thể tích khối trịn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường
( x) , y g ( x) ,
thức: V π
, x b khi quay quanh trục Ox được tính bởi cơng =
=
x a=

b

∫

f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx .

a

Câu 1:

Thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol

( P) : y = x 2 và đường

thẳng d : y = 2 x quay xung quanh trục Ox bằng:

Câu 2:

Tính thể tích khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số

=
y x 2 − 2 x và

y = − x 2 quay quanh trục Ox .
Câu 3:

Thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

=
y 0,y
= x ln( x + 1) và x = 1 xung quanh trực Ox là:
Câu 4:

Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các đường

y = x 2 và x = y2 quay

quanh trục Ox bằng bao nhiêu?
Câu 5:

Thể tích khối trịn xoay khi quay quanh trục hồnh phần hình phẳng giới hạn bởi 2
đường

y = x 2 và y = x là

Page 111

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

III

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
I

LÝ THUYẾT.
I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Định lý 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục, không âm trên  a; b  . Khi đó diện tích S của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và 2 đường thẳng=
x a=
, x b là:
b

S = ∫ f ( x)dx
a

2. Bài tốn liên quan
Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn a;b  ,
trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S =

b

∫ f (x ) dx
a

y

y = f (x)

O

a c1

c2

y = f (x)

y = 0
(H ) 
x = a
x = b


c3 b x

S =

b

∫ f (x ) dx
a

Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x ) , y = g(x ) liên tục trên
đoạn a;b  và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định:
S
=
y

(C2 )

a c1

c2

∫ f (x ) − g(x ) dx
a

(C1 ) : y = f1 ( x )

(C ) : y = f2 ( x )
(H )  2
x = a
x = b


(C1 )

O

b

b

x

=
S

b

∫ f (x ) − f (x ) dx
1

2

a

Chú ý:
Page 1


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
- Nếu trên đoạn [a;b ] , hàm số f (x ) không đổi dấu thì:

b

∫

f (x ) dx =

a

b

∫ f (x )dx
a

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Bài tốn 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y ) , x = h(y ) và hai đường
thẳng y = c , y = d được xác định:
=
S

d

∫ g(y ) − h(y ) dy
c

Bài tốn 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị (C1 ) : f1 ( x) , (C2 ) : f2 ( x) là:

=
S

xn

∫

x1

f ( x) − g( x) dx . Trong đó: x1 , xn tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

f ( x) = g( x)
II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRỊN XOAY
1. Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại các điểm a và b;
S (x ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm x ,
(a ≤ x ≤ b) . Giả sử S (x ) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b ] .

(V )
O

x

a

b

x

V

b

= ∫ S (x )dx
a

S(x)

2. Thể tích khối trịn xoay
Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f (x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox:

y

y = f (x)

O

a

b

(C ) : y = f ( x )

b
2
(Ox ) : y = 0
Vx = π ∫ [ f ( x )] dx

x x = a
a
 x = b

Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
x = g(y ) , trục hoành và hai đường thẳng y = c , y = d quanh trục Oy:

Page 2


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

y

d

O

c

(C ) : x = g( y )

(Oy ) : x = 0

y = c
 y = d

x

d

V y = π ∫ [ g ( y )] dy
2

c

Bài tốn 3: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
b

Ox: V π ∫ f 2 (x ) − g 2 (x ) dx
y = f (x ) , y = g(x ) và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục=
a

II

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Dạng 1: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi=
y f ( x), Ox=
, x a=
, x b.
Phương pháp Giải theo phương pháp tự luận: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân để tính
tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối .

+) Tính chất: Hàm số y = f ( x ) liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó, ta có
b

c

b

a

a

c

f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
∫=

Phương pháp trắc nghiệm:

y f ( x ) , Ox=
, x a=
, x b.
- Xác định các yếu tố cần thiết như cơng thức=
- Sử dụng chức năng tính tích phân có sẵn trong máy tính Casio để tính.
Chú ý: Nếu đề bài chưa cho=
x a=
, x b thì ta cần giải phương trình hồnh độ giao điểm

f ( x ) = 0 để tìm cận tích phân.
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 4 , trục hoành và hai đường thẳng

x = −1 , x = 3

Lời giải

x5
35 ( −1)
244
=
=
=−
=
x
dx
x
dx
Diện tích hình phẳng cần tìm là: S =
∫−1
∫−1

5 −1 5
5
5
3

3

4

3

5

4

Giải theo phương pháp trắc nghiệm

S
=
Sử dụng máy tính Casio tính tích phân

3

x dx
∫=

−1

Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 1 −
tích là

4

244
5

1
1
, trục Ox và hai đường thẳng=
x =
, x 2 có diện
2
x
2
Page 3


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Lời giải
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2
1 2
2 2
x2 −1
1
x −1
x −1
S=
1
−

dx
=
dx
=
−
dx
+
∫1 x 2
∫1 x 2
∫1 x 2
∫1 x 2 dx
2

2

2

2

1
2
1 
1 
1
1 2




=

− ∫ 1 − 2  dx + ∫ 1 − 2  dx =
− x +  1 +  x +  =
1
x 
x 
x
x 1


1
1
2
2
1

⇒ Chọn đáp án D
Giải theo phương pháp trắc nghiệm
2

Sử dụng máy tính Casio tính tích phân S =
∫ 1−
1
2

1
dx =
1
x2

y 2 x 2 − x 4 và trục hồnh

Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số=
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

x = 0
2 x 2 − x 4 =0 ⇔ x 2 ( 2 − x 2 ) =0 ⇔ 
x = ± 2
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
0

S=

∫

2 x 2 − x 4 dx +

2

∫

2 x 2 − x 4 dx =

0

− 2
0

 x3 x5 
= 2 − 
 3 5 −

0

∫

( 2 x 2 − x 4 ) dx +

− 2

2

∫ ( 2x

2

− x 4 ) dx

0

2

2

 x3 x5 
16 2
+2 −  =
15
 3 5 0

Giải theo phương pháp trắc nghiệm

+)Tìm hồnh độ giao điểm tương tự như trên
+) Sử dụng máy tính Casio tính tích phân
=
S

2

∫

2 x 2 − x 4 dx

− 2

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , ( a, b, c ∈ , a ≠ 0 ) có đồ thị ( C ) . Biết rằng đồ thị ( C )
tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hồnh độ âm và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho bởi
hình vẽ dưới đây:

Page 4


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) và trục hoành.
Lời giải

x ) 3x 2 − 3 .
Từ đồ thị suy ra f ′ (=
f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 3 x 2 − 3) dx = x 3 − 3 x + C .

Do ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hồnh độ x0 âm nên

f ′ ( x0 ) = 0 ⇔ 3 x02 − 3 = 0 ⇔ x0 = −1 .
Suy ra f ( −1) = 4 ⇔ C = 2 ⇒ ( C ) : y = x 3 − 3 x + 2

 x = −2
Xét phương trình x3 − 3 x + 2 = 0 ⇔ 
.
x = 1
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Câu 5:

∫

1

−2

27
x3 − 3 x + 2 dx = .
4

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos 2 x , trục hoành, đường thẳng x = 0 và
x = π là.

Lời giải
π

π

0

0

2
Diện tích S cần tìm: S =
∫ cos xdx =
∫

Câu 6:

1 + cos 2 x
1 π sin 2 x π π
dx =x +
=.
2
2 0
4 0 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số =
y x3 − 4 x , trục hoành, đường thẳng x = −2
và x = 4 là
Lời giải
4

Diện tích cần tìm S = ∫ x3 - 4 x dx
-2

 x=0
Ta có: x3 − 4 x =x x 2 − 4 =0 ⇔ 
 x = ±2

(

Vậy S =

∫

0

-2

)

2

4

0

2

x 3 − 4 x dx + ∫ x 3 − 4 x dx + ∫ x 3 − 4 x dx
Page 5


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

 x4
x2  0  x4 4x2  2  x4
x2  4

4
=  −4 
+ −
+
−


 = 44 .
2  −2  4
2 0  4
2 2
 4
Câu 7:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x) =

x = 1 và x = 2 là.

x −1
, trục hồnh, hai đường thẳng
x

Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm:
2

∫

Suy ra
S

=

1

Câu 8:

x −1
dx
=
x

2

x −1
dx
∫1 x =

x −1
= 0 ⇔ x =1
x
2

2

 1
)
 ( x − ln x=
∫ 1 −=
1
x

1 − ln 2 .

1

[2D3-5.7-2] Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ 0; 4] như hình vẽ và có diện tích
4

11
9
. Tính tích phân I = ∫ f ( x )dx
=
S1 =
, S2
6
2
0

Lời giải
4

11 9
8
Dựa vào đồ thị ta có I =
∫0 f ( x )dx =S1 − S2 =6 − 2 =− 3 .

Câu 9:

Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) trên đoạn

[ −2; 2]

như hình vẽ ở bên và có diện tích

2

22
76
. Tính tích phân I = ∫ f ( x )dx
, S=
S=
S=
1
2
3
15
15
−2

Lời giải
Ta có I =

2

∫ f ( x )dx = S

-2

Câu 10:

3

− S1 − S 2 =

76
22 32
− 2. =
.
15
15 15

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x 2 , trục hoành và hai đường thẳng
x=
−1, x =
3 là.

Lời giải

Page 6


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
3

0

3

-1

-1

0

Ta thấy x 2 ≥ 0 ∀x nên diện tích S cần tìm bằng S = ∫ x 2 dx = ∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx =
Câu 11:

28
.
3

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số=
y sin x + 1, trục hoành và hai đường thẳng

x = 0 và x =

7π
là.
6
Lời giải

 7π 
Ta thấy sin x + 1 ≥ 0 ∀x ∈  0;
 nên diện tích S cần tìm bằng:
6 

S
=

Câu 13:

7π
6
0

∫

sin x + 1=
dx

7π
6
0

∫ ( sin x + 1)dx

7π 7π

=  − cos
+
6
6


3 7π

+
+ 1.
 − ( − cos 0 + 0 ) =
2

6


=
Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm
số y x.ln ( 3 x + 1) , trục hoành
và hai đường thẳng=
x 0;=
x 1
Lời giải
Giải theo phương pháp tự luận:
Ta có: Diện tích hình phẳng cần tìm
là: S
=

1

∫ x.ln ( 3x + 1) dx
0

=
u ln ( 3 x + 1) và dv = xdx suy ra du =
Đặt

9x2 −1
3
dx ; chọn v =
18
3x + 1
1

1

1
9x2 −1
3 3
4
1 8
1

Do đó S= ∫ x ln ( 3 x + 1)dx=
ln ( 3 x + 1) 0 −  x 2 − x  =
ln 4 − =
ln 2 −
18
18  2
12 9
12
0 9
0

Câu 14:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e x , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x = 2
là.
Lời giải
Ta có: e x = 0 ⇔ x = 1 . Vậy S=

Câu 15:

∫

2

0

e x dx= e x |02= e 2 − 1 .

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y x 4 − 2 x 2 + 1 và trục Ox
=
Lời giải
PT hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y =x 4 − 2 x 2 + 1 và trục Ox là x 4 − 2 x 2 + 1 =0 ⇔ x =±1 .
Suy ra diện tích hình phẳng cần tính bằng S =

1

∫(x

4

− 2 x 2 + 1)dx =

-1

16
.
15

Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

− x3 + 3 x 2 và trục hoành là.
Lời giải

Page 7


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

x = 0
Đặt (C ) : y =
− x3 + 3 x 2 . Phương trình hồnh độ giao điểm: − x3 + 3 x 2 = 0 ⇔ 
x = 3
 x4
 3 27
Khi đó: S = ∫ − x + 3 x dx = ∫ ( − x + 3 x )dx =  − + x 3  = .
 4
0 4
0
0
3

3

3

2

3

2

− x 2 + 2 x và trục hoành là:
Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y =
Lời giải

x = 0
Phương trình hồnh độ giao điểm: − x 2 + 2 x =0 ⇔ 
x = 2
2

2

2

 x3

4
Ta có: S =∫ − x + 2 x dx =∫ ( − x + 2 x ) dx = − + x 2  =
 3
0 3
0
0
Câu 18:

2

2

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 + x − =
5 0, x + y − =

3 0
Lời giải
 y2 + x − 5 = 0
x = 5 − y2
Hình phẳng giới hạn bởi 
⇔
x + y − 3 = 0
x = 3 − y
 y = −1
Xét phương trình: 5 − y 2 = 3 − y ⇔ 
y = 2
2

∫

Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: S=

−1

2

 y3 y 2

y − y − 2 dy=  − − 2 y  = 4,5
2
 3
 −1
2

Câu 19: Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = x 2 − 4 x + 4 , trục tung và trục hoành. Xác

định k để đường thẳng ( d ) đi qua điểm A ( 0; 4 ) có hệ số góc k chia thành hai phần có diện
tích bằng nhau.
Lời giải
y
4

O B1 I
d

x

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 4 và trục hoành là:
x2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ x = 2

Diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = x 2 − 4 x + 4 , trục tung và trục hoành
là: S =

2

∫
0

2

2

 x3

8
x − 4 x + 4 dx = ∫ ( x − 4 x + 4 ) dx =  − 2 x 2 + 4 x  = .

 3
0 3
0
2

2

Page 8


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm A ( 0; 4 ) có hệ số góc k có dạng: =
y kx + 4 .

 4 
Gọi B là giao điểm của ( d ) và trục hồnh. Khi đó B  − ; 0  .
 k

Đường thẳng ( d ) chia ( H ) thành hai phần có diện tích bằng nhau khi B ∈ OI và

4

0<− <2

k < −2
1
4

k
⇔

⇔
⇔k=
−6 .
S ∆OAB
= =
S
−6
1
1 −4 4
k=
2
3


=
=
.OB =
.4.
S
OA
 ∆OAB 2
2
k 3
2. Dạng 2: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
=
y f ( x),=
y g ( x),=
x a=
, x b.

Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: ( C1 ) : y = f ( x )

( C2 ) : y = g ( x )

và hai đường thẳng=
, x b được xác
x a=

định bởi công thức:
=
S

b

∫ f ( x ) − g ( x ) dx .
a

Chú ý: Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
* Giải phương trình: f ( x ) = g ( x ) tìm nghiệm x1 , x2 ,..., xn ∈ ( a; b ) , ( x1 < x2 < ... < xn ) .
Tính: S =

∫

x1

a

f ( x ) − g ( x ) dx + ∫

x2

x1

f ( x ) − g ( x ) dx +... + ∫

b

xn

f ( x ) − g ( x ) dx

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx + ... + ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx .

=

x1

b

a

xn

Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 – x 2 và y = x và các đường thẳng
−2, x =
x=
1
Lời giải

Diện tích hình phẳng S =

1

∫

1

∫ (− x

− x 2 − x + 2 dx =

−2

2

− x + 2) =

−2

9
2

y x3 + x; y = 2 x và các đường thẳng
Câu 2: . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số =
x=
−1, x =
1 được xác định bởi công thức.

Lời giải

x = 0
Giải theo phương pháp tự luận: GPT hoành độ giao điểm của hai đồ thị: x − x3 ⇔ 
 x = ±1
1

0

1

0

1

0

1

−1

−1

0

−1

0

−1

0

S =∫ x − x3 dx =∫ x − x3 dx + ∫ x − x3 dx =∫ ( x − x3 )dx + ∫ ( x − x3 )dx =∫ ( x 3 − x)dx + ∫ ( x − x 3 )dx
Page 9


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
x= 3, x= e + 2 được tính bằng:

2x +1
; tiệm cận ngang và hai đường thẳng
x−2

Lời giải
+ Tiệm cận ngang y = 2
+ Đồ thị hàm số không cắt tiệm cận
e+2

∫

⇒=
S

3

Câu 4:

2x +1
− 2 dx

=
x−2

e+2

∫
3

e+2
5
= 5ln x − 2 3 = 5
dx
x−2

Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x 2 , =
y 2 x + 3 và hai đường x = 0, x = 2 . Cơng
thức nào sau đây tính diện tích hình phẳng ( H ) ?
Lời giải
Áp dụng lý thuyết: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: ( C1 ) : y = f ( x ) ,

( C2 ) : y = g ( x )
=
S

và hai đường thẳng=
, x b được xác định bởi công thức:
x a=

b

∫ f ( x ) − g ( x ) dx .
a

Khi đó diện tích hình phẳng H =

2

∫x

2

− 2 x − 3 dx

0

Câu 5:

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y =
x3 , y =
2 − x2 , x =
0.
Lời giải
Ta có x 3 = 2 − x 2 ⇔ x 3 + x 2 − 2 = 0 ⇔ x = 1
⇒ S=

1

∫
0

Câu 6:

 x 4 x3
 1 17
.
x 3 + x 2 − 2 dx=  + − 2 x  =
 4 3
 0 12

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) : y =
và đường thẳng x = 2.

x+2
, tiệm cận ngang của ( C ) , trục tung
x +1

Lời giải
Ta có: (C ) : y =
Diện tích: S =
Câu 7:

x+2
. Tiệm cận ngang của ( C ) : y = 1.
x +1

 x+2 
∫0  x + 1 − 1 dx =
2

∫

2

0

1
dx = ln( x + 1)
x +1

1
0

= ln 2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C ) : y =
hai đường thẳng =
x 1,=
x 3.

2x +1
, tiệm cận ngang của (C ) và
x +1

Lời giải
Ta có: (C ) : y =

2x +1
. Tiệm cận ngang của ( C ) : y = 2
x +1
Page 10

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Diện tích: S =

 2x +1 
∫1  x + 1 − 2  dx =
3

∫

3

1

−1
dx = ln( x + 1)
x +1

3
1

= ln 2.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( P ) : y = x 2 − 2 x + 2, trục tung, tiếp tuyến của ( P )

Câu 8:

tại M ( 3;5 ) là:
Lời giải

Ta có y ' = 2 x − 2 ⇒ y ' ( 3) = 4

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y − 5= 4 ( x − 3) hay =
y 4x − 7
Diện tích cần tìm là: S=
=

Câu 9:

∫ (x
3

0

2

− 6 x + 9 )dx=

3

∫ ( x − 2 x + 2 ) − ( 4 x − 7 )dx
0

3

− 3) dx
∫ ( x=
2

0

x − 3) 3
(=
3

3

0

9.

y x 2 + 1 , tiếp tuyến với đường này tại điểm
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: =
M ( 2;5 ) và trục Oy .
Lời giải

y' =
f ' ( x ) =⇒
2x
f ' ( 2) =
4
Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M ( 2;5 ) ∈ ( P ) là: y − 5 = 4 ( x − 2 ) ⇔ y = 4x − 3
S=

2

2
∫ ( x + 1 − 4 x + 3) dx=
0

2

2
∫ ( x − 4 x + 4 ) dx=
0

2

∫ ( x − 2)

2

dx

0

Page 11


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Đặt u = x − 2 ⇒ du = dx

0 ⇒ u =−2
Đổi cận x = 2 ⇒ u = 0 ; x =
0

0

u3

8
=
S ∫ u=
du =
đvdt.
Do đó:
3
3
−2
−2
2

3. Dạng 3: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn =
bởi y f=
( x), y g (x).
Phương pháp giải:
Dạng: Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) liên tục trên đoạn [ a;b] . Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường y = f ( x ) và y = g ( x=
) là S

β

∫α f ( x ) − g ( x ) dx . Trong đó α , β

là

nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f ( x ) = g ( x ) ( a ≤ α < β ≤ b )
Cách giải:
Bước 1: Giải phương trình f ( x ) = g ( x ) tìm các giá trị α , β .
Bước 2: Tính

=
S

β

∫α f ( x ) − g ( x ) dx .

thì S
Chú ý: Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) ∀x ∈ [ a; b]=

b

∫  f ( x ) − g ( x ) dx
a

Page 12


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 ; y= x + 2 bằng?
Lời giải
 x = −1
Ta có x 2 = x + 2 ⇒ 
x = 2
Do đó: S=

2

∫

x 2 − x − 2 dx=

−1

2

∫ ( 2 + x − x )dx=
2

−1

9
2

Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y  x 2  4x  5 và hai tiếp tuyến của ( P ) tại các
điểm A 1; 2 , B 4;5 là:
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến với ( P ) tại A (1; 2 ) là y =
−2 x + 4
Phương trình tiếp tuyến với ( P ) tại B ( 4;5 ) là y = 4 x –11
Giao của hai tiếp tuyến có hồnh độ x =

5
2

Xét phương trình x 2 − 4 x + 5 =−2 x + 4 ⇒ x =1
Xét phương trình x 2 − 4 x + 5 = 4 x − 11 ⇒ x = 4
Do đó: S =

5

2

∫x

2

− 4 x + 5 + 2 x − 4 dx + ∫ x 2 − 4 x + 5 − 4 x + 11dx =
5
2

1

Câu 3:

4

9
4

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =x + 3, y =x 2 − 4 x + 3 là:
Lời giải
x = 0
Ta có: x + 3 = x 2 − 4 x + 3 ⇔ x 2 − 5 x = 0 ⇔ 
x = 5
5

5

 x3
x2 

125
Do đó: S =∫ x − 5 x dx = − 5  = .
2 0
6
 3
0
Câu 4:

2

3
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi=
, y 4 x là:
y x=

Lời giải
Ta có: x 3 =4 x ⇔ x =−2, x =0, x =2
Suy ra: S =

0

∫ (x

−2

3

− 4 x ) dx +

2

∫(x

3

− 4 x ) dx = 8

0

Page 13


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Nếu trong đoạn [α ; β ] phương trình f ( x ) = g ( x ) khơng cịn nghiệm nào nữa thì ta có thể
β

β

α

α

dùng cơng thức S =
∫ f ( x ) − g ( x ) dx =
∫  f ( x ) − g ( x )dx .
Câu 5:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường =
y x 3 − 12 x và y = x 2 là:
Lời giải

 x=0
Ta có: x − 12 x =
−3
x ⇔ x =

 x = 4
3

Do đó: S =

2

4

∫

x 3 − 12 x − x 2 dx =

−3

=

0

∫ (x

3

∫

−3

− 12 x − x ) dx +
2

−3

Câu 6:

0

4

∫(x

3

4

x 3 − 12 x − x 2 dx + ∫ x 3 − 12 x − x 2 dx
0

− 12 x − x 2 ) dx =

0

937
.
12

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 + x − 1, y = x 4 + x − 1 là:
Lời giải
 x=0

Ta có: x + x − 1 = x + x − 1 ⇔ x − x = 0 ⇔ x = 1

 x = −1
2

4

1

4

1

2

1

 x5 x3 
4
Do đó: S = ∫ x − x dx = 2 ∫ ( x − x ) dx = 2  −  = .
3  0 15
 5
0
−1
Câu 7:

4

2

4

2

2
2 x,=
y 2 x − 2 là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=

Lời giải
Ta có: ( 2 x − 2 )
1
2

Do đó:
S 2∫
=
0

Câu 8:

2

x =2
= 2 x ⇔2 x − 5x + 2 = 0 ⇔ 
1

x =
2

2

2

2 xdx + ∫  2 x − 2 x + =
2 dx
1
2

4 2
3

3

1
2 2
x 2 +
3
0 

2

9
.
x − x + 2=
x 1
2 4

3

2

0, x + y =
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 2 − 2 y + x =
0 là:
Lời giải
Biến đổi về hàm số theo biến số y là: x =
− y 2 + 2 y, x =
−y
y = 0
Ta có: − y 2 + 2 y − ( − y ) = 0 ⇔ 
y =3
Page 14


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
3

3

9
Do đó: S =∫ − y + 3 y dy =∫ ( − y 2 + 3 y ) dy = .
2
0
0
2

Gọi S là diện tích mặt phẳng giới hạn bởi parabol y = x 2 + 2 x − 3 và đường thẳng =

y kx + 1

Câu 9:

với k là tham số thực. Tìm k để S nhỏ nhất.
Lời giải
Ta có x 2 + 2 x − 3 = kx + 1 ⇔ x 2 − ( k − 2 ) x − 4 = 0
 x + x =k − 2
Do ac =−4 < 0 PT trên ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  1 2
 x1. x2 = −4

Giả sử x1 < x2 ⇒ S=

=

x2

 x3 k − 2 2
 x2
−
−
−
=
−
−
2
4
4
x
k

x
dx
x
x
(
)
(
)


∫
2
 3
 x1
x1
2

1 3
k −2 2
x2 − x13 ) −
(
( x2 − x12 ) − 4 ( x2 − x1 ) =
3
2

( x2 + x1 )

=

2

( x2 − x1 )

1 2
k −2
 x1 + x22 + x1. x2  −
( x1 + x2 ) − 4
3
2

1
k −2
2
− 4 x1. x2 ( x2 + x1 ) − x1. x2  −
( x1 + x2 ) − 4 =

3
2

(k − 2)

2

+ 16

(k − 2)
6

2

+

8
3

Vậy S nhỏ nhất khi k = 2 .
THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY
Dạng 1: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) ,
trục hoành và hai đường thẳng x = a , x  b quanh trục Ox :
Phương pháp giải:
y

y = f (x)

O

a

b

(C ) : y = f ( x )

b
2
(Ox ) : y = 0
Vx = π ∫ [ f ( x )] dx

x x = a
a
 x = b

Chú ý:
- Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ) ,
trục hoành và hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy:
y

d

O

c

x

(C ) : x = g( y )

(Oy ) : x = 0

y = c
 y = d

d

V y = π ∫ [ g ( y )] dy
2

c

Page 15

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 1: Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e

x
2

x , x =1, x = 2

và y = 0 quanh trục Ox là:
Lời giải
2

V = π ∫ xe x dx= π ( x.e x − e x ) = π e 2
1
2

1

y 2 x − x 2 và y = 0 . Tính thể tích vật thể
Câu 2: Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số =
trịn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox .
Lời giải
Phương pháp: cơng thức tính thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng=
x a=
, x b ( a < b ) quay xung quanh trục Ox là
b

V = π ∫ f 2 ( x )dx

a

2
x = 0
Cách giải: ta có: 2 x − x 2 =0 ⇔ 
⇒ V =π ∫ 2 x − x 2
0
x = 2

(

)

2

dx

2
 4 x3
x 5  2 16π
= π ∫ 4 x 2 − 4 x3 + x 4 =
− x4 + =
dx π 

5  0 15
 3
0

(

)

Câu 3: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x ln x , trục hoành và đường thẳng x = e quay quanh Ox

Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của ( C ) với trục Ox là x ln x = 0 ⇔ x = 1

u = ln x
dx
x3
Thể tích khối trịn xoay cần tính là V = π ∫ x ln xdx. Đặt 
⇔ du=
; v=
2
x
3
dv = x dx
1
4

2

4

4

4 2
 x3 .ln x x3 
x3 .ln x

x
e 3 e 3 1 2e 3 + 1
V=
− ∫ dx = 
−  =
− + =
3 1 1 3
3
9
3
9 9
9

1

Câu 4:

y x 2=
; y 0;=
x 2 . Tính thể tích V ủa khối trịn
Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường=
xoay thu được khi quay ( H ) quanh trục Ox .
Lời giải
2

2

x5
32π
x dx π=

.
Thể tích cần tính=
là V π ∫=
5 0
5
0
Câu 5:

4

4 − x2 , y =
0 . Tính thể tích V của khối trịn
Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y =
xoay hình thành khi cho ( H ) quay xung quanh Ox
Lời giải
Page 16