Ứng dụng của tích phân trong hình học

1/ Nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn
bởi : đths y = f(x)
≥
0 liên tục trên [a;b], Ox, x = a, x = b.
S = F(b) – F(a)
(Với F(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên [a;b])
2/ Nhắc lại công thức Niutơn-Laipnit (Định nghĩa tích phân xác đinh)
∫
b
a
f(x).dx
= F(b) – F(a)
= F(x)
|
a
b
y = f(x)
a
b
O
y
x
S =
∫
b
a
f(x).dx
BÀI CŨ
Vậy:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục, y = f(x)

≤
0 trên [a;b], thì
diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), Ox, x = a, x =
b được tính như thế nào?.
Hình vẽ 1
( )
b
a
S f x dx= −
∫
TH1: f(x)≥0 trên đoạn [a;b]:
TH2: f(x) ≤ 0 trên đoạn [a;b] :
( )
b
a
S f x dx
=
∫
TÓM LẠI:
Vậy:
( )
b
a
S f x dx
=
∫
Diện tích hình phẳng giới
hạn bởi ĐTHS y = f(x),
trục Ox và hai đường
thẳng

x = a; x = b
Bài 3:
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG HÌNH HỌC
a b
y=f(x)
X
y
O
(1)
1/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y=f(x)
liên tục trên [a; b], hai đường thẳng x = a, x = b và Ox là:
I) Diện tích của hình phẳng:
S =
∫
b
a
|f(x)|.dx
Chú ý 1: Khi áp dụng cơng thức (1) ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm
dưới dấu tích phân bằng cách xét dấu biểu thức f(x):
- Giải phương trình f(x) = 0 tìm các nghiệm trên [a; b].
-
Lập bảng xét dấu (nếu cần)
- Khử dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 1:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y= sinx ,
trên đoạn [0;2π] vàOx
x
y
O

π
2π
Ta có:
V y S ậ =
∫
π
0
sinx.dx sinx.dx
-
∫
2π
π
= -cosx
|
0
π
+ cosx
|
π
2π
= 4 (đ.v.d.t)
x 0
y=sinx 0 + 0 - 0
π
2
π
sinx 0 (0; 2 )x
π π
= ⇔ = ∈
BXD:

Diện tích của hình phẳng cần tìm là:
S =
∫
2π
0
|sinx|.dx
Ví dụ 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị h/s ,
trục hoành và 2 đường thẳng x = -2 , x=1
Lời giải
3
y x
=
( )
1 0 1
3 3 3
2 2 0
0 1
3 3
2 0
0 1
4 4
2 0
x dx= x dx x dx
S -x dx x dx
x x 17
S .
4 4 4
S
− −

−
−
= +
= +
= − + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Hình vẽ 2
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hai hàm số y = f(x),
y = g(x) liên tục trên [a;b] và hai đường thẳng x = a; x = b được
tính theo công thức:
I) Diện tích của hình phẳng:
(2)
S =
∫
b
a
|f(x)- g(x)|.dx
y

=

f
(
x
)
y

=

g
(
x
)
O
a
b
x
y
- Giải phương trình f(x) – g(x) = 0

tìm các nghiệm trên [a; b], giả sử có n
nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
thuộc [a; b] , (x
1
< x
2
< …< x
n
)
-
áp dụng:
Chú ý 2: Khi áp dụng cơng thức (2)
ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối của

hàm dưới dấu tích phân bằng cách:
( ) ( ) ( )
1 2
1
1 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
n
x x
b
a x x
x x
b
a x x
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
f x g x dx f x g x dx f x g x dx
= − + − + + −
= − + − + + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Ví dụ 3:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
sau: y = x
3
-3x và y = x
Giải :
Xét PT hđộ gđiểm:
⇔ x

3
- 4x = 0
⇔
x
3
-3x = x
x= 0
x= 2
x= -2
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
S=
|x
3
- 4x|.dx
2
-2
∫
(x
3
- 4x)dx
=
0
-2
∫
|
|
+
0
(x
3

- 4x)dx
∫
|
|
2
=
-2x
2
)
4
x
4
|
(
|
0
-2
|
+
-2x
2
)
4
x
4
|
(
|
2
0

|
= |- 4+8 |
+ | 4-8 |
= 8 (đ.v.d.t)
Hình vẽ 3
3
3y x x
= −
3
3y x x
= −
* Chú ý 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường
thì chia diện tích ra nhiều vùng nhỏ rồi sử dụng công thức (2)
y = f(x)
y = g(x)
y = h(x)
Ví dụ:
( ) ( ) ( ) ( )
c b
a c
f x h x dx g x h x dx
= − + −
∫ ∫
S
1
S
2
1 2
S S S
= +

1
1
4
3
1
0
0
2
1 2
1
x dx =
4 4
. 1
S
2 2
3
S
4
MAB
x
S
MA AB
S
S S
∆
= =
= = =
⇒ = + =
∫
Ví dụ 4:

Tính dthp giới hạn bởi:
Đồ thị h/s , trục hoành
và đường thẳng y=-x+2
3
y x
=
2y x
= − +
3
y x
=
2y x
= − +
1
S
2
S
Lời giải
1
1
4
3
1
0
0
2
1 2
1
x dx =
4 4

. 1
S
2 2
3
S
4
MAB
x
S
MA AB
S
S S
∆
= =
= = =
⇒ = + =
∫
3
y x
=
II) Theồ tớch ca caực vaọt theồ:
1/ Coõng thửực tớnh theồ tớch c a m t v t th
Hỡnh v 4
( )
b
a
V S x dx
=

Ct vt th bi hai mt phng

v vuụng gúc vi trc Ox ti
x = a v x = b dng mt phng

Vuụng gúc vi vi trc Ox ti x
ct vt th theo thit
din l S(x), gi s S(x) l mt hm
s liờn tc trờn [a; b]
Khi ú: Th tớch ca vt th l:
( )

( )

( )

( )a x b
(3)
Ví dụ 5
: Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng
B và chiều cao bằng h.
S(x)=B
h
x
O
x
Giải:
Chọn trục Ox song song với đường
cao của khối lăng trụ, còn hai đáy
nằm trong hai mặt phẳng vuông
góc với Ox tại x=0 và x=h.
Vậy một mặt phẳng tuỳ ý vuông

góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo
thiết diện có diện tích không đổi
S(x)=B; (0< x <h).
Áp dụng CT (1) ta có:
BhBxdxxSV
h
hh
===
∫∫
0
00
)(
2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt
x
O
B
S(x)
h
x
a) Cho khối chóp có diện tích đáy bằng B và
a) Cho khối chóp có diện tích đáy bằng B và
chiều cao bằng h. Tính thể tích khối chóp đó.
chiều cao bằng h. Tính thể tích khối chóp đó.
Ta có:
Ta có:
( )
h
o
V S x dx=
∫

Xét phép vị tự:
Xét phép vị tự:


( ) ( )
2
2
2 3
2 2
0
0
:
3
x
h
O
h
h
x
V B S x S x B
h
B B
V x dx x
h h
Bh
→ ⇒ =
⇒ = =
=
∫
A

α
2
3 3
2 2
2 2
2
2
2
' '
( )
3
( ) ( )
.
3
à: ' à ê
( )
3
b
a
x B
V B dx b a
b b
b a a ab b
B
b
a
M B B v h b a n n
b
h
V B BB B

= = −
− + +
=
= = −
⇒ = + +
∫
b) Từ công thức và cách tính thể tích khối chóp, hãy xác
b) Từ công thức và cách tính thể tích khối chóp, hãy xác
định công thức tính thể tích khối chóp cụt tạo bởi khối chóp
định công thức tính thể tích khối chóp cụt tạo bởi khối chóp
đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B’, B và chiều cao
đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B’, B và chiều cao
bằng h
bằng h
Ta có
Ta có
:
:
O
B
B
x
N
M
a
b
OM=a; ON=b (a<b); MN=h
,
S
Với f(x) là một hàm xđ và liên tục trên [a; b]

III) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox
= π
∫
b
2
a
V f (x)dx
- Quay hình (H) quanh trục Ox thì
tạo thành một vật thể tròn xoay T.
- Thiết diện của vật thể T, với mp
vuông góc với Ox tại điểm x, là một
hình tròn bán kính R = f(x)
Diện tích thiết diện: S(x) = π.f
2
(x)

Thể tích V của vật thể:
( )
b
a
V S x dx
=
∫
Vậy:
Hình vẽ 5
( )
( ) : 0
;
y f x
H y

x a x b
=


=


= =

1. Hình
(4)
Ví dụ 6:
1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình
ph ng giới hạn bởi đồ thò hàm số y= sinx v i tr c ẳ ớ ụ
Ox, trên đoạn [0;π] quay quanh Ox.
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là:
sin
2
xdx
∫
π
0
π =
0
∫
π
π
dx
2
cos2x-1

V =
|
0
π
(x - )
2
sin2x
=
2
π
= (đ.v.t.t)
2
π
2
Hình vẽ 6.1
Lời giải
2. Tính thể tích giữa y= x
2
-4x quay quanh Ox, với 1 ≤ x ≤ 4
4
1
345
x
3
16
+x2-x
5
1
= )(π
15

619
=
π
( )
∫
4
1
234
dxx16+x8-x= π
( )
∫
4
1
2
2
dxx4-x=V
π
(ñ.v.t.t)
Ví duï 6:
Lời giải
Hình vẽ 6.2
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là:
= π − π
∫ ∫
b b
2 2
a a
V f (x)dx f (x)dx
Nếu f(x) – g(x)
không đổi dấu trên [a,b] thì

thể tích của vật thể được
tính bởi công thức:
Với f(x), g(x) là 2 hàm số xđ và liên tục trên [a; b]
III) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox
( )
( ): ( )
;
y f x
H y g x
x a x b
=


=


= =

2. Hình
Hình vẽ 7
Cho hình phẳng
2
2
1
( ) :
4
5
y x
H
y x x


=



= − +

Ví duï 7:
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục
Ox
Lời giải

III) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox
( )
( ): ( )
( )
y f x
H y g x
y h x
=


=


=

3. Hình
Hình vẽ 8
2 2 2 2

1 2
( ) ( ) ( ) ( )
c c b b
a a c c
V V V g x dx h x dx g x dx f x dx
π π π π
   
= + = − + −
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫ ∫
Chẳng hạn các hàm số y=f(x), y=g(x), y=h(x) có đồ thị như hình vẽ:

IV) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Oy
= π
∫
b
2
a
V f (y)dy
Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra
khi quay hình (H) quanh trục Oy là:
Hình vẽ 9
( )
( ): 0
;
x f y
H x
y a y b
=



=


= =

Hình
Đọc thêm SGK – nâng cao
CỦNG CỐ
ƯNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH
PHẲNG (H)
TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
TRÒN XOAY SINH RA KHI
QUAY (H) QUANH TRỤC Ox
(H) giới hạn bởi các đường
y = f(x), y = 0, x = a, x = b
( )
b
a
S f x dx
=
∫
(H) giới hạn bởi các đường
y = f(x), y = g(x), x = a, x = b
( ) ( )
b
a
S f x g x dx

= −
∫
(H) giới hạn bởi các đường
y = f(x), y = 0, x = a, x = b
2
( )
b
a
V f x dx
π
=
∫
(H) giới hạn bởi các đường y
= f(x), y = g(x), x = a, x = b, (nếu f(x)-
g(x) không đổi dấu trên [a; b])
2 2
( ) ( )
b b
a a
V f x dx g x dx
π π
= −
∫ ∫
Mở rộng: Nếu (H) là hình phẳng
gới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số
thì ta chia (H) thành nhiều hình
nhỏ rồi áp dụng công thức (2)
(1)
(2)
(3)

(4)
Ngoài ra trong chương trình nâng cao
còn gặp dạng toán tính thể tích vật thể
tròn xoay sinh ra khi quay hình (H)
quanh trục Oy