Ứng dụng của tích phân trong hình học (có lời giải chi tiết)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (987.88 KB, 36 trang )
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
CHUYÊN ĐỀ:
Chủ đề 3:
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
Ứng dụng 1:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I. LÝ THUYẾT
Bài toán 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b , trục
b
hoành và hai đường thẳng x = 1, x = b được tính theo công thức S f x dx (1)
a
Minh họa các dạng thường gặp:
f x 0, x a;b
f x 0, x a;b
b
b
S f x dx
S f (x)dx
a
a
Lưu ý:
Bằng cách xem x là hàm số của biến y, tức x g y , diện tích S
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x g y liên tục trên
đoạn a;b , trục tung và hai đường thẳng y = a, y = b được tính
b
theo công thức S g y dy
a
(2)
f x không mang 1 dấu trên
a;b
b
b
a
c
S f (x)dx f x dx
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài toán 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f(x), g(x) liên tục trên a;b và
b
hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức S f x g x dx
(3)
a
Minh họa các dạng thường gặp:
f x g x , x a;b
b
S f x g x dx
a
f x g x , x a;b
b
S g x f x dx
a
f x g x , x a;c ;
f x g x , x c;b ; a c b
c
b
a
c
S f x g x dx g x f x dx
Lưu ý:
Bằng cách xem x là hàm của biến y, diện tích S của hình phẳng
giới hạn bởi các đồ thị hàm số x f y , x g y liên tục trên
đoạn a;b và hai đường thẳng y = a, y = b được tính theo công
b
thức: S f y g y dy (4)
a
Bài toán 3: Hình phảng giới hạn bởi nhiều hơn hai đường cong
Diện tích S của hình phẳng giới hạn các đồ thị được chia thành nhiều phần diện tích, mà mỗi phần ta có thể
tích theo công thức (1), (2), (3) và (4).
Minh họa các dạng thường gặp:
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
f x h x , x a;c
f y g y ; y a;c ;
g x h x , x c;b ; a c b
f y h y ; y c;b ; a c b
c
b
a
c
S f x h x dx g x h x dx
c
b
a
c
S f y g y dy f y h y dy
II. PHƯƠNG PHÁP
Phương pháp 1: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân (thêm cận trung gian) để tính tích phân chứa dấu giá
trị tuyệt đối (GTTĐ).
+) Tính chất: Hàm số y = f(x) liên tục trên K (khoảng đoạn, nửa khoảng) và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K.
b
c
b
a
a
c
Khi đó, ta có f x dx f x dx f x dx
b
Chú ý: Khi áp dụng công thức (3): S f x g x dx , ngoài việc khử dấu GTTĐ như phương pháp đã
a
trình bày ở trên, ta có thể khử dấu GTTĐ theo phương pháp sau:
Bước 1: Giải phương trình
f x g x 0 trên đoạn
a;b
, giả sử có các nghiệm
c,d a;b ; a c d b . Khi đó, f x g x không đổi dấu trên các đoạn a;c , c;d , d;b . Tức là:
b
c
d
b
a
c
d
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx
Bước2:
a
c
d
b
a
c
d
f x g x dx f x g x dx f x g x dx
Phương pháp 2: Phác thảo dạng đồ thị và đưa ra kết quả
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Câu 1:Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
a
b
A. S f x dx
B. S f x dx
C. S f x dx
D. S f x dx
b
a
a
b
b
a
Lời giải:
b
Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả: S f x dx
a
Chọn đáp án D
Câu 2:Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
b
b
B. S f x dx
A. S f x sx
a
a
c
b
c
b
a
c
a
c
C. S f x dx f x dx D. S f x dx f x dx
Lời giải:
Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân và chia đoạn a;b thành hai đoạn thành phần a;c; c;b , ta
c
b
a
c
có kết quả: S f x dx f x dx
chọn đáp án C.
Câu 3:
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ
thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b
như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
b
b
A. S g x dx f x sx
a
a
b
b
a
a
C. S g x dx f x dx
Lời giải: (Chọn B)
b
b
a
a
b
b
a
a
B. S f x dx g x dx
D. S f x dx g x dx
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = f(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x =
b
b S1 f x dx
a
Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = g(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x =
b
b S2 g x dx
a
b
b
a
a
Vậy S S1 S2 f x dx g x dx
Câu 4:
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ
thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b như
hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
c
b
A. S g x f x dx f x g x dx
a
c
b
B. S f x g x dx
a
c
b
C. S f x g x dx g x f x dx
a
c
c
b
a
c
D. S f x dx g x dx
Lời giải: (Chọn C)
Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = f(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x =
c
b S1 f x g x dx
a
Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = g(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x = b
b
S2 g x f x dx
c
c
b
a
c
Vậy S S1 S2 f x g x dx g x f x dx
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Câu 5:Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm
số y f x x 4 2x 2 và trục hoành như hình bên. Khẳng
định nào sau đây sai?
2
2
f x dx
A. S
B. S 2 f x dx
0
2
2
C. S 2 f x dx
0
D. S
0
2
f x dx
2
f x dx
0
Lời giải: (Chọn B)
Hình phẳng đối xứng qua Oy nên S
2
0
f x dx 2
2
2
2
f x dx 2 f x dx
0
Câu 6:
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số x g y , trục tung và hai đường thẳng y = a, y = b như hình vẽ
bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
b
A. S g y dx
a
b
C. S g y dy
a
a
B. S g y dy
b
b
D. S g y dx
a
Lời giải: (Chọn C)
b
Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả S g y dy
a
Câu 7:
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị
hàm số x f y , x g y và hai đường thẳng y = a, y = b như
hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
c
b
a
c
A. S g y f y dx f y g y dx
b
B. S f y g y dy
a
c
b
a
c
C. S g y f y dy f y g y dy
b
D. S f y g y dy
a
Lời giải: (Chọn C)
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = a, y = c
c
S1 g y f y dy
a
Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = c, y = b
b
S2 f y g y dy
c
c
b
a
c
Vậy S S1 S2 g y f y dy f y g y dy
Câu 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y e x ; y e x ; x 1
A.
e 2 2e 1
e
B.
e 2 2e 1
e
C.
e 2 2e 1
e
D.
e 2 2e 1
e
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: e x e x x 0
1
S e e
x
x
dx
0
1
e
x
e
x
dx e
x
e
0
x
e 2 2e 1
|0 e e 2 e
1
1
Chọn đáp án B
Câu 9:
Diện
tích
hình
phẳng
y x 4x 1, y m, m 3 , x 0, x 3 là:
2
A. 3m + 6
B. 3m 6
giới
C. 3m – 6
hạn
bởi
các
đường
D. -3m – 6
Lời giải:
Ta có: x 2 4x 1 x 2 3 3, x
2
3
x3
3
Do đó: S x 2 4x 1 m dx 2x 2 x mx 6 3m
3
0
0
Chọn đáp án D
Câu 10: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 2x 1, y m, m 2 , x 0, x 1 .
Lời giải:
Tìm m sao cho S = 48
A. m = 4
B. m = 6
Ta có: x 2 2x 1 x 1 2 2, x
2
C. m = 8
D. m = 10
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
3
3
x3
Do đó: S m x 2 2x 1 dx mx x 2 x 3m 24
3
0
0
S 48 3m 24 48 m 8
Chọn đáp án C
Câu 11:
Diện
tích
hình
phẳng
giới
2
y x 2x 1, y x 1, x 0, x m, 0 m 3 bằng:
A.
m3 3m 2
3
2
B.
m3 3m 2
3
2
C.
hạn
m3 m 2
2m
3
2
bởi
D.
các
đường
m3 m 2
2m
3
2
Lời giải:
Ta có; x 2 3x 0, x 0;m . Vì 0 < m < 3
x 3 3x 2 m 3m 2 m3
Do đó: S x 3x dx x 3x dx
2 0
2
2
3
0
0
m
2
m
2
Chọn đáp án B
Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 2x 1, y x 1, x 0, x m, m 0 bằng
5
. Khi đó giá trị m bằng:
6
A. -3
B. -2
C. -1
D. -4
Lời giải:
Ta có: x 2 x 0, x m;0
0
0
x 3 x 2 0 m 2 m3
Do đó S x 2 x dx x 2 x dx
m
3
2
2
3
m
m
5
m 2 m3 5
m 1
6
2
3 6
Chọn đáp án C
S
Câu 13:
A.
Lời giải:
Hình phẳng giới hạn bởi đường elip (E): x 2 16y 2 16 có diện tích bằng:
B. 2
C. 3
D. 4
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
4
S 4
0
4
16 x 2
dx 16 x 2dx
4
0
Đặt x = 4sint, t ; dx 4cos tdt
2 2
Đổi cận: x = 0 t 0;x 4 t
2
2
2
2
2
1
S 16 16sin2 t.4cos tdt 16 cos2 dt 8 1 cos2t dt 8 1 cos2t dt 8 t sin 2t 2 4
2
0
0
0
0
0
Chọn đáp án C
Câu 14:
2 có diện tích là:
A. S = 1
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 , trục Ox và đường thẳng x = B. S = 16
C. S = 4
D. S = 4
Lời giải:
Phương trình x3 = 0 x 0
x 4 0
4
Diện tích hình phẳng: S x dx x dx
4 2
2
2
0
3
0
3
Chọn đáp án C
Câu 15:
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 1
1
x , x 2 có diện tích là:
2
A. S = 5
B. S
5
2
C. s 2
1
, trục Ox và hai đường thẳng
x2
D. S 1
Lời giải:
2
2 2
2 2
x2 1
1
x 1
x 1
Diện tích hình phẳng: S 1 2 dx
dx 2 dx 2 dx
2
x
x
x
x
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
12
1 2 dx 1 2 dx x 1 x 1
x
x
x
x1
1
1
2
2
1
Chọn đáp án D
Câu 16: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 2x, 2x y có diện tích là:
A. S = 8
B. S = 4
C. S = 2
D. S = 16
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Lời giải:
Giải phương trình x 3 2x 2x x 0 x 2 x 2
Diện tích hình phẳng: S
2
x 3 4x dx
2
0
2
2
0
3
3
x 4x dx 4x x dx 4 4 8
Chọn đáp án A
Câu 17:
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y
diện tích là:
A. S = 13
B. S =
15
2
C. S
13
2
x
10
x x 2 và y
3
x 2
khi x 1
, có
khi x 1
D. S 7
Lời giải: (Chọn C)
Tìm hoành độ các giao điểm:
10
10
x x 2 x x 0; x x 2 x 2 x 3
3
3
Dựa vào đồ thị (hình bên) diện tích hình phẳng cần tìm là:
1
3
13
10
10
S x x 2 x dx x x 2 x 2 dx
3
3
2
0
1
3x 1
, Ox, Oy là:
x 1
4
D. S 4ln 2
3
Câu 18:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y
4
A. S 4ln 1
3
B. S 4ln
4
3
4
C. S 4ln 1
3
Lời giải:
3x 1
1
Xét phương trình
0 x . Vậy S
x 1
3
0
1
3
3x 1
4
dx 4ln 1 (đ.v.d.t)
x 1
3
Chọn đáp án C
Câu 19:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 4x 3 , y x 3 là
a
a
S ; a, b Z;a 0 ; là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?
b
b
b 2 25
A. b a 103 0
B. ba 654 0
C.
D. b a 3 107
a 109
Lời giải:
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
x 3 0
2
Xét phương trình x 4x 3 x 3 x 4x 3 x 3 x 0 x 5
x 2 4x 3 x 3
2
5
Vậy S x 4x 3 x 3 dx
0
2
5
x
2
4x 3 x 3 dx
0
109
a 109;b 6 b a 3 107 0
6
Chọn đáp án D
Câu 20:
Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị
y 4
đúng?
2
x
x2
(hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây
,y
4
4 2
0
x2
x2
x2
x2
B.
4
dx
S
2
4
dx
0 4 2
4 2
4
4
2 2
2 2
2
2
x2
x2
x2
x2
C. S 2
4 dx D. S 2 4
dx
4
4 4 2
2 2 4 2
2 2
A. S 2
2 2
Lời giải:
Ta có:
4
2 2
x2
x2
x2
x2
; x 2 2;2 2 S 2 4
dx
4
4 4 2
4
2
2 2
Chọn đáp án D
Câu 21:
(Đề thử nghiệm 2017) Ông An có một mảnh vườn
elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông
muốn trồng hoa trên dải dất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục
đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2.
Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền
được làm tròn đến hàng nghìn)
A. 7.862.000 đồng.
Lời giải: (Chọn B)
B. 7.653.000 đồng
C. 7.128.000 đồng
D. 7.826.000 triệu đồng
x 2 y2
1 . Từ giả thiết ta có 2a 16 a 8;2b 10 b 5
a 2 b2
5
y 64 y 2 E 1
2
2
x
y
8
1
Vậy phương trình của elip là:
64 25
y 5 64 y 2 E
2
8
Giả sử elip có phương trình
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường (E1); (E2); x 4;x 4 và diện tích của dải vườn là
4
4
5
5
64 x 2 dx 64 x 2 dx
8
20
4
S 2
3
Tính tích phân này bằng phép đổi biến x sin 8t ta được S 80
6 4
3
Khi đó số tiền T 80
.100000 7652891,82 7.653.000
6 4
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Cho hai hàm số f = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn a;b có đồ thị lần lượt
Câu 1:
tại C1 ; C2 . Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị C1 ; C2 và hai đường thẳng x =
a, x = b (a < b) bằng:
b
A. S f x g x dx
a
b
b
a
a
b
b
a
a
B. S f x dx g x dx
C. S g x dx f x dx
D. S
b
1
f x g x dx
2 a
Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn a;b ,c a;b .
Câu 2:
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường
thẳng x = a, x = b. Công thức nào sau đây sai?
b
b
B. S f x g x dx
A. S g x f x dx
a
a
b
C. S f x g x dx
b
a
c
D. S f x g x dx f x g x dx
a
Câu 3:
c
Diện tích S của hình phẳng bởi đồ thị 3 hàm số y = f(x), y = g(x), y =
h(x) phần gạch chéo hình bên dưới được tính bởi công thức là:
b
c
A. S g x f x dx h x f x dx
a
b
b
c
a
b
b
c
B. S f x h x dx f x g x dx
C. S g x h x dx g x f x dx
a
b
b
c
a
b
D. S f x g x dx f x h x dx
Câu 4:
A.
1
(đ.v.d.t)
2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = lnx, y = 0, x = e
1
1
B. (đ.v.d.t)
C.
(đ.v.d.t)
D. 1(đ.v.d.t)
3
4
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Câu 5:
Diện
tích
hình
y x 2x 2, y m, m 1 , x 0, x 3 là:
phẳng
giới
hạn
bởi
các
đường
2
A. 3m + 6 (đ.v.d.t)
B. - 3m – 6 (đ.v.d.t)
C. 3m – 6 (đ.v.d.t) D. – 3m + 6(đ.v.d.t)
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 , trục Oy, trục Ox và đường
Câu 6:
thẳng x = - 3 có diện tích là:
A. S = 1 (đ.v.d.t)
B. S = 16 (đ.v.d. t)
C. S = 9 (đ.v.d.t)
D. 4 (đ.v.d.t)
2
Câu 7: Cho Parabol (P): y x và tiếp tuyến của (P) tại điểm A(1;1) có
phương trình y 2x 1 . Diện tích của phần bôi dậm như hình vẽ là:
1
5
8
A. (đ.v.d.t) B. (đ.v.d.t) C. 2 (đ.v.d.t) D. (đ.v.d.t)
3
3
3
Câu 8: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b . Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) bằng:
b
A. f x dx
B.
b
b
f x dx
C. f 2 x dx
a
a
Câu 9:
D.
a
b
f x dx
a
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 , trục Oy, trục Ox và đường
thẳng x = -2 có diện tích là:
A. S = 1(đ.v.d.t)
B. S = 16 (đ.v.d.t)
C. S = 4 (đ.v.d.t)
D. S 4 (đ.v.d.t)
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 x và trục Ox.
Câu 10:
Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:
16
4
512
A. V
(đ.v.t.t)
B. V
(đ.v.t.t)
C. V
(đ.v.t.t) D. V (đ.v.t.t)
15
3
15
5
Câu 11:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
2
y x 6x, y x (hình bên) bằng:
A. S
C. S
0
x
2
3
x
3
2
3
6x x dx B. S
x
2
x 3 6x dx
D. S
2
0
2
3
x
6x x 2 dx
3
6x x 2 dx
2
3
x
3
6x x 2 dx
0
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b ,f x 0, x a;b . Gọi S là
Câu 12:
diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a,
x = b (a < b). Khẳng định nào sau đây sai?
b
A. S f x dx
a
Câu 13:
b
B. S f x dx
a
Diện
y x x 3, y 2x 1 là:
3
tích
hình
b
b
C. S f x dx
D. S f x dx
a
phẳng
giới
hạn
a
bởi
các
đồ
thị
hàm
số
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
1
(đ.v.d.t)
8
Câu 14:
Diện tích hình
y sinx, y 0, x 0, x là:
A. S
1
(đ.v.d.t)
6
B. S
A. S 4 (đ.v.d.t)
5
3
(đ.v.d.t)
D. S (đ.v.d.t)
6
7
giới hạn bởi các đồ thị hàm
C. S
phẳng
B. S 2 (đ.v.d.t)
C. S = 4 (đ.v.d.t)
số
D. S (đ.v.d.t)
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b . Diện tích của hình thang cong
Câu 15:
giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) bằng:
b
b
B. S f x dx
A. S f x dx
2
x dx
a
b
D. S f x dx
a
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
y ln x, x , x e và trục hoành (hình bên được tính theo công
e
thức:
e
A. S ln xdx
1
e
1
e
1
B. S ln xdx ln xdx
1
e
1
e
1
e
1
e
C. S ln xdx ln xdx
Câu 17:
C. S f
a
a
Câu 16:
b
D. S ln xdx
1
e
Diện tích của hình phẳng phần gạch chéo trong hình dưới được tính bởi
công thức:
c
d
b
a
c
c
d
d
b
A. f x dx f x dx f x dx
B. f x dx f x dx f x dx
a
c
d
c
d
b
a
c
d
C. f x dx f x dx f x dx \
D.
b
f x dx
a
Câu 18:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e x , y e x , x 1
A.
Câu 19:
e 2 2e 1
e
e 2 2e 1
e
Diện
tích
B.
e 2 2e 1
e
phẳng
giới
C.
hình
D.
hạn
e 2 2e 1
e
bởi
các
5
. Khi đó giá trị k bằng:
6
B. – 2
C. – 1
D. – 4
2
Hình phẳng giới hạn bởi đường elip (E): x 4y 2 4 có diện tích bằng:
y x 2 2x 1, y x 1, x 0, x k, k 0 bằng
A. – 3
Câu 20:
A.
đường
B. 2
C. 3
D. 4
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Câu 21:
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 2 , trục
hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 là:
A.
2
x
2
2 dx
B.
x
2
2 dx
C.
1
0
Câu 22:
0
1
x
2
2 dx
D. 2
0
Hình phẳng giới hạn bởi đồ hai thị hàm số y 2x x 2 , y x khi quay
quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
1
1
B. 2x x
A. x dx
2
0
dx
2 2
0
Câu 23:
1
C. x x
0
2 2
dx
1
D. 2x x
0
2 2
1
dx x 2dx
0
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y x 2, y 3x là:
2
7
1
D.
2
6
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x, y 0, x e là:
A. 2
B. 3
Câu 24:
C.
A. 2
B. 1
C. 5
D. 4
Câu 25:
Giả sử hình phẳng tạo bởi các đường cong y = f(x), y = g(x), x = a, x =
b có diện tích là S1. Còn hình phẳng tạo bởi các đường cong y = 2f(x), y = 2g(x), x = a, x = b có
diện tích S2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. S2 4S1
B. S2 S1
C. 2S2 S1
D. S2 2S1
Câu 26:
Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong
hình bên) là:
A.
C.
4
f x dx
4
3
3
1
4
0
0
B.
3
0
0
3
4
f x dx f x dx
Câu 27:
1
D.
f x dx f x dx
f x dx f x dx
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y x 3 và y = x bằng:
1
D. 2
6
Câu 28:
Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các
đường thẳng y = 4x và đồ thị hàm số y x 3 là:
Câu 29:
A. 0
B. – 4
C.
A. 4
B. 3
C. 5
D. 3,5
Cho đường cong (C): y x . Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm
M(4;2). Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C); d và Ox là:
8
2
16
22
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
Câu 30:
Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hai hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b là:
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
b
b
A. S f x g x dx
B. S f x g x dx
a
a
b
b
C. S f x g x dx
2
D. S f x g x dx
a
a
Câu 31:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 , y 2x là:
A.
4
3
B.
3
5
23
C.
D.
2
3
15
Diện tích miền D được giới hạn bởi hai đường: y 2x 2 , y 2x 4 là:
A.
3
13
B. 9
Câu 32:
13
1
D.
3
9
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 trục hoành
Câu 33:
C.
và hai đường thẳng x = - 1, x = 3
28
28
A.
(dvdt)
B.
(dvdt)
9
3
Câu 34:
C.
1
(dvdt)
3
D.
1
(dvdt)
5
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y x 2 x 3 và
đường thẳng y 2x 1 là:
A.
7
(dvdt)
6
B.
1
1
(dvdt)
C. (dvdt)
D. 5 (dvdt)
6
6
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi (C): y x 2 và d: x + y = 2 bằng:
A.
7
2
B.
Câu 35:
Câu 36:
9
2
C.
11
2
D.
13
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1): y x 2 và (C2): y x bằng:
4
5
1
C.
D.
3
3
3
Câu 37:
Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
y x 3x 2 và đồ thị hàm số y x 2
A.
Câu 38:
2
3
B.
A. S = 8
B. S = 4
Xét hai biểu thức:
C. S = 16
D. S = 2
(1) cho y1 = f1(x) và y2 = f2(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn a;b . Giả sử: . , với a b là
nghiệm của phương trình f1(x) – f2(x) = 0. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
thẳng và đồ thị được cho bởi công thức:
b
a
S f1 x f 2 x dx f1 x f 2 x dx f1 x f 2 x dx
(2) cũng với giả thiết như (1) nhưng:
S
f1 x f 2 x dx
a
f1 x f 2 x dx
b
f x f x dx
1
2
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Chọn đáp án đúng:
A. (1) đúng nhưng (2) sai
C. Cả (1) và (2) đều đúng
B. (2) đúng nhưng (1) sai
D. Cả (1) và (2) đều sai
Câu 39:
Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
y x 3x 2 và đồ thị hàm số y x 2
A. S = 8
B. S = 4
C. S = 16
D. S = 2
Câu 40:
Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
y x 1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2
2
A. S x 1 dx
B.
2
x
2
1 dx
0
0
Câu 41:
D.
1
1
x
2
1 dx
1
9
D. 5
2
Gọi a là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
y
1
3
2
B.
C. 0 D.
2
2
2
Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong
các khẳng định sau:
1
1
x 1
A. ln x 1 dx
dx
e 1
0
0
1
C.
cosx+sinx
, x 0, x và trục Ox. Tìm giá trị của cos :
2
3 sin 2 x
A.
1
x
4
4
0
0
B. sin 2 xdx sin 2 xdx
2
1
1 x
C. e dx
dx
1 x
0
0
2
1
3
D. e x dx e x dx
0
0
Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), trục hoành và hai
đường thẳng x = a, x = b như trong hình vẽ bên? Khẳng định nào
sai?
b
A. S f x dx
a
b
C. S f x dx
a
Câu 45:
C. S x 1 dx
2
B. 4
3
Câu 42:
Câu 44:
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 1, y x 3 bằng:
A.
Câu 43:
2
b
B. S f x dx
a
D. S
b
f x dx
a
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 , trục Oy, trục Ox và
đường thẳng x = 2 có diện tích S. Khẳng định nào sau đây đúng:
1
A. tan 1
B. tan
C. tan 1
S
S 2
S
D. tan
3
S
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Câu 46:
Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số
liên tục y = f(x), trục hoadnh và hai đường thẳng x = a, x = b như trong hình vẽ. Khẳng định nào
đúng?
b
A. S f x dx
a
Câu 47:
b
b
B. S f x dx
C. S f x dx
a
D. S
b
f x dx
a
a
Diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y =
g(x) liên tục và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:
b
A. S f x g x dx
B. S
f x g x dx
a
a
b
C. S f x g x dx
b
b
a
a
D. S f x dx g x dx
a
Câu 48:
b
Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y
1
, trục hoành
x2
và hai đường thẳng x = 1, x = 2 bằng:
1
1
A.
B. 4
C.
D. 2
2
6
Câu 49:
Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y x 2 ; y x 2 bằng:
A.
15
2
B.
9
2
C.
9
2
D.
15
2
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e x , trục Oy, trục Ox và
Câu 50:
đường thẳng x = 1 có diện tích là:
A. S 1
B. S e 1
C. S e
D. S e 1
Câu 51:
Hình phẳng B giới hạn bởi đồ thị hàm số được cho bởi hình bên dưới.
Diện tích hình phẳng B bằng:
A. S
B. S
1
2x
2
2x
2
2
1
2
3
4
1
3
3
4
4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx
4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx
1
1
3
3
4
C. S 2 x 4 x 6 dx 2 x 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx
2
2
D. S
1
2x
2
2
1
2
3
3
4
1
3
4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 3x 2 , trục Oy, trục Ox
Câu 52:
và đường thẳng x = 1 có diện tích là:
7
1
5
7
A. S
B. S
C. S
D. S
4
4
4
4
Câu 53:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (hình bên)
bằng:
9
3
9
9
A. S = 1 B. S ln 3
C. S ln 3 4 D. S ln 3 2
2
2
2
2
Câu 54: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + sinx và y = x
A. – 4
B. 4
C. 0
Câu 55:
D. 1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 4 x 3 và y =
a
(là phân số tối giản). Khi đó a + 2b bằng:
b
A. 67
B. 121
C. 136
Câu 56:
(Đề thử nghiệm 2017) Cho hình thang cong (H) giới
hạn bởi các đường y e x , y = 0, x = 0, x = ln4. Đường thẳng x = k (0 < k
< lb4) chia (H) thành hai phần có diện tích là S1 , S2 như hình vẽ bên. Tìm
x+ 3 có kết quả dạng
k để S1 2S2
2
A. k ln 4
3
Câu 57:
B. k ln 2
H1, H2 được xác định:
C. k ln
8
3
D. 217
D. k ln 3
(Chuyên Quốc học Huế lần 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai hình
H1 M x; y | log 1 x 2 y 2 1 log x y , H 2 N x; y | log 2 x 2 y 2 2 log x y
Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích của các hình H1, H2. Tính tỉ số
S1
S2
A. 99
B. 101
C. 102
D. 100
Câu 58:
(Đề thi minh họa 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
3
hàm số y x x và đồ thị hàm số y x x 2
9
81
C.
D. 13
4
12
Câu 59:
(Tạp chí THTT Đề 01/2017) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các
ln x
đường x = 1, x = e, y = 0, y
bằng:
2 x
A.
37
12
A. 3 e
B.
B. 2 e
C. 2 e
D. e 3
Câu 60:
(Tạp chí THPT Đề 03/2017) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
2
4
hàm số y 2 x x và trục hoành là:
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
A.
8 2
15
B.
Ứng dụng 2:
16 2
15
C. 4 2
D. 2 2
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ
I. LÝ THUYẾT
Bài toán 1:
Tính thể tích vật thể
Cho một vật thể trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Gọi B là
phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
Ox tại các điểm a và b. Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có
hoành độ a x b (hình bên). Giả sử S S x là một hàm
liên tục trên a; b
b
Khi đó, thể tích V của B là V S x dx (5)
a
Sử dụng công thức (5), ta tìm được công thức một số vật thể quen thuộc trong hình học như:
1) Thể tích khối chóp cụt: Cho khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ tự là S0,
h
S1. Thể tích V là: V S0 S0 S1 S1
3
2) Nhận xét: Khối chóp được coi là khối chóp cụt có S0=0. Vì vậy, thể tích khối chóp có chiều cao h và
hS
diện tích đáy S là: V
3
3) Thể tích khối lăng trụ: Khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S có thể tích là: V = hS
Bài toán 2:
Tính thể tích khối tròn xoay
Một hình phẳng quay quanh một trục nào đó tạo nên một khối tròn xoay
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Dạng 1: (Hình phẳng quay quanh Ox) Cho hình phẳng được giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a; b , trục Ox và 2
đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể
tích là:
b
Vx f 2 x dx (6)
a
Dạng 2: (Hình phẳng quay quanh Oy) Cho hình phẳng được giới hạn
bởi đồ thị hàm số x = g(y) liên tục trên đoạn a; b , trục Oy và hai
đường thẳng y = a, y = b quay quanh trục Oy ta được khối tròn xoay
b
có thể tích là: Vy g 2 y dy
a
Dạng 3: Thể tích khối tròn xoay có được khi quay nhiều đồ thị hàm số quanh một trục
Ta tiến hành chia phần thể tích V thành các phần thể tích thành phần V1 ,V2 ,.... mà mỗi phần được tính
bằng các công thức (6), (7)
Minh họa các dạng thường gặp:
f x g x , x a; b
b
g x f x , x a; b
b
V f 2 x g 2 x dx
V g 2 x f 2 x dx
f y g y , y a; b
g y f y , y a; b
a
a
b
b
V f 2 y g 2 y dy
a
V g 2 y f 2 y dy
a
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
c
V f
a
2
f x g x , x a; c ;
f x h x , x a; c ;
g x f x , x c; b
g x h x , x c; b
b
x g x dx g x f x dx
2
2
2
c
c
V f
a
2
b
x h x dx g 2 x h 2 x dx
2
c
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1:
Thể tích khối tròn xoay do phần hình phẳng S trong hình vẽ dưới quanh
trục Ox được tính bằng công thức:
b
2
A. V f1 x f 2 x dx
a
b
2
B. V f1 x f 2 x dx
a
b
C. V f12 x f 22 x dx
a
b
D. V f1 x f 2 x dx
a
Lời giải:
b
Ta có: f1 x f 2 x 0; x a ;b V f1 2 x f 2 2 x dx
a
Chọn đáp án C
Câu 2:
Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ
bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H)
quanh trục Ox là:
b
A. V f 2 x g 2 x dx
a
b
B. V g 2 x f 2 x dx
a
c
b
a
c
C. V f 2 x g 2 x dx g 2 x f 2 x dx
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
c
D. V g
2
a
b
x f x dx f 2 x g 2 x dx
2
c
Lời giải:
Ta có: f x g x 0; x a ; c ; g x f x 0; x c ; b
c
V f
a
2
b
x g x dx g 2 x f 2 x dx
2
c
Chọn đáp án C
Câu 3:
Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ
bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H)
qaunh trục Oy là:
b
A. V g 2 y f 2 y dx
a
b
B. V g 2 x f 2 x dy
a
a
C. V g 2 x f 2 x dy
b
b
D. V f 2 x g 2 x dy
a
Lời giải:
a
Ta có: g y f y 0; y a ; b V g 2 x f 2 x dy
b
Chọn đáp án C
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 x và trục Ox. Khối
Câu 4:
tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:
4
16
512
A. V
B. V
C. V
D. V
3
15
15
5
Lời giải:
x 0
Phương trình: x 2 x 0
x 2
Thể tích khối tròn xoay:
x 5 4 4 x 3 2 16
V x 2 x dx x x 4 x 4 dx x 4 x 4 x dx x
3 0 15
5
0
0
0
Chọn đáp án B
1
Câu 5:
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y , trục Ox và hai đường
x
thẳng x = 1, x = 2. Khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng (H) quay quanh trục Ox có thể tích là:
7
A. V
B. V ln 2
C. V
D. V ln 2
3
2
Lời giải:
2
2
2
2
2
2
1
4
3
2
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
2
Thể tích khối tròn xoay: V
1
1
2
dx
2
x
x 1
2
2
Chọn đáp án C
Câu 6:
Cho hàm số y 4 x 2 có đồ thị (C), khối tròn xoay tạo thành khi quay hình
phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox, quanh trục Oy có thể tích là:
32
16
A. V
B. V
3
3
3
2
16 2 4 2
1024 2
C. V
D. V
3
45
Lời giải:
Do tính đối xứng nên thể tích cần tìm bằng thể tích khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong
x 4 4 y , trục Oy và hai đường thẳng y = 0, y = 4 quanh trục
Oy
4
4
1
3 4
2
16
V 4 ydy 4 y 2 dy
4 y 2
0
3
3
0
0
Chọn đáp án B
Cho hàm số y x 2 có đồ thị (C), khối tròn xoay tạo thành khi quay hình
2
Câu 7:
phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox, trục Oy và đường thẳng x = 3 có thể tích là:
33
34
32
33
A. V
B. V
C. V
D. V
5
5
5
5
Lời giải:
3
33
2 2
Ta có: V x 2 dx
(đ.v.t.t)
5
0
Chọn đáp án D
Câu 8:
Thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị
hàm số y 2 x x , y x quanh trục Ox là:
1
1
A. V
B. V
C. V
D. V
5
5
6
6
2
Lời giải:
x 0
Xét phương trình 2 x x 2 x x 2 x 0
;2 x x 2 x, x 0;1
x
1
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
1
(đ.v.t.t)
V 2x x 2 x 2 dx
5
0
2
Chọn đáp án B
Câu 9:
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y e x , y 0, x 0, x ln 4 .
Đường thẳng x = k 0 k ln 4 chia (H) thành hai hình phẳng là S1 và S2 như hình vẽ bên. Quay
S1, S2 quanh trục Ox được khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V1,V2 . Với giá trị nào của k thì
V1 2V2
1 32
1
1 11
32
A. k ln
B. k ln11
C. k ln
D. k ln
2 3
2
2 3
3
Lời giải:
k
ln 4
2
e2 x k e2k
e 2 x ln 4
e2k
x 2
Ta có V1 e x dx
;
V
e
dx
8
2
k
2
2
2
2 0
2 k
0
e2k
e2k
2 8
2
2
2
Theo giả thiết: V1 2V2
1
2k
e 11 k ln11
2
Chọn đáp án B
Câu 10:
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường elip
(E) x 9 y 9 quay quanh Ox bằng:
A.
B. 2
C. 3
D. 4
2
2
Lời giải:
Ta có: x 2 9 y 2 9 y 2
3
3
9 x2
9 x2
V y 2dx
dx 4
9
9
3
3
Chọn đáp án D
Câu 11:
Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường
y x , y x quanh trục Ox bằng:
1
A.
0
x x dx
1
1
C. x x dx
B. x x dx
0
2
0
1
D. x 2 x dx
0
Lời giải:
Xét phương trình
Và
x0
xx
x 0; x 1
2
x x
1
1
x x x 0;1 V ( x ) 2 x 2 dx x x 2 dx
0
0
Chọn đáp án C
Câu 12:
Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y 3x x 2 và
