Ung dung cua tich phan trong hinh hoc

Bài 3: ứng dụng của tích phân.
A. Tóm tắt lý thuyết:
I. Diện tích hình phẳng:
1. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đờng cong (C): y = f(x), trục Ox và hai đờng thẳng x = a, x =
b, (a < b) là:
dxxfS
b
a

= )(
.
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng cong (C
1
): y = f(x), (C
2
): y = g(x) và hai đờng thẳng x = a, x
= b (a < b) là:
dxxgxfS
b
a

= )()(
.
II. Thể tích vật thể tròn xoay:
1. Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox:
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi đờng cong (C): y = f(x), trục Ox và 2 đờng thẳng x = a, x
= b. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Ox là:

==
b
a

b
a
dxxfdxyV
22
)]([

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi 2 đờng cong (C
1
): y = f(x), (C
2
): y = g(x) (f(x), g(x) cùng dấu)
và 2 đờng thẳng: x = a, x= b. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Ox là:
[ ]

==
b
a
b
a
dxxgxfdxyyV
2
2
2
2
2
1
)()]([

2. Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Oy:
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi đờng cong (C): x = g(y), trục Oy và 2 đờng thẳng y = a, y

= b. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Oy là:

==
b
a
b
a
dyygdyxV
22
)]([

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi đờng cong (C
1
): x = f(y) ; (C
2
): x
2
= g(y) (f(y), g(y) cùng dấu)
và 2 đờng thẳng y = a, y = b. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Oy là:
[ ]

==
b
a
b
a
dyygyfdyxxV
2
2
2

2
2
1
)()]([

B. Bài tập:
Diện tích hình phẳng:
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau:
a)
4 2
0, 1, 0, 5 3 3;x x y y x x= = = = + +
b)
, , 0, cos ;
2
x x y y x


= = = =
c)
ln , 0, ;y x y x e= = =
d)
3
, 1, 8;x y y x= = =
e)
2
1, 3;y x x y= + + =
f )
2
2, 3 ;y x y x= + =
g)

2
4 , 0;y x x y= =
GV: Phạm Văn Chung
1
h)
( 1)( 2), 0.y x x x y= =
i)
2
2 10 12
2
x x
y
x

=
+
và đờng thẳng y = 0.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng
a)
4, 0, , 3xy y x a x a= = = =
(với a > 0);
b)
; , 1.
x x
y e y e x

= = =
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đờng:
a. x = 0, x =
2

1
, trục Ox,
4
1 x
x
y

=
.
b. x = - 2, x = 2, y = - x
3
+ 3x +1, y = x
2
+ x + 1.
c. x = 1, x = e, y = 0, y =
x
xln1+
.
d. x = - 1, x = 2, y = xe
x
, trục Ox.
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
a. y = - x và y = 2 x
2
.
b. y = 5 x và y = x
2
2x + 3.
c. y = x
2

2x + 2 và y = - x
2
x + 3.
d. y = x
3
x
2
8x + 1 và y = x
2
7x
1.
5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
a. (C): y = x
3
3x và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x =
2
1

.
b. (P): y =
2
1
x
2
2x + 4 và các tiếp tuyến của (P) kẻ từ M(
2
5
; 1).
c. (P): y = x
2

4x + 5 và các tiếp tuyến của (P) kẻ từ 2 điểm A(1; 2), B(4; 5).
d. (C): y = x
3
2x
2
+ 4x 3, trục Ox và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
e. y =
2
4 x
, x
2
+ 3y = 0.
f. y = x
2
,
27
2
x
y =
,
x
y
27
=
.
g. (P): y
2
= 2x và (C): x
2
+ y

2
= 8.
6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parapol
2
2 2y x x= +
, tiếp tuyến với nó tại điểm M(3;5) và
trục tung.
7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
4 3y x x= +
và tiếp tuyến của nó tại các điểm
1
(0; 3)M
và
2
(3;0)M
.
8. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
4 3y x x= +
và đờng thẳng
3y x= +
.
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau:
a)
ln
1 , 1
x
y x y x
x

= + =
và x = e;
b)
3 2
y x x=
và
1
( 1);
9
y x=
c)
2
1 1y x=
và
2
.y x=
Thể tích khối tròn xoay:
1. Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau đây khi nó
quay xung quanh trục Ox:
a)
cos , 0, 0, ;
4
y x y x x

= = = =
b)
2
sin , 0, 0, ;y x y x x

= = = =

GV: Phạm Văn Chung
2
c)
2
. , 0, 0, 1;
x
y x e y x x= = = =
d)
2
2 , 0y x x y= =
và x = 3;
e)
2
0, 2 .y y x x= =
2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
a)
1
2 2
. , 0, 1, 2
x
y x e y x x= = = =
khi nó quay xung quanh trục Ox;
b)
ln , 1, 2, 0y x x x y= = = =
khi nó quay xung quanh trục Ox;
c)
2 3
, 0, 1y x y x= = =
khi nó quay xung quanh
-Trục Ox

-Trục Oy.
3. Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau quay quanh Ox:
a. y = x
3
+ 1, y = 0, x = 0, x = 1.
b. y = x.lnx, y = 0, x = 1, x = e.
c. y = 3x
2
+ 3x + 6, y = 0.
d. y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2.
e. x
2
+ (y 1)
2
= 4, trục Ox.
f. x
2
+ y 5 = 0, x + y 3 = 0.
g. y = x
2
, y =
x
.
4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đờng
2
2y x=
và
3
y x=
xung quanh Ox.

5. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đ ờng
sin , 0, 0,
4
y x y x x

= = = =
khi nó quay xung quanh trục Ox.
6. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đờng: y = tgx, x = 0, x =
3

, y = 0
a. Tính diện tích của (D).
b. Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Ox.
7. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình D giới hạn bởi các đờng
0, sin cos , 0,
2 2
x
y y x x x

= = = =
. Tính
thể tích V của khối tròn xoay khi cho hình D quay xung quanh trục Ox.
8. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y = - x
2
+ 4x và trục hoành.
a. Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Ox.
b. Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Oy.
9. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y
2
= 8x và đờng thẳng x = 2.

a. Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Ox.
b. Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Oy.
10. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y =
x
và đờng thẳng y = 2.
a. Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Ox.
b. Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Oy.
11. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y = x
2
và đờng thẳng (d) qua A(1; 4) có hệ số góc k. Xác định
k để (D) có diện tích nhỏ nhất.
12. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình elip
2 2
2 2
1,
x y
a b
+ =
khi nó xung quanh trục Ox.

CáC Đề THI ĐạI HọC CAO ĐẳNG
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng có PT:
GV: Phạm Văn Chung
3
2
2; ; 1; 0.y x y x x x= − = = − =
(C§ S ph¹m m½u gi¸o TW 2007)
2. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi parabol (P):
2
4y x x= − +

vµ ®êng th¼ng d: y = x.
(C§ khèi A, B, D n¨m 2008)
3. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®êng cong (C):
3 1
1
x
y
x
− −
=
−
vµ hai trôc to¹ ®é.
(§H, C§ - D – 2002)
4. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng:
2
4
4
x
y = −
vµ
2
.
4 2
x
y =
(§H, C§ - B – 2002)
5. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng:
2
4 3 , 3.y x x y x= − + = +
(§H, C§ - A – 2002)

6. Cho h×nh ph¼ng H giíi h¹n bëi c¸c ®êng:
ln , 0, .y x x y x e= = =
TÝnh thÓ tÝch cña khèi trßn xoay t¹o
thµnh khi quay h×nh H quanh trôc Ox. (§H, C§ - B – 2007).
7. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng:
( 1) , (1 ) .
x
y e x y e x= + = +
(§H, C§ - A – 2007).

GV: Ph¹m V¨n Chung
4