Một Số Phương Trình Và Hệ Phương Trình Vi - Tích Phân Tự Tham Chiếu.pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC
——————————————–

NGUYỄN VĂN NGỌC

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN
TỰ THAM CHIẾU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THANH HĨA, 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC
——————– * ———————

NGUYỄN VĂN NGỌC

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN
TỰ THAM CHIẾU

Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH. Phạm Kỳ Anh

Thanh Hóa, 2013


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn,
luận án và các cơng trình nghiên cứu đã cơng bố.

Người cam đoan

Nguyễn Văn Ngọc


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Hồng Đức-Thanh Hóa dưới sự
hướng dẫn của GS TSKH Phạm Kỳ Anh. Nhân dịp này em xin bày tỏ lịng
kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy Phạm Kỳ Anh, người đã chỉ bảo và cho
những nhận xét q báu giúp em hồn thành luận văn này. Tác giả cũng xin
gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Hồng Đức, ban lãnh đạo Khoa KHTN, các
thầy, cô giáo, những người đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ em trong quá trình

học tập và nghiên cứu khoa học. Ban giám hiệu trường THPT Nơng Cống II,
gia đình, các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên, những người đã động viên và
tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hồn thành khóa học của mình.
Do khả năng và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên bản luận văn có thể
chưa đầy đủ và có những thiếu sót khó tránh khỏi. Tác giả rất mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn
này được hoàn thiện hơn.
Thanh Hóa, tháng 11 năm 2013
Học viên
Nguyễn Văn Ngọc


iii

Bảng các cơng thức và kí hiệu
Các kí hiệu

C(R, R)

Khơng gian các hàm số liên tục trên R

L∞ (R, R) Không gian các hàm số bị chặn cốt yếu trên R
Lip(R, R) Không gian các hàm số thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên R
Bảng cơng thức các phương trình

t


R
∂u

(x,
t)


=u
u (x, s) ds, t
∂t
0

u (x, 0) = u (x)

(1.2.1)

 t


R
∂
1

 u(x, t) = u
u(x, τ ), t
∂t
t0

u(x, 0) = u (x)

(1.2.2)

0

0

!

x+δ(s)
t
R
R

1
∂

 u(x, t) = u
u (ξ, s) dξds, t
∂t
2δ(s)
0
x−δ(s)


u(x, 0) = u (x), x ∈ R, t ∈ [0; α]
0
t


R
∂

 u(x, t) = u

u(x, s)ds + ψ (u(x, t)) , t
∂t
0

u(x, 0) = u (x)
0

(1.2.3)

(1.2.4)


iv



∂2



u(x, t) = u


 ∂t2

x+δ(x,t)
R
x−δ(x,t)

!

∂
u(x, t)dξ, t
∂t

u(x, 0) = α(x)





∂

 u(x, 0) = β(x)
∂t

 2

∂2
∂



u(x, t) = k1 u
u(x, t) + k2 u(x, t), t


∂t2
 ∂t2
u(x, 0) = α(x)





∂

 u(x, 0) = β(x)
∂t

(1.2.5)

(1.2.6)

Bảng cơng thức các hệ phương trình


 t



R

∂


u(x, t) = u v u(x, τ ), dτ, t , t


∂t


 0t




R
∂
v(x, t) = v u v(x, τ )dτ, t , t


∂t
0




u(x, 0) = u0 (x); v(x, 0) = v0 (x)

(2.1)


 t
 !
R

∂u


(x,
t)
=
u
αv(x,

t)
+
v
u(x, s)ds, t , t


∂t

0


 t
 !
R
∂v
(x, t) = v βu(x, t) + u
v(x, s)ds, t , t


∂t

0




u(x, 0) = u (x); v(x, 0) = v (x); α ≥ 0; β ≥ 0
0
0

(2.11)


 t
 !


R

∂
1


u(x, t) = u f (u(x, t)) + v
u(x, s)ds + ϕ u(x, t) , t , t


∂t
t0



 t
 !


∂
1R
v(x,
t)
=
v

g(v(x,
t))
+
u
v(x,
s)ds
+
ψ
v(x,
t)
,t ,t


∂t
t0





u(x, 0) = u (x); v (x, 0) = v (x)
0
0
0

(2.17)


v

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của các phương trình vi - tích phân
tự tham chiếu

3

1.1

Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Một số định lý tồn tại duy nhất nghiệm cho bài tốn Cauchy đối
với phương trình tự tham chiếu. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình 1.2.1 . . .

6

1.2.2

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình 1.2.2 . . .

10

1.2.3

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình 1.2.3 . . .

11

1.2.4

Sự tồn tại nghiệm của phương trình 1.2.1 . . . . . . . . .

16

1.2.5

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình 1.2.4 . . .

19

1.2.6

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình 1.2.5 . . .

23

1.2.7

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình 1.2.6 . . .

28

2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của các hệ phương trình vi - tích
phân tự tham chiếu

35

2.1

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình 2.1

. . . . . .

36

2.2

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình 2.11 . . . . . .

42

2.3

Sự tồn tại nghiệm tồn cục của hệ phương trình 2.11 . . . . . .

47

2.4

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình 2.17 . . . . . .

52

2.5

Sự tồn tại nghiệm tồn cục của hệ phương trình 2.17 . . . . . .

59

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69


1

Mở đầu
Hiện tượng di truyền và tự tham chiếu đóng một vai trò quan trọng trong
khoa học ứng dụng, đặc biệt là trong q trình nghiên cứu sự tiến hóa của sinh
vật học.
Xét về mặt toán học những hiện tượng này có thể được mơ tả bởi phương
trình dạng



Au (x, t) = u Bu (x, t) , t .

(i)

Trong đó u = u (x, t) , với (x, t) ∈ R × [0, +∞) , là một hàm số chưa biết thỏa
mãn một số điều kiện ban đầu tại t = 0, A và B là các toán tử vi phân và tích
phân.
Ví dụ :
∂u (x, t)
; Bu (x, t) =
Au (x, t) =
∂t

Zt
u (x, τ ) dτ.

(ii)

0

Khi đó B được gọi là "tốn tử di truyền". Vì nghiệm cần tìm u ở vế phải của
phương trình (i) lại phụ thuộc vào chính nó nên (i) được gọi là phương trình
tự tham chiếu.
Một vài trường hợp đặc biệt của (i) lần đầu tiên được Volterra nghiên cứu vào
thế kỷ XX. Một số tác giả khác đã nghiên cứu (i) khi biến x được thay bằng
biểu thức phức tạp hơn. Trong trường hợp B là tốn tử đồng nhất thì Eder đã
nghiên cứu về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình u0 (t) = u (u (t)) . Si
và Cheng đã nghiên cứu các phương trình tổng quát hơn: u0 (t) = u (at + bu (t))
hay αt + βu0 (t) = u (at + bu0 (t)).

Trong những năm gần đây Pascali và Miranda đã thu được nhiều kết quả
quan trọng liên quan đến các phương trình vi tích - phân tự tham chiếu. Có


2

thể nói các phương trình vi - tích phân tự tham chiếu ngày càng thu hút được
nhiều sự quan tâm của các nhà toán học ứng dụng.
Trong luận văn này chúng tơi trình bày lại một cách hệ thống một số kết quả
vừa được cơng bố trên các tạp chí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các
phương trình vi - tích phân và hệ phương trình vi - tích phân tự tham chiếu.
Luận văn được chia thành hai chương.
Chương 1: Thiết lập sự tồn tại duy nhất nghiệm của một số bài tốn Cauchy
cho phương trình vi-tích phân tự tham chiếu, khi điều kiện đầu u(x, 0) = u0 (x)
thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
1. Bị chặn và liên tục Lipschitz.
2. Không âm, không giảm, bị chặn và nửa liên tục dưới trên R.
Chương 2: Mở rộng kết quả của chương 1 cho các hệ phương trình tự tham
chiếu.
Do phương trình vi - tích phân tự tham chiếu có độ phi tuyến rất cao, nên
các cơng cụ quen biết của giải tích phi tuyến, như lý thuyết điểm bất động, lý
thuyết bậc ánh xạ, lý thuyết toán tử đơn điệu, các phương pháp lặp hội tụ nhanh
dạng Newton, vv..., đều khó áp dụng. Việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của các phương trình (hệ phương trình) thường được tiến hành một cách
"thủ công" nhờ sử dụng các kỹ thuật lặp điểm bất động. Người ta xây dựng một
dãy lặp và tìm cách chứng minh sự hội tụ của dãy lặp này tới nghiệm của bài
tốn đang xét. Tính duy nhất nghiệm trong khoảng thời gian đủ bé cũng được
thiết lập nhờ việc đánh giá trực tiếp khoảng cách giữa hai nghiệm.
Một số vấn đề mở cũng được đặt ra ở cuối luận văn này.

3

Chương 1

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của các
phương trình vi - tích phân tự tham
chiếu
1.1

Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị

Ta nhắc lại một số khái niệm về liên tục, liên tục Lipschitz, nửa liên tục, bị
chặn và bị chặn cốt yếu.
+ Hàm số u(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R được gọi là:
• Liên tục tại điểm tụ x0 ∈ X nếu với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
|u(x) − u(x0 )| <  với mọi x ∈ X thỏa mãn |x − x0 | < δ.
• Bị chặn trong X nếu ∃M > 0 sao cho |u(x)| ≤ M, ∀x ∈ X.
• Thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x nếu ∃L > 0 sao cho ∀x, y ∈ X
ta có |u(x) − u(y)| ≤ L |x − y|, khi đó L gọi là hằng số Lipschitz.
• Nửa liên tục dưới: (l.s.c) tại điểm tụ x0 ∈ X nếu ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho
u(x0 ) − u(x) <  với mọi x ∈ X thỏa mãn |x − x0 | < δ.
+ Giả sử (X, Σ, µ) là khơng gian với độ đo µ. Một hàm f (t) đo được trên X
gọi là bị chặn cốt yếu trên X nếu tồn tại tập A ⊂ X, µ (A) = 0 sao cho
sup {|f (t)| : t ∈ XA} < ∞.


4

Kí hiệu L∞ (X, Σ, µ) là khơng gian các hàm bị chặn cốt yếu, với chuẩn

||f ||∞ = inf (sup {|f (t)| : t ∈ XA}) .
A⊂X

µ(A)=0

Như đã biết, L∞ (X, Σ, µ) là một khơng gian Banach.
+ Sau đây ta sẽ nêu ra các mệnh đề mà kết quả của chúng thường xuyên được
sử dụng.
Cho X là không gian các hàm số liên tục trên R × [0, +∞) . Xét ánh xạ S xác
định bởi
S :X −→ X
u 7−→ Su
Zt
Su (x, t) = u0 (x) +



u (x, s) ds, τ  dτ ; u0 ∈ C(R, R)

u
0



Zτ
0

Mệnh đề 1. Giả sử rằng
1. Tồn tại L0 > 0 sao cho
|u0 (x1 ) − u0 (x2 )| ≤ L0 |x1 − x2 | , ∀x1 , x2 ∈ R.

2. Với u ∈ X tồn tại hàm số liên tục Lu : (0; +∞) −→ [0; +∞) sao cho
|u (x1 , t) − u (x2 , t)| ≤ Lu (t) |x1 − x2 | , ∀x1 , x2 ∈ R.
Khi đó ta có:




1

|Su (x1 , t) − Su (x2 , t)| ≤ |x1 − x2 | L0 + 
2

Zt

2 

Lu (s)ds  .

0

Chứng minh. Ta có:
|Su (x1 , t) − Su (x2 , t) |




 τ


Z t Zτ
Zt
Z




=

u0 (x1 ) − u0 (x2 ) +  u (x1 , s) ds, τ  dτ − u  u (x2 , s) ds, τ  dτ






0

0

0

0


5