Toán 12 Chương 1 Mở rộng: Sự tương giao của đồ thị

SỰ TƯƠNG GIAO
CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Giao điểm của hai đồ thị
Giả sử hàm số y = f ( x) có đồ thị là ( C1 ) và hàm số y = g( x) có đồ thị là

( C2 ) .
Để tìm hồnh độ giao điểm của hai đồ thị trên là ta giải phương trình
f ( x) = g( x) .
Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đồ thị.
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong
Giả sử hàm số y = f ( x) có đồ thị là ( C1 ) và hàm số y = g( x) có đồ thị là

( C2 ) .
Hai đường cong ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình
ìï f ( x) = g( x)
ï
í
ïï f ¢( x) = gÂ( x)
ợ
cú nghim v nghim ca h phng trỡnh trờn là hồnh độ tiếp điểm của hai
đường cong đó.

Dạng 1. BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 1. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến
thiên sau

Số nghiệm thực của phương trình f ( x) - 2 = 0 là
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải. Ta có f ( x) - 2 = 0 Û f ( x) = 2. Do đó số nghiệm của phương trình đã
cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) và đường thẳng y = 2.

5


Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giữa hai đường này có 3 điểm chung. Vậy
phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. Chọn D.
Câu 2. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến
thiên sau

Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x) + 3 = 0 là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
3
Lời giải. Ta có 2 f ( x) + 3 = 0 Û f ( x) = - . Do đó số nghiệm của phương trình
2
3
đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) và đường thẳng y = - .
2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giữa hai đường này có 4 điểm chung. Vậy
phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. Chọn D.
Câu 3. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến
thiên sau

Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x) - 3 = 0 là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải. Chọn D.

D. 4.

Câu 4. (KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x) có
bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x) + 3 = 0 là
A. 0.

B. 1.

C. 2.
6

D. 3.


Lời giải. Chọn C.
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x) - 7 = 0 là
A. 2.

B. 4.

C. 6.
D. 8.
7
7
Lời giải. Ta có 2 f ( x) - 7 = 0 Û f ( x) = Û f ( x) = ± .
2
2
7
7
Dựa vào BBT, suy ra f ( x) = có 4 nghiệm; f ( x) = có 2 nghiệm. Chọn C.
2
2
Cách 2. Từ BBT của hàm số f ( x) , suy ra BBT của hàm số f ( x) như sau

Da vo BBT ắắ
đ 2 f ( x) - 7 = 0 Û f ( x) =

7
có 6 nghiệm.
2

Câu 6*. Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên ¡ \ { 0} và có bảng biến
thiên như sau

Gọi m là số nghiệm của phương trình f ( x) = 3 và n là số nghiệm của phương
trình f ( x ) = 3 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. m+ n = 4.
B. m+ n = 6.
Lời giải. Từ BBT của hàm số

f ( x) , suy ra BBT của hàm số
g( x) = f ( x)

như

C. m+ n = 7.

hình

bên(trong đó a là hoành độ
giao điểm của đồ thị y = f ( x)
với trục hoành).
7

D. m+ n = 8.


® f ( x) = 3 có 3 nghiệm.
Dựa vào BBT ¾¾
Từ BBT của hàm số f ( x) ,
suy ra BBT của
hàm
h( x) = f ( x ) như hỡnh bờn.
đ f ( x) =3
Da vo BBT ắắ
cú 4 nghiệm.
Vậy m+ n = 3+ 4 = 7. Chọn C.

Dạng 2. ĐỒ THỊ
Câu 7. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như

ù2
hình vẽ. Hỏi phương trình é
ëf ( x) û = 4 có bao nhiêu
nghiệm?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
éf ( x) = 2 ( 1)
2
éf ( x) ù = 4 Û ê
êf x = - 2 2 . Do đó số
ë
û
( )
ê
ë( )
2
ù
nghiệm của phương trình é
ëf ( x) û = 4 chính là số giao điểm
của đồ thị hàm số f ( x) với hai đường thẳng y = 2 và
Lời giải. Ta có

y = - 2.
Dựa vào đồ thị ta thấy: Phương trình ( 1) có 1 nghiệm; Phương trình ( 2) có 3
nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Chọn C.
Câu 8. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên [- 2;2] và có
đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hỏi phương trình
f ( x) - 1 = 1 có bao nhiêu nghiệm phân biệt trên [- 2;2] ?

A.
B.
C.
D.

3.
4.
5.
6.

éf ( x) = 0 ( 1)
Lời giải. Ta có f ( x) - 1 = 1 Û ê
êf x = 2 2 .
( )
ê
ë( )
Dựa vào đồ thị, ta thấy ( 1) có 3 nghiệm; ( 2) có 2 nghiệm. Chọn C.

8


3
2
Câu 9*. Cho hàm số f ( x) = x - 3x + 4 có đồ thị như hình

vẽ. Hỏi phương trình

ù
ffé
ëx( ) û

= 1 có bao nhiêu
3 f ( x) - 5 f ( x) + 4
2

nghiệm ?
A. 4.
C. 6.

B. 5.
D. 8.

Lời giải. Ta có

ù
ffé
ëx( ) û
= 1 Û f 3 ( x) - 3 f 2 ( x) + 4 = 3 f 2 ( x) - 5 f ( x) + 4
3 f ( x) - 5 f ( x) + 4
2

éf ( x) = 0 ( 1)
ê
Û f ( x) - 6 f ( x) + 5 f ( x) = 0 Û ê
êf ( x) = 1 ( 2) .
ê
( 3)
ê
ëf ( x) = 5
Dựa vào đồ thị ta thấy ( 1) có 2 nghiệm; ( 2) có 3 nghiệm; ( 3) có 1 nghiệm.
Chọn C.

3

2

Câu 10. (KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho
hàm bậc ba y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm
thực của phương trình 2 f ( x) - 5 = 0 là
A. 1.
C. 4.

B. 3.
D. 6.

Lời giải. Từ đồ thị hàm số f ( x) , suy ra đồ thị hàm số
f ( x) như hình bên.
5
Ta có 2 f ( x) - 5 = 0 Û f ( x) = . ( *)
2
Dựa vào đồ thị hàm số f ( x) , suy ra phương trình ( *) có
4 nghiệm. Chọn C.

Câu 11*. Cho hàm bậc ba y = f ( x) có đồ thị như hình
vẽ. Hỏi phương trình
nghiệm?
A. 1.
C. 4.

f ( x- 2 ) = -

1

2

có bao nhiêu

B. 3.
D. 6.

Lời giải. Đồ thị hàm số f ( x- 2 ) , được suy từ đồ thị f ( x) bằng cách:
· Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số f ( x) phía bên phải Oy (xóa phần đồ thị
bên trái Oy ) qua Oy (xem Hình 1);
· Tịnh tiến đồ thị ở bước trên sang phải 2 đơn vị (xem Hình 2).

9


Hình 1.
Hình 2.
f
x2
,
) suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm. Chọn
Từ đồ thị của hàm số (
C.
Câu 12*. Cho hàm số y = ( x - 1) . f ( x) xác định, liên tục
trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị
của m để đường thẳng y = m2 - m cắt đồ thị hàm số
y = x - 1. f ( x) tại hai điểm có hồnh độ nằm ngồi đoạn

[- 1;1.]
A. m> 0.

m< 0.

B. m< 1.

C. 0 < m< 1.

D.

Lời giải. Từ đồ thị hàm số y = ( x - 1) . f ( x) , suy ra đồ thị
hàm số f ( x) x- 1 như hình bên.
2
Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình x - 1. f ( x) = m - m có

hai nghiệm có hồnh độ nằm ngồi đoạn [- 1;1] khi và chỉ
khi
ém> 1
m2 - m> 0 Û ê
. Chọn D.
ê
ëm< 0
Câu 13*. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như
hình vẽ. Hỏi phương trình
nghiệm thực phân biệt?
A. 3.
C. 7.

ù
ffé
ëx( ) û= 0 có bao nhiêu
B. 5.

D. 9.

Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) , ta suy ra phương trình
éf ( x) = a ( - 2 < a <- 1) ( 1)
ê
ù= 0 Ûf ê
ffé
x
= ( 0b
< < 1)
(
)
( 2) .
êx( ) b
ë
û
ê
ê
( 3)
ëf ( x) = c ( 1< c < 2)
Mỗi phương trình đều có 3 nghiệm. Chọn D.

10

m> 1

hoặc


Câu 14*. (ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019)

Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như
hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình
ff( x( ) ) = - 2 là
A. 2.
C. 5.

B. 4.
D. 9.

éf ( x) = - 1 ( 1)
Lời giải. Từ đồ thị y = f ( x) , suy ra phương trình ff( x( ) ) = - 2 Û ê
êf x = 2
( 2)
ê
ë( )
.
Dựa vào đồ thị, ta thấy ( 1) có 3 nghiệm; ( 2) có 2 nghiệm. Chọn C.
Câu 15*. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như hình
2
vẽ. Số nghiệm của phương trình 2 f ( x ) + 3 = 0 là

A. 0.
C. 4.

B. 2.
D. 6.

Lời giải. Đặt t = x2 ( t ³ 0) . Khi đó phương trình đã cho trở thành: f ( t) = -

3

.
2

( *)
Số nghiệm của ( *) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) và đường
ét1 < 0 ( loại)
ê
ê
3
® x = ± t2 . Chọn
thẳng y = - . Dựa vào đồ thị, phương trình ( *) Û ê0 < t2 < 2 ắắ
ờ
2
ờt > 2 ắắ
đ x = t3
ê
ë3
C.
Câu 16. Cho hàm trùng phương y = f ( x) có đồ thị như
hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x) - 8 = 0 là
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
8
Lời giải. Ta có 3 f ( x) - 8 = 0 Û f ( x) = . Do đó số nghiệm
3
của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị
8
hàm số y = f ( x) và đường thẳng y = .

3
Dựa vào đồ thị ta thấy giữa hai đường này có 2 điểm chung. Vậy phương trình
đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Chọn B.

11


Câu 17. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Cho hàm
trùng phương y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Số
nghiệm thực của phương trình 4 f ( x) - 3 = 0 là
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Chọn D.
Câu 18. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Cho hàm số
y = f ( x) liên tục trên [- 2;2] và có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm của phương trình 3 f ( x) - 4 = 0 trên đoạn

[- 2;2] là
A. 1.
C. 3.
Lời giải. Chọn C.

B. 2.
D. 4.

Câu 19. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Cho hàm số
y = f ( x) liên tục trên đoạn [- 2;4] và có đồ thị như hình
vẽ. Số nghiệm của phương trình 3 f ( x) - 5 = 0 trên đoạn

[- 2;4] là
A. 0.
C. 2.
Lời giải. Chọn D.

B. 1.
D. 3.

Câu 20. Cho hàm số y = x4 + mx2 + n với m, nỴ ¡ có đồ
thị như hình vẽ. Biết phương trình x4 + mx2 + n = 0 có k
nghiệm thực phõn bit, k ẻ Ơ * . Mnh no sau đây
đúng?
A. k = 2, mn< 0.
B. k = 2, mn> 0.
C. k = 4, mn< 0.
D. k = 4, mn> 0.
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình x4 + mx2 + n = 0 có 4
nghiệm phân biệt, suy ra k = 4.
Do đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên m< 0, ta thấy hàm số cắt trục tung tại
điểm có tung dng nờn n > 0 ắắ
đ mn < 0. Chọn C.

Dạng 3. CHO HÀM SỐ
Câu 21. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm số y = x3 - 3x có đồ thị ( C ) .
Tìm số giao điểm của ( C ) và trục hoành.
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải. Xét phương trình hồnh độ giao điểm của ( C ) và trục hoành:
éx = 0
x3 - 3x = 0 Û x( x2 - 3) = 0 Û ê
êx = ± 3.
ê
ë
12


Suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên có 3 giao điểm. Chọn D.
Câu 22. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Biết rằng đường thẳng y = - 2x + 2 cắt
đồ thị hàm số y = x3 + x + 2 tại điểm duy nhất có tọa độ ( x0 ; y0 ) . Tìm y0.
A. y0 = - 1.
B. y0 = 0.
C. y0 = 2.
D. y0 = 4.
3
Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm: - 2x + 2 = x + x + 2 Û x = 0.
đ y = 2. Chn C.
Vi x = 0 ắắ
2
Cõu 23. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số y = ( x - 2) ( x +1) có đồ

thị ( C ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ( C ) khơng cắt trục hồnh.

B. ( C ) cắt trục hoành tại một điểm.

C. ( C ) cắt trục hoành tại hai điểm. D. ( C ) cắt trục hồnh tại ba điểm.
Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm của ( C ) với trục hoành:

( x - 2) ( x2 +1) = 0 Û x - 2 = 0 Û x = 2.
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm. Chọn B.
Câu 24. Biết rằng đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2x - 1 có hai điểm chung với đồ
thị hàm số y = x2 - 3x +1 là A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng
A. 1.
B. 2.
C. 2 2.
D. 3.
Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 - 3x2 + 2x - 1= x2 - 3x +1
éx = 1® y = - 1
2
Û x3 - 4x2 + 5x - 2 = 0 Û ( x - 1) ( x - 2) = 0 Û ê
.
ê
ëx = 2 ® y = - 1
® AB = 1. Chọn A.
Suy ra A ( 1;- 1) , B ( 2;- 1) ¾¾
Câu 25. Đồ thị hàm số y =- x4 + 2x2 có bao nhiêu điểm chung với trục hồnh?
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
éx = 0
4
2

Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm: - x + 2x = 0 Û ê
êx = ± 2.
ê
ë
Suy ra phương trình có 3 nghiệm nên có 3 điểm chung. Chọn C.
Câu 26. Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hàm số y =
A. M ( 0;0) .

B. M ( 0;- 2020) .

C. M ( 2020;0) .

x - 2020
với trục tung.
2x +1
D. M ( 2020;- 2020) .

® y = - 2020. Chọn B.
Lời giải. Do giao với trục tung nên thay x = 0 ¾¾
2x +1
có hai điểm chung với đồ thị hàm
x
số y = x2 + x +1 là A ( x1; y1 ) và B ( x2 ; y2 ) . Tổng y1 + y2 bằng
A. 0.
B. 2.
C. 4.
D. 6.
Câu 27. Biết rằng đồ thị hàm số y =

13

2x +1
= x2 + x +1 ( x ¹ 0)
x
éx = 1ắắ
đ y( 1) = 3
2x +1= x( x2 + x +1) Û x3 + x2 - x - 1= 0 ờ
.
ờ
x
=
1
ắắ
đ
y
1
=
1
(
)
ờ
ở
Khi ú y1 + y2 = y( 1) + y( - 1) = 4 . Chọn C.
Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm:

Dạng 4. BÀI TỐN CHỨA THAM SỐ
Câu 28. (ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x) có
đạo hàm trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ

Phương trình f ( x) = m có 2 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
A. mỴ ( - 1;2) .

B. mỴ ( 1;2) .

C. mỴ [1;2) .

D. mỴ [1;2].

Lời giải. Dựa vào BBT, suy ra f ( x) = m có 2 nghiệm Û 1< m< 2. Chọn B.
Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên
sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f ( x) - 1= m có 2 nghiệm.
A. - 2 < m<- 1. B. m= - 1, m> 0.
C. m= - 2, m>- 1. D. m= - 2, m³ - 1.
Lời giải. Ta có f ( x) - 1= m Û f ( x) = m+1.
ém+1> 0
Û
Do đó YCBT Û ê
ê
ëm+1= - 1

ém>- 1
ê
. Chọn C.
ê
ëm= - 2

Câu 30. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên ¡ \ { 2} , liên tục trên mỗi khoảng

xác định và có bảng biến thiên sau:

14


Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x) + m= 0 có nhiều
nghiệm thực nhất là
A. ( - ¥ ;- 1] È [15;+¥ ) .
B. ( - ¥ ;- 15) È ( 1;+¥ ) .
C. ( - ¥ ;- 1) È ( 15;+¥ ) .

D. ( - ¥ ;- 15] È [1;+¥ ) .

Lời giải. Ta có f ( x) + m= 0 Û f ( x) =- m.
é- m> 1
ém<- 1
Û ê
. Chọn C.
Do đó YCBT Û ê
ê
ë- m<- 15 ê
ëm> 15
Câu 31. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên ¡ \ {1} , liên tục trên từng khoảng
xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = f ( x) cắt đường
thẳng y = 2m- 1 tại hai điểm phân biệt.
3
3
3

A. 1< m< .
B. 1£ m< .
C. 1£ m£ .
2
2
2
3
Lời giải. YCBT Û 1< 2m- 1< 2 Û 1< m< . Chọn A.
2
Nhận xét: Sai lầm hay gặp là cho 1£ 2m- 1£ 2 Û 1£ m£

D. 1< m< 2.

3
.
2

Câu 32. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên ¡ \ { - 1;1} , liên tục trên mỗi
khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:

15


Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = 2m+1 cắt đồ thị
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
A. m£ - 2.
B. m³ 1.
C. m£ - 2, m³ 1.
D. m<- 2, m> 1.
é2m+1> 3

ém> 1
Û ê
. Chọn D.
Lời giải. YCBT Û ê
ê
ë2m+1<- 3 ê
ëm<- 2
Nhận xét: Nếu yêu cầu bài toán có duy nhất một nghiệm thực
Û - 3 £ 2m+1£ 3.
Câu 33. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho hàm số y = f ( x) xác định trên
¡ \ { 0} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình f ( x) = m có 3
nghiệm thực phân biệt là
A. ( - ¥ ;2].
B. ( - 1;2) .
C. ( - 1;2].
D. [- 1;2].
Lời giải. Dựa vào BBT, suy ra f ( x) = m có 3 nghiệm Û - 1< m< 2. Chọn B.
ém£ - 1
; 1 nghiệm Û m> 2.
Nhận xét: Nếu u cầu bài tốn có 2 nghiệm Û ê
ê
ëm= 2
Câu 34. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên ¡ \ { - 1} , liên tục trên mỗi khoảng
xác định và có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [- 5;5] để phương trình
f ( x) = m có nghiệm duy nhất?
A. 4.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

ém£ - 1
.
Lời giải. Dựa vào BBT, suy ra f ( x) = m có nghiệm duy nhất Û ê
ê
ë3 < m< 4
Chọn B.

16


Câu 35. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên ¡ \ { ±1} , liên tục trên mỗi khoảng
xác định và có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( x) = m có 4
nghiệm phân biệt?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Dựa vào BBT, suy ra f ( x) = m có 4 nghiệm Û - 2 < m£ 0. Chọn B.
Nhận xét. 1) Học sinh rất dễ sai lầm vì cho rằng - 2 < m< 0.
ém> 1
ém= 1
2) Phtrình có 2 nghiệm Û ê

, có 3 nghiệm Û ê
, có 5 nghiệm
ê
ê
ëm<- 2
ëm= - 2
0 < m< 1.
Câu 36. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm
số y = - x4 + 2x2 có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả
các giá trị thực của tham số m để phương trình
- x4 + 2x2 = m có 4 nghiệm phân biệt.
A. 0 £ m£ 1.
B. 0 < m< 1.
C. m< 1.
D. m> 0.
Lời giải. Chọn B.
Câu 37. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như hình
vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình f ( x) + m- 2020 = 0 có nghiệm duy nhất.
A. m= 2017, m= 2021.
B.
2017 < m< 2021.
C. m< 2017, m> 2021.
D.
2017 £ m£ 2021.
Lời giải. Ta có f ( x) + m- 2020 = 0 Û f ( x) = 2020- m.
é2020- m> 3
Û
Do đó YCBT Û ê
ê

ë2020- m<- 1

ém< 2017
ê
. Chọn C.
ê
ëm> 2021

17


Câu 38. Cho hàm số y = x3 - 3x2 có đồ thị như hình vẽ.
Dựa vào đồ thị, tìm tất cả các giá trị của tham số m để
phương trình x3 - 3x2 + 3m- 1= 0 có ba nghiệm phân biệt
trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.
1
5
5
A. < m< .
B. 1< m< .
3
3
3
7
4
C. 2 < m< .
D. - 2 < m< .
3
3
Lời giải. Ta có x3 - 3x2 + 3m- 1= 0 Û x3 - 3x2 = 1- 3m.

5
Do đó YCBT Û - 4 < 1- 3m<- 2 Û 1< m< . Chọn B.
3
Chú ý: Không để ý kỹ sẽ mắc sai lầm hay gặp là cho - 4 < 1- 3m< 0 .
3
2
Câu 39. Cho hàm số y = f ( x) = 2x - 9x +12x có đồ
thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để phương trình f ( x ) + m= 0 có 6 nghiệm phân biệt.

A. m<- 5.
- 5 < m<- 4.
C. 4 < m< 5.

B.
D. m>- 4.

Lời giải. Trước tiên từ đồ thị hàm số y = f ( x) , ta suy
ra đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ.
Ta có f ( x ) + m= 0 Û f ( x ) = - m.
Do đó YCBT Û 4 <- m< 5 Û - 5 < m<- 4.
Chọn B.

Câu 40. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như
hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m để phương trình 2 f ( x) - m= 0 có 4 nghiệm
phân biệt?
A. 3.
C. 7.

B. 4.
D. 8.

Lời giải. Trước tiên từ đồ thị hàm số y = f ( x) , ta
suy ra đồ thị hàm số y = f ( x) như hình vẽ.
Ta có 2 f ( x) - m= 0 Û f ( x) =
Do đó YCBT Û 0 <

m
.
2

m
< 4 Û 0 < m< 8. Chọn C.
2
18


Câu 41. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) đồ thị như
hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình
2 f ( x) - m= 0 có 2 nghiệm phân biệt?
A. 0.
C. 2.

B. 1.
D. 4.

Lời giải. Trước tiên từ đồ thị hàm số y = f ( x) , ta
suy ra đồ thị hàm số y = f ( x) như hình vẽ.

m
.
2
m
m
Do đó YCBT Û 0 < < 1 hoặc
>5
2
2
Û 0 < m< 2 hoặc m> 10. Chọn B.
Ta có 2 f ( x) - m= 0 Û f ( x) =

Câu 42. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
y = ( x - 1) ( x2 + mx + m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là
A. ( 0;4) .
ổ
1ử ổ
1 ử
ỗ
- Ơ ;- ữ
- ;0ữ
ữ
ữ
C. ỗ
ỗ
ỗ
ữẩ ố
ữ.
ỗ
ỗ 2 ứ

ố
2ứ

B. ( 4;+Ơ ) .
ổ
1ử ổ
1 ử
ỗ
- Ơ ;- ữ
- ;0ữ
ữ
ữ
D. ỗ
ỗ
ỗ
ữẩ ố
ữẩ ( 4;+Ơ ) .
ỗ
ỗ 2 ø
è
2ø

éx = 1
2
Lời giải. Phtrình hđgđ: ( x - 1) ( x + mx + m) = 0 Û ê
êx2 + mx + m= 0 ( 1) .
ê
ë
ìï 12 + m.1+ m¹ 0
. Chọn D.

YCBT Û ( 1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û ïí
ïï D = m2 - 4m> 0
ỵ
Phương trình hồnh độ giao điểm ax3 + bx2 + cx + d = 0 .
· Nếu nhẩm được một nghiệm x0 thì phương trình tương đương
éx = x0
ê
êax2 + b¢x + c¢= 0 .
ë
· Cơ lập tham số m và lập bảng biến thiên hoặc dùng đồ thị.
· Nếu không nhẩm được nghiệm và không cô lập được m thì bài tốn được
giải quyết theo hướng tích hai cực trị, cụ thể:
◦ Đồ thị cắt trục hoành đúng ba điểm phân biệt Û yCD .yCT < 0.
◦ Đồ thị có hai điểm chung với trục hồnh Û yCD .yCT = 0.
◦ Đồ thị có một điểm chung với trục hoành Û yCD . yCT > 0 hoặc hàm số khơng
có cực trị.
Chú ý: Nếu y¢= 3ax2 + 2bx + c = 0 nhẩm được hai nghiệm thì tính yCD , yCT dễ
dàng. Trường hợp khơng nhẩm được nghiệm thì dùng mối liên hệ hai nghiệm
đó là hệ thức Viet.

19


Câu 43. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 - 3x2
cắt đường thẳng y = m tại ba điểm phân biệt là
A. ( - 4;0) .
B. ( 0;+¥ ) .
C. ( - ¥ ;- 4) .

D. ( - ¥ ;- 4) È ( 0;+¥ ) .

Lời giải. Chọn A. Xét hàm bậc ba y = x3 - 3x2 , cú
ộx = 0 ắắ
đ yCD = 0
yÂ= 3x2 - 6x ắắ
đ yÂ= 0 ờ
.
ờx = 2 ắắ
đ yCT = - 4
ê
ë
Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm bậc ba,
Û yCT < m< yCD Û - 4 < m< 0.

ta

có

YCBT

Câu 44. Cho phương trình 2x3 - 3x2 = 2m+1. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.
1
1
5
A. m= - , m= - 1.
B. m= - , m= - .
2
2
2

1
5
5
C. m= , m= .
D. m= 1, m= - .
2
2
2
3
2
Lời giải. Chọn A. Xét hàm bậc ba f ( x) = 2x - 3x , có
éx = 0 ắắ
đ yCD = 0
f Â( x) = 6x2 - 6x ắắ
đ f Â( x) = 0 ờ
.
ờx = 1ắắ
đ yCT = - 1
ê
ë
Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm bậc ba, ta
é2m+1= yCD
é2m+1= 0
Û ê
Û ê
.
ê2m+1= yCT
ê
ë2m+1= - 1
ë

có

YCBT

Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y = x3 - mx2 + 4 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
A. m¹ 0.
B. m> 0.
C. m¹ 3.
D. m> 3.
éx = 0
ờ
2
đ yÂ= 0 ờ 2m.
Li gii. Ta cú yÂ= 3x - 2mx = x( 3x - 2m) ắắ
ờx =
ê
3
ë
YCBT Û Hàm số có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu
é2m
ém¹ 0
ê ¹ 0
ê
ê3
ỉ
ư
Û ờ
ờ

m> 3. Chn D.
- 4m3
ờ4.ỗ
ổ
ờ
ữ
2mử
+ 4ữ
<0
ỗ
ữ
ữ
ờ
ỗ
ờy( 0) . yỗ ữ
<
0
ữ
ỗ
27
ứ
ờ ố
ữ
ỗ
ở
ờ
ố3 ứ
ở
Cõu 46. Tỡm giỏ tr thc ca tham số m để đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 2 có
đúng hai điểm chung với trục hoành.

1
1
A. m= .
B. m= 3 2.
C. m= 3 .
D. m= 3.
6
2
ộx = 0
2
đ yÂ= 0 ờ
.
Li gii. Ta có y¢= 3x - 6mx = 3x( x - 2m) ¾¾
êx = 2m
ë
20


YCBT Û hàm số có hai điểm cực trị và tích hai cực trị bằng 0
ìï 2m¹ 0
ïì m¹ 0
1
Û ïí
Û ïí
Û m= 3 . Chọn C.
ïï y( 0) .y( 2m) = 0 ïï 2.( - 4m3 + 2) = 0
2
ỵ
ïỵ
Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

x3 - 3mx + 2 = 0 có nghiệm duy nhất.
A. m£ 0.
B. 0 < m< 1.
C. m< 1.
D. m> 1.
2
2
2
đ yÂ= 0 x = m.
Lời giải. Ta có y¢= 3x - 3m= 3( x - m) ¾¾
Khi đó u cầu bài tốn tương đương với:
· TH1: Hàm số khơng có cực trị Û y¢= 0 có nghiệm kép hoặc vơ nghiệm
Û m£ 0.
· TH2: Hàm số có hai cực trị yCD , yCT thỏa mãn yCD .yCT > 0
ìï m> 0
ìï m> 0
ïì m> 0
Û ïí
Û ïí
Û ïí
Û 0 < m< 1.
ïï y - m .y m > 0 ïï 2+ 2m m 2- 2m m > 0 ïỵï m< 1
ïỵ
ïỵ
Kết hợp hai trường hợp ta được m< 1. Chọn B.

(

) (

)

(

)(

)

Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng
d : y = m( x - 1) +1 cắt đồ thị hàm số y = - x3 + 3x - 1 tại ba điểm phân biệt
A ( 1;1) , B, C.
9
9
9
B. m< .
C. 0 ¹ m< .
D. m= 0 , m> .
4
4
4
3
Lời giải. Phtrình hđgđ: - x + 3x - 1= m( x - 1) +1
éx = 1
Û ( x - 1) ( x2 + x - 2+ m) = 0 Û ê
êx2 + x - 2+ m= 0 ( *) .
ê
ë
ìï
9
ïìï D = 9- 4m> 0 ïï m<

Û í
YCBT Û ( *) có hai nghiệm phõn bit khỏc 1 ớ
4 . Chn
ùùợ mạ 0
ùù
m
ạ
0
ùợ
C.
A. m¹ 0.

Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y = x3 - 3x2 + 2 cắt đường thẳng d : y = m( x - 1) tại ba điểm phân biệt có hồnh
độ x1, x2, x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 = 5.
A. m> - 3.
B. m= - 3.

C. m> - 2.
D. m= - 2.
é
x =1
3
2
Lời giải. Phtrình hđgđ: x - 3x + 2 = m( x - 1) Û ê
êx2 - 2x - m- 2 = 0 ( *) .
ê
ë
ïìï D ¢= 1+ m+ 2 > 0
Û m>- 3.

Để ( *) có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û í 2
ïï 1 - 2.1- m- 2 ¹ 0
ỵ

21


x3 là hai nghiệm của ( *) . Theo Viet, ta có:

Giả sử x1 = 1. Khi đó x2,
ïìï x2 + x3 = 2
.
í
ïïỵ x2 x3 = - m- 2
2

YCBT Û x22 + x32 = 4 Û ( x2 + x3 ) - 2x2 x3 = 4 Û 4+ 2( m+ 2) = 4 Û m=- 2. Chọn D.
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = x + 4
3
2
cắt đồ thị hàm số y = x + 2mx +( m+ 3) x + 4 ( Cm)

tại ba điểm phân biệt

A ( 0;4) , B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4 , với M ( 1;3) .
A. m= 3.
B. m= 2, m= 3.
C. m= - 2, m= - 3. D. m= - 2, m= 3.
éx = 0
3

2
Lời giải. Phtrình hđgđ: x + 2mx +( m+ 3) x + 4 = x + 4 Û ê
êx2 + 2mx + m+ 2 = 0 ( *) .
ê
ë
Để d cắt ( Cm) tại ba điểm phân biệt Û ( *) có hai nghiệm phân biệt khác 0
ìï D = m2 - m- 2 > 0 ém> 2
Û ùớ
ờ
.
ờ- 2 ạ m<- 1
ùợù m+ 2 ạ 0
ở
ỡù x1 + x2 = - 2m
.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của ( *) . Theo định lí Viet, ta có ïí
ïïỵ x1.x2 = m+ 2
Giải
d[ M , d] =

B ( x1; x1 + 4) , C ( x2 ; x2 + 4) .

sử
1- 3+ 4
2

YCBT: SV MBC = 4 Û

Ta

có

2

BC = 2( x2 - x1) và

= 2.
1
2
2
d( M , d) BC = 4 Û ( x2 - x1 ) = 16 Û ( x1 + x2 ) - 4x1x2 = 16
2
ém= 3( thỏa mãn)
Û m2 - m- 6 = 0 Û ê
. Chọn A.
êm= - 2 loaïi
( )
ê
ë

Câu 51. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Tập hợp các giá trị thực của tham số
m để đường thẳng d : y = - mx cắt đồ thị của hàm số y = x3 - 3x2 - m+ 2 ( C ) tại
ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC là
A. ( - ¥ ;- 1) .
B. ( - ¥ ;3) .
C. ( 1;+¥ ) .
D. ( - ¥ ;+¥ ) .
éx = 1
3
2

Lời giải. Phtrình hđgđ: x - 3x - m+ 2 = - mx Û ê
êx2 - 2x + m- 2 = 0 ( *) .
ê
ë
Để d cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt Û ( *) có hai nghiệm phân biệt khác 1
ïì D ¢> 0
ïì 1- ( m- 2) > 0
Û ïí 2
Û ïí
Û m< 3.
ïï 1 - 2.1+ m- 2 ¹ 0 ùù mạ 3
ợ
ợ
Gi x1, x2 l hai nghim ca ( *) . Theo định lí Viet, ta có x1 + x2 = 2.
Giả sử x2 > 1 thì x1 = 2- x2 < 1 , suy ra x1 < 1< x2.
22


Theo giả thiết BA = BC nên B là trung điểm của AC do đó xB = 1 và xA = x1 ,
xC = x2 . Khi đó ta có xA + xC = 2xB nên d luôn cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt
A, B, C thỏa mãn AB = BC. Vậy với m< 3 thỏa mãn u cầu bài tốn. Chọn B.
Câu 52*. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y = x3 - 3mx2 + 6mx - 8 cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập
thành cấp số cộng.
A. m= 1.
B. m= 2, m= - 1.
C. m= - 1.
D. m= 2.
b
b

x1 +x3 =2x2
Viet
ắ
đ x1 + x2 + x3 =- ắắ
ắ ắđ x2 = .
Lời giải. Ta có ax3 + bx2 + cx + d = 0 ¾¾
a
3a
Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 - 3mx2 + 6mx - 8 = 0. ( *)
Từ giả thiết suy ra phương trình ( *) có một nghiệm x = m.
ém= - 1
3
. 2 + 6mm
. - 8= 0 « ê
.
Thay x = m vào phương trình ( *) , ta được m - 3mm
ê
ëm= 2
éx = - 4
ê
Thử lại: · Với m= - 1, ta được x + 3x - 6x - 8 = 0 Û ê
êx = - 1: thỏa mãn.
êx = 2
ë
· Với m= 2, ta được x3 - 6x2 +12x - 8 = 0 Û x = 2: không thỏa mãn.
Vậy m= - 1 là giá trị cần tìm. Chọn C.
3

2

2
2
Câu 53. Với điều kiện nào của tham số k thì phương trình 4x ( 1- x ) = 1- k có

bốn nghiệm phân biệt?
A. 0 < k < 2.
B. k < 3.

C. - 1< k < 1.

D. 0 < k < 1.

Lời giải. Xét hàm trùng phương y = 4x ( 1- x ) =- 4x + 4x , có
2

2

4

2

éx = 0 ắắ
đ y( 0) = 0
ờ
ờ
3
ổ 2ử
yÂ= - 16x + 8x ắắ
đ yÂ= 0 ờ
.

2
ữ
ỗ
ắắ
đ yỗ
ữ
=1
ờx =
ữ
ỗ
ữ
ờ
ỗ
2
ố 2ứ
ở
YCBT Û yCT < 1- k < yCD Û 0 < 1- k < 1Û 0 < k < 1. Chọn D.
4
2
Biện luận số nghiệm của phương trình ax + bx + c = m ( a > 0, b < 0) .
4

2

( 1)

Cách 1. Phương trình ax + bx + c = m là phương trình hồnh độ giao điểm của
đồ thị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c và đường thẳng y = m (có phương
song song với trục hoành)
Do hệ số a > 0, b < 0 nên đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có dạng như sau:

Dựa vào đồ thị ta có:
· ( 1) vơ nghiệm Û m< yCT .
ém= yCT
· ( 1) có 2 nghiệm Û ê
.
êm> yCD
ë
· ( 1) có 3 nghiệm Û m= yCD .
· ( 1) có 4 nghiệm Û yCT < m< yCD .

23


Cách 2. Phương trình ax4 + bx2 + c = mơắ
đ ax4 + bx2 + c- m= 0. ( 2)
Do hệ số a > 0, b < 0 nên đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c- m
Ta có các trường hợp sau:
· ( 2) vơ nghiệm Û yCT > 0.

có dạng như sau:

éyCT = 0
· ( 2) có 2 nghiệm Û ê
.
êyCD < 0
ë
· ( 2) có 3 nghiệm Û yCD = 0.
· ( 2) có 4 nghiệm Û yCT < 0 < yCD .
4
2

3
Câu 54. Cho hàm số y = x - m( m+1) x + m với m là tham số thực. Tìm tất cả
các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
A. m> 1.
B. m>- 2.
C. m> 2.
D. 0 < m¹ 1.
4
2
3
Lời giải. Xét hàm trùng phương y = x - m( m+1) x + m , cú

ộx = 0 ắắ
đ y = m3
ờ
2
yÂ= 4x - 2m( m+1) x ắắ
đ yÂ= 0 ờ
.
m2 ( m+1)
ờ 2 m( m+1)
ắắ
đ y=+ m3
ờx =
ờ
2
4
ở

y

<
0
<
y
YCBT
hm s cú ba điểm cực trị và CT
CD
ìï m( m+1)
ïï
>0
ïï
2
Û í
Û 0 < m¹ 1 . Chọn D.
ïï m2 ( m+1) 2
3
3
ïï +m < 0< m
ïỵ
4
3

Câu 55. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x4 - 2x2 + 2020- m= 0
có đúng ba nghiệm.
A. m= 6060.
B. m= 4040.
C. m= 2020.
D. m= 1794.
Lời giải. Xét hàm trùng phương y = x4 - 2x2, cú
ộx = 0 ắắ

đ y( 0) = 0
yÂ= 4x3 - 4x ắắ
đ yÂ= 0 ờ
.
ờ
đ y( ±1) = - 1
ê
ëx = ±1¾¾
YCBT Û m- 2020 = yCD Û m- 2020 = 0 Û m= 2020. Chọn C.
4
2
Câu 56*. Cho hàm số y = - x + 2( 2+ m) x - 4- m với m là tham số thực. Có
bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số khơng có điểm chung với
trục hoành?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
4
2
y
=
x
+
2
2
+
m
x
4

m
,
(
)
Lời giải. Xét hàm trùng phương
có

éx = 0
y¢= - 4x3 + 4( 2+ m) x ắắ
đ yÂ= 0 ờ
ờx2 = 2 + m.
ở
Da vo dáng điệu của hàm trùng phương với hệ số của x4 âm, ta có các
trường hợp sau thỏa mãn yêu cầu bài toán:
24