Public giữa kì giải tích k16 21 22

Training Giải Tích
BHT Đồn khoa MMT&TT – Training giữa kì I K16

Nguyễn Cao Thi – MMTT 2021
Đinh Minh Tuấn – MMTT 2021

Đinh Bùi Huy Phương – ATTT2021


Đề thi giữa kỳ năm 2020
Câu 1. (2 điểm) Chứng tỏ giới hạn sau không tồn tại :

Câu 2. (2 điểm) Tìm cực trị của hàm số:

Câu 3. (3 điểm)
a) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau:
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi số:
Câu 4. (3 điểm) Xét sự hội tụ của các tích phân:

2


Nội dung
01

Giới hạn của hàm số
Giới hạn của hàm số 1 biến và nhiều biến

02

Cực trị của hàm số hai biến

04

Chuỗi số

Đạo hàm – Đạo hàm riêng – Cực trị tự do

Chứng minh giới hạn khơng tồn tại

03

Tích phân suy rộng
Tính tích phân suy rộng loại 1, loại 2

Xét tính hội tụ của chuỗi số
Chuỗi số dương, chuỗi có dấu tùy ý,
Chuỗi đan dấu, chuỗi lùy thừa, chuỗi hàm

3


Topic 01

Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn của hàm 1 biến
- Các quy tắc để tính giới hạn

2. Giới hạn của hàm nhiều biến
- Định nghĩa giới hạn của hàm nhiều biến

- Vô cùng bé và Vô cùng lớn

- Tính giới hạn của hàm nhiều biến

- Quy tắc L’Hơpital

- Chứng minh giới hạn không tồn tại

- Định lý kẹp

4


Giới hạn của hàm số
I. Giới hạn hàm 1 biến
a/ Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) được xác định trong khoảng [a, b]. Ta nói giới hạn
của hàm số f(x) khi x tiến tới x0 ∈ [a, b] bằng L và viết:
𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝑳
𝒙 → 𝒙𝟎

Như vậy, hàm số f(x) có giới hạn L (hữu hạn), khi x dần tiến tới x0
nếu với bất kì 𝝐 > 0 cho trước ta tìm được 𝜹 > 𝟎 sao cho khi
0 < |x – x0| < 𝜹 thì |f(x) – L| < 𝝐

5


Các kết quả giới hạn cần nhớ

sin a(x)
1) lim
a x →0 a(x)

=

tan a(x)
lim
a x →0 a(x)

2) Nếu 𝛼 ≥ 1, 𝛽 > 1 thì

=1

ln(x)
lim 𝛼
x→+∞ x

x𝛼
= lim x
x→+∞ 𝛽

=0

3) Nếu lim u x = a > 0, lim v x = b thì lim u x
x→x0

4) lim (1 +
x→±∞

x→x0

1 x
) = lim(1
x
x→0

x→x0

v x

= ab

1
x

+ x) = e
6


Giới hạn của hàm số
I. Giới hạn hàm 1 biến
b/ Phương pháp tính giới hạn:
1) Vơ cùng bé, vơ cùng lớn
2) Quy tắc L’Hospital
3) Định lý kẹp

7

Giới hạn của hàm số
I.1) Vô cùng bé, vô cùng lớn:
Vô cùng bé:
- Cho hàm số f(x), ta gọi f(x) là vô cùng bé khi x -> x0 nếu:
lim f(x) = 0
x → x0

Vô cùng lớn:
- Cho hàm số f(x), ta gọi f(x) là vô cùng lớn khi x -> x0 nếu:
lim |f(x)| = +∞
x → x0

8


Giới hạn của hàm số
I.1) Vô cùng bé, vô cùng lớn:
Một số vô cùng bé tương đương cần nhớ khi x -> 0:

- sin(x) ~ tan(x) ~ arcsin(x) ~ arctan(x) ~ x
𝐱
𝐚
−𝟏
x
- e –1~
~ ln(1 + x) ~ x

Mr. Serj Protector
Researcher

𝐥𝐧(𝐚)

- (1 + x)a - 1 ~ ax
𝐱𝟐
- 1 – cos(x) ~
𝟐
Lưu ý: Các VCB cũng đúng với u(x)
Mr. Eric Shun
nếu u(x) -> 0 khi x -> x0
Không thay VCB tương đương với hiệu 2 VCB.
Researcher

Researcher

9


Giới hạn của hàm số
I.1) Vô cùng bé, vô cùng lớn:
Quy tắc ngắt bỏ các vô cùng bé:
- Cho a(x) và b(x) là tổng các VCB khác bậc khi x -> x0, khi đó
a(x)
lim
bằng giới hạn tỉ số 2 VCB bậc thấp nhất của tử và
x → x0 b(x) Portfolio One

Portfolio Two

mẫu.
Pellentesque ullamcorper orci mi, ut bibendum

Pellentesque ullamcorper orci mi, ut bibendum

odio maximus. Aenean sed auctor neque. Duis

odio maximus. Aenean sed auctor neque. Duis

10


Giới hạn của hàm số
I.1) Vô cùng bé, vô cùng lớn:
Quy tắc ngắt bỏ các vô cùng lớn:
- Cho a(x) và b(x) là tổng các VCL khác bậc khi x -> x0, khi đó
a(x)
lim
bằng giới hạn tỉ số 2 VCL bậc cao nhất của tử và
x → x0 b(x)Portfolio One

Portfolio Two

mẫu.
Pellentesque ullamcorper orci mi, ut bibendum

Pellentesque ullamcorper orci mi, ut bibendum

odio maximus. Aenean sed auctor neque. Duis

odio maximus. Aenean sed auctor neque. Duis

11


Giới hạn của hàm số
I.2) Quy tắc L’Hospital:
Cho 2 hàm số a(x) và b(x) tồn tại giới hạn tại x0, khi đó:
Nếu: lim a x = lim b(x) = 0
x → x0

x → x0

x → x0
a′(x)
lim
x → x0 b′(x)

x → x0

hoặc lim a x = lim b(x) = ∞

và

tồn tại thì:
a(x)
a′(x)
lim b(x) = xlim
→ x0b′(x)
x → x0

Quy tắc L’Hospital thường được sử dụng trong trường hợp

không sử dụng được VCB tương đương

12


Giới hạn của hàm số
I.3) Định lý kẹp:
Cho 3 hàm số a(x), b(x), c(x) xác định, giả sử ta có:
a(x) ≤ b x ≤ c(x)
và:
lim a x = lim c x = L

thì

x → x0

x → x0

lim b x = L

x → x0

13


Giới hạn của hàm số
II. Giới hạn hàm nhiều biến:
a/ Định nghĩa:
Hàm số f(x, y) có giới hạn là L khi (x, y) -> (x0, y0) nếu
∀𝝐 > 0, ∃𝜹 > 0 sao cho 0 < p < 𝜹 ⇒ f x, y − L < 𝜺

Trong đó p = x − x0 2 + (y − y0)2
b/ Chứng minh giới hạn không tồn tại:
Giới hạn của hàm số tại 1 điểm là duy nhất
Portfolio One
Portfolio Two
Pellentesque
Hàm số
có nhiều giá trị khác nhauPellentesque
khi dần
tới 1
ullamcorper orci mi, ut bibendum
ullamcorper orci mi, ut bibendum
odio
maximus.bằng
Aenean sednhiều
auctor neque.
Duis
odio maximus.
Aenean sed có
auctor neque. Duis
điểm
hướng
khác nhau
thì khơng
giới hạn tại điểm đó.
14


Topic 01
Giới hạn của hàm số

Bài tập luyện tập
Tính giới hạn
của hàm nhiều biến

Chứng minh 1 hàm nhiều biến
không tồn tại giới hạn

15


Tính giới hạn của các hàm số sau
1 − cos(2𝑥)
lim
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)

2𝑥 2 𝑦
lim
𝑥,𝑦 →(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2

16


Tính giới hạn của các hàm số sau
1 − cos(2𝑥)
lim
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)

Cách 1: Nhân liên hợp và dùng vô cùng bé tương đương
lim

1− cos(2x)

x→0

2

sin (x)

= lim

1−cos 2𝑥
2

x → 0 sin (x) 1+ cos 2𝑥

(∗)

Khi x → 0 ta có: sin(x) ~ x; 1 – cos(2x) ~
(*) ~

lim

4x2
2

x → 0 2x 1+ cos 2𝑥

= lim

2

x → 0 1+ cos 2𝑥

4x2
2

=1
17


Tính giới hạn của các hàm số sau
1 − cos(2𝑥)
lim
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)
Cách 2: L’Hospital
lim

x→0

1− cos(2x)
2

sin (x)

= lim

x→0

−1
sin(2x)cos 2 (2x)

sin(2x)

= lim cos
x→0

−1
2

2x = 1

18


Tính giới hạn của các hàm số sau
2𝑥 2 𝑦
lim
𝑥,𝑦 →(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2

Ta có:
=>0 ≤

Mà

x2
0≤ 2 2≤

x +y
2x2 y
≤ 2y
2
2
x +y

lim

(x,y)→(0,0)

0=

1

lim

(x,y)→(0,0)

2y = 0

Theo định lý kẹp ta được
2x 2 y
lim
= 0
2
2
x,y →(0,0) x + y

19

Chứng minh không tồn tại giới hạn

2 3

sin(𝑥 𝑦 )
lim
𝑥,𝑦 →(0,0) 𝑥 4 + 𝑦 6
(đề thi giữa kì năm 2019)

lim

𝑥,𝑦 →(2,0)

(x − 2)𝑦 2
𝑥 − 2 3 + 𝑦4

(đề thi giữa kì năm 2020)

20


Chứng minh không tồn tại giới hạn
sin(𝑥 2 𝑦 3 )
lim
𝑥,𝑦 →(0,0) 𝑥 4 + 𝑦 6
2
3

Cho y=kx , k là hằng số, ta có:
lim

x,y →(0,0)

2
3

f(x,y) = lim f(x, kx ) =
x→0

sin(k3 x4 )
lim 4
x→0 x (1+k6 )

~

k3 x4
lim 4
x→0 x (1+k6 )

=

k3
1+k6

Ta thấy giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá
trị của k khác nhau ta sẽ có những giới hạn khác nhau
Vậy hàm số đã cho không tồn tại giới hạn tại điểm (0,0)
21

Chứng minh không tồn tại giới hạn
lim

𝑥,𝑦 →(2,0)

(x − 2)𝑦 2
𝑥 − 2 3 + 𝑦4

Đặt t = x – 2, ta có t → 0 khi x → 2:
lim

x,y →(2,0)

f(x,y) =

lim

t,y →(0,0)

f(t, y) =

ty2
lim
t,y →(0,0) t3 +y4

Cho y = kt, k là hằng số ta có:
lim

t,y →(0,0)

f(t, y) = lim f(t, kt) =
t→0

k2 t3
k2
lim 3
= lim
4
t→0 t (1+tk )
t→0 1+tk4

= k2

Ta thấy giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá
trị của k khác nhau ta sẽ có những giới hạn khác nhau
Vậy hàm số đã cho không tồn tại giới hạn tại điểm (2, 0)
22


Topic 02

Cực trị của hàm số 2 biến

1. Đạo hàm
- Tính đạo hàm của hàm hai biến
- Đạo hàm riêng

- Đạo hàm riêng cấp cao

2. Cực trị tự do
- Tìm và biện luận cực trị tự do của

hàm hai biến


Cực trị hàm 2 biến
1. Đạo hàm riêng
a). Đạo hàm riêng cấp 1
Cho hàm số𝑓 𝑥, 𝑦 xác định trên miền mở D ⊂ ℝ2
chứa điểm 𝑀0 𝑥0 , 𝑦0

𝑓𝑥′

𝑥0 , 𝑦0 hay

𝜕𝑓
𝜕x

𝑥0 , 𝑦0 hay 𝑓𝑥 𝑥0 , 𝑦0

Cố định y 0 , nếu hàm số f (x , y 0 ) có đạo hàm tại x 0
thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x
của hàm số f (x , y ) tại (x 0, y 0 ), ký hiệu là:
24


Cực trị hàm 2 biến
1. Đạo hàm riêng

a. Đạo hàm riêng cấp 1

• Đạo hàm riêng theo biến 𝑥 tại 𝑥0 , 𝑦0

𝑓𝑥′

𝑥0 , 𝑦0 =

𝑓 𝑥,𝑦0 −𝑓 𝑥0 ,𝑦0
lim
𝑥−𝑥0
𝑥→𝑥0

• Đạo hàm riêng theo biến 𝑦 tại 𝑥0 , 𝑦0

𝑓𝑦′

𝑥0 , 𝑦0 =

𝑓 𝑥0 ,𝑦 −𝑓 𝑥0 ,𝑦0
lim
𝑦−𝑦0
𝑦→𝑦0

Đạo hàm biến nào thì biến cịn lại ta coi như là một hằng số
25