Public giữa kì giải tích k16 21 22

Training Giải Tích
BHT Đồn khoa MMT&TT – Training giữa kì I K16

Trainer Nguyễn Cao Thi – MMTT 2021
s:
Đinh Minh Tuấn – MMTT 2021
Đinh Bùi Huy Phương – ATTT2021


Đề thi giữa kỳ năm
2020
Câu 1. (2 điểm) Chứng tỏ giới hạn sau khơng
tồn tại :
Câu 2. (2 điểm) Tìm cực trị của hàm
số:
Câu 3. (3
điểm)
a) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
sau:
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi
số:
Câu 4. (3 điểm) Xét sự hội tụ của các tích
phân:

2


Nội dung
01

Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số 1 biến và nhiều

02

biến

03

Tính tích phân suy rộng loại 1, loại
2

hai biến
Đạo hàm – Đạo hàm riêng – Cực trị

Chứng minh giới hạn khơng tồn tại

Tích phân suy rộng

Cực trị của hàm số

tự do

04

Chuỗi số
Xét tính hội tụ của chuỗi số
Chuỗi số dương, chuỗi có dấu tùy ý,
Chuỗi đan dấu, chuỗi lùy thừa, chuỗi
hàm

3


Topic 01
Giới hạn của hàm số
1. Giới hạn của hàm 1
biến
- Các quy tắc để tính giới hạn
- Vơ cùng bé và Vô cùng lớn

2. Giới hạn của hàm nhiều
biến
- Định nghĩa giới hạn của hàm nhiều
biến

- Quy tắc L’Hôpital

- Tính giới hạn của hàm nhiều biến

- Định lý kẹp

- Chứng minh giới hạn không tồn tại

4


Giới hạn của hàm số
I. Giới hạn hàm 1
biến 
a/ Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) được xác định , b]. Ta nói giới hạn của
hàm số f(x) khi x tiến tới x0 , b] bằng L và viết:
Như vậy, hàm số f(x) có giới hạn L (hữu hạn), khi x dần
tiến tới x0 nếu với bất kì > 0 cho trước ta tìm được sao
cho khi
0 < |x – x0| < thì |f(x) – L| <
5


Các kết quả giới hạn cần nhớ
1
2) Nếu thì
3) Nếu
4

6


Giới hạn của hàm số
I. Giới hạn hàm 1 biến 
b/ Phương pháp tính giới
hạn:
1) Vơ cùng bé, vơ cùng
lớn
2) Quy tắc
L’Hospital
3) Định lý kẹp

7

Giới hạn của hàm số
I.1) Vô cùng bé, vô cùng
lớn:

Vô cùng bé:
- Cho hàm số f(x), ta gọi f(x) là vô cùng bé khi x -> x 0
nếu:
Vô cùng lớn:
- Cho hàm số f(x), ta gọi f(x) là vô cùng lớn khi x -> x 0
nếu:
8


Giới hạn của hàm số
I.1) Vô cùng bé, vô cùng
lớn:

Một số vô cùng bé tương đương cần nhớ khi x -> 0:

Mr. Serj Protector
- sin(x) ~ tan(x) ~ arcsin(x) ~ arctan(x)
~x
- ex – 1 ~ ln(1 + x) ~ x
- (1 + x)a - 1 ~ ax
- 1 – cos(x) ~
Lưu ý: Các VCB cũng đúng với u(x)
nếu u(x) -> 0 khi x -> x0
Mr. Eric Shun
Không thay VCB tương đương với hiệu 2 VCB.

Researcher

Researcher

Researcher

9


Giới hạn của hàm số
I.1) Vô cùng bé, vô cùng
lớn:

Quy tắc ngắt bỏ các vô cùng bé:
- Cho a(x) và b(x) là tổng các VCB khác bậc khi x ->
x0, khi đó giới hạn tỉ số 2 VCB bậc thấp nhất của tử
Portfolio One
Portfolio Two
và mẫu.
Pellentesque ullamcorper orci mi, ut

Pellentesque ullamcorper orci mi, ut

bibendum odio maximus. Aenean sed

bibendum odio maximus. Aenean sed

auctor neque. Duis

auctor neque. Duis

10


Giới hạn của hàm số
I.1) Vô cùng bé, vô cùng
lớn:

Quy tắc ngắt bỏ các vô cùng lớn:
- Cho a(x) và b(x) là tổng các VCL khác bậc khi x ->
x0, khi đó giới hạn tỉ số 2 VCL bậc cao nhất của tử
Portfolio One
Portfolio Two
và mẫu.
Pellentesque ullamcorper orci mi, ut

Pellentesque ullamcorper orci mi, ut

bibendum odio maximus. Aenean sed

bibendum odio maximus. Aenean sed

auctor neque. Duis

auctor neque. Duis

11


Giới hạn của hàm số

I.2) Quy tắc L’Hospital:
Cho 2 hàm số a(x) và b(x) tồn tại giới hạn tại x 0, khi
đó:
Nếu:
hoặc
và tồn tại thì:
Quy tắc L’Hospital thường được sử dụng trong trường
hợp không sử dụng được VCB tương đương
12


Giới hạn của hàm số
I.3) Định lý kẹp:
Cho 3 hàm số a(x), b(x), c(x) xác định, giả sử ta
có:
a(x) c(x)
và:
thì

13


Giới hạn của hàm số
II. Giới hạn hàm nhiều biến:
a/ Định nghĩa:
Hàm số f(x, y) có giới hạn là L khi (x, y) -> (x 0, y0)
nếu
Trong đó p =
b/ Chứng minh giới hạn không tồn tại:
Giới hạn của hàm số tại 1 điểm là duy nhất

Portfolio One
Portfolio Two
Þ Hàm số có nhiều giá trị khác nhau khi dần
Pellentesque ullamcorper orci mi, ut
Pellentesque ullamcorper orci mi, ut
tới
1 odio
điểm
bằng
nhiều hướng khác
nhau
thì
bibendum
maximus.
Aenean sed
bibendum odio
maximus.
Aenean sed
auctor neque. Duis
auctor neque. Duis
khơng
có giới hạn tại điểm đó.

14


Topic 01
Giới hạn của hàm số

Bài tập luyện tập

Tính giới hạn
của hàm nhiều biến

Chứng minh 1 hàm nhiều
biến không tồn tại giới hạn

15


Tính giới hạn của các hàm số
sau
lim

1− √ cos ⁡(2 𝑥 )

𝑥→0

lim

2

𝑠𝑖𝑛 ( 𝑥)

( 𝑥 , 𝑦 ) →(0,0)

2

2𝑥 𝑦
2
2

𝑥 +𝑦
16


Tính giới hạn của các hàm số
sau
1− √ cos ⁡(2
𝑥)
lim
𝑥→0

2

𝑠𝑖𝑛 ( 𝑥)

Cách 1: Nhân liên hợp và dùng vô cùng bé tương đương
=
Khi x 0 ta có: sin(x) ~ x; 1 – cos(2x) ~
(*) ~

17


Tính giới hạn của các hàm số
sau
1− √ cos ⁡(2
𝑥)
lim
𝑥→0

2

𝑠𝑖𝑛 ( 𝑥)

Cách 2: L’Hospital
=

18


Tính giới hạn của các hàm số
2
2 𝑥 𝑦sau
lim
( 𝑥 , 𝑦 ) →(0,0)

2

𝑥 +𝑦

2

Ta có: 0
=>0
Mà
Theo định lý kẹp

19

Chứng minh không tồn tại giới hạn

lim

( 𝑥 , 𝑦 ) →(0,0)

2

3

sin ⁡(𝑥 𝑦 )
4

𝑥 +𝑦

(đề thi giữa kì năm
2019)

6

lim

( 𝑥 , 𝑦 ) →(2,0)

( x − 2) 𝑦

2

3

( 𝑥 − 2) + 𝑦 4

(đề thi giữa kì năm
2020)

20