Skkn rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 9 thông qua xây dựng bài tập hình học

PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ
Ở trường phổ thông dạy tốn là dạy hoạt động tốn học (A.A. Stơliar). Đối với
học sinh, có thể xem việc giải Tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các
bài toán ở trường phổ thơng là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế
được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng,
kĩ xảo ứng dụng tốn học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực
hiện tốt các mục đích dạy học tốn ở trường phổ thơng. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc
dạy giải bài tập tốn học có vai trị quyết định đối với chất lượng dạy học toán. Bài tập
toán mang nhiều chức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức
năng phát triển tư duy và chức năng kiểm tra đánh giá. Khối lượng bài tập toán ở
trường phổ thông là hết sức phong phú, đa dạng. Có những lớp bài tốn có thuật
giải, nhưng phần lớn là những bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật giải. Đứng
trước những bài tốn đó, giáo viên gợi ý và hướng dẫn học sinh như thế nào để
giúp họ tìm ra phương pháp giải là một vấn đề hết sức quan trọng. Tuy nhiên đây
cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đưa ra được những gợi ý hợp lí, đúng lúc, đúng
chỗ cịn là nghệ thuật sư phạm của chính người giáo viên.
Rèn luyện năng lực giải tốn có vai trị quan trọng trong việc phát triển khả
năng tư duy của học sinh, vì để giải bài toán học sinh phải suy luận, phải tư duy,
phải liên hệ với các bài tốn khác để tìm ra lời giải; phải biết huy động kiến thức,
biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài tốn
chỉ có thể được phát hiện thơng qua q trình phân tích, tổng hợp, khái qt hố,
so sánh... Nguồn gốc sức mạnh của Tốn học là ở tính chất trừu tượng cao độ của
nó. Nhờ trừu tượng hố mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện
tượng và có ứng dụng rộng rãi. Nhờ có khái qt hố, xét tương tự mà khả năng
suy đoán và tưởng tượng của học sinh được phát triển, và có những suy đốn có
thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện
các thao tác tư duy.
Thông qua khai thác bài tập sách giáo khoa toán và sáng tạo xây dựng bài
toán mới làm cho học sinh đi từ bất ngờ này đến bất ngờ khác một cách thú vị, làm
cho học sinh biết được cách thức tạo ra kiến thức cũng như bài tốn mới và qua đó
ứng dụng vào giải các bài tập tốn. Trong q trình dạy học sinh lớp 9, đặc biệt là

học sinh khá - giỏi, tổ chức hoạt động khai thác kiến thức cũng như bài tập trong
nhiều tiết dạy chính khóa, trong các buổi dạy nâng cao, trong các buổi bồi dưỡng
học sinh giỏi đã thu được một số kết quả nhất định. Thông qua việc khai thác bài
tập cũng giúp học sinh lớp 9 ôn tập được kiến thức cơ bản, trọng tâm, làm cho học
sinh được rèn luyện một số phương pháp giải bài tập, học sinh có kỹ năng vẽ thêm
đường phụ, kỹ năng tìm tịi lời giải và tự tin sáng tạo bài toán mới từ các bài tập
toán trong sách giáo khoa.
Vì những lý do trên tơi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm
là:"Rèn luyện năng lực giải tốn cho học sinh lớp 9 thơng qua xây dựng bài
tập hình học"
1

skkn


PHẦN II- NỘI DUNG
A. Thực trạng, mục đích và phương pháp nghiên cứu.
1. Thực trạng của vấn đề.
- Khi giảng dạy trên lớp gặp các bài tập về hình học, tơi thấy học sinh cịn
rất nhiều lúng túng trong việc vẽ hình, hay tìm định hướng làm bài, đặc biệt là học
sinh học ở mức độ trung bình.
- Giáo viên khi dạy học sinh giải bài tập hình học, thường chỉ chữa bài tập là
xong, ít khai thác, phân tích đề bài để mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh
gặp bài tốn khác một chút là khơng giải được.
- Học sinh thường ngại học hình học vì kiến thức hình học khơng dễ nhớ,
khó tìm phương pháp giải, các bài tốn hình học tổng hợp thường phức tạp, phải áp
dụng cùng một lúc nhiều kiến thức.
2. Mục đích nghiên cứu.
a. Đối với giáo viên:
- Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy.

- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nhằm nâng cao kiến thức.
b. Đối với học sinh:
- Giúp học sinh lớp 9 rèn luyện năng lực học tập môn tốn nói chung và việc rèn
luyện năng lực học tập hình học nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kỹ năng
mới nhằm nâng cao năng lực học tập mơn tốn, giúp các em tiếp thu bài một cách
chủ động, sáng tạo.
- Rèn luyện năng lực toán cho học sinh lớp 9, khắc phục một phần hạn chế trong
các kì thi của học sinh lớp 9.
3. Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại trường.
Nghiên cứu qua mạng Internet.
- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp.
- Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, . . .
4. Kết quả cần đạt.
- Trong đề tài này đưa ra một số tình huống khai thác bài tập trong sách giáo khoa
toán 9 nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 9.
- Trang bị cho học sinh một số kỹ năng phân tích, nhận xét, khai thác các kết quả
bài tốn trong việc rèn luyện năng lực giải toán.
- Thấy được vai trị to lớn của các bài tập hình học trong sách giáo khoa, học sinh
vận dụng được cho một số bài toán khác.
2

skkn


B. Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 9 thơng qua khai thác phát
hiện bài tốn mới.
1. Bài toán gốc ban đầu.
Bài toán: Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của A B C cắt nhau tại H( C
cắt đường tròn ngoại tiếp A B C lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) CD = CE

b)

BHD

cân

90

0

) và

c) CD = CH

(Bài tập 95 – SGK tốn 9 tập 2 trang 105)
Phân tích bài tốn
Đây là bài tốn trong chương trình Hình học 9, là bài tập nhằm củng cố lại
kiến thức về đường tròn và góc với đường trịn, nên để giải bài tập ta cần chỉ rõ
cho học sinh phương pháp cũng như các kiến thức liên quan. Cụ thể:
a) Để chứng minh CD = CE ta cần chứng minh hai góc nội tiếp chắn hai cung
đó bằng nhau.
b) Từ kết quả chứng minh ở câu a, ta chứng minh được tam giác BHD có BM
vừa là đường cao vừa là đường phân giác.
c) Từ kết quả chứng minh ở câu b, ta chứng minh được BC là đường trung
trực của HD.
Từ đó ta có thể giải bài tốn như sau:
Bài giải
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AD

với BC và BE với AC
a) Ta có
BE
C

AC
D

H M
B

AC
D

Mà

90

H N
A

H N
A

AC
D

H N
A

90

0

0

H
BE
C

H M
B

0

( = 90 )

O
B

C
E

C
D

(các góc nội tiếp
bằng nhau chắn các cung bằng nhau)
CD

CE

(Liên hệ giữa cung và dây)

BHD

cân tại B

BC

C

M

D

B C
 B D ( hệ quả góc nội tiếp)
b) Ta có C D C E
E
C
BM vừa là đường cao vừa là đường phân giác)

c) Ta có

E
N

và

H M
B
BE
C

A

BHD

cân (Vì có

là đường trung trực của HD (vì BC chứa BM)

CD = CH ( tính chất đường trung trực )

3

skkn


2. Khai thác bài toán gốc ban đầu để phát hiện xây dựng các bài tập hình học.
Xuất phát từ bài toán trong sách giáo khoa toán 9, giáo viên đưa ra các tình
huống khai thác, mở rộng bài tốn mới thông qua các hệ thống các câu hỏi được
xây dựng trong mỗi định hướng. Từ các định hướng đó, học sinh trả lời và xây
dựng cho mình các bài tập hình học mới. Qua đó có thể củng cố kiến thức, nâng
cao năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải tốn cho học sinh.
Tình huống 1: Xét tam giác ABC có ba góc
nhọn nội tiếp đường trịn (O). Các đường
cao AM, BN, CP cắt nhau tại H và cắt
đường tròn (O) lần lượt tại D, E, F. Khi đó

trong bài tốn xuất hiện các tam giác đồng
dạng, các tứ giác nội tiếp. Vậy có thể khai
thác được kết quả gì từ các tam giác đồng
dạng cũng như các tứ giác nội tiếp đó.

A
E

N
F

P
H

O

C

M

B

Giáo viên có thể nêu các câu hỏi định
hướng như sau:

D

+ Định hướng 1: Các tứ giác CNHM, BCNP nội tiếp khơng. Vì sao?
- Học sinh chứng minh: Xét tứ giác CNHM ta có: C N H 9 0 và CM H 9 0
N H

M H
C
C
1 8 0 . Do đó CNHM là tứ giác nội tiếp. Tương tự ta có BCNP
là tứ giác nội tiếp
0

0

0

+ Định hướng 2: Các A N H ,
A H . A M ?Xét tương tự cho hai

AM C
BNC ,

có đồng dạng không? so sánh
AM C .

A N .A C

với

- Học sinh chứng minh:
Xét hai tam giác ANH và AMC ta có:
chung
ANH ∽

AM C

AN

AH

AM

AC

Xét hai tam giác BNC và AMC ta có:
BNC ∽

AM C

BN

BC

AM

AC


ANH

A N .A C

N C
B


AM C

90

A M .A H


AM C

A M .B C

90

0

0

và

 AC
M

là góc

.

và



ACB

là góc chung

B N .A C

+ Định hướng 3: Chứng minh được A H . A M A P . A B ; B H . B N B P . B A và cộng
vế với vế của hai đẳng thức trên ta được kết quả như thế nào? Áp dụng tương tự
thì thu được đẳng thức nào?
- Học sinh chứng minh được:
AH.AM + BH.BN = AB , BH.BN + CH.CP = BC , AH.AM + CH.CP = AC
2

2

Công vế với vế của ba đẳng thức trên ta được
4

skkn

2


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

A H .A M

B H .B N

C H .C P

AB

2

2

BC

CA

2

2

+ Định hướng 4: Trong tam giác MNP, DEF trực tâm H có tính chất gì?
N B
P

- Học sinh chứng minh: Tứ giác BCNP nội tiếp một đường tròn
N M
H

Cũng theo chứng minh trên CNHM là tứ giác nội tiếp
N B
P

N M
H

C B
P

C M
H

. Suy ra NB là tia phân giác của góc MNP.

- Chứng minh tương tự ta cũng có PC là tia phân giác của góc MPN mà BN và
CP cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP.
- Mặt khác chứng minh được MN//DE, NP//EF, MP//DF do đó H là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác DEF
Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường
cao AM, BN, CP cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D, E, F.
a) Chứng minh các tứ giác CNHM, BCNP nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AN.AC = AH.AM; AM.BC = BN.AC.
c) Chứng minh rằng AH.AM + BH.BN = AB . Từ đó suy ra
2

A H .A M

B H .B N

C H .C P

AB

2

BC

2

2

CA

.

2

d) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP, DEF.
Tình huống 2: Xét tam giác ABC có ba góc
nhọn nội tiếp đường trịn (O). Các đường cao
AM, BN, CP cắt nhau tại H và cắt đường trịn
(O) lần lượt tại D, E, F. Khi đó các cạnh, các
đường cao cũng như diện tích các tam giác có
mối liên hệ gì với nhau khơng?

A
E

N
F

P
H

Giáo viên có thể nêu các câu hỏi định

hướng như sau:

O

C

M

B

D

+ Định hướng 1: Giáo viên nêu ra các câu hỏi liên quan đến tỉ số diện tích của
các tam giác và tỉ số của các đoạn thẳng.
?1. Tính

S
S

HBC

ABC

,

S
S

HAB

ABC

,

S

HAC

S

ABC

- Học sinh tính được :

S
S

HBC

HM

ABC

AM

;

S
S

HAB

HP

ABC

CP

S

HAC

HN

S

ABC

BN

;

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

5

skkn


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

?2. Với kết quả trên hãy tính
- Học sinh tính được

HM

HN

HP

AM

BN

CP

HM

HN

HP

AM

BN

CP

S

HBC

S

HAC

S

ABC

S

HA

HB

HC

AM

BN

CP

?3. Tương tự giáo viên cho học sinh tính

HA

HB

HC

AM

BN

CP

- Từ hệ thức trên học sinh tính được:

HAB

S

ABC

S

ABC

1

2

?4. Các điểm D, E, F đối xứng với H qua BC, CA, AB khơng?
Khi đó

AD

BE

CF

AM

BN

CP

?

AD

- Học sinh tính được

BE

CF

MD

NE

PF

AM

BN

CP

3
AM

BN

CP

4

+ Định hướng 2: Với p là nửa chu vi của tam giác ABC, r là bán kính đường trịn
nội tiếp tam giác ABC. Tìm hệ thức liên hệ giữa r và AM, BN, CP?
- Học sinh chứng minh được
1

1

1

AM

BN

CP

. Nên

1

1

1

1

AM

BN

CP

r

Vì
Mà

S

ABC

pr

BC
2S

AC
2S

ABC

AB

ABC

2S

BC

CA
2S

ABC

AB

2p
2S

ABC

ABC

+ Định hướng 3: Giáo viên nêu nội dung các câu hỏi để xây dựng hệ thức của các
đoạn thẳng.
?1. Chứng minh

S

HBC

H B .H C

S

ABC

A B .A C

và nêu kết quả tương tự

- Học sinh chứng minh được
Suy ra

S

HBC

H B .C N

H B .H C

S

ABC

A B .C P

A B .A C

Chứng minh tương tự ta có:

CHN ∽

S
S

?2. Với kết quả trên được

CAP

HAC

H A .H C

ABC

B C .B A

H A .H C

H A .H B

A B .A C

B A .B C

C A .C B

- Học sinh tính được:

H B .H C

H A .H C

H A .H B

A B .A C

B A .B C

C A .C B

CN

CA

CP

.

S

HBC

H A .H B

S

ABC

C B .C A

;

H B .H C

CH

?

S

BHC

S

AHC

S

ABC

S

AHB

1

+ Định hướng 4: Giáo viên nêu nội dung câu hỏi về bài toán bất đẳng thức về tỉ
số của các đoạn thẳng.

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

6

skkn


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

?1. Theo bất đẳng thức Cơsi thì
Học sinh có kết quả
?2. Vậy từ đó ta được

HM

HN

HP

AM

BN

CP

AM

BN

CP

HM

HN

HP

?

HM

HN

HP

AM

BN

CP

AM

BN

CP

HM

HN

HP

9

AM

BN

CP

HM

HN

HP

Học sinh nêu kết quả

?

HM

HN

HP

AM

BN

CP

AM

BN

CP

HM

HN

HP

1

9

?3. Tương tự giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh
HM

HN

HP

3

HA

HB

HC

2

HA

HB

HC

BC

CA

AB

;

3

Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài tốn mới
Bài tốn 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O). Các đường
cao AM, BN, CP cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D, E, F.
a) Chứng minh rằng

HM

HN

HP

AM

BN

CP

1

1

1

1

AM

BN

CP

r

b) Chứng minh rằng

1

,

HA

HB

HC

AM

BN

CP

2

,

AD

BE

CF

AM

BN

CP

4

với r là bán kính đường trịn nội tiếp

tam giác ABC.
c) Chứng minh rằng

H B .H C

H A .H C

H A .H B

A B .A C

B A .B C

C A .C B

1

d) Chứng minh rằng:
AM

BN

CP

HM

HN

HP

9

,

HM

HN

HP

3

HA

HB

HC

2

Tình huống 3: Xét tam giác ABC có ba góc
nhọn nội tiếp đường trịn (O). Các đường
cao AM, BN, CP cắt nhau tại H và cắt
đường tròn (O) lần lượt tại D, E, F. Khi đó
trong bài tốn xuất hiện các tam giác bằng
nhau, các góc bằng nhau. Vậy khai thác các

kết quả này cho ta bài toán như thế nào? Nếu
vẽ thêm đường kính AK thì có thể có thêm
các kết quả gì?

và

HA

HB

HC

BC

CA

AB

3

A
E

N

J

F

P

H

B

Giáo viên có thể nêu các câu hỏi định
hướng như sau:

O

G

C

I

M

D

K

+ Định hướng 1: Giáo viên nêu các câu hỏi khai thác các tam giác bằng nhau

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

7

skkn

C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

?1. Hai tam giác
tự.

BDC ,

BHC

có bằng nhau khơng. Vì sao? Nêu kết quả tương

- Học sinh nêu kết quả: Từ câu b, c của bài toán cơ bản ta có
BD = BH, CD = CH
Tương tự ta có

AFB

AHB

;

BDC

AEC

?2. Vậy bán kính các đường trịn ngoại tiếp các
liên hệ như thế nào với nhau?

BHC

AHC

AHB;

- Học sinh: Các đường tròn ngoại tiếp các A H B ;
bằng bán kính của đường trịn ngoại tiếp A B C .

BHC ;

BHC ;

AHC

AHC

và

ABC

có bán kính

+ Định hướng 2: Vẽ bán kính OA, dự đốn vị trí tương đối giữa các đường thẳng
OA và NP
Học sinh suy luận để tìm kết quả: Từ câu a của bài tốn cơ bản ta có: AE =
AF, Vì O là tâm của đường trịn ngoại tiếp A B C nên OA là đường trung trực của
EF.
Do đó OA
OA EF

NP. Chứng minh được NP // EF. Từ đó chứng minh rằng được

Học sinh có thể làm theo cách vẽ thêm tiếp tuyến Ax và sử dụng tính chất các
góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung.
+ Định hướng 3: Gọi I là trung điểm của BC , K là điểm đối xứng với H qua I thì
tứ giác BHCK là gì. Ba điểm A, O, K thẳng hàng không?
- Học sinh chứng minh được tứ giác BHCK là hình bình hành. Từ đó ta có BK //
A B nên B K
A B K vng tại B. Suy ra AK là
CH. Mặt khác C H
AB
đường kính của (O) hay A, O, K thẳng hàng.
+ Định hướng 4: Gọi J là trung điểm củaAH. Giáo viên cho học sinh dự đốn tính
chất các tứ giác BCKD, JOID.
?1. Tứ giác BCKD là hình gì?
- Học sinh chứng minh: Dễ thấy A D K 9 0 nên DK//BC do đó BCKD là hình
thang. Mặt khác ta có C B D C A D và H B C B C K , mà D A C H B C do đó
B D
 C K . Vậy tứ giác BCKD là hình thang cân.
C
B
0

?2. Tứ giác JOID là hình gì?
- Học sinh chứng minh: Tứ giác JOID là hình thang vì IO//DJ, mà OA= OD
và JI = OA nên IJ = OD. Do đó JOID là hình thang cân.
+ Định hướng 5: Gọi G là giao điểm của AI và OH, khi đó AI, HO là gì của tam
giác AHK. Trong tam giác ABC, điểm G có tính chất gì?
- Học sinh chứng minh: Ta có I trung điểm của BC, suy ra I trung điểm của HK.
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

8

skkn


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Do đó AI, HO trung tuyến của

AHK

G trọng tâm của

Xét tam giác ABC có I trung điểm của BC và

GI

1

AI

3

GI

1

AI

3

AHK

. Suy ra G là trong tâm của

ABC

+ Định hướng 6: Chứng minh

S ABDC

A B .C D

A C .B D
2

- Học sinh chứng minh: Tứ giác ABDC nội tiếp nên theo định lí Ptoleme ta có
AB.CD + AC.BD = AD.BC.
Mà

S ABDC

1

AD

BC

. Suy ra

2

S ABDC

A B .C D

A C .B D
2

Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới
Bài tốn 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường
cao AM, BN, CP cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D, E, F. Gọi I, J
lần lượt là trung điểm của BC và AH, K là điểm đối xứng với H qua I.
a) Chứng minh rằng bán kính đường trịn ngoại tiếp các tam giác
A H B , B H C , A H C bằng bán kính với đường trịn ngoại tiếp A B C
b) Chứng minh rằng OA

EF.

c) Chứng minh rằng tứ giác BHCK là hình bình hành và A, O, K thẳng hàng.
d) Chứng minh tứ giác BCKD, JOID là hình thang cân.
e) Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trong tâm của
g) Chứng minh

S ABDC

A B .C D

A C .B D

ABC

.

2

Tình huống 4: Xét tam giác ABC có ba góc
nhọn nội tiếp đường trịn (O). Các đường cao
AM, BN, CP cắt nhau tại H. Nếu tiếp tục khai
thác từ các tam giác đồng dạng thì ta thu được
các kết quả nào nữa? Từ bài toán 3 ta có được
OA NP, vậy có thể khai thác gì từ kết luận
này khơng?
Giáo viên có thể nêu các câu hỏi định
hướng như sau:

A

N
J

P

O

H
B

M

D

C

I
K

+ Định hướng 1: Vẽ đường kính AK. Giáo viên nêu câu hỏi khai thác tính đồng
dạng của tam giác.
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

9

skkn


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

?1. Chứng minh hai tam giác vuông ABM và AKC đồng dạng và tính AM theo bán
kính R.

ABM

- Học sinh: Xét hai tam giác vuông ABM và AKC có
giác này đồng dạng.
Suy ra

AB

AM

AK

AC

A B .A C

A M .A K

2 R .A M


AKC

.Nên hai tam

A B .A C

AM

2R

?2. Từ kết quả ?1, lập cơng thức tính diện tích tam giác ABC
- Học sinh tính được:

S

1
ABC

A B . B C .C A

A M .B C

2

4R

+ Định hướng 2: Giáo viện khai thác kết quả OA

NP từ bài tốn trên.

?1. Tính diện tích các tứ giác ONAP, OMBP, OMCN theo R
- Học sinh tính được

1

S ONAP

1

O A .N P

2

R .N P

1

;S

OM BP

2

2

1

R .P M ; S O N C M

R .M N

2

?2. Vậy diện tích tam giác ABC được tính theo R như thế nào?
- Học sinh: Suy ra

S

Tức là

S OMCN

ABC

2S

S ONAP

R. M N

ABC

1

S OPBM

NP

1

R .M N

2

2

ANP∽

ABC

và

S
S

S

- Học sinh chứng minh được

S
S
S

?2. Khi đó

S

MNP

S

ABC

ANP

ABC

2

ANP

R .P M

2

C os A

MNP, R là bán kính

. Nêu kết quả tương tự.

ABC

AN

AP

AB

AC
S

2

BPM

1

PM

+ Định hướng 3: Gọi r' là bán kính đường trịn nội tiếp
trường trịn tâm O. Giáo viên nêu các câu hỏi sau
?1. Chứng minh

R .N P

C os B;

S

ABC

2

C os A

và nêu kết quả tương tự

2

CMN

C os C

ABC

?

- Học sinh: Ta có
S
S

MNP

S

ABC

S

ANP

S

ABC

S

BPM

S

CMN

1

2

cos A

2

cos B

ABC

?3. Khi đó diện tích tam giác MNP tính theo r’ như thế nào?
- Học sinh: Theo công thức

?4. Với kết quả trên thì

r '

S

pr

ta có

2S

MNP

r '. M N

?

R
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

10

skkn

NP

PM

2

cos C


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

S ABC

+ Định hướng 4: Tính

S DBC

S BAD

và áp dụng công thức

A B . B C .C A

S

ABC

S CAD

cho ta

4R

kết quả gì?
- Học sinh nêu kết quả: Vì tứ giác ABDC nội tiếp

S ABC

S DBC

S BAD

S CAD

1

Áp dung công thức trên cho các tam giác, ta được

Hay

A B .C B .C A

D B . B C .C D

4R
B A . A D .B D

4R
C A . A D .C D

4R

4R

AD

A B .A C

D B .D C

BC

B A .B D

C A .C D

1

A B .C B .C A

D B . B C .C D

B A . A D .B D

C A . A D .C D

1

Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường
cao AM, BN, CP cắt nhau tại H cắt đường tròn (O), AM cắt (O) tại D. Gọi R là bán
kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi r' là bán kính đường trịn nội tiếp
MNP.
a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng

c) Chứng minh rằng

S

A B .B C .C A
ABC

4R

R. MN
r'

1

NP
2

cos A

PM

2S
2

cos B

ABC

2

cos C

R

d) Chứng minh rằng

AD

A B .A C

D B .D C

BC

B A .B D

C A .C D

Tình huống 5: Xét tam giác ABC có ba góc
nhọn nội tiếp đường trịn (O). Các đường cao
AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi I, J theo thứ
tự là trung điểm của BC, NP. Với các yếu tố
được vẽ thêm đó, ta có thể phát biểu được bài
tốn mới như thế nào?
Giáo viên có thể nêu các câu hỏi định
hướng như sau:

A

N

J

P

O

G

H

E
B

M

D

C

I
K

+ Định hướng 1: Vẽ đường kính AK. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, PN.
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

11

skkn

C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

?1. Tứ giác BHCK là hình gì?
- Học sinh: Tứ giác BHCK là hình bình hành và AH = 2OI
?2. Hai

ABC có đồng dạng khơng? Gọi R là bán kính đường trịn

ANP và

ngoại tiếp ABC; R' là bán kính đường trịn ngoại tiếp

ANP, khi đó

AI

?

AJ

- Học sinh: ANP ∽
ABC nên tỉ số giữa hai trung tuyến, tỉ số giữa hai bán kính
các đường trịn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng.
Do đó

AI

R

AJ

R '

?3. Thay kết quả

AH

R '

IO

ta được kết quả như thế nào?

2
AH

- Học sinh: Từ hệ thức trên ta có: R.AJ = AI. R’ = AI.

= AI .

2 .IO

2

2

Vậy R . AJ = AI . IO
R. M N
NP
P M . Cho

+ Định hướng 2: Từ trên ta chứng minh được 2 S
BC không đổi, điểm A ở vị trí nào thì chu vi tam giác MNP đạt giá trị lớn nhất?
ABC

R. M N
NP
P M mà R không đổi nên (MN + NP + PM)
- Học sinh: 2 S
đạt giá trị lớn nhất khi SABC lớn nhất.
ABC

Ta có SABC =

1
2

AM.BC do BC không đổi nên SABC lớn nhất khi AM lớn nhất,

mà AM lớn nhất khi A là điểm chính giữa của cung lớn BC.
+ Định hướng 3: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. So sánh

S

AGH

và

S

AGO

- Học sinh: Gọi H' và O' là hình chiếu của H và O trên AI. Khi đó ta có
OG

O 'O

1

GH

H 'H

2

. Do đó

S

AGH

O 'O

1

S

AGO

H 'H

2

hay

S

AGH

2 .S

AGO

+Định hướng 4: Gọi E là trung điểm của HC. Khi đó tứ giác MENP nội tiếp được
không?
- Học sinh: Các tứ giác APHN, CMHN nội tiếp, do đó

 A P . Suy ra H
NP
 C M nên M
 NP
C M .
HCM
H
H
2 .H
Mặt khác, tam giác HNC có NE là trung tuyến nên
Mà

N M
H

C M
E

suy ra

E M
H

+ Định hướng 5: Xét trường hợp

 NP
M

E M
H

NP
H

 AP
H

và

C M
2 .E

. Do đó tứ giác MENP nội tiếp.

A C
B

60

- Học sinh chứng minh: B P . B A C N .C A
Từ đó ta có B P . B A C N .C A 3 R 2

0

. Tính BP.BA + CN.CA theo R.

BC

2

và khi

A C
B

Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài tốn mới
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

12

skkn

60

0

thì

BC

R

3.


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Bài tốn 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O). Các đường
cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
ABC.
a) Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của BC, NP. Chứng minh rằng AH =
2OI và AI.OI = R.AJ
b) Hãy xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác MNP lớn nhất.
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh

S AGH

2 .S A G O

d) Gọi E là trung điểm của HC. Chứng minh tứ giác MENP nội tiếp.
e) Cho

A C
B

60

0

. Tính BP.BA + CN.CA theo R.

Tình huống 6: Xét tam giác ABC có ba
góc nhọn nội tiếp đường trịn (O). Các
đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H.
Đường tròn tâm H bán kính AH cắt AB,
AC theo thứ tự ở E, F. Cho điểm A di
chuyển trên cung lớn BC sao cho tam
giác ABC là tam giác nhọn. Khi đó có các
kết quả nào được suy ra từ việc vẽ thêm
đó?

A

J

N

P

F
H

E
B

Giáo viên có thể nêu một số câu
hỏi định hướng như sau:

O

I

C

O'

+ Định hướng 1: Chứng minh OA ^ NP
- Học sinh chứng minh: OA ^ NP
+ Định hướng 2: Đoạn thẳng NP là gì của tam giác AEF? Từ A kể đường thẳng
vng góc với EF, Đường thẳng này đi qua điểm cố định nào?
- Học sinh chứng minh: Ta có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF,
HN ^ AF nên N là trung điểm của AF, Tương tự P là trung điểm của AE
Suy ra NP là đường trung bình của tam giác AEF
Do đó NP//EF, mà OA ^ NP suy ra OA ^ EF, mà O là điểm cố định nên
đường thẳng vng góc với EF kẻ từ A đi qua điểm cố định O.
+ Định hướng 3: Từ H kẻ đường thẳng vng góc với EF, Đường thẳng này đi
qua điểm cố định nào?
- Học sinh: Gọi O' là điểm đối xứng với O qua BC, ta có OO'' ^ BC, mà AH ^ BC.
Suy ra AH//OO'.
Lại có trong tam giác khoảng cách từ trực tâm tam giác đến đỉnh bằng 2 lần
khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh tương ứng. Do đó AH = OO'
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

13

skkn


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Vậy tứ giác AHO'O là hình bình hành. Suy ra HO'//OA, mà OA ^ EF, nên
HK ^ EF. Vậy đường thẳng kẻ từ H vng góc EF đi qua điểm O'. Do O, BC cho
trước, nên O' là điểm cố định.
+ Định hướng 4: Gọi G trực tâm tam giác tam giác ANP và J là trung điểm của
AH. Chứng minh IJ, HG, NP đồng quy.
+ Định hướng 5: Cho điểm A di chuyển trên cung lớn BC cố định sao cho tam
giác ABC là tam giác nhọn, khi đó H di chuyển trên đường nào?
- Học sinh chứng minh: Tứ giác AHO’O là hình bình hành, O’ cố định và O’H =
OA = R. Do đó khi A di chuyển trên cung lớn BC cố định sao cho tam giác ABC là
tam giác nhọn thì H di chuyển trên cung trịn tâm O’ và bán kính R giới hạn bởi B
và C.
Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới
Bài toán 6: Cho tam giác ABC nơi tiếp đường trịn (O). Các đường cao BN, CP
cắt nhau tại H. Cho điểm A di chuyển trên cung lớn BC cố định sao cho tam giác
ABC là tam giác nhọn. Đường trịn tâm H bán kính AH cắt AB, AC theo thứ tự ở
E, F.
a) Chứng minh rằng

AO ^ NP

.

b) Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ A vng góc với EF ln đi qua
một điểm cố định.

c) Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ H và vng góc với EF cũng đi qua
một điểm cố định.
d) Gọi G trực tâm tam giác tam giác ANP và J là trung điểm của AH.
Chứng minh IJ, HG, NP đồng quy.
e) Chứng minh trực tâm H di động trên một đường cố định.
Tình huống 7: Xét tam giác ABC có ba góc
nhọn nội tiếp đường trịn (O). Các đường cao
AM, BN, CP cắt nhau tại H. Xét các hình
chiếu của M trên AB, BN, CP, AC. Khi đó có
những tứ giác nào nội tiếp được? Từ các từ
giác nội tiếp đó, ta có thể suy ra thêm kết luận
nào khác?
Giáo viên nêu các câu hỏi định hướng
cho học sinh

A

N
P

H

O

G

F

E
D

B

M

C

+ Định hướng 1: Gọi D, E, F, G lần lượt là các hình chiếu vng góc của M lên
AB, BN, CP, AC. Khi đó
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

14

skkn


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

?1. Các tứ giác MEHF, MEDB có nội tiếp không? Chứng minh

HEF

- Học sinh chứng minh: Dễ thấy tứ giác MEHF nội tiếp
Dễ thấy


HCM


HMF


HEF

DEB

Tứ giác MEDB nội tiếp

BCF


DMB

. Do đó


EFB


HEF


DEB


HMF


MCF

DMB


BCF

. Mà MD // CP (cùng vng góc với AB)

. Từ đó ta có


HEF


DEB

?2. Các điểm B, E, H và E, F, D có thẳng hàng khơng?Nêu kết quả tương tự?
- Học sinh: Từ


HEF


DEB

và B, E, H thẳng hàng, suy ra D, E, F thẳng hàng.

Chứng minh tương tự ta có E, F, G thẳng hàng.
Vậy bốn điểm D, E, F, G thẳng hàng
+ Định hướng 2: Cho dây BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC sao cho
tam giác ABC là tam giác nhọn. Khi đó đường trịn ngoại tiếp tứ giác APHN có
bán kính thay đổi như thế nào? Khi đó diện tích đường trịn đó thay đổi ra sao?

- Học sinh: Gọi I là trung điểm BC
khơng đổi. Mà ta có

OI

1

AH

I cố định (Do B và C cố định)

độ dài OI

độ dài AH khơng đổi

2

Vì AH là đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác APHN, độ dài AH khơng
đổi
độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác APHN khơng đổi
đường
trịn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích khơng đổi.
+ Định hướng 3: Gọi H' đối xứng với H qua BC. Giả sử BH = 2HN, AH =
H'H. Khi đó tam giác ABC là tam giác gì?
- Học sinh chứng minh:
Hai tam giác HMN và HAB có
Nên

HMN ∽

HAB

, suy ra

HN
M

HM

AHB;
HA

MH

HM

1

AH

AH

2

Do đó MN//AB. Áp dụng định lí Ta-let ta có

HN

1

HB

2

M N
; H

 AB
H

CN

CM

MN

1

CA

CB

AB

2

suy ra M, N

là trung điểm của BC, AC hay AM, BN là đường trung trực của BC, AC. Điều này
dẫn tới tam giác ABC đều.

Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới
Bài toán 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O). Các
đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H.
a) Gọi D, E, F, G lần lượt là các hình chiếu vng góc của M lên AB, BN,
CP, AC. Chứng minh bốn điểm D, E, F, G thẳng hàng.
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

15

skkn


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

b) Cho dây BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác
ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có
diện tích khơng đổi.
c) Gọi H' đối xứng với H qua BC. Giả sử BH = 2HN, AH = H'H. Chứng
minh tam giác ABC đều.
Tình huống 8: Cho tam giác ABC có ba góc
nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao
AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi D, G lần lượt
là các hình chiếu vng góc của M lên AB,
AC. Đường kính AK cắt BC tại I. Vẽ đường
thẳng qua H và song song với BC. Khi đó ta có
thể phát biểu được bài tốn mới nào?

A

N

P
I1
D

Giáo viên có thể nêu các câu hỏi định
hướng như sau

H
F

B

M

G

O
E

I2
C

I

K

+ Định hướng 1: Khi A di động trên cung lớn BC thì đường thẳng qua A và vng
góc với DG đi qua điểm cố định nào?
- Học sinh chứng minh: Dễ dàng chứng minh được DG//NP và O A N P , suy ra
OA

D G hay đường thẳng qua A và vng góc với DG lng đi qua điểm cố định
O.
+ Định hướng 2: Vẽ đường thẳng qua H và song song với BC cắt MP và MN lần
lượt tai F, E. So sánh HF và HE.
- Học sinh chứng minh được HF = HE.
+ Định hướng 3: Vẽ đường kính AK cắt BC tại I.
?1. Tính

S
S

ABI

,

ACI

S

ABM

S

, từ đó so sánh

AB
AC

ACM

2

và

2

MB

IB

MC

IC

?

- Học sinh chứng minh: Vẽ các đường cao II1, II2, MD, MG của các tam giác ABI,
ACI, ABM, ACM ta được

?2. Tính

S

ABI

BI

A B .II 1

S

ACI

CI

A C .I I 2

AB
AC

2

2

và

MB
MC

IB

và

S

ABM

BM

A B .M D

S

ACM

CM

A C .M G

, từ đó so sánh

AB
AC

IC

- Học sinh tính và so sánh: Từ đó ta có

BI
CI

2

2

BM
CM

và

MB

IB

MC

IC

AB
AC

2

2

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

16

skkn

?

I I 1 .M D
I I 2 .M G


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Mà lại có

AM D ∽

Do đó

AB
AC

2

2

A II1 ∽

A II 2 ;

MB

IB

MC

IC

AM G

nên

I I 1 .M D

AM

AI

I I 2 .M G

AI

AM

1

+ Định hướng 4: Xét trường hợp O nằm trên đường thẳng DG thì độ dài
AM=?.
+ Định hướng 5: Xét trường hợp
giác ABC theo R.

A C
B

75

0

và

BC
N

30

0

. Tính diện tích tam

Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới
Bài tốn 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các
đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi D, G lần lượt là các hình chiếu vng
góc của M lên AB, AC.
a) Chứng minh rằng đường thẳng qua A và vng góc với DG luôn đi qua
một điểm cố định khi điểm A di chuyển trên cung lớn BC.
b) Đường thẳng qua H và song song với BC cắt MP và MN lần lượt tai F,
E. Chứng minh HF = HE.
c) Vẽ đường kính AK cắt BC tại I. Chứng minh

AB

2

2

AC

MB

IB

MC

IC

d) Tính độ dài AM biết O nằm trên đường thẳng DG.
e) Xét trường hợp
theo R.

A C
B

75

0

và

BC
N

30

0

. Tính diện tích tam giác ABC

Tình huống 9: Xét tam giác ABC (
AC>AB) có ba góc nhọn nội tiếp
đường trịn (O). Các đường cao AM,
BN, CP cắt nhau tại H. Vẽ đ

A

D
N
P

(O )

O
R

H

hai là D. Đường thẳng qua M song
song với NP lần lượt cắt các đường
thẳng AB, AC, CP tại Q, R, S. Khi đó
ta có thể phát biểu được bài tốn như
thế nào?

G

S
B
Q

M

C

I
K

+ Định hướng 1: Các tứ giác ADBC, ADPN có nội tiếp không?
- Học sinh chứng minh:
, ta đư
.GA = GB.GC.
BPNC
GB GC
GN GP .
Suy ra G N G P G D G A .
.
ADPN
+ Định hướng 2: Đường thẳng GH có vng góc với AI khơng, vì sao?
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

17

skkn


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

ứ giác APHN nội tiếp suy ra D
DA .

- Học sinh:
HD

Tia DH


ADK

(O )

KC

(O )

CA, KB

90

0

BA

K
. Suy ra KH đi qua I
- Trong tam giác AGI có ID, AM là đường cao nên H là trực tâm. Suy ra

GH

AI

+ Định hướng 3: Đường thẳng qua M song song với NP lần lượt cắt các đường
thẳng AB, AC, CP tại Q, R, S.
?1. Khi đó tứ giác BQCR nội tiếp có nội tiếp khơng ?
- Học sinh: Do A B A C nên Q nằm trên tia đối của tia BA và R nằm trong đoạn
CA, từ đó Q, C nằm về cùng một phía của đường thẳng BR.
Do tứ giác BPNC nội tiếp nên A P N B C A . Do QR song song với NP nên


 Q R . Từ đó suy ra B
C A
 Q R hay tứ giác BQCR nội tiếp.
APN
B
B
?2. Tam giác MHB có đồng dạng tam giác NHA khơng? Tam giác MHC có đồng
MB

dạng tam giác PHA khơng? Tính

?

MC

Tam giác MHB đồng dạng tam giác NHA nên
Tam giác MHC đồng dạng tam giác PHA nên
Từ hai tỷ số trên ta được
?3. Tích

GB

.

NC

GC

.

NA

PA

MB

AN

MC

AP

GB

?

PB

HB

AN

HC

AP

.

.

MB

HB

AN

HA

AP

HA

MC

HC

PB
NC

?

GC

- Học sinh: Áp dụng định lí Meneluyt cho tam giác ABC với đường thẳng GNP ta
được:

GB
GC

.

NC
NA

.

PA

1

PB

GB

AN

GC

AP

.

PB
NC

?4. Từ kết quả của ?1 và ?2, chứng minh M là trung điểm của QS
- Học sinh: Từ kết quả trên ta được

GB

MB

GC

MC

Do QR song song với NP nên theo định lí Ta-Let ta có
Kết hợp với

GB

MB

GC

MC

, ta được

MQ

MS

MQ

BM

PG

BG

M Q .M R

và

M B .M C

- Học sinh: Do tứ giác BQCR nội tiếp nên

M Q .M R

M B .M C

?2. So sánh MG.MI và MB.MC
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

18

skkn

MS

CM

GP

CG

hay M là trung điểm của QS.

+ Định hướng 4: Giáo viên nêu các câu hỏi cho học sinh
?1. So sánh

,

.


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

- Học sinh chứng minh được GM.MI = MB.MC
?3. Từ kết qua ?1 và ?2 ta có nhận xét gì đường trịn ngoại tiếp tam giác GQR?
- Học sinh: Từ đó ta có MG.MI = MQ.MR, suy ra tứ giác GQIR nội tiếp hay
đường tròn ngoại tiếp tam giác GQR đi qua trung điểm của BC.
Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới
Bài toán 9. Cho tam giác nhọn ABC, A B A C . Các đường cao AM, BN, CP cắt
nhau tại H. Gọi G là giao điểm của đường thẳng BC và NP.
a)
ADPN nội tiếp.

ứ giác

(O )

b) Gọi I là trung điểm của CB. Chứng minh rằng GH vng góc với AI
c) Đường thẳng qua M song song với NP lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC,
CP tại Q, R, S

GB

MB

GC

MC

và M là trung điểm của QS.

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GQR đi qua trung điểm của BC.
Tình huống 10. Cho tam giác nhọn
ABC nội tiếp đường tròn (O). Các
đường cao AM, BN và CP của tam
giác ABC cắt nhau tại H. Vẽ đường
thẳng NP cắt đường thẳng BC tại G và
cắt đường tròn (O) tại E và F(F nằm
giữa G và E). Vẽ đường thẳng vng
góc với IH tại I cắt các đường thẳng
AB, AC và AM lần lượt tại Q, R và K.
Với các yếu tố được vẽ thêm đó, ta có
thể phát biểu bài tốn mới như thế
nào?

A

E
N
P

F

O

R

H
B

G

M

I

C

K

Q

+ Định hướng 1. Tứ giác BCNP có nội tiếp đường trịn khơng ? Tìm tâm của
đường trịn đó?
- Học sinh chứng minh được: Tứ giác BCNP có: B N C B P C 9 0 và cùng nhìn
BC nên nội tiếp trong đường trịn đường kính BC Tâm I là trung điểm BC.
0

+ Định hướng 2. Đường thẳng NP cắt đường thẳng BC tại G và cắt đường tròn
(O) tại E và F(F nằm giữa G và E). So sánh GF.GE và GN.GP
- Học sinh chứng minh được: Tứ giác BFEC nội tiếp nên GF.GE = GB.GC
Tứ giác BPNC nội tiếp nên GB.GC = GP.GN
Do đó GE.GF = GP.GN

+ Định hướng 3. Tứ giác IMFE là tứ giác nội tiếp?
@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

19

skkn


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

- Học sinh chứng minh được: Theo trên ta chứng minh được tứ giác PMIN nội
tiếp nên ta có GP.GN = GM.GI mà GE.GF = GP.GN nên GE.GF = GM.GI
Suy ra tứ giác MFEI nội tiếp
+ Định hướng4. Đường thẳng vng góc với IH tại I cắt các đường thẳng AB, AC
và AM lần lượt tại Q, R và K. So sánh QK và RK
- Học sinh chứng minh được:
A H
B

IC H

QAK ∽

Tưng tự ta có
QK

KR

AKR ∽

HCI

Tứ giác QPHI nội tiếp nên
QK

AK

HI

CI

KR

AK

AK

IH

BI

CI

BHI

do đó

QK

KR

HI

IH


Q

IH C

mà

. Vậy K là trung điểm QR.

Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới
Bài toán 10. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao
AM, BN và CP của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp và xác định tâm I của đường
tròn ngoại tiếp tứ giác.
b) Đường thẳng NP cắt đường thẳng BC tại G và cắt đường tròn (O) tại E và F(
F nằm giữa G và E). Chứng minh: GF.GE = GN.GP
c) Chứng minh tứ giác IMFE là tứ giác nội tiếp.
d) Đường thẳng vuông góc với IH tại I cắt các đường thẳng AB, AC và AM lần
lượt tại Q, R và K. Chứng minh K là trung điểm của đoạn thẳng QR.
Tình huống 11: Xét tam giác ABC có 3
góc nhọn (AB tam giác ABC. Từ M vẽ ME AB tại E,
Vẽ MF AC tại F. Vẽ EF cắt BC tại G,
vẽ Đường tròn tẩm O’ ngoại tiếp tứ giác
AEMF. Với các yếu tố được vẽ thêm đó,

ta có thể phát biểu bài toán mới như thế
nào? Giáo viên có thể nêu các câu hỏi
định hướng như sau:

A

O'

K

I
J
G

E
M

B

+ Định hướng 1: Các tứ giác AEMF , BEFC có nội tiếp khơng?
- Học sinh: Xét trong tứ giác AEMF có

E M
B


AFM

90

0

Tứ giác AEMF nội tiếp trong đường trịn đường kính AM
Do tứ giác AEMF nội tiếp

 EF
A

M F
A

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

20

skkn

F

C