Khóa luận tốt nghiệp toán học: Chuỗi Fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier

Mục lục
MỞ ĐẦU 4
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7
1.1 Chuỗi số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Phần dư của một chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Chuỗi số dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Chuỗi đan dấu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.7 Chuỗi số bất kì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Dãy hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 CHUỖI FOURIER 18
2.1 Chuỗi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1
2.1.4 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.5 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.6 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.4 Bổ đề (Riman). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.5 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.6 Công thức Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.8 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier. . . . 28
2.2.9 Tính chất đầy đủ của các hệ đa thức. . . . . . . . . . . . . 31
2.2.10 Tính chất của các hệ số Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.11 Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier. . . 36
2.2.12 Định lý (Đini). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.13 Dạng phức của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Định nghĩa khai triển Fourier của một hàm số. . . . . . . 42
2.3.2 Khai triển Fourier tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM SỐ THÀNH
CHUỖI FOURIER. 53
3.1 Bài toán 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Bài toán 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2
3.3 Bài toán 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Bài toán 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Bài toán 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Bài toán 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 Bài toán 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8 Bài toán 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.9 Bài toán 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.10 Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
KẾT LUẬN 66
TÀI LIỆU THAM KHẢO 66
3
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải tích là một trong những ngành quan trọng của toán học và mang nhiều ứng dụng
trong thực tế cuộc sống.
Trong cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều hiện tượng có tính chất quay vòng, chu kì.

Toán học gọi đó là các vấn đề liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn. Một trong
những loại hàm tuần hoàn thường xét là hàm số y = Asin(ωx + α). Việc trực tiếp xét các
hiện tượng nêu trên là tương đối khó. Bởi vậy, để đơn giản hóa vấn đề này, các nhà toán
học đã nghĩ ra cách biểu diễn chúng qua các hàm số lượng giác cos
nπx
n
và sin
nπx
n
.
Từ đó xuất hiện khái niệm chuỗi Fourier của một hàm số và khai triển một số hàm
số thành chuỗi Fourier.
Để làm sáng tỏ ứng dụng của chuỗi Fourier và cũng là để làm quen nghiên cứu khoa
học, em đã chọn đề tài "Chuỗi Fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier"
làm khóa luận tốt nghiệp của mình dưới sự hướng dẫn của Th.S Phạm Thị Thái.
2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
2.1. Mục đích nghiên cứu.
- Trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thành
chuỗi Fourier.
- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
- Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành Toán trường Đại
Học Tây Bắc và tất cả những ai yêu thích và quan tâm đến bộ môn giải tích.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu về chuỗi Fourier, tính hội tụ của chuỗi, và các tính chất của các hệ số
Fourier.
4
- Nghiên cứu về điều kiện để khai triển một hàm số thành một chuỗi Fourier.
- Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier và cách khai triển một số
hàm số thành chuỗi Fourier. Nghiên cứu sâu hơn về chuỗi Fourier, từ đó làm cơ sở hình
thành nên một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích.

3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về chuỗi Fourier và cách khai triển
một số hàm số thường gặp thành chuỗi Fourier.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Vấn đề nghiên cứu trong khóa luận là vấn đề còn mới mẻ so với sinh viên bậc đại học.
Vì vậy phương pháp nghiên cứu sử dụng chủ yếu là:
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức.
- Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợp kiến thức và
trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận.
5. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN.
Khóa luận trình bày được hệ thống kiến thức: từ kiến thức cơ sở đến sự mở rộng và
chuỗi chuyên sâu về bộ môn giải tích, cụ thể là về chuỗi Fourier. Hơn nữa, khóa luận cũng
đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản một số tính chất của chuỗi Fourier và khai triển một
số hàm số thành chuỗi Fourier.
6. CẤU TRÚC CỦA KHÓA LUẬN.
Khóa luận được chia thành 3 chương với những nội dung chính sau đây:
Chương 1. Trình bày, hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản như: Chuỗi số, chuỗi
hàm số, chuỗi lượng giác làm cơ sở cho chương sau. Các nội dung kiến thức chỉ phát biểu
mà không chứng minh.
Chương 2: Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa về chuỗi Fourier.
5
Đồng thời nghiên cứu tính hội tụ, đạo hàm, tích phân của chuỗi Fourier và nghiên cứu
một số điều kiện để khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier.
Trên cơ sở đó, chương này sẽ cung cấp định nghĩa khai triển hàm số thành chuỗi Fourier,
và khai triển Fourier tổng quát của một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π , khai triển của
một hàm xác định trong một đoạn [a; b], thác triển chẵn, thác triển lẻ của một hàm. Dựa
vào đó để tính tổng của chuỗi Fourier.
Chương 3: Chương này trình bày một số bài toán có lời giải về khai triển một số
hàm số thành chuỗi Fourier. Trong chương này cũng đưa ra một số bài tập đề nghị.
6

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Chuỗi số thực.
1.1.1 Các định nghĩa.
Định nghĩa 1.1. Giả sử {u
n
}
+∞
n=1
là một dãy số thực. Ta gọi
u
1
+ u
2
+ + u
n
+ =
+∞

n=1
u
n
(1.1)
là chuỗi số thực (chuỗi số).
Định nghĩa 1.2. Ta gọi S
n
=
n

k=1

u
k
là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.1). Nếu
lim
n→+∞
S
n
= S ∈ R (1.2)
thì ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S và viết S =
+∞

n=1
u
n
.
Trường hợp ngược lại, nếu không tồn tại lim
n→+∞
S
n
hoặc lim
n→+∞
S
n
= ±∞ thì chuỗi số (1.1)
được gọi là chuỗi phân kì.
Ví dụ 1.3. (i) Chuỗi số
+∞

n=1
1

2
n
hội tụ và có tổng bằng 1 vì tổng riêng thứ n của chuỗi là
S
n
=
1
2
+
1
4
+ +
1
2
n
= 1 −
1
2
n
.
Do đó lim
n→∞
S
n
= lim
n→+∞
(1 −
1
2
n

) = 1.
7
(ii) Chuỗi
+∞

n=1
n phân kì vì tổng riêng thứ n của chuỗi là
S
n
= 1 + 2 + + n =
n(n + 1)
2
.
Do đó lim S
n
n→+∞
= lim
n→+∞
n(n + 1)
2
= +∞.
1.1.2 Phần dư của một chuỗi số.
Giả sử chuỗi số (1.1) hội tụ và S là tổng của nó. Khi đó ta gọi
R
n
= S −S
n
(1.3)
là phần dư thứ n của chuỗi số (1.1).
Chú ý: Nếu chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S thì lim

n→+∞
R
n
= lim
n→+∞
(S −S
n
) = 0.
1.1.3 Tính chất.
Tính chất 1.4. Giả sử chuỗi số
+∞

n=1
u
n
và chuỗi số
+∞

n=1
v
n
hội tụ có tổng tương ứng là I
và J. Khi đó:
(i) Chuỗi số
+∞

n=1
(u
n
± v

n
) cũng hội tụ có tổng tương ứng là I ± J.
(ii) Nếu k ∈ R là hằng số thì chuỗi số
+∞

n=1
ku
n
hội tụ có tổng là kI.
Tính chất 1.5. Trong một chuỗi, ta có thể thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số
hạng mà không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kì của nó.
1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ.
Định lý 1.6. (Tiêu chuẩn Cauchy)
Chuỗi số
+∞

n=1
u
n
hội tụ khi và chỉ khi với mỗi số ε > 0 bất kì, tồn tại số nguyên dương N
sao cho:
∀n, p ∈ N
∗
, n ≥ N ⇒ |u
n+1
+ u
n+2
+ + u
n+p
| < ε

8
Tính chất 1.7. Điều kiện cần để chuỗi
+∞

n=1
u
n
hội tụ là lim
n→+∞
u
n
= 0.
Chứng minh. Giả sử chuỗi số
+∞

n=1
u
n
hội tụ có tổng là S và S
n
=
n

k=1
u
k
là tổng riêng thứ
n của chuỗi. Khi đó
lim
n→+∞

S
n
= S và u
n
= S
n
− S
n−1
.
Do đó lim
n→+∞
u
n
= lim
n→+∞
(S
n
− S
n−1
) = S − S = 0(đpcm).
Nhận xét 1.8. Nếu lim
n→+∞
u
n
= 0 hoặc không tồn tại lim
n→+∞
u
n
thì chuỗi số
+∞


n=1
u
n
phân
kì. Tuy nhiên, tính chất 1.7 chỉ là điều kiện cần nên một chuỗi số thỏa mãn điều kiện
lim
n→+∞
u
n
= 0 thì chưa kết luận được chuỗi đó hội tụ hay phân kỳ.
Ví dụ: Chuỗi số
+∞

n=1
q
n
(q là hằng số) được gọi là chuỗi số nhân. Chuỗi này hội tụ khi
|q| < 1, phân kỳ khi |q| ≥ 1.
1.1.5 Chuỗi số dương.
Định nghĩa 1.9. Chuỗi số
+∞

n=1
u
n
có các số hạng u
n
≥ 0 với mọi n được gọi là chuỗi số
dương.

Chú ý: Chuỗi số
+∞

n=1
1
n
s
(s là hằng số) được gọi là chuỗi Riemann. Chuỗi này hội tụ khi
s > 1 và phân kỳ khi s ≤ 1. Trong trường hợp s = 1 ta được chuỗi
+∞

n=1
1
n
= 1 +
1
2
+ +
1
n
+
là chuỗi phân kì. Chuỗi số này còn gọi là chuỗi điều hòa.
Các dấu hiệu hội tụ:
Định lý 1.10. Chuỗi số dương
+∞

n=1
u
n
hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó bị chặn

trên.
Định lý 1.11. (Dấu hiệu so sánh 1.)
Giả sử hai chuỗi số dương
+∞

n=1
u
n
và
+∞

n=1
v
n
và u
n
≤ v
n
kể từ một chỉ số nào đó trở đi.
9
Khi đó
(i) Nếu chuỗi số
+∞

n=1
v
n
hội tụ thì chuỗi số
+∞


n=1
u
n
hội tụ.
(ii) Nếu chuỗi số
+∞

n=1
u
n
phân kỳ thì chuỗi số
+∞

n=1
v
n
phân kỳ.
Định lý 1.12. (Dấu hiệu so sánh 2.)
Giả sử hai chuỗi số dương
+∞

n=1
u
n
và
+∞

n=1
v
n

có lim
n→+∞
u
n
v
n
= k (0 = k ∈ R). Khi đó hai chuỗi
số trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Định lý 1.13. (Dấu hiệu tích phân Cauchy.)
Giả sử f là một hàm số liên tục trên khoảng [1; +∞) , f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞) và f giảm
với x đủ lớn. Đặt
u
1
= f(1), u
2
= f(2), , u
n
= f(n),
Khi đó chuỗi số
+∞

n=1
u
n
hội tụ nếu và chỉ nếu
lim
y→+∞
y

1

f(x)dx
là hữu hạn.
1.1.6 Chuỗi đan dấu.
Định nghĩa 1.14. Chuỗi số có dạng
+∞

n=1
(−1)
n−1
u
n
= u
1
− u
2
+ u
3
− (1.4)
hoặc
+∞

n=1
(−1)
n
u
n
= −u
1
+ u
2

− u
3
+ (1.5)
với u
n
≥ 0, ∀n ∈ N
∗
gọi là chuỗi số đan dấu.
Sau đây là định lí thường hay sử dụng đối với chuỗi số đan dấu:
10
Định lý 1.15. (Định lý Leibniz)
Nếu chuỗi số đan dấu
+∞

n=1
(−1)
n−1
u
n
thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) u
1
≥ u
2
≥ ≥ u
n
≥
(ii) lim
n→+∞
u

n
= 0
thì chuỗi số trên hội tụ và có tổng nhỏ hơn hoặc bằng u
1
.
Ví dụ 1.16. Xét chuỗi số đan dấu
+∞

n=1
(−1)
n−1
1
n
có

1
n

là một dãy giảm và lim
n→+∞
1
n
= 0. Do đó chuỗi số trên hội tụ.
Chú ý 1.17. (i) Định lý Leibniz phát biểu cho chuỗi đan dấu dạng
+∞

n=1
(−1)
n−1
u

n
và là
điều kiện đủ để chuỗi đó hội tụ. Đối với chuỗi đan dấu dang
+∞

n=1
(−1)
n
u
n
ta chỉ áp dụng
định lý Leibniz sau khi nhân tất cả các số hạng của chuỗi với (−1). Do đó chỉ kết luận
được sự hội tụ của
+∞

n=1
(−1)
n
u
n
mà không kết luận được chuỗi đó có tổng S ≤ u
1
.
(ii) Đối với chuỗi đan dấu dạng
+∞

n=1
(−1)
n−1
u

n
mà các giả thiết của Đinh lý Leibniz chỉ
đúng khi n ≥ N (N là số nguyên dương nào đó) thì vẫn kết luận được sự hội tụ chuỗi
đan dấu đó nhưng không kết luận được chuỗi có tổng S ≤ u
1
.
1.1.7 Chuỗi số bất kì.
Định nghĩa 1.18. Chuỗi số
+∞

n=1
u
n
được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số dương
+∞

n=1
|u
n
|
hội tụ.
Định lý 1.19. Nếu chuỗi số
+∞

n=1
u
n
hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ và






+∞

n=1
u
n





≤
+∞

n=1
|u
n
|.
11
Chứng minh. Giả sử chuỗi số
+∞

n=1
u
n
hội tụ tuyệt đối. Khi đó chuỗi số
+∞


n=1
|u
n
| hội tụ, theo
tiêu chuẩn Cauchy, với ∀ε > 0, ∃N ∈ N
∗
, ∀n, p ∈ N
∗
sao cho
∀n ≥ N ⇒ |u
n+1
| + |u
n+2
| + + |u
n+p
| < ε.
Mặt khác
|u
n+1
+ u
n+2
+ + u
n+p
| ≤ |u
n+1
| + |u
n+2
| + + |u
n+p
|

Do đó ∀ε > 0, ∃N ∈ N
∗
sao cho ∀n, p ∈ N
∗
, n ≥ N
⇒ |u
n+1
+ u
n+2
+ + u
n+p
| < ε.
Điều trên chứng tỏ chuỗi số
+∞

n=1
u
n
hội tụ.
Sau đây là một số dấu hiệu về sự hội tụ của chuỗi.
Định lý 1.20. (Dấu hiệu D’Alembert.)
Cho chuỗi số
+∞

n=1
u
n
có lim
n→+∞
|u

n+1
|
|u
n
|
= k. Khi đó
(i) Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(ii) Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ.
(iii) Nếu k = 1 thì chưa kết luận được về sự hội tụ của chuỗi số.
Định lý 1.21. (Dấu hiệu Cauchy.)
Giả sử chuỗi số
+∞

n=1
u
n
có lim
n→+∞
n

|u
n
| = k. Khi đó
(i) Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(i) Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ.
(iii) Nếu k = 1 thì chưa kết luận được về sự hội tụ của chuỗi số.
Trong trường hợp không sử dụng được Dấu hiệu D’Alembert hoặc Dấu hiệu Cauchy thì
có thể sử dụng định lí tổng quát sau:
12
Định lý 1.22. Giả sử

+∞

n=1
u
n
là một chuỗi số với lim
n→+∞
sup
n

|u
n
| = l. Khi đó
(i) Nếu l < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(i) Nếu l > 1 thì chuỗi phân kỳ.
(iii) Nếu l = 1 thì chưa thể nói gì về tính chất của chuỗi số.
Chứng minh. Ta biết rằng với một dãy số thực {a
n
} bất kì, ta có
lim
n→+∞
sup a
n
= lim
n→+∞
sup {a
n
, a
n+1
, }.

Do đó nếu lim
n→+∞
sup a
n
= α và β là một số thực lớn hơn α thì a
n
≤ β với n đủ lớn.
a) Gọi r là một số thực sao cho l < r < 1. Vì lim
n→+∞
sup
n

|u
n
| = l < r nên
n

|u
n
| ≤ r với
n đủ lớn. Do đó |u
n
| ≤ r
n
với n đủ lớn.
Vì chuỗi số
+∞

n=1
r

n
hội tụ nên, theo dấu hiệu so sánh, chuỗi số
+∞

n=1
|u
n
| hội tụ.
b) Tồn tại một dãy con {u
k
n
} của dãy {u
n
} sao cho lim
n→+∞
n

|u
k
n
| = l > 1. Do đó
n

|u
k
n
| > 1 với n đủ lớn. Vậy chuỗi đã cho phân kì.
Định lý 1.23. Giả sử
+∞


n=1
u
n
là một dãy số thực.
(i) Nếu lim
n→+∞
sup
|u
n+1
|
|u
n
|
= l < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối.
(ii) Nếu lim
n→+∞
inf
|u
n+1
|
|u
n
|
= l > 1 thì chuỗi đã cho phân kì.
1.2 Chuỗi hàm số.
1.2.1 Dãy hàm số.
a. Miền hội tụ.
Định nghĩa 1.24. Giả sử {u
n
(x)}

+∞
n=1
là dãy hàm số thực xác định trên một tập hợp
X ⊂ R. Với mỗi x
0
∈ X, {u
n
(x
0
)} là một dãy số thực. Nếu dãy số thực {u
n
(x
0
)} hội tụ
thì ta nói rằng dãy hàm số {u
n
(x)} hội tụ tại điểm x
0
. Điểm x
0
được gọi là điểm hội tụ
của dãy hàm số {u
n
(x)}. Tập hợp các điểm hội tụ của dãy hàm số {u
n
(x)} gọi là miền
13
hội tụ của dãy hàm số đó.
Nếu dãy hàm số {u
n

(x)} không hội tụ tại điểm x
0
∈ X thì x
0
gọi là điểm phân kì của
dãy {u
n
(x)}.
Ví dụ 1.25. Xét dãy hàm số
u
n
(x) = (x)
n
, n = 1, 2,
xác định trên R. Ta có
lim
n→+∞
u
n
(x) =












1 với x = 1
0 với − 1 < x < 1
và dãy hàm phân kì tại điểm x = −1 và tại các điểm x mà |x| > 1. Vậy miền hội tụ của
dãy hàm số đã cho là (−1; 1].
Hội tụ
f(x) =











1 với x = 1
0 với − 1 < x < 1
gọi là hàm số giới hạn của dãy hàm số đã cho.
b. Hội tụ điểm.
Định nghĩa 1.26. Giả sử u, u
1
, u
2
, là những hàm số xác định trên tập hợp X. Ta nói
rằng dãy hàm số {u
n
} hội tụ điểm (hoặc hội tụ) đến u trên X nếu với mọi x ∈ X, ta đều

có
lim
n→+∞
u
n
(x) = u(x).
Như vậy dãy hàm số u
n
hội tụ điểm đến hàm số u trên X khi và chỉ khi với mọi x ∈ X
và với mọi ε > 0, tồn tại một số nguyên dương N sao cho
n ≥ N ⇒ |u
n
(x) −u(x)| < ε.
14
Số nguyên dương N phụ thuộc vào ε và nói chung phụ thuộc vào x.
Nếu với mỗi ε > 0 cho trước đều tìm được một số nguyên dương N chung cho mọi x ∈ X
thì ta nói rằng dãy hàm số u
n
hội tụ đều đến u trên tập hợp X.
c. Hội tụ đều.
Định nghĩa 1.27. Giả sử u, u
1
, u
2
, là những hàm số xác định trên tập hợp X. Ta nói
rằng dãy hàm số u
n
hội tụ đều đến hàm số u trên tập hợp X nếu với một số ε > 0 cho
trước bất kì, tồn tại một số nguyên dương N sao cho
n ≥ N ⇒ |u

n
(x) −u(x)| < ε
với mọi x ∈ X.
Khi đó ta viết
u
n
⇒ u trênX
Định lí sau đây cho một điều kiện tương đương của định nghĩa 1.27.
Định lý 1.28. Giả sử u, u
1
, u
2
, là những hàm số xác định trên tập hợp X. Khi đó
u
n
⇒ u trên X nếu và chỉ nếu
lim
n→+∞
sup
x∈X
|u
n
(x) −u(x)| = 0
d. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều.
Định lý 1.29. Giả sử {u
n
(x)} là một dãy hàm số xác định trên tập hợp X. Khi đó u
n
hội tụ đều trên X nếu và chỉ nếu với một số ε > 0 cho trước bất kì, tồn tại một số nguyên
dương N sao cho

m ≥ N, n ≥ N ⇒ |u
m
(x) −u
n
(x)| < ε
với mọi x ∈ X.
15
1.2.2 Chuỗi hàm số.
Định nghĩa 1.30. Giả sử {u
n
(x)}
+∞
n=1
là một dãy hàm số xác định trên tập hợp X ⊂ R.
Khi đó
u
1
(x) + u
2
(x) + + u
n
(x) + :=
+∞

n=1
u
n
(x)
được gọi là chuỗi hàm số.
Ví dụ 1.31.

+∞

n=1
ln
x
n
= ln x + ln
x
2
+ + ln
x
n
+ là một chuỗi hàm trên (0; +∞).
+∞

n=1
sin nx = sin x + sin 2x + + sin nx + là chuỗi hàm trên (−∞; +∞).
Định nghĩa 1.32. Cho chuỗi
+∞

n=1
u
n
(x) các hàm xác định trên X, x
0
∈ X thì
+∞

n=1
u

n
(x
0
)
là một chuỗi số. Nếu chuỗi số này hội tụ thì chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x) được gọi là hội tụ tại
x
0
và điểm x
0
được gọi là điểm tụ của chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x). Tập hợp tất cả các điểm tụ
của một chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm đó.
1.2.2.1. Chuỗi hàm số hội tụ đều.
a. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của một chuỗi hàm số.
Định lý 1.33. Giả sử u
1
, u
2
, , u

n
, là những hàm số xác định trên tập hợp X. Khi
đó, chuỗi hàm số
+∞

n=1
u
n
hội tụ đều trên X nếu và chỉ nếu với một số ε > 0 cho trước bất
kỳ, tồn tại một số nguyên dương N sao cho: ∀n, p ∈ N
∗
, n ≥ N
Suy ra |u
n+1
(x) + u
n+2
(x) + + u
n+p
(x)| < ε, ∀x ∈ X.
Định lý 1.34. Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x) hội tụ đều trên tập X là
lim
n→+∞
sup
x∈X

|r
n
(x)| = 0.
16
b. Dấu hiệu Weierstrass.
Chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x) hội tụ đều trên tập X nếu tồn tại chuỗi số dương
+∞

n=1
a
n
hội tụ
sao cho:
|u
n
(x)| ≤ a
n
, ∀x ∈ X, ∀n ∈ N
∗
.
1.2.2.2. Tính chất của tổng của một chuỗi hàm.
Định lý 1.35. (Tính liên tục).
Giả sử chuỗi hàm số
+∞


n=1
u
n
hội tụ đều trên khoảng I của R. Nếu các hàm số u
n
đều liên
tục tại điểm x
0
∈ I thì tổng S của chuỗi hàm số liên tục tại điểm x
0
. Vậy ta có:
lim
x→x
0
+∞

n=1
u
n
(x) =
+∞

n=1
u
n
(x
0
) =
+∞


n=1
lim
x→x
0
u
n
(x).
Định lý 1.36. (Đổi thứ tự dấu tổng và dấu tích phân)
Cho chuỗi hàm xác định trên [a; b] là
+∞

n=1
u
n
(x). Giả sử:
(i) Các hàm u
n
liên tục trên [a; b].
(ii) Chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên [a; b]. Khi đó, tổng chuỗi là hàm khả tích trên [a; b]
và
b

a
+∞

n=1
u
n
(x)dx =

+∞

n=1
b

a
u
n
(x)dx.
Định lý 1.37. (Đạo hàm từng số hạng)
Cho chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x) xác định trên [a; b]. Giả sử:
(i) {u
n
} là dãy các hàm khả vi liên tục trên [a; b].
(ii) Chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x) hội tụ tại một điểm c nào đó trên [a; b].
Khi đó, chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên [a; b]. Hơn nữa, tổng chuỗi là hàm khả vi liên
tục trên [a; b] và


+∞

n=1
u
n
(x)


=
+∞

n=1
u

n
(x), ∀x ∈ [a; b] .
17
Chương 2
CHUỖI FOURIER
2.1 Chuỗi lượng giác.
2.1.1 Định nghĩa.
Định nghĩa 2.1. Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng
a
0
2
+
+∞

n=1
(a

n
cos nx+b
n
sin nx), x ∈ R
trong đó {a
n
}, {b
n
} là hai dãy số thực.
Với mỗi n, hàm số u
n
(x) = a
n
cos nx + b
n
sin nx có các đạo hàm mọi cấp trên R và có
chu kỳ 2π.
Nếu chuỗi lượng giác hội tụ đến hàm số f(x) thì f là một hàm số có chu kỳ 2π trên R.
Các hằng số a
n
, b
n
gọi là các hệ số của chuỗi.
Chuỗi lượng giác không phải bao giờ cũng có đạo hàm mọi cấp trên khoảng hội tụ của nó.
Tổng của một chuỗi lượng giác có thể không liên tục trên miền hội tụ của nó. Có những
chuỗi lượng giác mà tổng liên tục nhưng không có đạo hàm tại mọi điểm của miền hội tụ.
2.1.2 Định lý.
Định lý 2.2. Nếu các chuỗi số
+∞


n=1
a
n
,
+∞

n=1
b
n
hội tụ tuyệt đối thì chuỗi lượng giác
a
0
2
+
+∞

n=1
(a
n
cos nx+b
n
sin nx) (2.1)
18
hội tụ đều trên R và tổng của nó là một hàm liên tục trên R.
Chứng minh. Ta có:
|a
n
cos nx + b
n
sin nx| ≤ |a

n
| + |b
n
|, ∀x ∈ R, n ≥ 1.
Vì chuỗi số
+∞

n=1
(|a
n
| + |b
n
|) hội tụ nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi (2.1) hội tụ đều
trên R nên tổng của chuỗi là một hàm số liên tục trên R.
2.1.3 Định lý.
Định lý 2.3. Giả sử dãy {a
n
} và {b
n
} là hai dãy số dương giảm đến không khi n → +∞.
Khi đó, chuỗi lượng giác
a
0
2
+
+∞

n=1
(a
n

cos nx+b
n
sin nx)
hội tụ tại mọi điểm x ∈ R\2πZ và hội tụ đều trên mỗi đoạn [2kπ + α; 2(k + 1)π − α] ,
k ∈ Z, α > 0. Do đó tổng của chuỗi là một hàm số liên tục trên R\2πZ.
Ví dụ 1:
Chuỗi lượng giác
+∞

n=1
cos nx
n
hội tụ tại mọi x = 2kπ, k ∈ Z và phân kì tại x = 2kπ, k ∈ Z.
Ví dụ 2:
Chuỗi
+∞

n=1
sin nx
n
hội tụ tại mọi x ∈ R vì với x = 2kπ, mỗi số hạng của chuỗi đều bằng 0.
Tuy nhiên tổng của chuỗi chỉ liên tục trên R\2kπ, k ∈ Z.
2.1.4 Định lý.
Nếu
+∞

n=1
(|a
n
| + |b

n
|) < +∞ thì tổng f của chuỗi lượng giác
a
0
2
+
+∞

n=1
(a
n
cos nx+b
n
sin nx) (2.2)
19
là một hàm số khả vi liên tục trên R và f

(x) nhận được bằng cách lấy đạo hàm từng
hạng tử của chuỗi (2.2), tức là
f

(x) =
+∞

n=1
(−na
n
sin nx + nb
n
cos nx), ∀x ∈ R.

Chứng minh. Từ giả thiết ta suy ra:
+∞

n=1
(|a
n
| + |b
n
|) < +∞
Do đó chuỗi (2.2) và chuỗi đạo hàm của nó:
−a
1
sin x + b
1
cos x + + (−na
n
sin nx + nb
n
cos nx) + (2.3)
đều hội tụ đều trên R.
Vậy f có đạo hàm trên R và f

(x) bằng tổng của chuỗi (2.3) với mọi x ∈ R.
2.1.5 Định lý.
Nếu hai chuỗi số
+∞

n=1
a
n

và
+∞

n=1
b
n
đều hội tụ tuyệt đối thì tổng f của chuỗi lượng giác:
a
0
2
+
+∞

n=1
(a
n
cos nx+b
n
sin nx) (2.4)
liên tục trên R và tổng của chuỗi lượng giác
a
0
2
+
+∞

n=1

a
n

n
sin nx −
b
n
n
cos nx

nhận được nhờ lấy nguyên hàm từng hạng tử của chuỗi (2.4) là một nguyên hàm của f
trên R.
2.1.6 Bổ đề
Hệ thống các hàm:
ϕ
0
(x) =
1
√
2
, ϕ
1
(x) = cos x, ϕ
2
(x) = sin x,
ϕ
2k−1
(x) = cos kx, ϕ
2k
(x) = sin kx.
(2.5)
20
có tính chất là:

π

−π

1
√
2

2
dx =
π

−π
cos
2
kx dx =
π

−π
sin
2
kx dx = π.
π

−π
1
√
2
cos kx dx =
π


−π
1
√
2
sin kx dx =
π

−π
cos kx. cos lx dx
=
π

−π
sin kx. sin lxdx =
π

−π
sin kx. cos lxdx
=
π

−π
sin kx. cos kxdx = 0 với k = l .
2.2 Chuỗi Fourier
2.2.1 Định nghĩa.
Định nghĩa 2.4. Hàm số f xác định trên đoạn [a; b] gọi là liên tục từng khúc nếu tồn
tại một phép phân hoạch π:
a = x
0

< x
1
< < x
n
= b
của đoạn [a; b] có tính chất: Với mỗi i, hàm số f liên tục trên khoảng (x
i−1
; x
i
) , i = 1, , n,
có giới hạn phải hữu hạn tại điểm x
i−1
và giới hạn trái tại điểm x
i
. Nói cách khác, f là
liên tục từng khúc trên đoạn [a; b] nếu nó chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại I và
liên tục tại mọi điểm còn lại của đoạn.
2.2.2 Định nghĩa.
Định nghĩa 2.5. Giả sử f là một hàm số tuần hoàn xác định trên R với chu kỳ 2π, liên
tục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn. Chuỗi lượng giác:
a
0
2
+
+∞

n=1
(a
n
cos nx + b

n
sin nx)
trong đó các hệ số được cho bởi công thức:
a
n
=
1
π
π

−π
f(x)sin nxdx, n = 0, 1, 2,
21
b
n
=
1
π
π

−π
f(x)sin nxdx, n = 1, 2,
gọi là chuỗi Fourier của hàm số f, a
n
, b
n
được gọi là các hệ số Fourier của f. Các công
thức tính a
n
, b

n
được gọi là công thức Euler.
Vì f là một hàm số tuần hoàn chu kỳ 2π nên nhờ một phép đổi biến số, dễ dàng chứng
minh được:
a
n
=
1
π
α+2π

α
f(x)cos nxdx, n = 0, 1, 2,
b
n
=
1
π
α+2π

α
f(x)sin nxdx, ∀α ∈ R, n = 1, 2,
Đặc biệt ta có:
a
n
=
1
π
π


−π
f(x)cos nxdx, n = 0, 1, 2,
b
n
=
1
π
π

−π
f(x)sin nxdx, n = 1, 2,
Nếu f là một hàm số chẵn thì f(x)cos nx là những hàm số chẵn và f(x)sin nx là những
hàm số lẻ. Do đó
a
n
=
2
π
π

−π
f(x)sin nxdx, n = 0, 1, 2, và b
n
= 0, n = 1, 2,
Vì thế chuỗi Fourier của f có dạng:
a
0
2
+
+∞


n=1
a
n
cos nx.
Tương tự, nếu f là một hàm số lẻ thì f(x)cos nx là những hàm số lẻ và f(x)sin nx là
những hàm số chẵn. Do đó
a
n
= 0, n = 0, 1, 2, và b
n
=
2
π
π

−π
f(x)sin nxdx, n = 1, 2,
Khi đó chuỗi Fourier của f có dạng:
+∞

n=1
b
n
sin nx
22
Chuỗi Fourier của f có thể hội tụ và có thể phân kỳ. Trong trường hợp chuỗi Fourier của
f hội tụ, tổng của nó có thể khác f.
Giả sử f là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. Vấn đề đặt ra là trong những trường
hợp nào tồn tại một chuỗi lượng giác hội tụ trên R và có tổng bằng f?

2.2.3 Định lý.
Định lý 2.6. Giả sử f là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π. Giả sử chuỗi lượng giác:
a
0
2
+
+∞

n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx, ) (2.6)
hội tụ đều trên đoạn [−π, π] (do đó hội tụ đều trên R) và có tổng là f(x). Khi đó ta có
a
0
=
1
π
π

−π
f(x)dx
a
p
=
1
π
π


−π
f(x)cos pxdx,
b
p
=
1
π
π

−π
f(x)sin pxdx, p = 1, 2,
Chứng minh. Vì chuỗi (2.6) hội tụ đều trên R nên chuỗi nhận được bằng cách nhân từng
hạng tử của chuỗi (2.6) với một hàm số bị chặn trên R cũng hội tụ trên R. Do đó các
chuỗi hàm:
f(x)cos px =
a
0
2
cos px +
+∞

n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx)cos px,
f(x)sin px =
a

0
2
sin px +
+∞

n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx)sin px,
p = 1, 2,
hội tụ đều trên R. Vì vậy có thể lấy tích phân từng hạng tử của các chuỗi hàm đó trên
[−π, π] :
π

−π
f(x)cos pxdx =
a
0
2
π

−π
cos pxdx +
+∞

n=1
[a
n

π

−π
cos nxcos pxdx + b
n
π

−π
sin nxcos pxdx],
(2.7)
23
π

−π
f(x)sin pxdx =
a
0
2
π

−π
sin pxdx +
+∞

n=1
[a
n
π

−π

cos nxsin pxdx + b
n
π

−π
sin nxsin pxdx],
(2.8)
Từ các công thức
2cos nxcos px = cos (n −p)x + cos (n + p)x
2sin nxsin px = cos (n −p)x + cos (n + p)x
2sin nxcos px = sin (n −p)x + sin( n + p)x
Ta chứng minh được
π

−π
sin nxcos pxdx =
π

−π
cos nxsin pxdx = 0, ∀n, p ∈ N
π

−π
cos nxcos pxdx =
π

−π
sin nxsin pxdx =












0 Với n = p
π Với n = p
Do đó từ (2.7), (2.8) suy ra
π

−π
f(x)dx = πa
0
π

−π
f(x)cos pxdx = πa
p
, p ≥ 1
π

−π
f(x)sin pxdx = πb
p
, p ≥ 1
Từ đó suy ra các công thức cần chứng minh.

2.2.4 Bổ đề (Riman).
Nếu f là một hàm số liên tục từng khúc trên đoạn [a, b] thì
lim
λ→+∞
b

a
f(x)cos λxdx = 0, lim
λ→+∞
b

a
f(x) sin λxdx = 0
24
Chứng minh. Có thể xem f liên tục trên đoạn [a, b].
Hàm số f bị chặn trên [a, b], tồn tại một số M sao cho |f(x)| ≤ M, với mọi x ∈ [a, b].
Cho ε > 0 bất kỳ, vì f liên tục đều trên [a, b] nên tồn tại một số δ > 0 sao cho
∀x

, x

∈ [a, b], |x

− x

| < δ ⇒ |f(x

) −f(x

)| < ε.

Gọi π:
a = x
0
< x
1
< < x
n
= b
là một phép phân hoạch đoạn [a, b] có đường kính d(π) < δ. Khi đó
I(λ) =
b

a
f(x) cos λx dx =
+∞

i=1
x
i

x
i−1
f(x) cos λx dx
=
+∞

i=1
f(x
i
)

x
i

x
i−1
cos λx dx +
n

i=1
x
i

x
i−1
[f(x) − f(x
i
)] cos λx dx
Do đó
|I(λ)| ≤ M
n

i=1
|
x
i

x
i−1
cosλxdx| + ε
n


i=1
(x
i
− x
i−1
)
Vì
|
x
i

x
i−1
cosλxdx| = |
1
λ
(sinλx
i
− sinλx
i=1
)| ≤
2
λ
, λ > 0
nên
|I(λ)| ≤
2Mn
λ
+ ε(b − a), ∀λ > 0

Với λ >
2Mn
ε
, ta có |I(λ)| < ε(1 + b − a).
Vậy lim
λ→+∞
I(λ) = 0.
Đẳng thức thứ 2 được chứng minh tương tự.
25