080 đề hsg toán 6 ctst đông hưng 22 23

PHỊNG GIÁO DỤC HUYỆN ĐƠNG HƯNG
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MƠN TỐN 6 NĂM HỌC 2022-2023
Câu 1. (3,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau :
1) A   16  :   8   6  2021  2022 

2019

 2026

1 
1 
 1 1
2) B  1    1    1   .....  1 

 3   8   15   624 

Câu 2. (3,5 điểm)
1) Tìm số tự nhiên x biết : 24x, 36x , 160x và x là số lớn nhất
1  25
11
0

1  x  4  :
  2022  
2  22
5
2) Tìm x biết 

Câu 3. (4,0 điểm)
1) Số tự nhiên a chia 36 dư bao nhiêu biết a chia 4 dư 3 và chia 9 dư 4

2a  3b 7

8a  5b 7

 thì 

2) Cho a, b là các số nguyên. Chứng tỏ rằng nếu 
Câu 4. (2,0 điểm) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 25m, chiều rộng 20m.
Người ta trồng hoa hồng vào bốn hình vng ở các góc vườn và phần diện tích cịn lại
trồng hoa cúc.
1) Tính diện tích phần đất trồng hoa mỗi loại
2) Biết mỗi mét vuông làm đất và trồng hoa hồng phải trả 50 000 đồng tiền công, mỗi
mét vuông làm đất và trồng hoa cúc phải trả 40 000 đồng . Tính số tiền cơng phải
trả để trồng hoa cho cả mảnh vườn đó
Câu 5. (4,0 diểm)
P

2n  1
n 4

1) Cho biểu thức
a) Với điều kiện nào của số nguyên n thì P là một phân số . Tính giá trị của P khi
n  203

b) Viết tập hợp M các số nguyên n sao cho phân số P có giá tri là một số ngun
2

2

2) Tìm số nguyên tố p,q sao cho p  3 pq  q là số chính phương .

Câu 6. (3,0 điểm) Trên đường thẳng xy lấy điểm O. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy
lấy điểm B, C sao cho OA OC 2cm và OB=7cm
1) Vẽ hình sau đó :
a) Tính độ dài đoạn thẳng BC
b) Cho biết điểm O có là trung điểm đoạn thẳng AC khơng ? Vì sao ?
2) Cần lấy thêm trên đường thẳng xy bao nhiêu điểm phân biệt không trùng với các
điểm đã cho để trên đường thẳng có 465 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng có mút là
hai trong các điểm đó


ĐÁP ÁN
PHỊNG GIÁO DỤC HUYỆN ĐƠNG HƯNG
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MƠN TỐN 6 NĂM HỌC 2022-2023
Câu 1. (3,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau :
1) A   16  :   8   6  2021  2022 

2019

 2026

2  6  2026 2022
1 
1 
 1 1
2) B  1    1    1   .....  1 

 3   8   15   624 
4 9
625 2.2.3.3.....25.25 25 2 25

 . .....

 . 
3 8
624 1.3.2.4......24.26 1 26 13

Câu 2. (3,5 điểm)
3) Tìm số tự nhiên x biết : 24x, 36x , 160x và x là số lớn nhất
: 24x, 36x , 160x và x là số lớn nhất  x UCLN (24;36;160) 4
1  25
11
0

1  x  4  :
  2022  
2  22
5
4) Tìm x biết 
1  25
11 
9  25
11
0

1  x  4  :
  2022  
 x :
1  1 
2  22
5

2  22
5


9 11 25 5
5 9
 x   .   x   7
2 5 22 2
2 2

Vậy x=7
Câu 3. (4,0 điểm)
3) Số tự nhiên a chia 36 dư bao nhiêu biết a chia 4 dư 3 và chia 9 dư 4
Số tự nhiên a chia 4 dư 3 nên a 4 x  3, x  N
Số tự nhiên a chia 9 dư 4 nên a 9 y  4, y  N
Ta có :
a  5 4 x  3  5 4  x  2  4 
   a  5  36
a  5 9 y  4  5 9( y  1) 9 
  a  5  36  36  a : 36 du 31

2a  3b  7
8a  5b  7
4) Cho a, b là các số nguyên. Chứng tỏ rằng nếu 
thì 

Với

a, b  Z   2a  3b  7  4  2a  3b  7  1

Xét

4  2a  3b    8a  5b  8a 12b  8a  5b 7b

Mà

7b7  4  2a  3b    8a  5b  7  2 

Từ (1) và (2) suy ra

 8a  5b  7


2a  3b 7

8a  5b 7

 thì 

Như vậy, với mọi a,b nguyên và 
Câu 4. (2,0 điểm) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 25m, chiều rộng 20m.
Người ta trồng hoa hồng vào bốn hình vng ở các góc vườn và phần diện tích cịn
lại trồng hoa cúc.
3) Tính diện tích phần đất trồng hoa mỗi loại
25.20 500  m 2 

Diện tích cả mảnh vườn :

Diện tích đất trồng hoa hồng :

4.5.5 100  m 2 

 
Diện tích đất trồng hoa cúc là
2
2
Vậy diện tích trồng hoa hồng là 100m và diện tích trồng hoa cúc là 400 m
4) Biết mỗi mét vuông làm đất và trồng hoa hồng phải trả 50 000 đồng tiền công,
mỗi mét vuông làm đất và trồng hoa cúc phải trả 40 000 đồng . Tính số tiền
cơng phải trả để trồng hoa cho cả mảnh vườn đó
Số tiền công phải trả cho việc làm đất và trồng hoa hồng : 100.50 000 5000 000 (đồng)
Số tiền công phải trả cho việc làm đất và trồng hoa cúc : 400.40 000 16 000 000 (đồng)
Tổng số tiền phải trả cho cả mảnh vườn: 5000 000  16 000 000 21000 000 (đồng)
Câu 5. (4,0 diểm)
500  100 400 m 2

P

2n  1
n 4

3) Cho biểu thức
c) Với điều kiện nào của số nguyên n thì P là một phân số . Tính giá trị của P
khi n  203
 2n  1  Z
2n  1
nZ  
P
n


4

Z

n  4 là phâ số thì n  4 0  n 4  *
Với
, để
Vậy với số nguyên n cần thỏa mãn thêm điều kiện n 4 thì P là phân số

Với

n  203(tm(*))  P 

2   203 1 45

 203  4
23

d) Viết tập hợp M các số nguyên n sao cho phân số P có giá tri là một số
nguyên
2n  1
 Z   2n  1 n  4   2n  1  2  n  4    n  4   9  n  4 
n 4
 n  4  U (9)  1; 3; 9  n   1;  1;  7;11;5;3 (tm)
P

Vậy

n   1;  1;  7;11;5;3

thì P nguyên

2
2
4) Tìm số nguyên tố p,q sao cho p  3 pq  q là số chính phương .
2
2
Giả sử tìm được số nguyên tố p, q để p  3 pq  q là số chính phương.

Ta có

p 2  3 pq  q 2 m2  m  N *  1


Nếu cả hai số nguyên tố p và q đều khơng chia hết cho 3 thì theo tính chất số chính
2
2
phương p , q là các số chia 3 dư 1

Do đó 

p2  q2 

2
2
là số chia 3 dư 2, mà 3 pq 3  p  3 pq  q chia 3 dư 2

 p 2  3 pq  q 2 khơng là số chính phương (vì số chính phương hoặc chia hết

cho 3 hoặc chia 3 dư 1, khơng có số chính phương chia 3 dư 2) (2)

Từ (1) và (2)=> trong hai số nguyên tố p,q phải có số chia hết cho 3 hay trong hai số
nguyên tố p, q có một số bằng 3.
Do vai trò p và a như nhau nên cho p = 3.
2
2
2
2
2
Thay p=3 vào (1) ta được 3  3.3q  q m  q  9q  9 m
Nhân cả hai vế của đẳng thức với 4 ta được

4q 2  36q  36 4m 2   4q 2 18q    18q  81 4m 2  45
2

 2q  2q  9   9  2q  9  4m 2  45   2q  9   4m 2 45

Tiếp tục biến đổi và đưa được về dạng
(2q+9-2m) (2q+9+2m) = 45=1.45= 3.15 = 5.9 (1)
Với q là số nguyên tố và m là số nguyên dương thì 2q + 9 – 2m < 2q+9+2m,
Kết hợp với (1) và vận dụng bài tốn tổng , hiệu để tìm q, tìm m bằng cách lập
bảng:
2q  9  2 m
2q  9  2 m
q
m

1
45
7
11

3
15
0
3

5
9
1
1

Do p là số nguyên tố nên từ bảng trên ta suy ra p= 7 (thoả mãn)
Vì vai trị của p và 4 như nhau nên sau khi thử lại ta tìm được 2 cặp số nguyên tố (p,q)
thoả mãn bài toán là (3,7) và (7,3).
Câu 6. (3,0 điểm) Trên đường thẳng xy lấy điểm O. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia
Oy lấy điểm B, C sao cho OA OC 2cm và OB=7cm
3) Vẽ hình sau đó :

x

A

O

C

B

c) Tính độ dài đoạn thẳng BC
Hai điểm B, C cùng thuộc tia Ox nên hai điểm B, C nằm cùng phía đối với điểm O nên 2

điểm B , C có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại trong ba điểm thẳng hàng
O, B, C (1)
Giả sử điểm nằm giữa hai điểm O và C thì OB  BC OC
Mà

OB 7cm, OC 2cm  7  BC 2  2 

y


Vì độ dài đoạn thẳng là một số dương nên 7  BC  7  2 . Điều này mâu thuẫn với (2) nên
giả sử sai (3)
Từ (1), (3) suy ra C nằm giữa hai điểm O và B nên :
OC  CB OB  2  CB 7  BC 5cm

d) Cho biết điểm O có là trung điểm đoạn thẳng AC khơng ? Vì sao ?
Điểm O nằm trên đường thẳng xy nên hai tia Ox, Oy đối nhau
Mà điểm A thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy nên hai điểm A và C nằm khác phía đối
với điểm O nên điểm O nằm giữa hai điểm A và C
Ta có OA OC 2cm mà điểm O nằm giữa hai điểm A, C nên O là trung điểm đoạn thẳng
AC.
Vậy điểm O có là trung điểm của đoạn thẳng AC
4) Cần lấy thêm trên đường thẳng xy bao nhiêu điểm phân biệt không trùng với
các điểm đã cho để trên đường thẳng có 465 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng
có mút là hai trong các điểm đó
Gọi n là số điểm phân biệt cần lấy thêm trên đường thẳng không trùng với các điểm
O, A, B, C thì tổng số điểm trên đường thẳng xy là  n  4  (điểm) (với n  N * )
Chọn 1 điểm bất kỳ trong số n  4 điểm trên đường thẳng xy, điểm này tạo với n+3 diểm

còn lại n+3 đoạn thẳng

………………………………………………………
Như vậy số đoạn thẳng tạo thành :

 n  4   n  3 đoạn thẳng . Nếu làm như vậy thì mỗi
 n  3  n  4 

đoạn thẳng tính 2 lần nên số đoạn thẳng thực tế :

 n  3  n  4 

2

(đoạn thẳng )

465   n  3  n  4  930 30.31  n  3 30  n 27

2
Theo bài ta có
Vậy cần lấy thêm trên đường thẳng xy 27 điểm phân biệt không trùng với 4 điểm đã cho