Xây dựng phương pháp giải mã theo chuẩn syndrome trên cơ sở nhận dạng lỗi

Bộgiodụcvàđàotạo
BộQuốcphòng
Việnkhoahọcvàcôngnghệquânsự

--------------------------

VSN H

XY DNG PHNG PHP GII M
THEOCHUNSYNDROME
TRấNCSNHNDNGLI

Chuyờn ngnh:
tMós:

K thut in
62 52 02 03

TÓMTẮTLUẬNÁNTIẾNSĨKỸ THUẬT

HÀNỘI-2016


Cơngtrìnhđƣợchồnthànhtại:
VIỆNKHOAHỌCVÀCƠNGNGHỆQNSỰ-BỘQUỐCPHỊNG

Ngƣờihƣớngdẫnkhoahọc:
1.

TSPHẠMVIỆTTRUNG

2.

TSPHẠMKHẮCHOAN

Phảnbiện 1:PGS.TS LêMỹTú
HọcviệnKỹthuậtMật mã
Phảnbiện2:PGS.TSHồngMạnhThắng
ĐạihọcBáchkhoaHàNội
Phảnbiện3:TSNguyễnĐơngHƣng
CụcCơ yếu– BộTổngthammưu
Luận án đƣợc bảo vệ trƣớc Hội đồng chấm luận án
Tiếnsĩ cấp Viện, họp tại Viện Khoa học và Công nghệ quân sự
vàohồi:......giờ......ngày......thángn ă m 2016.

Cóthểtìm hiểuluậnántại:
- Thư việnViệnKhoa họcvàCơngnghệ qnsự.
- ThưviệnQuốcgiaViệt Nam.


1
MỞ ĐẦU
1. Tìnhhìnhnghiêncứutrongnƣớcvàngồinƣớc
Tại Việt Nam các giáo sư Nguyễn Xn Quỳnh, Nguyễn Bình
đãnghiên cứu về mã cyclic cục bộ từ những năm 80 của thế kỷ XX.
Mãcyclic cụcbộtiếp tục pháttriểnvàcónhiều thành tựuđáng
kể.T u y nhiên các cơng trình này chưa đi sâu vào việc nghiên cứu
phương phápgiải mã, thiết kế bộ giải mã, đặc biệt khi khoảng cách mã
lớn, hay mã cókhảnăngsửa đồngthờilỗingẫu nhiên và lỗichùm.
Các thiết bị giải mã mã BCH, Reed-Solomon hiện nay thường
sửdụng các thuật toán Berlekamp-Massey, Euclid. Thuật tốn

Berlekamp-Massey (BMA) là một phương pháp tính để giải phương
trình khóa rấthiệu quả về số lượng của phép tính trong trường hữu hạn
và là lựa chọnphổ biến để mô phỏng hoặc thực hiện giải mã BCH và
Reed-Solomonbằng phần mềm. Thuật tốn Euclid (EA) là phương pháp
để giải phươngtrình khóa dựa trên việc tìm ước số chung lớn nhất của
hai đa thức. Đặcđiểm cơ bản của các thuật toán này là chúng ở dạng lặp,
dễ thực hiện ởdạng phần mềm, nhưng khó thực hiện khi thiết kế phần
cứng, tốc độ giảimãkhơngcao.
2. Tínhcấpthiết
Các phương pháp đại số giải mã BCH u cầu phải giải
phươngtrìnhkhóabậcc a o trêntrường Ga l oa . Cácthuậ tt ố n lặpBM
A, EAvàthủtụctìmkiếmChiencóđộtrễxửlýlớnkhin vàttăng, điều đó hạnchế việc ứng
dụng mã BCH vào các hệ thống thông tin thời gian thực.Mặt khác trong
các hệ thống truyền tin, các hệ thống xử lý, lưu trữ thôngtin thường xảy
ra lỗi ở cả dạng lỗi ngẫu nhiên và lỗi chùm. Một số mãkhối tuyến tính
có khả năng đồng thời sửa được cả lỗi ngẫu nhiên và
lỗichùmnhưm ã t ầ ng, m ã Fi r e bi ế nt hể , m ã c ó xá ot r ộ n…
t uy nhiênvi ệ c giải mã chúng thường khá phức tạp, tốc độ mã hóa thấp hoặc khả năngsửalỗi
khơnglớn.
Trên cơ sở nghiên cứu cấu trúc của mã BCH và các biến thể
củanó, xây dựng một tham số mới là chuẩn syndrome. Chuẩn syndrome
làbất biến với tác động của nhóm phép thế dịch vịng và chuẩn
syndromecủacác nhóm khácnhau thìk h á c n h a u . K h i s ử
d ụ n g c h u ẩ n s y n d r o m e , các lỗi ngẫu nhiên và lỗi chùm có thể
được sửa đồng thời do chuẩnsyndrome của các vector lỗi ngẫu nhiên và
một số cấu hình lỗi chùm độdài nhỏ, lỗi chùm đồng pha khơng trùng
nhau
khi
chọn
đa

thức
sinh
củatrườngmộtcáchthíchhợp.Trêncơsởchuẩnsyndrome,qtrìnhnh
ận


dạng lỗi có thể thực hiện khá thuận tiện làm giảm độ phức tạp xử lý
lỗiđồngthờitănghiệu quả giảimã.
Do đó đề tài“Xây dựng phƣơng pháp giải mã theo
chuẩnsyndrome trên cơ sở nhận dạng lỗi’’có tính cấp thiết và tính
ứng dụngthựctiễn cao.
3. Đốitƣợngnghiêncứu:
- Nhómcác phépthếdịchvịng, phép thếcyclotomic.
- CácmãBCH,Reed-Solomon vàcácbiếnthể.
4. Mụcđíchn g h i ê n cứu:
- Nghiêncứu đặcđiểmcấu trúccủa mãBCH.
- Nghiêncứuxâydựngthuậttoán,thiếtbịgiảimãdựatrênchuẩnsyndr
ome.
- Nghiên
cứuxâydựngphươngphápnhậndạngvectorlỗidựatrênchuẩnsyndrome để
nângcao hiệuquảsửalỗicủa mã.
5. Nhiệmvụnghiêncứu:
- NghiêncứuvềmãBCH,Reed-Solomon.
- Nghiêncứunhómcácphépthếdịchvịngvàtínhchuẩnsyndromechocác
mãBCH, Reed-Solomonvà cácbiến thể.
- Nghiêncứuphươngphápnhậndạngvectorlỗitheochuẩnsyndrome.
- NghiêncứuthiếtbịgiảimãmãBCHvàcácbiếnthể,mãReedSolomontrêncơsởnhận dạnglỗitheochuẩnsyndrome.
- Nghiêncứuphươngphápnénchuẩnsyndromevànhậndạnglỗikhi
sửalỗibộicao.
6. Phƣơngphápnghiêncứu:

Phương pháp nghiên cứu cơ bản là kết hợp phương pháp giải
tíchvà phương pháp mơ phỏng Monte-Carlo trên Matlabc ó s ử d ụ n g
c á c cơng cụ tốn học của lý thuyết xác suất thống kê, lý thuyết nhóm...
đồngthời sử dụng các cơng nghệ thiết kế, chế tạo phần cứng như công
nghệFPGAđể thiếtkế thiết bịgiảimã.
7. Ýnghĩakhoahọcvàthựctiễn:
Ý nghĩa khoa học: Xây dựng phương pháp thế giải mã mã BCH
vàcácb i ế n t h ể d ự a t r ê n c h u ẩ n s y n d r o m e , p h ư ơ n g p h á p g i ả i m ã d ự
a t r ê n việckếthợpphépthếcyclotomicvàphépthếdịchvòngkhisửalỗibộicao. Xây dựng phương
pháp nhận dạng vector lỗi theo chuẩn syndromevớicác
dạnglỗikhácnhau,cho phép mở rộngkhả năngsửa lỗicủa mã.
Ý nghĩa thực tiễn: Đề xuất sơ đồ cấu trúc thiết bị giải mã mã
BCHvà các biến thể, mã Reed-Solomon trên cơ sở nhận dạng lỗi theo
chuẩnsyndrome.Thiếtbịmãhóa,giảimãthựchiệntrênthiếtbịlogiclậptrình


được có mức tác động nhanh cao và độ phức tạp thấp hơn các bộ giải
mãđạisốthôngthường.
8. Bốcụcluậnán:
Luận án chia thành 03 chương. Chương 1: Tổng quan về mã
BCH.Chương2:PhươngphápchuẩnsyndromegiảimãmãBCH.Chương3:Mởr
ộngkhảnăngsửalỗicủamãBCHsửdụngphươngphápchuẩnsyndrome.Ngồiraluậnán
gồm
có
phần
mở
đầu,
kết
luận,
danh

mục
các
cơng
trìnhnghiêncứuđãcơngbốcủatácgiả,tàiliệuthamkhảovàphụlục.
CHƢƠNG1:TỔNGQUANVỀMÃBCH
1.1. Tổngquanvềmãkhốituyếntính
Mộtmãkhốicóchiềudàingồmqktừmãđượcgọilàmãtuyếntính(n,k)khivàc
k
hỉkhiq từmãhìnhthànhmộtkhơnggianvectorconkchiềucủakhơnggianvectorgồ
mtấtcảcácvectornthànhphầntrênGF(q).
Đối vớixácsuấtlỗibit cóthể sửdụnggiới hạnsau:
Pb nitnp i1p ni
(1.14)

n 
i

it1
Vớimãtuyếntínhnhị phân
hệthốngtruyềnquakênhAWGN,xácsuấtbitlỗicógiớihạntrênnhư sau:
n
Pb  wAw Q 2wR Eb 
(1.20)
 No

n
w


d

1.2. MãBCH
1.2.1. Mộtsốkháiniệmcơbản
1.2.2. MãBCH nhị phân
Mã BCH nhị phân là mã vòng được xây dựng bởi các
khôngđiểm của đa thức sinh. Một mã BCH nhị phân có khoảng cách
cấutrúcδ2t +1 là một mã vịng mà đa thức sinhg(x) có 2tlũy
thừaliêntiếpcủaαlànghiệm  b, b1,..., b  2t .
1.2.3. MãBCH khơngnhịphânvàmãReed–Solomon
MãBCHnhịphâncóthểđượctổngqtthànhmãkhơngnhịphân.Đathứcsi
nhg(x)củamãBCHq-phânsửatlỗilàmộtđathứcbậcthấp
nhấtvớihệsốthuộctrườngGF(q)vàcócácphầntửb,b1,...,b2tlà
nghiệm.Nếuq 2 thìnhậnđượcmãBCHnhịphân.
LớpconđặcbiệtcủamãBCHqphânvớis  1 làlớpconquan
trọng nhất. Mã của lớp con này được gọi là mã Reed–Solomon (mã
RS).MãRSsửatlỗidùngcáckýhiệuthuộctrườngGaloaGF(q)cónhữngthamsố
sau: độ dài khối:nq
–1; số symbol kiểm tra:n –
k2t;khoảngcáchtốithiểu:d 2 t+1



1.3. CácphƣơngphápgiảimãmãBCH
+Thuật toánBerlekamp–Massey(BMA);
+Thuật toánEuclid(EA);
+ Phươngpháp bẫylỗi;
+Phươngpháp thế.
1.4. Đặtvấnđềnghiêncứu
1.4.1. Nghiêncứuxâydựngphƣơngphápchuẩnsyndromegiảimã
mãBCHvà cácbiếnthểtrên cơsởnhận dạng lỗi
Vấn đề nghiên cứu thứ nhất của luận án là xây dựng phương

phápgiải mã mã BCH và biến thể dựa trên chuẩn syndrome cho phép
xác địnhvectorlỗitheo chuẩnsyndrome,khơngcầngiảiphươngtrìnhkhóa.
Vấn đề nghiên cứu thứ hai của luận án là xây dựng phương
phápkết hợp phép thế cyclotomic và phép thế dịch vòng để giải mã mã
BCHchophép rútgọn cáctậpvectorlỗicầnxửlý.
1.4.2. Nghiên cứu mở rộng khả năng sửa lỗi của mã BCH và các
biếnthểsửdụngphƣơngphápchuẩnsyndrometrêncơsởnhậndạnglỗi
Vấn đề nghiên cứu thứ ba của luận án là mở rộng khả năng sửa
lỗicủa mã BCH, Reed-Solomon và các biến thể, cho phép đồng thời sửa
lỗingẫunhiên và lỗichùmtrên cơ sở nhận dạnglỗitheochuẩnsyndrome.
1.5. Kếtluậnchƣơng1
Cáckếtquảchương1 baogồm:
(1) Nghiên cứu tổng quan mã khối tuyến tính, mã BCH và các
phươngpháp giải mã mã BCH nhị phân và khơng nhị phân, mã ReedSolomondựatrênthuậttốnBerlekamp–Massey, thuậttốnEuclid.
(2) Nghiên cứu phương pháp bẫy lỗi và phương pháp thế giải mã
mãBCHnhịphân.
CHƢƠNG2 : PHƢ Ơ NG PH ÁP C H U Ẩ N S Y N D R O M E GI
ẢIMÃMÃBCH
2.1. Phânloại dịchvòngvectorlỗi
Ký hiệuσlà phép thế dịch vòng, vector lỗie(e1, e2, …, en)
dịchvịng phải đi một vị tríσ(e)(en, e1, e2,e3, …, en-1). Tập hợp tất cả
cácvectorkhácnhauđơimộtσ m(e)với0≤m≤n–1củavectorlỗietù
gọilàσ-orbitcủanó,mỗiσ-orbitcómộtvectorsinh.
Vớimộtsốλtựnhiênnhỏnhấtnàođó,1<λphầntử,vớiλ nhoặcλlàướccủanó,σ-orbitcócấu trúcsau:


(e)ee,(e),...,1(e)

(2.2)

Tấtcảcácvectorcủaσorbitcócùngđườngkính,vớihaivectorlỗitùevàe’thìcácσorbit<e>,<e’>hoặclàtrùngnhauhoặckhơnggiaonhau.Khin 15,

có 105
vector lỗi trọng số 2 chia thành 7 lớp với đường kính lỗi từ 2 đến
8 như minh họatrongbảng2-1.
Bảng2-1.Cácσorbit,đườngkính,tọađộvectorlỗibội2v
ớichiềudàin=15
Cáclớpσ-orbit
Đườngkính lỗiD
Tọađộ vector sinhlỗie
I2
2
1,2(110000000000000)
I3
3
1,3(101000000000000)
I4
4
1,4(100100000000000)
I5
5
1,5(100010000000000)
I6
6
1,6(100001000000000)
I7
7
1,7(100000100000000)
I8

8
1,8(100000010000000)
2.2. XâydựngphƣơngphápchuẩnsyndromechomãBCHvàcácbiếnthể
2.2.1. PhƣơngphápchuẩnsyndromegiảimãmãBCH
Matrận kiểmtracủa mã BCHvới khoảngcách cấutrúcδcódạng:
1

1
H 
...

 1

b
b1

2b
2(b1)

...

...

...
...
...

b2

2 (b2)

...



(b1)i,..............(b2)i
H b i,
với 0≤i≤ n–1, l à cănbậcncủa1.

(n1)b 

(n1)(b1) 



...

( n1)(b2)



(2.3)

T

ChomãBCHcómatrậnkiểmtranhưbiểuthức(2.3),vớisyndromeS(e)

 ( s1,s2,…, sδ-1), khiđó:

s

S((e))(  b s,1b1s, . 2. . , b2

Tổngquátkhisử dụng(2.4)λlầntacó:
b
(b 1)
(b 2)
S((e))( s,   s,...,   s
1

2

),
1

1

).

0n1.

(2.4)
(2.5)


Đối với mã BCH có ma trận kiểm tra như biểu thức (2.3)
phổsyndrome củaσ-orbit J <e>bao gồm các vector khác nhau đôi
mộtcủakhônggianS(En)dạng:


(bs, (b1)s, . . . , (b2)s

1

2

1

), 0n1.

Định nghĩa2.1.Chuẩnsyndromecủa
vectorlỗievớimãC(cómatrậnkiểmtra(2.3))làvector:
N(S(e)) ( N12,N 13,…,N 1 (δ-1),N 23,...,N ( δ-2)(δ-1))có
Nij,1≤i(bi1)/hij

/s i

Nij s jij

(bj1)/hij

(2.6)

C21 tọađộ

,h USCLN(bi1,bj 1)

(2.7)

Trongđó:
Nij=∞nếusj≠0,si=0.

Nij= -(khơngxác định) khisj= si=0.
Đối với mã nhị phânq2, ma trận kiểm tra của mã BCH nhị
phântheonghĩahẹp(b=1)vớiδ2t+1códạng:



H i,

3i,



.... (2t 1)i T,

0in 1.

(2.8)

Khiđ ó s y n d r o m e c ủ a v e c t o r l ỗ i t ù y ý g ồ m t t h à n h p h ầ n t h u
ộ c trườngGF(2m)S(e) (s1, s2,…, st).
Đối vớiBCHmãnhịphânvới ma trận kiểmtra(2.8)tacó;
3
2t 1
S((e))(s,1 s,...,2   s). t
(2.9)
Vớim ã B C H n h ị p h â n n g u y ê n t h ủ y t h e o n g h ĩ a h ẹ p , b  1

,
phầntửnguyênthủycủatrườngGF(2m)vàmatrậnkiểmtracódạng:





H i, 3i,.... (2t 1)i T,

0in 1,

n2m 1.

(2.10)

Trường hợp mã BCH nhị phân nguyên thủy theo nghĩa hẹp có
matrận kiểm tra (2.10) đối với vector lỗie, syndromeS(e)(s1, s2, …,
st)phổsyndromeS(<e>) gồmtấtcảcác vectorkhác nhauđôi mộtdạng:
(is, 3is, . . . , i(2t1)s),
02m 2.
(2.11)
1

2

t

Địnhnghĩa2.2.Gọichuẩn(norm)củasyndromeS(e)(s1,s2,…,st)
vớim ã n g u y ê n t h ủ y t h e o n g h ĩ a h ẹ p l à v e c t o r N (S) C t2t ọ a đ ộ N ij,
c ó 1≤i

N s (2i1) / hij/s (2j1) / hij,

ij

j

i

hUSCLN(2i 1,2j 1).
ij

Nij=∞nếusj≠0,si=0;N ij= -(khơngxác định) khisj= si=0.
Ví dụ với mãBCH nhịphâncód7,chuẩn syndromegồm
3thànhphần:

(2.12)


N s/s3,N s/s5,N s3/s5.
1

2

1

2

3

1

3

3

2

Tính chất cơ bản của chuẩn syndrome là tính bất biến của nó
vớiphépthế dịch vịng.
N(S((e)))N(S(e)).
(2.13)
Địnhnghĩa2.3.Normcủaσ-orbitJlàchuẩnsyndromecủamột
vectortùtrongJvàkýhiệulàN(J).
Định lý 2.1.ChoKlà tậpσ-orbittùy ý các vector lỗi nhị phân cóphổ
syndrome đầy đủ với mã BCH có khoảng cách mã 2t +1 trên
trườngGF(2m) và có chuẩn syndrome khác nhau đơi một. Nếu biết rằng từ
mãnhậnđượcchứa vectorlỗithuộc tậpKthìmãđã chosửađượclỗinày.
Đểt h ự c h i ệ n g i ả i m ã d ự a t r ê n c h u ẩ n s y n d r o m e c ầ n b a b ộ n h ớ
ROMlưutrữ các thôngtinsau:
- P1= { N(I1),N (I2),. . . , N (It)}–t ậ p c h u ẩ n s y n d r o m e c ủ a c á c σ orbitI1,I2, ...,Itcủa tập cầngiảimãK(ROM 1).
- P2={e01,e02,...,e0t}–tậpcácvectorsinhcủacácvectorlỗichomỗilớpI 1,
I2, ...,It(ROM2).
- P3= { S11-1,S 12-1,. . . , S - 1 }–
1 t ậ p c á c p h ầ n t ử c ủ a t rư ờng Gal oa
t
(ROM3),trongđós 1j–thànhphầnsyndromeđầutiêncủavectorlỗie
i
trongP 2( n ế u s 1(t)= 0 , N (It)= ∞,t h ì t ha y c ho s - 1g h i1 s - 1c h ot2 h à n h phầnthứ
t
t
2làs2tcủaS(et)).
Thuậtt o á n g i ả i c h o g i ả i m ã t h e o p h ư ơ n g p h á p c h u ẩ n s y n d r o

m e thựchiện tínhtốnqua cácbướcnhư sau:
+TínhsyndromeS(e) ( s1,s2,
…,st)vớisilàphầntửcủatrườngGaloaGF(2m).
+Tínhbậccủa chuẩnsyndromeN.
Tínhd e g s j,degsilàbậcthànhphầnsi,sjcủasyndrome
S(e) ( s1,s2, …,si,..., sj, ...,st)với1≤i< j≤t.
Chuẩnsyndrome của syndromeS(e) tínhtheocơngthức (2.12):
(2i1)/hij (2j1)/hij
hUSCLN(2i1,2j1).
N ij s j
/s i ,
ij
DegNij { degsj.(2i –1)/hij–degsi.(2j –1)/hij}modmodn.
+T h e o d e g N ijx á c đ ị n h v e c t o r s i n h v à
b ậ c i 0c ủ a t h à n h1 p h ầ n syndromeđầu tiêns0 ứngvớivectorsinh.
+ Tínhsố thứtự bitlỗiđầutiênbằngLi ( degsi– degs0 )mod 1n.
+ Tìmvector lỗiebằngcách dịch vịngvectorsinhđiLinhịp.
+Sửatínhiệunhậnđược bằngcáchtổngtínhiệunhậnđượcvới vectorl
ỗitìmđược.


2.2.2. Phƣơngphápchuẩnsyndromegiảimãm ã thuậnnghịch
Cho mã thuận nghịch C5 có ma trận kiểmt r a



T
z

z

H  , 

i

dạng

j

 ,chuẩnsyndromeS (s ,s )(  , )làtíchcác
1

2

thànhphầncủasyndrome trongtrườngGF(2m).
i+j
N s 1.s2= 

(2.15)
0,
1,
2,
…,
n
–
1}.
Với T { – ,
Bậc được gọilàbậccủachuẩnsyndromeN v à đượck ý hiệudegN:
(2.16)
degN(ij)modn.

Khi phân hoạch theo cácσ-orbit, chuẩn syndrome tương ứng
vớicác lỗi ngẫu nhiên và một số dạng lỗi phụ thuộc khơng trùng nhau.
Ví dụmãthuậnnghịchcóđộdài31,d5, với phần tử nguyên thủy α là nghiệm
của đa thứcx5+ x2+1 ngồi các lỗi bội 1, 2 cịn sửa được
cácvectorlỗibội3với các vịtrílỗithỏamãni2–i1 i 3– i2.
Chuẩn syndromeNvới mã thuận nghịchCtrênGF(2m) chỉ nhậncác
giá trị thuộcGF(2m), bậc chuẩn syndromedegNcógiá trịtùyýtrongT.
GọiIDlà lớp lỗi bội 2, đường kínhDchứa lỗi tại vị trí 1
vàD.Chuẩnsyndromecủacáclớplỗibội2vàlỗiđơnkhơnggiaonhau,n
ên
cóthểgiải mã mãthuậnnghịchtheophươngpháp chuẩnsyndrome.
Cho P1 1, ,..., 1
tập các chuẩn
syndromec ủ a c á c l ớ p t ư ơ n g đ ư ơ n g I 1,I 2,. . . , I v+1v ớ i c á c l ỗ i b ộ i 1 , 2 (RO

M1)
1
1
1
P , ,...,
,
1 i 1( R OM 2)
1

2

2
3

2

v 1

v

i

Thànhphầnđầutiêncủasyndromecủacáclỗibội2cóvịtríthứnhấtt
ạii.
Thuậttốngiảimãmã thuậnnghịchgồmcác bướcsau:
+TínhsyndromeS =(si,sj)=(αi,αj)
+TínhchuẩnsyndromeN(S)= αi. αj
+SosánhN(S)vớicácphầntửcủaROM1,nếuN(S)=1xảyralỗi
đơntạivịtríi+1.NếuN(S)thuộcP1nghĩa là:
N S P 1vớiD>1thìxảyralỗibội2cóđường
kínhD.

D1 P 2 tínhs1.
+VớiDtìmđượcvà
D

đượcr.




 1 
bộđịnh
vị,chỉr
alỗiởvị

tríthứ


1
+Vịtríthứ
2củalỗi
1Dmo
dn
+S ử a l ỗ i
bằngcá
chlấytổ
ngcủav
ectorlỗ
ievàvec
tornhận

D


2.2.3.

PhƣơngphápchuẩnsyndromegiảimãmãReed-Solomon
MãRS có khoảngcáchcấutrúcδ, matrận kiểmtraH:
I
b
2b
3b
n1b 





b1


b1

I

1
2
3
H
 n1b1 
b







n1b2 
2
2b2 3b2  
  b
I

(2.17)

Tương tự với mã BCH tổng quát, chuẩn syndromeNijcủa cácthành
phần syndrome được tạo thành từ ma trận kiểm tra (2.17) sẽ
đượctínhtheo cơngthức:
N S j
ij

bi1/hij

(2.18)

bj1/hiji

S
Trongđóhijlàướcsốchunglớn nhất củaivàj
CáctínhchấtcơbảncủachuẩnsyndromeđốivớimãBCHvàmãReedSolomontươngtự nhau
Với mã RSsửa1lỗimodul, chuẩnsyndromecó thểtínhnhư sau:
NM S
2
S1.

(2.26)

Chuẩn syndrome là bất biến với mọi vector lỗi trong modul,
dựavào tham số này sẽ xác định được vị trí modul lỗi. Thuật tốn giải
mãnhư sau:
- TínhsyndromeS=(S1, S2).
- Tínhchuẩn syndromeNMtheocơngthức(2.26).
- TheoNMxác địnhsố hiệumodulbịlỗik.
- VectorlỗietrongmodulkđượcxácđịnhtheogiátrịS 1.
- Sửa tín hiệu nhận được bằng cách lấy tổng tín hiệu nhận

đượcvớivectorlỗitìmđược:v =r + e.
MãRScóthểánhxạsangmãnhịphân,vídụmãRS(7,3)vớid=5,với thành phần
ngun thủyl à
nghiệm
của
đa
t h ứ c x3 x  1 ,
c ó khảnăngsửa2 lỗimodulmatrận kiểmtra dạng:
I
I
I
I  I

H I
I
 I

h1
h2

h2
h4

3

6

h

h

h

3



h

6



h

9



6
h ,


h12
h18 

hiii1

 i2 

(2.27)


Cácthànhphần chuẩnsyndrome đượcxácđịnhnhưsau:
S2
S3
S4
(2.28)
N3)
N  S
S
1
2
3
2.2.4. Sơ đồ cấu trúc thiết bị giải mã mã BCH theo phƣơng
phápchuẩnsyndrome
Sơđồcấutrúcbộgiảimãtheophươngphápchuẩnsyndromevớid
=5 trên hình 2-2 gồm 6 khối: KTS – khối tính syndrome; khối tínhchuẩn
syndrome; khối tính số lượng của sự dịch vịng; khối tính
tốnvectorsinhtrongσ-orbit; khối tínhvectorlỗi hiệnthời;mạchsửa.

r

KTS

Khối tính normKhối tính vector
Khốisinh
tính vector lỗi hiện
thời sửa v
e Mạch

e0

N

Khối tính lượng dịch vịng

Hình2-2Sơ đồcấutrúcbộgiải mãdựatrên chuẩnsyndrome
2.2.5.

SơđồcấutrúcthiếtbịgiảimãmãRS theochuẩnsyndrome
Xét mãRSnhị phân(21,15)với ma trậnkiểmtracódạng:
I
H= 3 I 3 I 3 I3 I 3 I 3 I 3 
 0
5
h6
 h h1 h2 h3 h4 h
      
0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2


H= 0 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 0 6 0 1
  



Trênhình2-6trìnhbàysơđồcấutrúccủathiếtbịgiảimãmãRS
theo phương pháp chuẩn syndrome. Thiết bị giải mã bao gồm khối
tínhsyndrome (KTS), khối các mạch AND, khối mạch sửa (MS), khối
xácđịnh số hiệu modul lỗi (KXĐML). Các đầu vào của khối tính

syndromevàc á c đ ầ u v à o t hứ n h ấ t c ủa M S đ ư ợ c nối v ớ i n ha u và l à đ ầ u
v à o c ủa


thiết bị giải mã. Các đầu ra thứ nhất của KTS được nối với đầu vào
thứnhất của khối các mạch AND và các đầu vào thứ nhất của KXĐML,
cácđầu vào thứ hai của khối được nối với các đầu ra thứ hai của KTS.
Cácđầu ra của KXĐML được nối với đầu vào thứ hai của khối các
mạchAND, đầu ra của khối các mạch AND được nối với đầu vào thứ
hai củaMS,đầuraMS là đầuracủa thiếtbịgiải mã.
Khối tính syndrome
S2

r

S1

Mạch “AND”
Khối xác định số hiệu modul lỗi

&&&&&&&

Mạch sửa
МММММММ
v

Hình2-6Sơđồcấutrúcthiết bị giải mãmãReed-Solomon
S1

DC 1

0 1 2 34 5 6

0
1
S22
DC 23
4
5
6

LA

degN =0
degN = 1
degN = 2
degN = 3
degN = 4
degN = 5
degN = 6

Hình2-7Sơ đồchức năngkhối xác địnhmodullỗi


Trên hình 2-7 trình bày một trong các phương án thực hiện
khốixác định số hiệu modul lỗi thực hiện trên thiết bị logic lập trình
được.Khối này bao gồm các bộ giải mã DC1, DC2 để xác địnhi, jvà
mảnglogic( L A) . C á c đầ u v à o c ủ a kh ối đ ư ợ c nối đ ế n k h ối K TS , t r ê n
đầ u r a củacácbộgiảimãDC1,DC2tạoratínhiệutươngứngvớicácgiátrịi,j,
chúng được đưa đến mảng logic. Trên đầu ra của mảng logic tạo ra
tínhiệu logic 1 phụ thuộc vào giá trịd e g N = (j-i)m o d n , do đó tại

đầu racủakhốisẽ cótínhiệu tươngứngvớisố hiệumodullỗi.
2.3. Kếthợpphƣơngphápchuẩnsyndromevàphépthếcyclotomic
2.3.1. Tácđộngcủaphépthếcyclotomiclênkhônggianvectorlỗi
Phépt h ế c y c l o t o m i c t h e o m od ul n v ớ i t r ư ờ n g G F (q)l à t ậ p h ợ p :
1
Cs,sq,sq2 ,...,sqm  ,sqm
(2.29)
s

s

smodn

s

Địnhn g h ĩ a 2 . 4 . T r ê n t ậ p T = { 1 , 2 , . . . , n }b i ế n đ ổ i υ t h ỏ a m ã n
υ(i)=2i-1modnkhiđá nh số tọa độve ct or l ỗi từ1 đếnn .Với n lẻ,υlàsong
ánh trên tậpT .K h i đ á n h s ố t ọ a đ ộ c ủ a v e c t o r l ỗ i t ừ
0 đ ế n ( n-1),ta cóυ(i)=2i mod n. Tương tự khi áp dụng biến đổi
nàyklần
ta
có:υk(i)=i2kmodn.Khiđócácsối,2i,22i,...2m1
itạothànhmộtlớpcyclotomictheomoduln.Cácphépthếυ,υ2,..υm=1gọilànhómc
yclotomicΦ.
1

2

3

4

5

6

7

e: 0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

φ2(e): 0
e=φ3(e):

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

φ(e):

Hình2-8Tác độngcủaphép thếcyclotomicvớivectore=0111000
2.3.2.
Giảimãtheochuẩnsyndromedựatrênphépthếcyclotomic
Vớin=31trongtrườngGF(2)tồntại6lớpcyclotomicnhưsau:
{1,2,4,6,8,16};{3,6,12,24,17};{5,10,20,9,18};{7,14,28,25,
19};{11,22,13,26,21};{15,30,29,27,23}.Trênbảng2-9biểudiễn
giátrịchuẩnsyndromecủacáclỗibội2(15lớpvector)vớimãcóchiềudài
31,vớiđathức sinh củatrườngx5+ x3+x2+ x +1.


Bảng2-9.Vectorsinhlỗibội2củacáclớpdịchvòngvàchuẩnsyndrome
STT
N
Vectorsinhe0
1
3
1100000000000000000000000000000
2
6
1010000000000000000000000000000
3
14
1001000000000000000000000000000

4
12
1000100000000000000000000000000
5
30
1000010000000000000000000000000
6
28
1000001000000000000000000000000
7
19
1000000100000000000000000000000
8
24
1000000010000000000000000000000
9
23
1000000001000000000000000000000
10
29
1000000000100000000000000000000
11
27
1000000000010000000000000000000
12
25
1000000000001000000000000000000
13
15
1000000000000100000000000000000

14
7
1000000000000010000000000000000
15
17
1000000000000001000000000000000
Chuẩn syndrome của các vector lỗi bội 2 thuộc 3 lớp
cyclotomic({3,6,12,
24,17};{7,14,28,25,19};{15,30,29,27,23}).
Vớicácmã
C5cóđathứcsinhkháccũngphânphốichuẩnsyndromecủacáclỗibội2thành
3lớpcyclotomic.Sốlượngcáctổhợpchọnlọccóthểrútgọn5lầnso vớimãC5.
Kýh i ệ u c h u ẩ n s y n d r o m e c ủ a v e c t o r s i n h c ủ a p h ầ n t ử đ
ầ u t i ê n trong các lớp cyclotomic làNao,Nbo,Nco(trong ví dụ trênNao=3,Nbo=7,Nco=15).
Phương pháp giải mã dựa trên phép thế cyclotomic với mãC5như sau:
+TínhsyndromeSvàchuẩn syndromeNcủa tổhợp nhậnđược.
+ So sánh giá trịNvới mỗi giá trịNao,Nbo,Nco, nếuNtrùng với
mộttrongcácgiátrịnàysẽxácđịnhlớpcyclotomicmàNthuộcvềlớpđó.
+ NếuNkhơng trùng với cả ba giá trịNao,Nbo,Nco, thực hiện
phépdịchcyclotomic và lặp lạibước2.
+ Xác định lớp cyclotomic màNthuộc về lớp đó, theo số
lượngphépdịchcyclotomic,xácđịnhgiátrịN=N dịch,vectorsinhtương
ứnge0.
+TheogiátrịS,N,e0tínhgiátrị vector lỗitứcthời.


Lưu đồ thuật tốn giải mã biểu diễn trên hình 2-9, trong
đóN0xácđịnhphầntửđầutiêncủacáclớpcyclotomic,F1–hàmtínhgiátrịN,F2–
hàmtính vector sinhe0,F3– hàmtính vectorlỗitứcthời.
Begin

r
Tính S
No

Nd= No?

Yes

Tính N
Dịch cyclotomic Nd
SL phép dịch x = 0

N = F1(Nd,x)

eo = F2(No)
Nd = N

x = x+1
e = F3(S,N,eo)
e
End

Hình2-9LưuđồthuậttốngiảimãC5,dựatrênphépthếcyclotomic.
Để tiếp tục giảm độ phức tạp giải mã có thể sử dụng phương
phápxửl ý t ừ n g b ư ớ c c á c l ớ p c y c l o t o m i c . X é t m ã C 5,n = 3 1 ,
biểuthức
N c (N b  )modn(N a  2)modn,x á c địnhq u y t ắ c c h u y ể n t ừ
o
0
0

mộtl ớ p c y c l o t o m i c n à y s a n g l ớ p k h á c . V ì v ậ y c ó t h ể c h ọ n 1 t r o
n g 3 phầntửcủamộtlớpcyclotomicvàkýhiệulàN0. Quy tắc giải mã theocácbướcsau:
+TínhsyndromeSvàchuẩnsyndromeN.
+Chọn N0 N a.
0

+SosánhNvàN0(NtrùngN0chỉra lớp cyclotomicchứagiátrịN
tínhđược).


+NếuNkhơngtrùngvớibấtkỳphầntửnàocủalớpcyclotomicthìgiátrịphần
tửsinhcủalớpcyclotomicN0tănglên∆vàsosánhNvớiN0.
+ Xác định lớp cyclotomic chứa giá trị chuẩn syndromeN, theo
sốlượng phép dịch đã thực hiện xác định giá trịN0= Ndịchtheo bảng giá trịtìmvector
sinhe0tươngứngvới chuẩn syndrome.
+T h e o g i á t r ị S , N v à e 0x á c đ ị n h v e c t o r l ỗ i h i ệ n t h ờ i , g i á t r ị ∆
đượcchọnphụthuộcvàolớpcyclotomicđược sửdụng.
Lưu đồ thuật toán giải mã theo quy tắc giải mã nêu trên được
minhhọatrên hình2-10.
Begin
r
Tính S
No

No=Nd

Yes

Tính N
Số lượng dịch x = 0

Nd = N

YesNo
x
N = F1(Nd, x)

Tăng số lượng dịch x = x + 1
No = (No + ∆)mod n

eo = F2(No)
e= F3(S, N, eo)

No = Nao

Dịch cyclotomic N

Quy khơng bộ đếm x = 0
e
End

Hình 2-10 Lưu đồ thuật toán giải mã dựa trên xử lý từng bước
cáclớpcyclotomic cho mãC5vớin=31
2.3.3. Giảimãdựatrênnénchuẩnsyndrome
KhiS1≠0theocơngthức(2.7)vớimãBCHngunthủy(b,n)=1,phổsyndro
mecủaσ-orbitJ=<e>chứansyndromekhácnhauđơimột
|S(J)| =|J|
=n,nghĩalàthànhphầnS1nhậnmỗimộtgiátrịkhác0trongtrườngGF(2m)đúng1lần.
Nếuvớivectorenàođóthuộcσ-orbitJcóS1

=0thìtấtcảcácvectorcủaσorbitđóđềucóthànhphầnsyndromethứnhấtbằng0.