BT (đầy đủ) về giới hạn của dãy số

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
A.BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Một số giới hạn đặc biệt
limC C=g
1
lim 0
n
=g
lim 0 ( 0)
k
C
k
n
= >g
( 1)
lim 0 ( 0)
n
k
k
n
-
= >g
khi lim 0 ( 1)
n
q q= <g
II. Nguyên lý kẹp
 Nếu
0
,
lim 0

n n
n
u v n n
v
ì
ï
£ " ³
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
thì
lim 0
n
u =
 Nếu
0
,
lim lim
n n n
n n
s u v n n
s v a
ì
ï
£ £ " ³

ï
ï
í
ï
= =
ï
ï
î
thì
lim
n
u a=
III. Một số tổng hữu hạn

1
( 1)
1 2 3
2
n n
S n
+
= + + + + =L

2 2 2 2
2
( 1)(2 1)
1 2 3
6
n n n
S n

+ +
= + + + + =L

2 2
3 3 3 3
3
( 1)
1 2 3
4
n n
S n
+
= + + + + =L

2
1
1 3 5 (2 1)
l
S n n= + + + + - =L
Bài 1: Tính các giới hạn sau đây:
1)
2 1
lim
3 2
n
n
+
+
2)
2

2
1 2
lim
5
n n
n n
- +
+
3)
3 2
3
2 4 3 3
lim
5 7
n n n
n n
- + +
- +
4)
5 1
lim
3
n
n
-
+
5)
2
4
2 2

lim
3 5
n n
n
- + +
+
6)
2
3 2
4 5
lim
3 7
n n
n n
+ -
+ +
7)
3
3
6 2 1
lim
2
n n
n n
- +
-
8)
2
2
7 3 2

lim
5
n n
n
- +
+
9)
2
6 5
2 3
lim
5
n
n n
-
+
10)
5 3
5 4
3 7 11
lim
3
n n
n n n
- + -
+ -
11)
3 2
3 2
1

lim
2 2
n n n
n n
+ - +
+ +
12)
2
2
3 5
lim
3 4
n n
n
- +
+
13)
2
2
4 1
lim
3 2
n n
n
- -
+
14)
3
3 2
2 3 1

lim
n n
n n
- +
+
15)
2 1
lim
3
n
n
-
+
Bài 2: Tính các giới hạn sau đây:
1)
3 2
2
( 5) ( 7)
lim
n n n
n
+ - +
2)
3 2
2
2 1 5
lim
5 1
2 3
n n

n
n
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
+
÷
ç
÷
÷
+ç
+
è ø
3)
2 2
1 3 1
lim
2 1 6 1
n n
n n
æ ö
+ +
÷
ç
÷
ç
-

÷
ç
÷
ç
è ø
+ +
Bài 3: Tính các giới hạn sau đây:
1)
2
2
2 3
lim
2
n n
n n n
+ +
+ -
2)
2
2 3
lim
1
n n
n n
+
+ -
3)
2
3
2 1

lim
1
n n
n n n
- +
- +
4)
2
2
lim
2 1
n n
n n+ -
5)
3 1
lim
( 1)
n
n n
-
+
Dương Phước Sang
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 4: Tính các giới hạn sau đây:
1)
( 1)(2 1)
lim
(3 2)( 3)
n n
n n

+ -
+ +
2)
2
3
(3 1)(5 3)
lim
(2 1)( 1)
n n
n n
+ +
- +
3)
2
3
(2 1) (4 )
lim
(3 5)
n n
n
+ -
+
4)
( ) ( )
( )
( )
2 3
2
2
2 3 4 7

lim
3 4 5 1
n n
n n
- +
- +
5)
3 2
5
(2 1) ( 3)
lim
2( 5)
n n
n
- +
+
6)
( ) ( )
( )
2 2
4
1 7 2
lim
2 1
n n
n
- +
+

7)

(2 1)( 3)
lim
( 1)( 2)
n n n
n n
+ +
+ +
8)
3 2
5
(2 3 ) ( 1)
lim
1 4
n n
n
- +
-
9)
( 1)(2 1)
lim
(3 2)( 5)
n n
n n
+ -
- +
10)
2 4
3 6
(5 2)(2 1)
lim

(3 1)
n n
n n
+ +
-
11)
2 7
4 7
( 1) (3 7)
lim
(2 3)
n n
n n
+ +
+
12)
2 3
4 5
(2 3)(5 2)
lim
1 3 5
n n
n n
+ +
+ +
Bài 5: Tính các giới hạn sau đây:
1)
2
2
2

lim
1 3
n n
n
-
-
2)
1
lim
1
n
n
+
+
3)
3
3
lim
2
n n
n
+
+
4)
4
2
2 3 2
lim
2 3
n n

n n
+ -
- +
5)
3
6 3
7 5 8
lim
12
n n n
n
- - +
+
6)
lim
1
n n n
n
+ +
+
7)
3
4
lim
2 1
n n n
n
+ +
+
8)

2
1 1
lim
3 2
n n
n
+ - +
+
9)
2
1 1
lim
3 2
n n
n
+ - +
+
10)
2
1 2
lim
2 1
n n
n
+ -
+
11)
2 2
3 1 4
lim

n n
n
+ - +
12)
3
2 6
4 2
1
lim
1
n n
n n
+ -
+ -
13)
3 3
3 2
2 2
3 1
lim
1 1
n n n n
n n
+ + -
+ -
14)
2
2
2 1
lim

2 3 1
n n n n
n n
+ - +
+ +
15)
2 1
lim
3 1
n n
n
- -
+
16)
2
lim
1
n
n +
17)
( ) ( )
5 5
2 2
5
1 1
lim
n n n n
n
- - + + -
Bài 6: Tính các giới hạn sau đây:

1)
( )
1
lim 2
2
n
n
æ ö
÷
-
ç
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
+
ç
÷
è ø
2)
2
3
( 1)
lim
n
n

n
+ -
3)
( 1) 2
lim
n
n
- +
4)
2
2 1
( 1)
lim
2 ( 1)
n
n
n
n
+
+ -
+ -
Bài 7: Tính các giới hạn sau đây:
1)
! ( 1)!
lim
2( 1)! 7 !
n n
n n
+ +
+ +

2)
( 2)! ( 1)!
lim
( 2)! 5( 3!)
n n
n n
+ + +
+ - +
3)
( 2)! ( 1)!
lim
( 1)! ( 2)!
n n
n n
+ + +
+ - +
4)
! ( 3)!
lim
3 ( 2)! !
n n
n n n
+ +
+ +
Bài 8: Tính các giới hạn sau đây:
1)
4
lim
2.3 4
n

n n
+
2)
2
3 1
lim
2 2
n
n
+
+
3)
3 2.5
lim
7 3.5
n n
n
-
+
4)
4 5
lim
2 3.5
n n
n n
-
+
5)
1 1
( 3) 5

lim
( 3) 5
n n
n n+ +
- +
- +
6)
1 1
3.2 2.3
lim
4 3
n n
n
+ +
-
+
Dương Phước Sang
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
7)
1
1 2
2 5
lim
2 5
n n
n n
+
+ +
+
-

8)
1 3
lim
5 4
n
n
+
-
9)
2 1
5 7
lim
2.3 4.9
n n
n n
+ -
-
+
10)
1
4.3 7
lim
2.5 7
n n
n n
+
+
+
11)
1 2

lim
1 2
n
n
+
-
12)
3
( 2)
lim
3 4
n
n
-
+
13)
3 4 1
lim
2.4 2
n n
n n
- +
+
14)
2 5.3 2.5
lim
1 3 4.5
n n n
n n
+ -

+ +
15)
1 1
5.2 3
lim
2 3 1
n n
n n+ +
-
+ +
Bài 9: Tính các giới hạn sau đây:
1)
( )
lim 3 1 2 1n n- - -
2)
( )
2
lim 1n n n+ + -
3)
( )
2
lim 3n n n- + -

4)
( )
2
lim 2 1n n n+ + - +
5)
( )
lim 3 5n n+ - -

6)
( )
lim 1n n n+ -

7)
( )
2
lim 5n n n+ -
8)
( )
2 2
lim 1n n n- +
9)
1
lim
2 1n n+ - +
10)
( )
lim 2 3 1n n+ - +
11)
( )
2
lim 1n n n+ -
12)
( )
lim a n n+ -
13)
( )
3 3 3
lim 1 1n n n+ - -

14)
lim n n n n
æ ö
÷
ç
+ + -
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
15)
2 2
1
lim
2 4n n+ - +
16)
2
4
3
1
lim
n n
n n n
+ +
+ -
17)
2
lim( )n n n+ -

18)
3
3 2
lim ( )n n n n+ -
19)
1
lim
3 2 2 1n n+ - +
20)
2 2
1 4 2
lim
3
n n n
n
+ - - -
+
21)
2
lim( )n n n+ -
22)
lim ( 1 )n n n+ -
23)
2
lim( 4 5 2)n n n+ + - +
Bài 9: Tính các giới hạn sau đây:
1)
( )
3
3

lim 1n n+ -
2)
3 3
3 2 3
lim( 1)n n n+ - +
3)
( )
3
2 3
lim n n n- +
4)
( ) ( )
2 2
3 3
lim 1 1n n
æ ö
÷
ç
+ - -
÷
ç
÷
ç
è ø
5)
3
3 2 2
lim( 3 )n n n n+ - +
6)
2 2

3 3
3 3 2
2 3
lim
2
n n n
n n n
+ - +
+ - +
7)
( )
3
2 2 3
lim 2 3n n n n+ + - -
Bài 10: Tính các giới hạn sau đây:
1)
2
1 2
lim
n
n
+ + +L
2)
2
2 4 (2 )
lim
3 2
n n
n n
+ + +

+ -
L
3)
2 2 2
3
1 2
lim
3 2
n
n n
+ + +
+ +
L
4)
3 3 3
2 2
1 2
lim
( )
n
n n
+ + +
+
L
5)
3 3 3
1 2
lim
(2 3)( 1)
n

n n
+ + +
+ -
L
6)
2
1 2 3
lim
3 1
n
n n
+ + + +
+ +
L
Dương Phước Sang
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
7)
2
1 3 5 (2 1)
lim
2 1
n n
n n
+ + + + -
+ +
L
8)
2
2
2 2 2

1
3 3 3
lim
1 1 1
1
5 5 5
n
n
æö æö æö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
+ + + +
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
æö æö æö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
+ + + +
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
L
L
9)
1 1 1

lim
1.2 2.3 ( 1)n n
é ù
ê ú
+ + +
ê ú
+
ë û
L
10)
1 1 1
lim
1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n
é ù
ê ú
+ + +
ê ú
- +
ë û
L
11)
1 1 1
lim
2.4 4.6 2 (2 2)n n
é ù
ê ú
+ + +
ê ú
+
ë û

L
12)
2 2 2 2
3
1 2 3
lim
(7 2)
n
n
+ + + +
+
L
13)
1 1 1 1
lim
1.3 2.4 3.5 ( 2)n n
æ ö
÷
ç
÷
+ + + +
ç
÷
ç
÷
ç
+
è ø
L
14)

2
2
1 2 2 2
lim
1 5 5 5
n
n
+ + + +
+ + + +
L
L
15)
2
3 2
lim
1 2 3
n n
n
+ -
+ + + +L
16)
1 2 3
lim
2 2
n n
n
æ ö
+ + + +
÷
ç

÷
-
ç
÷
÷
ç
è ø
+
L
17)
2 2 2
4
2.1 3.2 ( 1)
lim
n n
n
+ + + +L
18)
1 2 3 4 (2 1) 2
lim
2 1
n n
n
- + - + + - -
+
L
Bài 11: Tính các giới hạn sau đây: (dùng nguyên lý kẹp)
1)
sin3
lim 1

4
n
n
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
2)
( )
1 cos
lim
1
n
n
n
-
+
3)
3sin 4cos
lim
2 1
n n
n
+
+

4)
2
.sin2
lim
1
n
n
n
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
+
5)
3
2
.sin( !)
lim
1
n n
n +
6)
1
lim

n
n
7)
sin
lim
5
n
n +
8)
cos3
lim
1
n
n +
9)
sin3
lim 1
4
n
n
æ ö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
è ø
10)

3 3
2sin( 1)
lim
2
n n
n n n
+ +
+
11)
3.7 cos( 1)
lim
7
n
n
n- +
12)
1
( 1) .2 .cos
lim
5
n n
n
n
+
-
13)
2 2
lim sin 2cos
n
n n+

14)
1
lim
!n
15)
( 1)
lim
2 1
n
n
-
-
16)
2
2 ( 1)
lim
1 2
n
n
n
- -
+
17)
1
( 1) 1
lim
2 3
n
n n+
é ù

-
ê ú
-
ê ú
ë û
18)
5.2 cos4
lim
2
n
n
n-
19)
2
2
3 4sin
lim
n n
n
+
20)
2 ( 1)
lim
4 3
n
n
n
+ -
+
21)

4sin 7cos 2
lim
5 4
n n
n
- +
+
Bài 12: Tính các giới hạn sau đây:
1 1 1
1
2 3
lim
1 1 1
1
2 3 1
n
A
n
+ + + +
=
+ + + +
+
L
L
1 1 1 1
lim 1 1 1 1
2 3 4
B
n
é ù

æ öæ öæ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
ê ú
÷ ÷ ÷ ÷
= - - - -
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
ê ú
è øè øè ø è ø
ë û
L
2 2 2
1 1 1
lim 1 1 1
2 3
C
n
é ù
æ öæ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
ê ú
÷ ÷ ÷
= - - -
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ê ú
ç ç ç

÷ ÷ ÷
è øè ø è ø
ë û
L

3 3 3
3 3 3
2 1 3 1 1
lim
2 1 3 1 1
n
D
n
æ ö
- - -
÷
ç
÷
ç
= ×
÷
ç
÷
ç
è ø
+ + +
L

3 3 3
2

1 4 (3 2)
lim
1 4 (3 2)
n
E
n
+ + + -
=
é ù
+ + + -
ë û
L
L
1 3 5 2 1
lim
2 4 6 2
n
F
n
æ ö
-
÷
ç
÷
= × ×
ç
÷
ç
è ø
L

Dương Phước Sang
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
2 2 2
1 1 1
lim
1 2
H
n n n n
æ ö
÷
ç
÷
= + + +
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
+ + +
L
1
2
lim
( 2)!
n
G
n

+
=
+
2 3
1 3 5 2 1
lim
2
2 2 2
n
n
I
é ù
-
ê ú
= + + + +
ê ú
ë û
L
2 3
1 2 3
lim
3
3 3 3
n
n
J
é ù
ê ú
= + + + +
ê ú

ë û
L
2 1
lim(1 2 3 )
n
K q q nq
-
= + + + +L
, với
1q <
2 1
lim 1 3 5 (2 1)
n
L q q n q
-
é ù
= + + + + -
ê ú
ë û
L
, với
1q <
2 2 1
lim(1 4 9 )
n
M q q n q
-
= + + + +L
, với
1q <

2 2 2 2
3
1 3 5 (2 1)
lim
n
N
n
+ + + + -
=
L
( ) ( )
2 2 2
lim 1 1 1
2.3 3.4
1 2
O
n n
é ù
æ öæ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
ê ú
÷ ÷ ÷
= - - -
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç
ê ú
ç
÷è øè ø

ç
è ø
+ +
ê ú
ë û
L
1 1 1
lim
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)
P
n n n
é ù
ê ú
= + + +
ê ú
+ +
ë û
L
1
1
lim
( 1) 1
n
k
Q
k k k k
=
=
+ + +
å

2
1.5 2.6 3.7 ( 4)
lim
( 1)
n n
R
n n
+ + + + +
=
-
L
3
1.2 2.3 3.4 ( 1)
lim
2
n n
S
n n
+ + + + +
=
-
L
3 3 3 3
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)
lim
1 2 3
n n n
T
n
+ + + + + +

=
+ + + +
L
L
B.TÍNH TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
I. Định nghĩa
CSN lùi vô hạn là cấp số nhân (vô hạn)
( )
n
u
có công bội q thoả mãn
điều kiện
1q <
II. Công thức
Cho
( )
n
u
là một CSN lùi vô hạn. Khi đó,
1
1 2
1
n
u
S u u u
q
= + + + + =
-
L L
Bài 13: Tính các tổng vô hạn sau đây:

1
8 4 2 1
2
k
A = + + + + + +L L
biết rằng
1
8;4;2;1; ; ;
2
k
L L
là một CSN
2
1
2 1
2
k
B
-
= + + + +L L
biết rằng
2
1
2;1; ; ;
2
k-
L L
là một CSN
1
4 2

3 2
3
3
n
n
C
-
= + + + + +L L
biết rằng
1
4 2
3;2; ; ; ;
3
3
n
n-
L L
là một CSN
5 5 5
5
2 2
2
n
D = + + + + +L L
biết rằng
5 5 5
5; ; ; ; ;
2 2
2
n

L L
là một CSN
2 1 1 1
2
2 1 2 2
E
+
= + + +
- -
L
biết rằng
2 1 1 1
; ; ;
2
2 1 2 2
+
- -
L
là một CSN
Dương Phước Sang
GII HN CA DY S
2
sin sin sin
n
F a a a= + + + +L L
bit rng
( )
2
k k
p

a pạ + ẻ Â
1 1
2 2 1
2
2
G = - + - + - L
bit rng
1 1
2 ; 2 ; 1; ; ;
2
2
- - L
l mt CSN
Bi 14: Cho
1, 1a b< <
v
2 2
1 ; 1A a a B b b= + + + = + + +L L
. Tớnh tng sau õy theo
A,B:
2 2
1S ab a b= + + +L
Bi 15: Mt cp s nhõn lựi vụ hn cú tng bng 3 v cụng bi bng
2
3
. Tỡm s hng tng
quỏt ca CSN ú.
Bi 16: Vit dng khai trin ca mt CSN lựi vụ hn bit nú cú tng bng 32 v s hng
th hai bng 8.
Bi 17: Tng ca mt CSN lựi vụ hn bng

5
3
, cũn tng ca 3 s hng u ca nú bng
39
25
. Tỡm s hng u v cụng bi ca CSN ú.
Bi 18: Tỡm s hng u v cụng bi ca mt CSN lựi vụ hn bit rng CSN ú cú tng
bng 12, hiu ca s hng u v s hng th hai l
3
4
v s hng u l mt s
dng.
Bi 19: Tỡm s hng u v cụng bi ca mt CSN lựi vụ hn bit rng s hng th hai l
12
5
v tng ca CSN ny l 15.
Bi 20: Cho hai dóy s
1
1
10
( ):
3,
5
n
n
n
u
u
u
u n

*
+
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
= + ẻ
ù
ù
ù
ợ
Ơ
v
15
( ) :
4
n n n
v v u= -
Chng minh rng
( )
n
v
l mt CSN lựi vụ hn. T ú tớnh
lim
n
v

v
lim
n
u
Bi 21: Cho dóy s
1
1
1
( ):
4
, 1
6
n
n
n
n
u
u
u
u n
u
+
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
-
ớ

ù
=
ù
ù
+
ù
ợ
a) Chng minh rng vi mi
n
*
ẻ Ơ
ta cú
4
n
u ạ -
b) Chng minh rng dóy s
1
( ) :
4
n
n n
n
u
v v
u
+
=
+
l mt CSN lựi vụ hn. T ú tớnh
lim

n
u
Bi 22: Cho dóy s
1
1
3
( ):
2 1, 1
n
n n
u
u
u u n
+
ỡ
ù
=
ù
ớ
ù
= +
ù
ợ
a) Chng minh rng
( ) : 1
n n n
v v u= -
l mt CSN lựi vụ hn.
b) Tớnh
lim

n
u
Bi 23: Chng minh rng, vi
0;
4
a
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ẻ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ta cú
2 3
2cos
1 tan tan tan ( 1) tan
2sin
4
n n
a
a a a a
a
p
- + - + + - + =
ổ ử
ữ

ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
L L
Dng Phc Sang
GII HN CA DY S
Bi 24: Vit cỏc s thp phõn vụ hn tun hon sau õy di dng phõn s
34,121212 a =
(chu k 12)
0,1111 b =
(chu k 1)
15,2131313 c =
(chu k 13)
1,50111 d = -
(chu k 1)
Bi 25: Cho mt hỡnh vuụng cnh bng a. Ngi ta ni trung im cỏc cnh ca hỡnh
vuụng ú to nờn mt hỡnh vuụng nh hn. T hỡnh vuụng nh hn ny, ngi ta
li thc hin cụng vic nh trờn to ra thờm mt hỡnh vuụng nh hn na v c
thc hin hoi nh th (sau mi ln v ra c mt hỡnh vuụng nh, ta lp li cỏch
lm ó thc hin). Tớnh tng din tớch tt c cỏc hỡnh vuụng ú.
C.GII HN CA DY CHO BI CễNG THC TRUY HI
nh lý Weierstrass
Mt dóy s tng ng thi b chn trờn hoc gim ng thi b chn
di thỡ cú gii hn hu hn.
Bi 26: Chng minh rng cỏc dóy s sau õy cú gii hn
a)

1 1 1
1 2
n
u
n n n n
= + + +
+ + +
L
b)
2 2 2
1 1 1
1
2 3
n
u
n
= + + + +L
Bi 27: Chng minh rng cỏc dóy s sau õy cú gii hn v tớnh gii hn ú
a)
1
1
0
1
4, 1
2
n n
u
u u n
+
ỡ

ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
= +
ù
ù
ù
ợ
b)
1
1
0
1 1
2
n n
n
u
u u
u
+
ỡ
ù
>
ù
ù
ù

ổ ử
ớ
ữ
ỗ
ữ
ù
= +
ỗ
ữ
ù
ỗ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
ù
ợ
Bi 28: Cho dóy s
1
1
10
( ):
3,
5
n
n
n
u
u
u

u n
*
+
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
= + ẻ
ù
ù
ù
ợ
Ơ
.CMR,
( )
n
u
l dóy s gim v b chn. T ú
tớnh
lim
n
u
Bi 29: Cho hai dóy s
1
1
10

( ):
3,
5
n
n
n
u
u
u
u n
*
+
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
= + ẻ
ù
ù
ù
ợ
Ơ
v
15
( ) :
4

n n n
v v u= -
Chng minh rng
( )
n
v
l mt CSN lựi vụ hn. T ú tớnh
lim
n
v
v
lim
n
u
Bi 30: Cho dóy s
1
1
1
( ):
4
, 1
6
n
n
n
n
u
u
u
u n

u
+
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
-
ớ
ù
=
ù
ù
+
ù
ợ
Chng minh rng
( )
n
u
l mt dóy s gim v b chn. T ú tớnh
lim
n
u
Bi 31: Cho dóy s
1
1
1
( ):

4
, 1
6
n
n
n
n
u
u
u
u n
u
+
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
-
ớ
ù
=
ù
ù
+
ù
ợ
a) Chng minh rng vi mi
n

*
ẻ Ơ
ta cú
4
n
u ạ -
b) Chng minh rng dóy s
1
( ) :
4
n
n n
n
u
v v
u
+
=
+
l mt CSN lựi vụ hn. T ú tớnh
lim
n
u
Bi 32: Cho dóy s
1
1
3
( ):
, 1
n

n n
u
u
u u n
+
ỡ
ù
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ù
ợ
. CMR,
( )
n
u
l mt dóy s gim v b chn. T
ú tớnh
lim
n
u
Dng Phc Sang
GII HN CA DY S
Bi 33: Cho dóy s
1
1

1
( ):
, 1
n
n n
u
u
u u n
+
ỡ
ù
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ù
ợ
. CMR,
1
1
1
2
n
n
u
u
+

-
- <
vi mi
n
*
ẻ Ơ
. T ú
tớnh
lim
n
u
Bi 34: Cho dóy s
1
1
1
( ):
2 1
, 1
1
n
n
n
n
u
u
u
u n
u
+
ỡ

ù
=
ù
ù
ù
+
ớ
ù
=
ù
ù
+
ù
ợ
. CMR,
( )
n
u
l dóy s tng v b chn. T ú
tớnh
lim
n
u
Bi 35: Cho dóy s
daỏu caờn
( ): , 0
n n
n
u u a a a a= + + + >L
1444444442444444443

Chng minh rng
( )
n
u
l mt dóy s tng v b chn. T ú tớnh
lim
n
u
Bi 36: Cho ha dóy s
( ),( )
n n
u v
tho món
vaứ
1 1
1 1
; ( , 0 )
; . , 1
2
n n
n n n n
u a v b a b a b
u v
u v u v n
+ +
ỡ
ù
= = > ạ
ù
ù

ù
ớ
+
ù
= =
ù
ù
ù
ợ
a) Chng minh rng vi mi n,
n n
u v
, t ú suy ra
( ),( )
n n
u v
u cú gii hn
b) Chng minh rng hai dóy s ó cho cú cựng gii hn.
Bi 37: Cho dóy s
1
1
1
2
( ):
, 1
1
n
n
n
u

u
u
u n
n
+
ỡ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
+
ù
ợ
. CMR,
( )
n
u
l dóy s gim v b chn. T ú
tớnh
lim
n
u

Bi 38: Cho dóy s
1
1
3
( ):
2 1, 1
n
n n
u
u
u u n
+
ỡ
ù
=
ù
ớ
ù
= +
ù
ợ
Chng minh rng
( )
n
u
l mt dóy s gim v b chn. T ú tớnh
lim
n
u
Dng Phc Sang

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ
Bài 1: Tính các giới hạn sau đây:
1)
5 4
3 2
2
lim
4 6 9
n n n
n n
+ - -
+ +
2)
2
lim( 2 3 19)n n- + -
3)
5 4
3 2
3 2
lim
4 6 9
n n n
n n
+ - -
+ +
4)
( )
3
lim 3 7 11n n- +

5)
3
2
3 2 1
lim
2
n n
n n
+ -
-
6)
lim(3 2)n -
7)
2
2
lim
1
n
n
æ ö
÷
ç
÷
-
ç
÷
÷
ç
è ø
+

8)
3
2
3 5 1
lim
4
n n
n
- +
+
9)
lim( 1)(3 7)n n- +
10)
2
lim( 4 3 1)n n- + +
11)_
2 5
lim( 1)n n- +
Bài 2: Tính các giới hạn sau đây:
1)
3
3 2
lim 8 3n n n- + - +
2)
3
3
lim 1 2n n+ -
3)
3
9 2

lim 8 7n n+ -
4)
4 2
lim 2 2n n n- + +
5)
4
6 1
lim
1
n n
n
+ +
+
6)
( )
2
lim 3n n n- + +
7)
lim( 2 1)n n n- +
8)
3
2
lim( 7 2 )n n+ -
9)
2
lim( 1)n n n- + +
10)
3
2 3
lim 2 7n n- +

11)
2
lim 5 1n n+ -
Bài 3: Tính các giới hạn sau đây:
1)
lim 2.3 2
n
n- +
2)
lim(2 3 )
n n
-
3)
4
lim(2 5 2)
n
n n- + -
4)
lim(2 cos )n n+
5)
2
1
lim( 3sin2 5)
2
n n- - +
6)
3 2
3
2 2
1

lim
1
n n
n n n
-
+ +
7)
2 2
2 5
lim
3 5.4
n n
n n
+
+
+
8)
lim 4 ( 2)
n n
é ù
+ -
ê ú
ë û
9)
lim(3 5 )
n n
-
10)
1
lim(3.2 5 10)

n n+
- +
Dương Phước Sang