Phân tích tín hiệu trong miền thời gian và tần số

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
54




Thông thường ta giả sử hệ thống là tuyến tính và bất biến theo thời gian
(Linear Time-Invariant Systems) LTI để thuận lợi trong việc phân tích và thiết kế.
Hệ thống cũng thường xét là hệ thống nhân quả và đã thư giãn (nghĩa là khi chưa có
tín hiệu vào thì tín hiệu ra bằng 0).

5.1.1  của hệ thống h(n) là tín hiệu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là
xung lực đơn vị (n)



IIR
-  (Finite duration Impulse Response) là hệ thống có đáp ứng xung
hữu hạn, nó hiện hữu trong một khoảng thời gian hữu hạn. Hệ thống này chỉ
đòi hỏi bộ nhớ hữu hạn để lưu trữ tín hiệu và thời gian xử lý cũng hữu hạn.
Ví dụ: h(n) = [0 ,2 ,3 ,0.5 ,3, 2, 1, 0]
-  ( Infinite duration Impulse Response) là hệ thống có đáp ứng
xung vô hạn, nó hiện hữu ở mọi thời gian từ n = -  đến n = + . Hệ thống này
cần bộ nhớ lớn vô hạn để lưu trữ tín hiệu và thời gian xử lý cũng rất lớn.
Ví dụ: h(n) = [… ,2 ,3 ,0.5 ,3, 2, 1, ….]

Tín hiệu vào
x(n)=(n)
Hệ thống
tuyến tính và
bất biến thời

gian (LTI)
Tín hiệu ra
y(n)=h(n)
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
55
 
Từ phương trình vào ra của hệ thống ta có thể tính đáp ứng xung bằng cách cho
tín hiệu vào là xung lực đơn vị (n).
Ví dụ: Hệ thống mô tả bởi phương trình hiệu số tín hiệu vào ra:
y(n)= 1.5 y(n-1) – 0.85 y(n-2) + 2 x(n)
Thế x(n) = (n) thì y(n) chính là đáp ứng xung h(n)
h(n)= 1.5 h(n-1) – 0.85 h(n-2) + 2 (n)
ở n = 0: h(0) = 1.5 h(-1) – 0.85 h(-2) + 2 (0)
Nếu hệ thống phi nhân quả ta cần biết h(-1), h(-2) mới tính được h(0). Nếu hệ
thống nhân quả, h(n) = 0 ở n  -1 ta có thể tính đáp ứng
h(0) = 1.5 h(-1) – 0.85 h(-2) + 2 (0) = 2
h(1) = 1.5 h(0) – 0.85 h(-1) + 2 (1) = 3
h(2) = 1.5 h(1) – 0.85 h(0) + 2 (2) = 2.8
…
h(n) có vô hạn số hạng  hệ thống IIR
5.2 ()
5.2.1 





Ký hiệu: y(n) = H[x(n)]
Hay:
)n(y)n(x

H


Tín hiệu vào
x(n)=(n)


x(n) bất kỳ
Hệ thống
tuyến tính và
bất biến thời
gian (LTI)
Tín hiệu ra
y(n)=h(n)


y(n)=x(n)*h(n)

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
56
Ví dụ: Xét tín hiệu rời rạc: x(n) = [0,1,4,-1,2,3,0]
Khi đó: x(0) = x(0)δ(n-0) = -1
x(1) = x(1)δ(n-1) = 2
x(-1) = x(-1)δ(n+1) = 4
….
 x(n) = x(-2)δ(n+2) + x(-1)δ(n+1) + x(0)δ(n-0) + x(1)δ(n-1) + x(2)δ(n-2)
  
sau:
x(n) = ….+ x(-1)δ(n+1) + x(0)δ(n-0) + x(1)δ(n-1) + x(2)δ(n-2) +…
hay





k
)kn()k(x)n(x

Tín hiệu ra của hệ thống là:

 









k
)kn()k(xH)n(xH)n(y

Hệ thống  thì đáp ứng đối với tín hiệu x(n) bằng tổng đáp ứng với các thành
phần δ(n-k) với trọng số x(k) của x(n) nên:
   














kk
)kn(H)k(x)kn()k(xH)n(xH)n(y

Hệ thống là n thì:
H[δ(n-k)] = h(n-k)
Vậy đáp ứng đối với tín hiệu vào bất kỳ x(n) của hệ thống tuyến tính và bất biến thời
gian (LTI) có đáp ứng xung h(n) là:




k
)kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
57
Đây là công thức tính tích chập của tín hiệu rời rạc gọi là tổng nhân chập.
Khi biết đáp ứng xung của hệ thống ta có thể tính đáp ứng thời gian của hệ thống với
bất cứ tín hiệu vào x(n) nào nên đáp ứng xung là đặc tính thời gian của hệ thống.

Các bước tính tổng chập:
1. Đổi biến số n thành biến tạm k,  x(k), h(k).

2. Tạo ảnh gương (gấp ảnh) h(-k) của h(k) .
Ở n = 0 tính




k
)k(h)k(x)0(y

3. Dịch chuyển h(-k) bằng cách thêm thông số trượt n  h(n-k). Cho n=1,2,3…
để h(n-k) dịch chuyển phải (về tương lai), ở mỗi giá trị của n tính tổng nhân chập.
Tăng n lên cho đến khi thấy tổng nhân chập tiếp tục bằng 0 (tức h(n-k) đã trượt khỏi
x(k)).
4. Cho n = -1,-2,-3… để h(n-k) dịch chuyển trái (về quá khứ), ở mỗi giá trị của n
tính tổng nhân chập cho đến khi thấy tổng nhân chập tiếp tục bằng 0 (tức h(n-k) đã
trượt khỏi x(k)).

y
= N
x
+ N
h
-
i

Ví dụ:
Tín hiệu vào và đáp ứng xung lần lượt là :
x(n) = [ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 0]
h(n) = [ 0 , 2 , 0 , 2 , 0]
Tìm tín hiệu ra.

Giải:
Tiến hành các bước như trên, có 2 cách thực hiện: dựa vào đồ thị hoặc biểu thức
chuỗi. Ta có N
y
= N
x
+ N
h
-1 = 4+3-1=6
* Tính tín :
Thực hiện tổng nhân chập:
Đổi biến số n thành biến số tạm k, viết x(k), h(k
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
58












n = 0:

n = 1 :









n = 2 :

1
1
2
2
3
4
3
4
k
x(k)
0
-1
1
2

0
2
2
k
h(k)
-1
h(-k)
-1
0
-2
2
2
k
-3

1
x(k)h(-k)
-1
0
-2
2
k
-3
1


k
2

h(1-k)
0
1
-1
2
2
k
-2
2
x(k)h(1-k)
0
1
4
-2
2
-1

k


k
4

h(2-k)
1
2
0
2
2
k
-1
3
x(k)h(2-k)
1
2
0
2
6
k
-1
3


k
8

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số

59
n = 3 :











n = 4 :













n = 5 :

n = 6:







h(3-k)
2
3
1
2
2
k
0
4
-1



k
12

4
k
3
x(k)h(3-k)
2
1
8
0
4
-1
h(4-k)
k
4
2
2
2
5
0
3
1
-1


k
6

2

x(k)h(4-k)
1
0
6
k
-1
3
4
5
h(5-k)
5
1
k
3
2
2
6
4
2
0
-1
h(6-k)
6
2
k
4
2
2
7
5

3
1
0
-1
1


k
0

x(k)h(6-k)
k
4
3
2
5
0
6
7
-1


k
8

x(k)h(5-k)
k
3
2
1

8
0
4
-1
5
6
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
60


n = -1:











n = -2:

Vậy tín hiệu ra :

y(n) = […0 , 2 , 4 , 8 , 12 , 6 , 8 , 0…]

* 
Đổi biến số n thành biến số tạm k , viết x(k) , h(k):
x(k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 0 ,…]
h(k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 ,…]
n = 0 :
h(-k) = […0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…]
x(k)h(-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…]


k
2

n = 1 :
h(1-k) = […0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 ,…]
x(k)h(1-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 0 , 0 ,…]


k
4

n = 2 :
h(2-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 ,…]
h(-1-k)
-2

-1
-3
2
2
k
-4
0
1
2
3
4


k
0

-2
x(k)h(-1-k)
k
1
0
-1
2
-3
3
4
-4
h(-2-k)
-3
-2

-4
2
2
k
3
-1
0
1
2
4


k
0

-2
x(k)h(-2-k)
k
1
0
-1
2
-3
3
4
-4
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
61
x(k)h(2-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 6 , 0 , 0 ,…]



k
8

n = 3 :
h(3-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 ,…]
x(k)h(3-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 8 , 0 ,…]


k
12

n = 4 :
h(4-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 ,…]
x(k)h(4-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 6 , 0 , 0 ,…]


k
6

n = 5 :
h(5-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 ,…]
x(k)h(5-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 8 , 0 , 0 , 0 ,…]


k
8

n = 6 :
h(6-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0…]

x(k)h(6-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0…]


k
0

n = -1 :
h(-1-k) = […0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…]
x(k)h(-1-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…]


k
0

n = -2:
h(-1-k) = […0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…]
x(k)h(-2-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…]


k
0

Vậy tín hiệu ra :
y(n) = […0 , 2 , 4 , 8 , 12 , 6 , 8 , 0…]
Ví dụ:
Đáp ứng xung của hệ thống h(n)=[0,1,2,1,-1,0] và tín hiệu vào là
x(n)=[0,1,2,3,1,0]. Tìm tín hiệu ra y(n).
Giải:
Ta có N
y

= N
x
+ N
h
-1 = 4+4-1=7
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
62














Tiếp tục đến n = 6 ta thấy tổng nhân chập bằng 0. Sau đó thực hiện với n= -1, -2,
Kết quả là:
y(n) = [0, 1, 4, 8, 8, 3 , -2, -1, 0]
 i :
x(k) = [0, 0, 0, 1, 2, 3, 1, 0]
h(k) = [0, 0, 1, 2, 1,-1, 0]
n = 0: h(-k) = [0,-1, 1, 2, 1, 0]
x(k) h(-k) = [ 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0] 





k
4)0(y

n = 1: h(1- k) = [0, 0,-1, 1, 2, 1, 0]
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
1
2
-1
h(k)
k
k
-2 -1 0 1 2 3 4
1
1
2
3
x(k)
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
1
2
-1
h(-k)
k
k
-2 -1 0 1 2 3 4

2
2
x(k)h(-k)
n = 0
4
k



-2 -1 0 1 2 3 4
1
1
2
-1
h(1-k)
k
k
-2 -1 0 1 2 3 4
1
4
x(k)h(1-k)
n = 1
8
k



3
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
63

x(k) h(-k) = [0 , 0, 0, 1, 4, 3, 0] 




k
8)1(y

n = 2: h(2- k) = [0, 0, 0, -1, 1, 2, 1, 0]
x(k) h(-k) = [0 , 0, 0,-1, 2, 6, 1, 0] 




k
8)2(y

Tương tự tính với các giá trị n khác ta cũng được kết quả như trên.
Ví dụ:
Tìm y(n)= x(n)*h(n)
a. x(n) = [0,1,2,3,0], h(n) = [0,1,2,1,0]
b. x(n) = [0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0], h(n) = [0, 1, 2, -1, 1, 0]
Giải:
a. y(n) = [0, 1, 4, 8, 8, 3, 0]
b. y(n) = [0, 1, 3, 3, 5, 3, 7, 4, 3, 3, 0, 1, 0]

1. Tính chất giao hoán
x(n)*h(n) = h(n)*x(n)
2. Tính kết hợp
[x(n)*h

1
(n)]*h
2
(n) = x(n)*[h
1
(n)*h
2
(n)]

Ví dụ:
Cho hệ thống như hình trên.Tìm y(n) biết: x(n) = [0,1,2,3,0], h
1
(n)= [0,1,2,1,0],
h
2
(n) = [0, 1, 1, 0]
Giải:
 Cách 1: y(n) = [x(n)*h
1
(n)]*h
2
(n)
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
64
x(n)*h
1
(n) = [0, 1, 4, 8, 8, 3, 0]
[x(n)*h
1
(n)]*h

2
(n) = [0, 1, 5, 12, 16, 11, 3, 0]
 Cách 2: y(n) = x(n)*[h
1
(n)*h
2
(n)]
h
1
(n)*h
2
(n) = [0, 1, 3, 3, 1, 0]
x(n)*[h
1
(n)*h
2
(n)] = [0, 1, 5, 12, 16, 11, 3, 0]
Hai cách tính cho kết quả giống nhau
3. Tính phân phối
x(n)* [h
1
(n) + h
2
(n)] = x(n)*h
1
(n) + x(n)*h
2
(n)

Ví dụ:

Cho hệ thống như hình trên. Tìm y(n) biết: x(n) = [0,1,2,3,0], h
1
(n)=[0,1,2,1,0],
h
2
(n) = [0, 1, 1, 0]
Giải:
 Cách 1: y(n) = [x(n)* [h
1
(n) + h
2
(n)]
h
1
(n) + h
2
(n) = [0,1,3,2,0]
[x(n)* [h
1
(n) + h
2
(n)] = [0, 1, 5, 11, 13, 6, 0]
 Cách 2: y(n) = x(n)*h
1
(n) + x(n)*h
2
(n)
x(n)*h
1
(n) = [0, 1, 4, 8, 8, 3, 0]

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
65
x(n)*h
2
(n) = [0, 1, 3, 5, 3, 0]
x(n)*h
1
(n) + x(n)*h
2
(n) = [0, 1, 5, 11, 13, 6, 0]
Hai cách tính cho kết quả giống nhau
* 
x1
x1
xx xx1
1n
n
0n
nn2







* 
x1
1
x1

x1
limxx xx1
1n
n
0n
n2











|x|<1
Nếu |x| > 1 chuỗi phân kỳ (tiến về vô cực)
5.2.4 
Hệ LTI nhân quả là hệ chỉ phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống tại thời điểm
hiện tại và quá khứ mà không phụ thuộc vào thời điểm tương lai. Do đó, tại n = n
0
:









1
k
0
0k
0
k
00
)kn(x)k(h)kn(x)k(h)kn(x)k(h)n(y

không phụ thuộc vào các trạng thái n > n
0
nghĩa là các hệ số h(k) = 0 với k < 0.
Nghĩa là: h(n) = 0 khi n < 0
Như vậy, hệ thống LTI là nhân quả nếu và chỉ nếu đáp ứng xung cũng là nhân quả. Từ
đó, ngõ ra của hệ thống nhân quả là:




0k
)kn(x)k(h)n(y
hệ thống nhân quả
Hay



n
k

)kn(h)k(x)n(y
hệ thống nhân quả
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
66
Trong trường hợp tín hiệu ngõ vào là nhân quả, nghĩa là x(n)=0 khi n < 0 thì:



n
0k
)kn(x)k(h)n(y
hệ thống và tín hiệu nhân quả
Hay



n
0k
)kn(h)k(x)n(y
hệ thống và tín hiệu nhân quả
5.2.5 
Khi biết đáp ứng xung của hệ thống ta có thể suy ra phương trình tín hiệu vào
ra bằng cách dùng nhân chập.
Ví dụ:
Đáp ứng xung của hệ thống nhân quả là:
h(n) = ah(n-1) + (n) a: hằng số
Tìm phương trình hiệu số của tín hiệu.
Giải:
Vì hệ thống nhân quả nên ta bắt đầu từ h(0):
h(0) = ah(-1) + (0) = a.0 + 1 = 1

h(1) = ah(0) + (1) = a.1 + 0 = a
h(2) = ah(1) + (2) = a.a + 0 = a
2
h(3) = ah(2) + (3) = a.a
2
+ 0 = a
3

…

0n
0n
0
a
h(n)
n






hay h(n) = a
n
u(n)
 Đáp ứng xung lâu vô hạn (IIR)
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
67
 y(n) = x(n) + ax(n-1) + a
2

x(n-2) + a
3
x(n-3) + …
= x(n) + a[x(n-1) + ax(n-2) + a
2
x(n-3) + …]
= x(n) + ay(n-1)
Vậy phương trình hiệu số vào ra của tín hiệu là:
y(n)= ay(n-1) + x(n)
Ví dụ:
Đáp ứng xung tuần hoàn ở chu kỳ 4 mẫu là:
h(n) = [0,2,3,4,5,2,3,4,5,2,3,….]
Tìm phương trình hiệu số vào ra.
Giải:
Nếu ta trì hoãn một chu kỳ thì đáp ứng xung là:
h(n-4) = [0,0,0,0,2,3,4,5,2,3,4,5,2,3,….]
lấy hiệu số:
h(n) - h(n-4) = [0,2,3,4,5,0,0,0,0,]
= 2(n) + 3(n-1) +4 (n-2) + 5(n-3)
 phương trình hiệu số của đáp ứng xung:
h(n) = h(n-4) + 2(n) + 3(n-1) +4(n-2) + 5(n-3)
Làm tương tự như ví dụ trên ta được phương trình hiệu số vào ra:
y(n) = y(n-4) + 2x(n) + 3x(n-1) +4x(n-2) + 5x(n-3)

Sự ổn định là một tính chất quan trọng của mọi hệ thống thực tế. Khi hệ thống
không ổn định, một số thông số hoạt động của hệ thống sẽ thay đổi tùy tiện vượt khỏi
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
68
vòng kiểm soát, và có thể trở nên quá lớn (tiến về vô hạn) làm bão hòa các mạch điện
tử hoặc vượt khả năng bộ nhớ.

Hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian là ổn định khi tín hiệu vào có biên độ
hữu hạn thì tín hiệu ra có biên độ cũng hữu hạn (bounded input bounded output -
BIBO). Nghĩa là: nếu tồn tại số M
x
sao cho: |x(n)| ≤ M
x
< ∞ thì tồn tại số M
y
sao cho:
|y(n)| ≤ M
y
< ∞.
Bắt đầu từ nhân chập:





k
)kn(x)k(h)n(x*)n(h)n(y

Lấy trị tuyệt đối :









k
x
kk
)k(hM)kn(x)k(h)kn(x)k(h)n(y

Để |y(n)| hữu hạn thì:



k
)k(h
hữu hạn
hay


n
)n(h
hữu hạn
 

Ví dụ: Đáp ứng xung của hệ thống LTI là:
h(n) = a
n
u(n)
Tìm điều kiện của thông số a để hệ thống ổn định.
Giải:
Vì hệ thống nhân quả nên điều kiện của h(n) là:
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
69
a

a
aaanh
n
n
n
n









1
1
1)(
1
2
00

Khi |a|<1 chuỗi hội tụ:






a1

1
a
0n
n

Khi |a|1 chuỗi phân kỳ:








a1
|a|1
a
1n
0n
n

Vậy điều kiện ổn định là |a|<1, lúc đó h(n) giảm theo hàm mũ về 0 khi n lớn vô
hạn. Ví dụ h(n) = ( 0.5)
n
u(n) là nhân quả và ổn định, h(n) = ( 2)
n
u(n) là nhân quả
và bất ổn định.
5.4 
Trong thực tế ta thường gặp trường hợp tín hiệu được đưa vào hệ thống rồi tắt

đi. 
l Đáp ứng này thường khác với
đáp ứng ổn định hay đáp ứng vững, là đáp ứng khi tín hiệu đã được đưa vào hoặc tắt
sau một thời gian dài. 
 Thường ta muốn hệ thống đạt
đến sự ổn định càng nhanh càng tốt nhưng phải trơn tru.

Đáp ứng xung của hệ thống không cho biết trực tiếp đáp ứng chuyển tiếp của
hệ thống. Khi tín hiệu vào hệ thống là hàm bậc đơn vị x(n)=u(n) thì tín hiệu ra
y(n)=s(n) được gọi là đáp ứng bậc. Hàm bậc đơn vị u(n) là tổng tích lũy hay còn gọi
là tổng chạy của xung lực đơn vị (n):



n
0k
)kn()n(u

Nên đáp ứng bậc của hệ thống LTI là tổng chạy của đáp ứng xung của nó:



n
0k
)k(h)n(s

Ngược lại đáp ứng xung có thể suy ra từ đáp ứng bậc:
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
70
h(n) = s(n) – s(n-1)

5.4.2 
Nếu biết đáp ứng bậc s(n) của hệ thống thì đối với tín hiệu vào x(n) thì tín hiệu ra là:
y(n) = y
s
(n) – y
s
(n-1)
với :




k
s
)kn(s)k(x)n(y

5.5 
Hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian (hay còn gọi là các bộ xử lý tín hiệu
số, DSP) phổ biến nhất là lọc số (digital filter). Lọc số được cấu tạo bằng mạch điện
tử (phần cứng) hoặc chương trình (phần mềm) hoặc kết hợp cả hai. Cũng giống như
các lọc tương tự, các lọc số tác động lên tín hiệu số vào khiến phổ tần số (gồm phổ
biên độ và phổ pha) của tín hiệu ra khác với tín hiệu số vào. Và cũng giống như lọc
tương tự, lọc số gồm các loại thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải.
Lọc tuyến tính và bất biến thời gian (LTI) được đặc trưng bởi đáp ứng xung
h(n). Đáp ứng đối với tín hiệu vào x(n) bất kỳ là nhân chập của h(n) với x(n). Tuy
nhiên nhiều khi ta liên hệ trực tiếp tín hiệu ra và vào bằng phương trình hiệu số. Xét từ
phương trình hiệu số hay cấu trúc của lọc người ta chia lọc làm hai loại là đệ quy và
phi đệ quy.
 và FIR
Lọc mà tín hiệu ra chỉ tùy thuộc vào tín hiệu vào được gọi là phi đệ quy.

Phương trình hiệu số của lọc phi đệ quy là:
 



N
Nk
k
knxb)n(y

Trong đó b
k
là hệ số của lọc. Giới hạn của tổng thường là –N và N hữu hạn nào đó.
Khi tín hiệu vào là xung lực đơn vị (n), tín hiệu ra là đáp ứng xung h(n) :
 



N
Nk
nk
bknb)n(h

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
71
Vậy đối với lọc phi đệ quy đáp ứng xung chính là các hệ số lọc hay nói rõ hơn là hệ số
ở một thời điểm là đáp ứng xung ở thời điểm đó.
 Phương trình của lọc phi đệ quy theo đáp ứng xung:
 




N
Nk
knx)k(h)n(y

Và nếu lọc là nhân quả:
 



N
0k
knx)k(h)n(y

Đây chính là dạng tổng nhân chập trực tiếp. Trên lý thuyết giới hạn của tổng có thể là
- và , hoặc 0 và  (nếu lọc là nhân quả) tức lọc phi đệ quy có thể là lọc IIR (đáp
ứng xung lâu vô hạn). Nhưng trên thực tế đáp ứng xung của lọc phi đệ quy có số hạng
hữu hạn, hoặc có số hạng vô hạn nhưng giảm nhanh khi n lớn lên có thể bỏ đi khi
trở nên không đáng kể (nếu số hạng là vô hạn ta không thể tính tín hiệu ra). Vậy lọc
phi đệ quy chính là lọc FIR.
Ví dụ:
Xem lọc là mạch lấy trung bình cộng của 5 giá trị kế tiếp của tín hiệu vào( gồm
trị hiện tại, hai trị kế trong quá khứ và 2 giá trị kế trong tương lại) :
)]2n(x)1n(x)n(x)1n(x)2n(x[
5
1
)n(y 

Khi n tăng lên thì sự lấy trung bình nhích về phía tương lại nên đây là lọc lấy

trung bình đi chuyển (moving average) có 5 hệ số (còn gọi là số hạng hay điểm). Ví
dụ nếu bắt đầu từ n = 0 thì tín hiệu ra ở n = 0 là :
)2(x)1(x)0(x)1(x)2(x[2,0)0(y 

Các tín hiệu ra tiếp theo là :

)]3()2()1()0()1([2,0)1( xxxxxy 


)]4()3()2()1()0([2,0)2( xxxxxy 

Để ý lọc là phi nhân quả bởi vì trị giá của y(n) tùy thuộc vào các mẫu vào trong
tương lai x(n+1), x(n+2),… Điều này không có vấn đề gì nếu ta tính toán trên các mẫu
đã lưu trữ sẵn. Còn xử lý trong thời gian thực thì hệ thống phải nhân quả. Lúc bấy giờ
ta tính trung bình các mẫu từ hiện tại trở lại quá khứ, lúc này:
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
72
)]4n(x)3n(x)2n(x)1n(x)n(x[
5
1
)n(y 

Như vậy tín hiệu ra y(n) là trị giá trung bình chung quanh x(n-2) thay vì x(n).

Ở lọc đệ quy tín hiệu ra phụ thuộc vào tín hiệu vào ở mọi thời điểm và cả tín
hiệu ra trước đó (hệ thống có sự hồi tiếp). Phương trình hiệu số của lọc đệ quy là:
 




N
Nk
k
M
1k
k
knxb)kn(ya)n(y

M là bậc của lọc. Khi các hệ số a
k
bằng không ta có phương trình hiệu số của
lọc phi đệ quy. Trên lý thuyết các giới hạn có thể vô hạn, còn thực tế thường là hữu
hạn.
Phương trình lọc phi đệ quy thể hiện tín hiệu ra là nhân chập của các hệ số b
n

(chính là đáp ứng xung h(n)) với tín hiệu vào x(n). Ở phương trình đệ quy các hệ số
a
k
, b
k
không trực tiếp liên quan đến đáp ứng xung. Đáp ứng xung của lọc nhận được
bằng cách cho tín hiệu vào x(n) là xung lực đơn vị (n) trong phương trình hiệu số của
lọc rồi tìm tín hiệu ra.
Ví dụ:
Lọc nhân quả có cấu trúc như hình vẽ. Viết phương trình của lọc và tìm đáp
ứng xung

Giải:
Đây là lọc đệ quy. Cấu trúc có các đường hồi tiếp từ ngõ ra vòng lại một nơi
nào đó của mạch lọc. Phương trình hiệu số là:
y(n) = 1.5y(n-1) – 0.5y(n-2) + 0.5x(n-1)
Z
-1
y(n)
x(n)
Z
-2
Z
-1
0.5
1.5
0.5
+
- +
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
73
Để tìm đáp ứng xung ta thế x(n) bởi (n) và y(n) bởi h(n):
h(n) = 1.5h(n-1) – 0.5h(n-2) + 0.5(n-1)
Ta có (n-1) chỉ có trị số là 1 ở n=1, ở các n còn lại bằng không. Lọc nhân quả nên
h(n) = 0 ở n < 0. Do đó ta tính từ h(0) trở đi:
h(0) = 1.5h(-1) – 0.5h(-2) + 0.5(-1) = 0
h(1) = 1.5h(0) – 0.5h(-1) + 0.5(0) = 0.5
h(2) = 1.5h(1) – 0.5h(0) + 0.5(1) = 1.5 x 0.5 = 0.75
h(3) = 1.5h(2) – 0.5h(1) + 0.5(2) = 1.5 x 0.75 – 0.5 x 0.5 = 0.875
…

Đáp ứng xung là vô hạn (IIR) và tăng dần  hệ thống không ổn định
Ví dụ:
Chứng tỏ lọc phi đệ quy lấy trung bình di chuyển 5 số hạng sau:
y(n) = 0.2[x(n+2) + x(n+1) + x(n) + x(n-1) + x(n-2)]
tương đương với lọc đệ quy mà phương trình hiệu số là:
y(n) = y(n-1) + 0.2[x(n+2) - x(n-3)]
Tìm đáp ứng xung.
Giải:
Từ phương trình của y(n) của lọc phi đệ quy ta viết:
y(n-1) = 0.2[ x(n+1) + x(n) + x(n-1) + x(n-2)

+ x(n-3)]
Lập hiệu số y(n) – y(n-1):
y(n)- y(n-1) = 0.2[x(n+2) – x(n-3)]
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
74
Vậy:
y(n) = y(n-1) + 0.2[x(n+2) – x(n-3)]
Đây là phương trình hiệu số của lọc đệ quy
Đáp ứng xung cho bởi:
h(n) = h(n-1) + 0.2[(n+2) – (n-3)]
Vì (n+2) chỉ có trị số ở n=-2 và (n-3) chỉ có trị số ở n=3 nên khi n<-2 cả hai xung
lực đều bằng không, tức chưa có tín hiệu vào, do đó:
h(-3) = h(-4) = h(-5) =…= 0
Đáp ứng xung ở các thời điểm tiếp theo là:
h(-2) = h(-3) + 0.2[(0) – (-5)] = 0.2
h(-1) = h(-2) + 0.2[(1) – (-4)] = 0.2
h(0) = h(-1) + 0.2[(2) – (-3)] = 0.2
h(1) = h(0) + 0.2[(3) – (-2)] = 0.2
h(2) = h(1) + 0.2[(4) – (-1)] = 0.2

h(3) = h(2) + 0.2[(5) – (0)] = 0
h(4) = h(5) = h(6) = … = 0
Như vậy đáp ứng xung của hai hệ thống đệ quy và phi đệ quy giống nhau vì hai
hệ thống tương đương nhau, với đáp ứng xung lâu hữu hạn (FIR).
Ví dụ trên cho thấy với  
  . Tuy nhiên nếu
không chọn lựa các hệ số thích hợp, hệ thống đệ quy có thể bất ổn định.
Ví dụ:
Một lọc thông dải đệ quy nhân quả có phương trình hiệu số:
y(n) = 1.5y(n-1) – 0.85y(n-2) + x(n)
Tìm phương trình của lọc phi đệ quy tương đương.
Giải:
Lọc đệ quy cho bởi phương trình trên có 3 số hạng tức có 3 hệ số. Để tìm
phương trình của lọc phi đệ quy tương đương trước tiên ta tìm đáp ứng xung tính từ
phương trình hiệu số đã cho:
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
75
h(n) = 1.5h(n-1) – 0.85h(n-2) +  (n)
Vì xung lực được tính ở n = 0 nên khi giả sử hệ thống là nhân quả thì h(n) = 0 ở n<0.
Do đó ta tính h(n) từ n=0 trở đi:
h(0) = 1.5h(-1) – 0.85h(-2) + (0) = 1
h(1) = 1.5h(0) – 0.85h(-1) + (1) = 1.5x1 = 1.5
h(2) = 1.5h(1) – 0.85h(0) + (2) = 1.5x1.5 – 0.85x1 = 1.4
h(3) = 1.5h(2) – 0.85h(1) + (3) = 1.5x1.4 – 0.85x1.5 = 0.825
…
Như vậy đáp ứng xung lâu vô hạn (IIR) tức lọc đệ quy tương đương có vô hạn
các hệ số. Trừ khi ta bỏ đi các hệ số cao có biên độ nhỏ ở xa gốc (tức đổi hệ thống
IIR thành FIR), còn không thì không thể tính toán tín hiệu ra được.

Tùy theo đáp ứng xung là lâu hữu hạn hay lâu vô hạn mà có lọc được mô tả bởi

phương trình hiệu số:
 



N
Nk
knx)k(h)n(y
(lọc FIR)
Hay :

 




k
knx)k(h)n(y
(lọc IIR)
Đối với lọc nhân quả giới hạn dưới là 0.
Ở lọc FIR các số hạng đáp ứng xung chính là các hệ số của lọc và việc thực
hiện mạch lọc cần số lượng phép nhân, phép cộng và bộ nhớ hữu hạn. Ở lọc IIR số
lượng phép nhân, phép cộng và bộ nhớ trở nên vô hạn. Để việc tính toán hiệu quả
người ta mô tả hệ thống dưới dạng phương trình hiệu số có bậc hữu hạn (cùng dạng
với phương trình hiệu số của lọc đệ quy).
 



N

Nk
k
M
1k
k
knxb)kn(ya)n(y

Đáp ứng xung cho bởi phương trình hiệu số tuyến tính có hệ số không đổi:
 



N
Nk
k
M
1k
k
knb)kn(ha)n(h

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
76

Tùy thuộc vào sự ứng dụng và phần cứng mà một hệ thống lọc (FIR hoặc IIR)
có thể xử lý khối hay xử lý mẫu. Ở xử lý khối, tín hiệu được lấy mẫu và lưu trữ thành
một khối các mẫu. Khối các mẫu này được nhân chập với đáp ứng xung của hệ thống
để tạo khối các mẫu ra (tín hiệu ra). Nếu tín hiệu vào dài quá hoặc vô hạn thời gian, nó
được phân thành từng khối có độ dài vừa phải để nhân chập với đáp ứng xung rồi
cộng các kết quả lại một cách phù hợp. Vì xử lý trên các dữ liệu đã lưu trữ sẵn nên hệ
thống xử lý khối có thể lã nhân quả hoặc phi nhân quả. Xử lý khối không cần phải cấp

tốc như xử lý thời gian thực nên được giải quyết bằng phần mềm.
Trong xử lý mẫu, mẫu tín hiệu hiện hành được xử lý một lần cùng với các mẫu
kế trước (đã được lưu trữ), mẫu tiếp theo cũng được xử lý cùng các mẫu kế trước nó
(bỏ đi mẫu cũ nhất). Cách này được dùng trong xử lý thời gian thực liên quan đến các
tín hiệu đến liên tục. Việc xử lý mẫu được thực hiện hiệu quả bởi các bộ xử lý tín hiệu
số (digital signal processor - DSP). Kiến trúc và tập lệnh của các bộ xử lý này được tối
ưu hóa cho việc xử lý thời gian thực.

Tương quan của hai tín hiệu chỉ mức độ mà hai tín hiệu giống nhau và từ đó ta
trích ra yếu tố cần cho ứng dụng. Lãnh vực ứng dụng của tương quan là ra-da, thăm
dò bằng sóng âm thanh, thông tin dữ liệu, địa vật lý…Ví dụ ở ra-da hai tín hiệu được
tương quan là tín hiệu truyền đi từ ang-ten và tín hiệu phản xạ từ mục tiêu.

Tương quan gồm tương quan chéo và tự tương quan. Tương quan chéo giữa hai
tín hiệu năng lượng x(n) và v(n) được định nghĩa:

     
mnvnxmR
n
xv




m = 0, 1, 2, …
Hoặc tương đương:
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
77

     

nvmnxmR
n
xv




m = 0, 1, 2, …
Khi hoán vị x(n) và v(n) thì :

     
mnxnvmR
n
vx




m = 0, 1, 2, …
Hoặc tương đương:

     
nxmnvmR
n
vx




m = 0, 1, 2, …

Ta thấy:
R
xv
(m) = R
vx
(-m)
Như vậy R
xv
(m), R
vx
(m) là ảnh gương của nhau và chúng cùng chứa thông tin
về sự liên hệ giữa hai tín hiệu x(n) và v(n).

Tự tương quan của tín hiệu x(n) là tương quan chéo với chính nó:

     
mnxnxmR
n
xx




m = 0, 1, 2, …
Hoặc tương đương:

     
nxmnxmR
n
xx





m = 0, 1, 2, …
Ở m=0 tự tương quan cực đại vì lúc đó hai tín hiệu chồng hoàn toàn lên nhau.
5.8 
5.8.1 Fourier 
Nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện:



n
)n(x

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
78
thì sẽ tồn tại phép biến đổi Fourier như sau:
n.j
n
e)n(x)(X






Biến đổi Fourier đã chuyển dãy số x(n) thành hàm phức X(), ký hiệu như sau:
)()]n(x[FT X 

hay :
)()n(x X
FT


X(): còn gọi là tần phổ của tín hiệu
Biến đổi Fourier nghịch:







 de).()n(x
n.j
X
2
1

Phép biến đổi Fourier nghịch được ký hiệu như sau:
)n(x)](X[IFT 

Hay :
)n(x)(
IFT
X 

Do tính chất tuần hoàn của hàm mũ e
j

, nên X(e
j
) là hàm tuần hoàn của biến 
với chu kỳ 2:
)e(e)n(xe)n(x)e(
j
X
n.j
n
n).2.k(j
n
)2.k(j
X











Điều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số X(e
j
) của các dãy rời rạc
x(n) với   (- ,  ) hoặc   ( 0 , 2 ).
Biến đổi Fourier thuận chỉ tồn tại nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện khả tổng
tuyệt đối. Điều đó có nghĩa là, nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện thì chuỗi định nghĩa

sẽ hội tụ về hàm X(e
j
), nên x(n) tồn tại biến đổi Fourier. Ngược lại, nếu dãy x(n)
không thoả mãn điều kiện thì chuỗi định nghĩa sẽ phân kỳ, vì thế hàm X(e
j
) không
tồn tại và x(n) không có biến đổi Fourier.
Các tín hiệu số x(n) có năng lượng hữu hạn:



n
2
x
)n(xE