E12 0h2 t3 tích vô hướng doãn anh hoàng

LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

LỚP

10
TIẾT 3

CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng 1

Tính các tích vơ hướng.

Dạng 2

Chứng minh các đẳng thức liên quan tích vơ hướng.

Dạng 3

Tìm tập hợp điểm thoả mãn điều kiện cho trước.

c


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG

VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

DẠNG 1: Tính các tích vơ hướng.
1. Phương pháp giải.
 Dựa vào định nghĩa



a.b
.  cos a,b   
a .b

 

Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vơ hướng của hai vectơ.
2. Ví dụ.


LỚP

10

Bài 15

2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

Ví dụ 1

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

 Cho hình vng cạnh a. M là trung điểm của

M

A

AB, G là trọng tâm tam giác . Tính giá trị các
biểu thức sau:

B

G

a) .
b) .

D

C
Hình 2.3

 Lời giải

a) Theo quy tắc hình bình hành ta có
Do đó
                                              .
Mặt khác, và theo định lý Pitago ta có: .
Suy ra .


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH

ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN
M

A

B

  b) Vì G là trọng tâm tam giác nên 3
G

Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có
và
D

Suy ra 3.
Ta lại có .
Nên

2

5
2 4
2 7𝑎
¿ 𝐴𝐵 + 𝐴 𝐷 =
.
12
3
4

 

C


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

Ví dụ 2

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN
A

 Cho tam giác có . M là trung

điểm của BC, D là chân đường phân giác trong góc A.
a) Tính , rồi suy ra .
b) Tính và .
  Lời giải

a) Ta có
.
Mặt khác .
Suy ra hay .

B

D M
Hình 2.3

C


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN
A

  b) * Vì M là trung điểm của BC nên

Suy ra .
Theo câu a) ta có nên
.
* Theo tính chất đường phân giác thì .
Suy ra (*)

B

D M

C


Bài 15
2
BÀI

LỚP

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

10

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH

CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN
A

  Mặt khác và thay vào (*) ta được
𝑐 
 


(
𝐴𝐷 − 𝐴𝐵 =
𝐴𝐶 − 𝐴𝐷 )
𝑏
B

 

D M
Hình 2.3

 
 
. 
 

Hay .

C


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

Ví dụ 3

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

 Cho tam giác vng tại A có và G là trọng tâm.

a) Tính các tích vơ hướng ; .
b) Tính giá trị của biểu thức .
c) Tính giá trị của biểu thức .
  Lời giải

a) * Theo định nghĩa tích vơ hướng ta có
.
Mặt khác nên
* Ta có .
Theo định lý Pitago ta có .
Suy ra .


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

  b) Cách 1: Vì tam giác vng tại A nên ,

và từ câu a ta có .
Suy ra .
Cách 2: Từ và hằng đẳng thức
.
Ta có .


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24

CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

  c) Tương tự cách 2 của câu b) vì nên

.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Dễ thấy tam giác đều nên .
Ta có:
.
.
Suy ra


LỚP

10

Bài 15
2

BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 Bài 1.Cho tam giác có .

a) Tính , rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính .
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho . Tính .
Bài 2. Cho các véctơ có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện . Tính .
Bài 3. Cho các véctơ có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng . Xác định cosin góc
giữa hai vectơ và với , .
Bài 4. Cho hình vng cạnh bằng 3. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho , trên cạnh CD lấy
điểm N sao cho và P là trung điểm BC. Tính .

LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 Bài 5. Cho hình chữ nhật có . M là điểm được xác định bởi ,

G là trọng tâm tam giác . Tính .
Bài 6. Cho tứ giác . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC. Tính góc giữa hai đường

thẳng AB và CD biết.
Bài 7. Cho tam giác đều có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường thẳng
AB, M là trung điểm của cạnh CB.
a) Xác định trên đường thẳng AC điểm N sao cho tam giác vuông tại D.
Tính diện tích tam giác đó.
b) Xác định trên đường thẳng AC điểm P sao cho tam giác vuông tại M.
Tính diện tích tam giác đó.
c) Tính cơsin góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD .


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT

NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức liên quan tích vơ hướng.
1. Phương pháp giải.
 Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ
đẳng thức .

Sử dụng các tính chất của tích vơ hướng, các quy tắc phép toán vectơ.
Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vơ hướng.

2. Ví dụ.


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

Ví dụ 1

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

 Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý.

Chứng minh rằng: .
  Lời giải

Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là .
Để làm xuất hiện ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được

(đpcm).


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

VíLời
dụgiải:
2

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

  Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng:

(*).
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác
đồng qui".

  Lời giải:

Ta có:












 ¿ 
𝐷𝐴 . 𝐷𝐶 − 𝐷𝐴. 𝐷𝐵+ 𝐷𝐵. 𝐷𝐴− 𝐷𝐵 . 𝐷𝐶+ 𝐷𝐶 . 𝐷𝐵− 𝐷𝐶 . 𝐷𝐴=0
Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A,B.
 
Khi đó ta có (1).
Từ đẳng thức (*) ta cho điểm D trùng với điểm H ta được
 
(2).
  Từ (1) (2) ta có suy ra BH vng góc với AC.
Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm).


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

 Cho nửa đường trịn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa
VíLời
dụgiải:
3

đường trịn cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: .

  Lời giải

C

D

Ta có

E

Vì AB là đường kính nên
Suy ra .
Do đó (đpcm).

A

Hình 2.4

B


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG

VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 
Bài 1. Cho tam giác đều cạnh , với các đường cao , vẽ . Chứng minh rằng

a. .
b. .
c. .
Bài 2.Cho tam giác đều cạnh bằng . Chứng minh.
Bài 3. Cho tam giác có là trực tâm; , lần lượt là chân đường cao xuất phát từ các điểm . Gọi lần
lượt là trung điểm của , Chứng minh .


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH

ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 
Bài 4. Cho hình thang vng có đáy lớn , đáy nhỏ , đường cao ; là trung điểm của . Chứng

minh rằng
a. .
b. .
Bài 5. Cho tam giác với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
.
Bài 6. Cho hình chữ nhật có tâm O và M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng:
a) .
b) .
Bài 7. Cho tam giác có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: .

LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT
NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 Bài 8. Cho tam giác có trọng tâm G và .

Chứng minh rằng: .
Bài 9. Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn .
Chứng minh rằng: .

Bài 10. Cho tam giác có ba đường cao là AA', BB', CC'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: .
Bài 11.Cho hình bình hành . Gọi M là một điểm tùy ý.
Chứng minh rằng: .
Bài 12. Cho hai điểm M, N nắm trên đường trịn đường kính . Gọi I là giao điểm của hai
đường thẳng AM và BN.
a) Chứng minh: .
b) Tính theo R.


LỚP

10

Bài 15
2
BÀI

HÌNH
ĐẠI SỐ
Chương 24
CHƯƠNG
HỌC

TÍCHPHƯƠNG
VƠ HƯỚNG TRÌNH
CỦA HAIBẬC
VECTƠ
VÀ ỨNG
BẤT

NHẤT
HAIDỤNG
ẨN

DẠNG 3: Tìm tập hợp điểm thoả mãn điều kiện cho trước.
1. Phương pháp giải.
 Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau:
Cho A, B là các điểm cố định, phân biệt. M là điểm di động.
Nếu với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường trịn tâm A, bán kính .
Nếu thì tập hợp các điểm M là đường trịn đường kính AB.
Nếu với khác cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vng góc với
giá của vectơ .

2. Ví dụ.