1H2 bai1 he truc toa do oxyz ekip5

BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12

LỚP

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

12

HÌNH HỌC

Chương 3
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - TIẾT 2

IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

III TÍCH VƠ HƯỚNG

IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
V BÀI TẬP CỦNG CỐ


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12
III.

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ

1. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng

Định lí:
 Trong khơng gian , tích vơ hướng của hai vec-tơ và được xác định bởi

công thức

2. Ứng dụng:
 

Trong không gian
a) Độ dài của vec-tơ là
 

b) Cho hai điểm . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm và là.


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12
III.

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ

1. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng
2. Ứng dụng:
 

c) Cho hai vec-tơ với và khác . Gọi là góc giữa hai vec-tơ và . Khi đó góc
giữa hai vec-tơ và được tính theo cơng thức
Từ đó suy ra


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12
III.

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ
Ví dụ 1

 Trong khơng gian , cho , và

a) Tính b) Tính . c) Tính .
d) Tính góc giữa hai vec-tơ và
Bài giải
 a) Ta có    
                        
                       


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12
III.

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ
Ví dụ 1

 Trong khơng gian , cho , và

a) Tính b) Tính . c) Tính .
d) Tính góc giữa hai vec-tơ và
Bài giải
 b) Ta có .
 c) Ta có . Do đó
 d)

Từ đó suy ra

 Suy ra


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12
III.

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ

Ví dụ 2
 Trong khơng gian , cho tam giác có , và .
a) Tính chu vi của tam giác .
b) Xác định tọa độ điểm nằm trên trục hoành để tam giác vng tại .

Bài giải
 a) Ta có

.
.
Vậy chu vi của tam giác là .

BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ
Ví dụ 2
 Trong khơng gian , cho tam giác có , và .
a) Tính chu vi của tam giác .
b) Xác định tọa độ điểm nằm trên trục hoành để tam giác vng tại .
III.

Bài giải
 b) Ta có

có dạng .

Để tam giác vuông tại
Vậy .


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12
IV.

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

1. Các dạng phương trình mặt cầu

Dạng 1:
 Mặt cầu (S) có tâm , bán kính

Dạng 2:
 Xét phương trình : (2)

Điều kiện để phương trình (2) là phương trình mặt cầu là
Khi đó (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính:


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

IV.

2. Các ví dụ

Ví dụ 3
 a) ;

 Trong khơng gian với hệ tọa độ . Tìm tâm và bán kính của các

mặt cầu có phương trình sau đây:
 b) ;

 c) .

Bài giải  

a) Mặt cầu có tâm và bán kính

 b) Mặt cầu có tâm và bán kính
 c) Ta có

Û
Mặt cầu có tâm và bán kính


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

IV.

2. Các ví dụ

Ví dụ 4
 Cho phương trình

.
Tìm tất cả các giá trị của tham số để là một mặt cầu.
Bài giải
 Ta

có:
(S) là mặt cầu Û


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

IV.

2. Các ví dụ

Ví dụ 5
 Trong

khơng gian Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau.
a) Có tâm và có bán kính ;
b) Có đường kính với , ;
c) Đi qua điểm và có tâm
Bài giải
 a)

Mặt cầu có tâm và có bán kính có phương trình là


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

IV.

2. Các ví dụ

Ví dụ 5
 Trong

khơng gian Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau.
a) Có tâm và có bán kính ;
b) Có đường kính với , ;
c) Đi qua điểm và có tâm
Bài giải
 b)

Mặt cầu có đường kính có tâm .
Bán kính
Mặt cầu phương trình là


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

IV.

2. Các ví dụ

Ví dụ 5
 Trong

khơng gian Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau.
a) Có tâm và có bán kính ;
b) Có đường kính với , ;
c) Đi qua điểm và có tâm
Bài giải
 c)

Mặt cầu có tâm và có bán kính

nên (S) phương trình là


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12
IV.

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

2. Các ví dụ

Ví dụ 6

Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho
điểm và mặt cầu . Đường thẳng đi qua , cắt mặt cầu
tại hai điểm , . Độ dài ngắn nhất của là
 

Bài giải
 

Mặt cầu có tâm bán kính

Do nên điểm nằm trong mặt cầu.
Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng .
Trong tam giác vng ta có:
Do đó để thì

I
R
M

A

H

r

N


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12
V

BÀI TẬP CỦNG CỐ



Câu hỏi trắc nghiệm

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2

Câu 1  Trong

không gian với hệ toạ độ , cho vectơ . Tìm tọa độ của vectơ
biết rằng vectơ cùng hướng với vectơ và .

⃗|=√ 2 .
 |𝑎

⃗

 
B 𝑏=( −2 ; 4 ;−6 ) .

A  .

⃗|=√ 3
 |𝑐

 𝑎
⃗ ⊥ ⃗𝑏

C  ⃗
𝑏=( 2 ; − 4 ; 6 ) .

Hướng dẫn
 Vì

vectơ cùng hướng với vectơ và
 nên ta có.

 ⃗
𝑏⊥ ⃗𝑐 .

⃗
 
D 𝑏=( 2 ; −2 ; 3 ) .


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12
V

BÀI TẬP CỦNG CỐ



Câu hỏi trắc nghiệm

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2

Câu 2  Trong

không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , và . Tìm
để tam giác vng tại .

⃗|=√ 2 .
 |𝑎

 
B 𝑚= 4

A  .

⃗|=√ 3
 |𝑐

 𝑎
⃗ ⊥ ⃗𝑏

.

C

 

 ⃗
𝑏⊥ ⃗𝑐 .

𝑚=−1 .

Hướng dẫn

có , .
Do tam giác vng tại nên
.

D

 

𝑚=−10 .
N

 Ta

M

P


BÀI 1
Chương III

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2

LỚP HÌNH HỌC

12
V

BÀI TẬP CỦNG CỐ



Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 3  Trong

không gian , cho hai vectơ và tạo với nhau một
góc và , . Tính

⃗|=√ 2 .
 | 𝑎

A
A

.

Hướng dẫn
 Ta

có :

. Suy ra

 
B

 𝑎
⃗ ⊥ ⃗𝑏

−𝟓 .

C

 

⃗|=√ 3
 |𝑐

7.

D

 

 ⃗
𝑏⊥ ⃗𝑐 .

√ 𝟑𝟗 .


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12
V

BÀI TẬP CỦNG CỐ



Câu hỏi trắc nghiệm

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba
điểm , , . Tọa độ chân đường phân giác trong góc của
B
tam giác là
⃗|=√ 3
⃗|=√ 2 .

 |𝑐
 |𝑎
 𝑎
⃗ ⊥ ⃗𝑏
  2 11 1
  2 11
  11
 
; ; .
A − ; ;1 .
B
D
; − 2; 1 . C
A
3 3 3
3 3
3
 

(

)

(

)

(

)

Hướng dẫn
 Ta có: .

Gọi  là chân đường phân giác trong kẻ từ  lên  của tam giác 
Suy ra : .

A
D

C

 ⃗
𝑏⊥ ⃗𝑐 .

( −2;11;1 ) .


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12
V

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

BÀI TẬP CỦNG CỐ
Câu 5

A

Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm
,,. Gọi là trực tâm tam giác thì giá trị là

 

H
B

A
A

   1.
|𝑎⃗|=√ 2 .

B

  Hướng dẫn Ta có ; .
Và ; ; .
là trực tâm tam giác
Vậy .

 

−1 .
 𝑎
⃗ ⊥ ⃗𝑏

C

 

⃗|=√.3
 |𝑐
0

D  

⃗
 
⃗𝑐 .
𝑏⊥2.
−

C


BÀI 1
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

12
V

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – Tiết 2

BÀI TẬP CỦNG CỐ

Câu 6  

Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình
. Tâm của mặt cầu đã cho là:

A

𝐼 ( −1;0;1 ) .

   |𝑎
⃗|=√ 2 .

B

 

𝐼 ( 1 ;0 ;−1 ) .
 𝑎
⃗ ⊥ ⃗𝑏

Hướng dẫn
  Vì phương trình mặt cầu có dạng

và tâm mặt cầu là .
Do đó theo đề bài ta có:

C

𝐼 ( −1;1;0 ) .

 

⃗|=√ 3
 |𝑐

D

 

𝐼 ( 1;−1;0 ) .
 ⃗
𝑏⊥ ⃗𝑐 .