Bai tap lon hoc phan co so toan tieu hoc 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC – MẦM NON

BÀI TẬP LỚN
HỌC PHẦN CƠ SỞ TOÁN TIỂU HỌC 2

Sinh viên thực hiện: Trần Trung An
MSSV: 0021460004
Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Nhành

Đồng Tháp, tháng 5 năm 2023
A. Mở đầu


I. Tổng quan mơn Cơ sở Tốn tiểu học 2:
Có 5 nội dung chính thể hiện cụ thể ở 3 chương
Chương 1 Cơ sở toán học của các tập hợp số mơn Tốn tiểu học.
- Hiểu được cơ sở hình thành số tự nhiên, số hữu tỷ không âm.
- Giải thích được cơ sở tốn học của một số nội dung cụ thể trong sách giáo
khoa toán tiểu học của các phép tính số tự nhiên và số hữu tỷ khơng âm.
- Xác định đúng cơ sở tốn học của một số nội dung dạy học ở Tiểu học liên
quan đến tập hợp số.
- Cơ sở toán học của tập hợp số tự nhiên trong toán tiểu học:
+ Cơ sở toán học của khái niệm số tự nhiên.
+ Cơ sở tốn học của tính chất số tự nhiên.
+ Cơ sở tốn học của các phép tính với số tự nhiên.
- Cơ sở toán học của tập hợp số hữu tỷ khơng âm trong tốn tiểu học:
+ Cơ sở tốn học của khái niệm phân số, số thập phân.
+ Cơ sở tốn học của tính chất phân số, số thập phân.
+ Cơ sở tốn học của các phép tính về phân số, số thập phân.
+ Giải một số dạng toán tiểu học liên quan.

Chương 2 Cơ sở toán học của các yếu tố hình học và đo lường trong tốn tiểu
học.
- Cơ sở hình học trong tốn tiểu học:
+ Cơ sở tốn học các yếu tố hình học.
+ Cơ sở tốn học các quy tắc tính chu vi, diện tích, thể tích.
- Cơ sở tốn học của đo lường trong tốn tiểu học:
+ Cơ sở toán học khái niệm đại lượng.
+ Cơ sở toán học các đơn vị đo lường.
+ Giải các dạng toán tiểu học liên quan.
Chương 3 Cơ sở toán học của yếu tố thống kê và xác suất trong toán tiểu
học.


- Cơ sở toán học của một số yếu tố thống kê.
- Cơ sở toán học một số yếu tố xác suất.
- Giải các dạng toán tiểu học liên quan.
II. Bài tập lớn bao gồm những nội dung:
1. Lý thuyết: Trình bày 2 nội dung.
- Cơ sở tốn học của tập hợp số tự nhiên (bao gồm cơ sở của khái niệm số tự
nhiên, tính chất của số tự nhiên, các phép tính với số tự nhiên).
- Cơ sở tốn học của tập hợp số hữu tỷ (cơ sở của khái niệm phân số, số thập
phân, tính chất của phân số, số thập phân).
Vận dụng vào bài học cụ thể trong SGK (2 bài học tương ứng với 2 nội dung
đã chọn) Xác định cơ sở toán học của các kiến thức tốn học trong bài học đó.
2. Bài tập:
a) Nội dung 1:
- Chọn 1 bài toán cụ thể trong SGK: xác định cơ sở toán học của bài toán đã
chọn.
- Nêu cách vận dụng lý thuyết vào giải bài tốn tiểu học.
- Hướng dẫn học sinh phân tích và tìm hướng giải cho bài tốn.

- Trình bày bài giải phù hợp với học sinh tiểu học.
b) Nội dung 2: Thực hiện tương tự như nội dung 1.
3. Kết luận:
III. Số lượng trang dự kiến: 19 trang.
B. Nội dung
* Lý thuyết
I. TRÌNH BÀY CƠ SỞ TỐN HỌC CỦA 2 NỘI DUNG
1. Cơ sở toán học tập hợp số tự nhiên (Khái niệm số tự nhiên, tính chất
số tự nhiên, các phép tính với số tự nhiên).


1.1. Khái niệm số tự nhiên:
Trong toán học, số tự nhiên là tập hợp những số lớn hơn hoặc bằng 0, được
ký hiệu là N.
Các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 là số tự nhiên, vì vậy ký hiệu tập hợp của nó sẽ là:
N = {0;1;2;3;4;5;...}
Tập hợp các số tự nhiên khác 0 được gọi là N*:
N* = {1;2;3;4;5;...}
Chúng ta có số tự nhiên nhỏ nhất là số 0. Không tồn tại số tự nhiên lớn nhất.
Trong chương trình mơn Tốn tiểu học, các khái niệm về số tự nhiên được
trình bày trong mơn Tốn từ lớp 1 đến hết học kì I của lớp 4. Nó bao gồm các nội
dung sau:
- Giới thiệu 10 chữ số cơ bản từ 0 đến 9.
- Hình thành khái niệm các số tự nhiên có một, hai và nhiều chữ số: hàng và
lớp của một sổ tự nhiên.
- Giới thiệu cách đọc, viết và phân tích theo cấu tạo của một số tự nhiên.
- Giới thiệu khái niệm số chẵn, số lẻ, số trịn chục, số trịn trăm, số trịn
nghìn, …
- Giới thiệu khái niệm số liền trước, số liền sau của một số tự nhiên và hai số
tự nhiên liên tiếp.

Mười chữ số cơ bản từ 0 đến 9 được hình thành dựa trên cơng cụ bản số tập
hợp. Nó được trình bày bằng ngơn ngữ đơn giản nhất phù hợp với học sinh tiểu
học. Chẳng hạn, trong sách giáo khoa Toán 1:
- Từ biểu tượng hai con mèo, hai học sinh, hai chấm tròn,... dẫn đến số 2.
- Từ biểu tượng năm cái máy bay, năm cái kéo, năm chấm tròn,... dẫn đến
số 5.
- Từ biểu tượng trong chậu có ba con cá: dùng vợt lần đầu vớt 1 con trong
chậu còn 2 con, lần thứ hai vớt 1 con nữa còn 1 con và lần thứ ba vớt 1 con nữa thì
trong chậu khơng cịn con nào. Từ đó dẫn đến số 0.


Các số tự nhiên có hai, ba và nhiều chữ số được hình thành dựa trên cơng cụ
là các que tính hoặc ơ vng,... phù hợp với học sinh của lớp đó. Chẳng hạn:
- Trong sách giáo khoa Tốn 1: Từ biểu tượng một bó 10 que tính đặt cạnh 6
que tính dẫn đến số 16.
- Trong sách giáo khoa Tốn 2: Từ biểu tượng một bảng 'Có 100 ơ vng đặt
cạnh bảng có 20 ơ vng và 5 ơ vng dẫn đến số 125;
- Trong sách giáo khoa Tốn 3: Nhìn vào bảng ở cột nghìn ghi số 8, cột trăm
ghi số 5, cột chục ghi số 6 và cột đơn vị ghi số 3 dẫn đến số 8563, đọc là tám nghìn
năm trăm sáu mươi ba;
Như vậy, khái niệm số trịn chục, trịn trăm thơng qua những số tự nhiên cụ
thể, học sinh hiểu số tròn chục là những số có hàng đơn vị bằng 0; số trịn trăm là
những sổ có hàng đơn vị và hàng chục bằng 0.
Khái niệm số liền trước, số liền sau được hình thành bằng hình ảnh trực
quan trên tia số (SGK Tốn 1).
Khái niệm số chẵn, số lẻ được hình thành dựa trên dấu hiệu chia hết cho 2
(SGK Toán 4): số chia hết cho 2 là số chẵn, số không chia hết cho 2 là sổ lẻ.
1.2. Tính chất số tự nhiên:
Dãy số tự nhiên liên tiếp sẽ có tính tăng dần, hai số liên tiếp sẽ có một số nhỏ
và một số lớn hơn. Ví dụ hai số 3, 4 thì ta có 3 < 4 > và 4 > 3.

Trong hình tia, chiều mũi tên sẽ đi từ trái sang phải. Các điểm trên tia phải có
tính tăng dần.
Nếu ba số a < b>, b < c> thì a < c>. Ví dụ 3 < 4>, 4 < 5> => 3 < 5>.
Mỗi số tự nhiên chỉ có một số liền sau duy nhất. Ví dụ số liền sau của 3 là
số 4.
Mỗi số tự nhiên có một số liền trước duy nhất, trừ số 0 vì số 0 là bé nhất.
Số 0 là số tự nhiên bé nhất, không tồn tai số lớn nhất.
Tổng số phần tử của tập hợp các số tự nhiên là vô số.


1.3. Các phép tính với số tự nhiên:
1.3.1. Phép cộng và phép trừ trong tập số tự nhiên ở Tiểu học
Trong chương trình tiểu học, phép cộng và trừ các số tự nhiên được trình bày
trong mơn Tốn từ lớp 1 đến hết học kì I của lớp 4 theo bốn giai đoạn:
- Dùng các biểu tượng dẫn đến ý nghĩa của phép cộng và ý nghĩa của phép
trừ;
- Xây dựng các bảng cộng, trừ làm cơ sở để mở rộng các phép tính đó trong
các vịng số lớn hơn;
- Xây dựng các quy tắc thực hành phép cộng và phép trừ;
- Mở rộng khái niệm mỗi phép tính để được khái niệm dãy tính, biểu thức.
Phép cộng và trừ các sổ trong phạm vi 10 (hay còn gọi là cộng trừ trong
bảng) được hình thành dựa trên cơng cụ bản số tập hợp. Nó được trình bày bằng
ngơn ngữ đơn giản nhất phù hợp với học sinh tiểu học. Chẳng hạn, trong sách giáo
khoa Toán 1:
- Từ biểu tượng hai ô tô và một ô tô hoặc một con rùa và hai con rùa,... dẫn
đến phép cộng 2 + 1 = 3 hoặc 1 + 2 = 3.
- Từ biểu tượng bốn con cá và một con cá dẫn đến phép cộng 4 + 1 = 5 hoặc
từ hiểu tượng ba con vịt và hai con vịt dẫn đến phép cộng 3 + 2 = 5, ...
- Từ biểu tượng ba con ong đang đậu trên cành hoa và một con bay đi dẫn
đến phép trừ 3 - 1 = 2 và 3 - 2 = 1;

- Từ biểu tượng có bảy chấm trịn lấy đi ba chấm trịn còn lại bốn chấm tròn
dẫn đến phép trừ 7 - 3 = 4 và 7 - 4 = 3, ...
Trong sách giáo khoa Tốn 2 và Tốn 3 dần hình thành cho học sinh quy tắc
thực hành phép cộng hoặc phép trừ các số có 2, 3 chữ số dựa trên cơng cụ là các
que tính hoặc ơ vng,... phù hợp với học sinh của lớp đó. Chẳng hạn:
Ở trong sách giáo khoa Tốn 2: Từ biểu tượng 4 bó que tính đặt cạnh 7 que
tính và 2 bó que tính đặt cạnh 5 que tính dẫn đến phép cộng 47 + 25 = 72 và qua
đó hình thành quy tắc cộng các số có hai chữ số.


Tiếp tục, trong sách giáo khoa Toán 2: Từ biểu tượng 54 que tính, gồm 5 bó
que tính đặt cạnh 4 que tính và 2 bó que tính đặt cạnh 3 que tính dẫn đến phép trừ
57 – 23 = 34 và qua đó hình thành quy tắc trừ các số có hai chữ số;
Cịn trong sách giáo khoa Tốn 4: dựa vào quy tắc thực hành phép cộng và
phép trừ đã học giới thiệu cho học sinh quy tắc thực hành phép cộng và phép trừ
các số có nhiều chữ số.
1.3.2. Phép nhân và phép chia trong tập số tự nhiên ở Tiểu học
Trong chương trình tốn tiểu học, phép nhân và chia số tự nhiên được trình
bày trong mơn Tốn từ lớp 2 đến hết học kì I của lớp 4 theo bốn giai đoạn:
a) Phép nhân:
- Dùng các biểu tượng kết hợp với phép cộng dẫn đến ý nghĩa của phép
nhân;
- Xây dựng các bảng nhân làm cơ sở để mở rộng phép nhân trong các vòng
số lớn hơn;
- Xây dựng các quy tắc thực hành phép nhân;
- Mở rộng khái niệm phép nhân để được khái niệm dãy tính, biểu thức.
Trong sách giáo khoa Tốn 2: Từ biểu tượng năm cặp chấm trịn gắn với dãy
tính cộng: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 ta dẫn đến phép nhân 2 x 5 = 10. Từ đó hình thành
ý nghĩa của phép nhân.
Bảng nhân 2 được hình thành dựa trên các biểu tượng kết hợp với ý nghĩa

của phép nhân. Chẳng hạn:
- Trong sách giáo khoa Toán 2: Từ biểu tượng các tấm bìa có hai chấm trịn
ta xây dựng bảng nhân 2;
- Trong sách giáo khoa Toán 3: Từ biểu tượng các tấm bìa có chín chấm trịn
ta xây dựng bảng nhân 9;
Trong sách giáo khoa Toán 3 và Toán 4 dần hình thành cho học sinh quy tắc
thực hành phép nhân các số có hai, ba chữ số dựa trên các bảng nhân đã có.
Lần lượt từ phép nhân (ngồi bảng) với số có một chữ số đến phép nhân với


số có hai, ba và nhiều chữ số.
b. Phép chia:
- Dùng các biểu tượng kết họp với phép nhân dẫn đến ý nghĩa của phép chia;
- Xây dựng các bảng chia làm cơ sở để mở rộng phép chia trong, các vòng số
lớn hơn;
- Xây dựng các quy tắc thực hành phép chia;
Mở rộng khái niệm phép chia để được khái niệm dãy tính, biểu thức.
Trong sách giáo khoa Tốn 2: Từ biểu tượng 6 ô vuông chia thành hai phần
bằng nhau ta dẫn đến phép chia: 6 : 2 = 3; để tìm số ơ trong mỗi phần và dẫn đến
phép chia:
6 : 3 = 2 để tìm số phần khi biết mỗi phần có 3 ơ.
Bảng chia được hình thành dựa trên các biểu tượng kết hợp với phép nhân.
Chẳng hạn:
- Trong sách giáo khoa Toán 2: Từ biểu tượng các tấm bìa có hai chấm trịn
và phép nhân ta xây dựng bảng chia 2;
- Trong sách giáo khoa Tốn 3: Từ biểu tượng các tấm bìa có chín chấm trịn
và phép nhân ta xây dựng bảng chia 9;
Trong sách giáo khoa Toán 3 và Toán 4 dần hình thành cho học sinh quy tắc
thực hành phép chia cho số có hai, ba chữ số dựa trên các bảng nhân và bảng chia
đã có.

Lần lượt từ phép chia (ngồi bảng) cho số có một chữ số đến phép chia cho
số có hai, ba và nhiều chữ số.
2. Cơ sở toán học của tập hợp số hữu tỷ (cơ sở của khái niệm phân số, số
thập phân, tính chất của phân số, số thập phân).
2.1. Cơ sở toán học của khái niệm phân số, số thập phân
Nếu dừng lại ở số tự nhiên thì phép chia khơng thực hiện được, chẳng hạn:
3:7, 25:8,… Nếu dừng lại ở số tự nhiên thì nhiều số đo của các phép đo đại lượng
không thực hiện được. chẳng hạn: không thể biểu diễn 12 cm, 2m4dm bằng đơn vị


mét; hay 100g, 3006gm 4kg25g bằng đơn vị ki-lô-gan,…
Trong môn Tốn ở phổ thơng, nhiều tính chất của các phép tốn về phân số
(tính chất giao hốn, tính chất kết hợp, tính chất phân phối của phép nhân với phép
cộng,..) không chứng minh chặt chẽ mà chỉ thừa nhận (thông qua một số ví dụ
minh họa).
Trong thực tế cuộc sống lao động sản xuất, do yêu cầu phát triển của các
ngành khoa học và kĩ thuật luôn đặt ra yêu cầu giải quyết những tồn tại trên.
Vì vậy, trong phần này ta xây dựng số hữu tỉ không âm nhằm khắc phục
những hạn chế trên:
Khái niệm: Mỗi cặp sắp thứ tự (a;b), trong đó a là số tự nhiên (aN), b là số tựN), b là số tự
nhiên khác 0 (bN), b là số tựN*) ta gọi là phân số không âm. Gọi P là tập tất cả phân số, khi đó
P = N x N*
a

Để chỉ phân số, ta dùng, kí hiệu b thay cho (a; b) Trên tập P ta định nghĩa quan
hệ hai ngôi " ~" như sau:
a

c

a

c

Hai phân số b ; d gọi là tương đương, kí hiệu b ~ d là 1 , nếu ad - cb.
1

4

3

9

1

2

Chẳng hạn: 2 ~ 8 ; 4 ~ 12 ; .... nhưng 2 không tương đương với 5 ; ...
Ta dễ dàng chỉ ra rằng "~" là quan hệ tương đương xác định trên tập các phân
số P. Ta có tập thương P/~ = ¿
a
Mỗi lớp tương đương C ( b ) là một tập hợp các phân số bằng nhau (bằng phân
a

số b )
1 2
40
45
3
3 6

Chẳng hạn: C ¿) = { 2 ; 4 ; … ; 80 ; … . }, tương tự C 4 ={ 4 ; 8 ; … ; 60 ; … }

()

a

Mỗi lớp tương đương C ( b ) ta sẽ gọi là một số hữu tỉ không âm (để cho gọn ta
gọi là số hữu tỉ), kí hiệu là Q+¿¿ . Như vậy Q +¿¿= P/

,


Chú ý:
a

a

1) Mỗi số hữu tỉ không âm r = C ( b ) là một tập hợp các phân số b . Để cho gọn,
a

a

1

ta sẽ dùng kí hiệu b để chỉ số hữu tỉ r = C( b ) . Chẳng hạn: Ta kí hiệu 2 , để chỉ số

(1 )

hữu tỉ r = C 2 , ...
2) Mỗi số hữu tỉ khơng âm r chỉ có duy nhất đại diện là phân số tối giản.

a

3) Mỗi phân số tự nhiên a có thể biểu diễn dưới dạng phân số 1
0

1

4) Ta quy ước số hữu tỉ xác định bởi C( 1 ) là 0 và C ( 1 ) là 1
a

2.2. Cơ sở toán học số thập phân: Phân số b gọi là số thập phân nếu mẫu số
b của nó là lũy thừa của 10 với số mũ tự nhiên (b = 10n, n ∈ N*).
2.3. Cơ sở tốn học của tính chất phân số, số thập phân
2.1.1. Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm
Ở phổ thông ta đã biết:
3 5

(3)

5

 7 < 7 . Vậy ta có thể so sánh lai số hữu từ r = C 7 và s = C ( 7 ) được hay
không?
2 3
2
3
 7 < 5 . Vậy ta có thể so sánh hai số hữu tỉ r =C ( 7 ) và s = C( 5 ) được hay
không?

Một cách tổng quát: Hãy đưa ra một quy tắc để có thể so sánh hai số hữu tư

a

c

bất kì r = C( b ) và s = C ( d ). Đáp ứng yêu cầu này bằng định nghĩa dưới đây:
a

c

Định nghĩa 4.23. Cho hai số hữu tỉ r = C ( b ) và s =C ( d ). Ta nói rằng:
a) Số hữu tỉ r nhỏ hơn hoặc bằng số hữu tỉ s, kí hiệu là r ≤ s, nếu ad ≤ bc.
b) Số hữu tỉ r nhỏ hơn số hữu tỉ s , kí hiệu là r < s, nếu r ≤s và r ≠s


c) Số hữu tỉ r lớn hơn hoặc bằng số hữu tỉ s, kí hiệu là r ≥ s nếu s≤ r
d) Số hữu tỉ r lớn hơn số hữu tỉ s , kí hiệu là r ¿ s nếu s Các hệ thức r ≤s và r ≥ s ta gọi là các bất đẳng thức, các hệ thức r ¿ s và r ¿
s gọi là các bất đẳng thức nghiêm ngặt.
Nhận xét: Bẳng định nghĩa trên đây, ta đã đưa việc sánh các số hữu tỉ về
sánh các số tự nhiên.
Định lí 4.26. (Về tính chất của quan hệ thứ tự trong tập Q +¿¿)
(i) Việc so sánh hai số hữu tỉ không phụ thuộc vo sự lựa chọn các phân bổ
đại diện của chúng
(ii) Quan hệ tử tự có giới cuối phản xạ: Với mọi số hữu tỉ r ta ln có r ≤ r
(iii) Quan hệ thứ tư cổ tích chất phản đối xứng: Với mọi số hữu tỉ r, s ta ln
có: (r ≤ s và s ≤ r ) → r=s ;
(iv) Quan hệ thứ tự có tính chất bắc cầu: Với mọi số hữu tỉ r ; s ; t ta ln
có :(r ≤ s và s ≤ t ¿ → r ≤ t
Chứng minh:
a a'

c c'

(i) giả sử b , , b ' là hai phân số đại diện của số hữu tỉ r và d , d ' C là hai phân
số đại diện của số hữu tỉ s, trong đó ad ≤ bc , Ta sẽ chứng minh a'd' ≤ b’c’'
Thật vậy, theo giả thiết: ab’ = a’b, cd’ = c’d. Giả sử a’d' ¿ c ' b ' ', Áp dụng tính chất
của tập số tự nhiên ta có:
a ' bc d' =a b' c' d và ad c ' b'
(ii) và (iii) Rõ ràng.
a
c
m
r = ; s= ; t= ,
b
d
n
r ≤ s ; s ≤ t → ad ≤ bc ; cn ≤ md → adcn ≤ bcnd → an ≤mb → r ≤ t

(iv) Giả

Định lí 4.27

sử

trong

đó

(i) Tính trù mật của tập số hữu tỉ: Xen giữa hai số hữu tỉ khác nhau tổn tại
vô số các số hữu tỉ khác chúng :
r + s=C

r . s=C

9.7
37
=C ( )
( 4.12+
)
9.12
36

4.7
( 9.12
)=C ( 277 )

Chú ý: Từ định nghĩa thi chứng minh tăng và tích của hai số hữu tỉ không
phụ thuộc vào việc lựa chọn các phân số đại diện của chúng
Hay nói cách khác: Với hai số hữua tu bắt kì I và s ln tồn tại duy nhất số hữu tỉ t
là Đồng và một số hữu tập là tích của chúng.
a a'

c c'

Giả sử b ; ' là hai phân số đại diện của số hữu tỉ r và d ; ' là hai phân số
b
d
đại diện của số hữu tỉ s . Ta sẽ chứng minh:

C

(

ad+ bc
a' d ' + b ' c '
=C
bd
b'd '

)

Thật vậy, theo giả thiết: ab' = a’b, cd’ c’d. Áp dụng tính chất của tập số tự
nhiên ta có:
a b ' d d ' =a' bd d' và c d ' b b ' =c ' db b' hay ( ad +bc ) b' d' =( a' d ' +b ' c ' ) bd

Từ đây suy ra tổng của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn các
phân số đại diện của chúng
Tương tự là chứng minh được tính duy nhất của tích hai số hữu tỉ.
2.2.2. Tnh chất của phép cộng và phép nhân
Định lí 4.28. (Tính chất của phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ)
Giả sử r; s; t la ba sơ hluti båt kl. Khi dó
(i)Tính chất giao hoán: r + s=s +r và r . s=s . r
(ii) Tinh chất kết hợp: (r + s) +t = r + (s +t ) và(r . s ¿ . t=r . ( s .t ) .
(iii) Tính chất của số 0 và số 1: r+0 = 0+ r = r và r.1 = 1.r = r
(iv) Tính chất phân phối: r . ( s +t )=r . s+ r . t và ( s +t ) . r=s . r + s . t
(v)Luật giản ước: r +t=s+t suy ra r =s và r . t=s . t với t ≠ 0 suy ra r =s


(vi) Phần thử nghịch đảo: Với mọi số hữu tỉ r ≠ 0 luôn tồn tại duy nhất số

nghịch đảo rẻr −1của r sao cho r.r −1 = l.
(vii) Tích của hai số hữu tỉ bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong hai số
đó bằng 0.
Chứng minh,
(1), (i), (iii), (iv): Suy ra trực tiếp từ tính chất của các phép toán trong tập số
tự nhiên,
a c m

(v) Giả sử b ; d ; n theo thứ tự là các phân số đại diện của số hữu tỉ r, s, t.
an+bm
cn+dm
Theo định nghĩa ta có: r +t=C bn ; s +t=C dn . vì r +t=s+ t nên : (an +

(

)

(

)

bm)dn = bn( cn + dm) hay andn + bmdn = bncn + bndm duy ra ad = bc
Từ đây suy ra điều phải chứng minh
Tương tự ta chứng minh luật giản ước đối với phép nhân.
a
b
−1
(vi) Giả sử r =C b ≠ 0 → a ≠ 0. Đặt r =C a sẽ là số nghịch đảo của r.

()

()

a
c
(vii) Giả sửỈ = C r =C b , s=C d thỏa mãn r. s = 0. Theo định nghĩa ta có

()

( )

ac
=0
bd

Suy ra ac = 0 . Theo tính chất của phép nhân các số tự nhiên ta có a = 0 hoặc
b= 0, Từ đây suy ra r = 0 hoặc s=0.
Định lí 4.29. (Tính đơn điệu của phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ)
Giả sử r, s và t là ba số hữu tỉ bất kì. Ta có: Nếu r ≤ s thì r+ t ≤ s+ t và rt ≤ st
Đặc biệt , nếu r <s và t >0 thì rt< st .

Chứng minh,
Giả sử

a c m
; ;
theo thứ tự là các phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s, t.
b d n

Theo định nghĩa ta có: r +t=C

Vì r ≤ s nên : ad ≤ bc .

cn+dm
; s +t=C (
.
( an+bm
bn )
dn )


Lần lượt biển đổi ta được:andn+ bmdn ≤ cnbn+dmbn hay ( an+ bm) dn ≤ ( cn+dm ) bn.
Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
Tương tự ta chứng minh tỉnh đơn điệu của phép nhân.
2.2.3. Phép trừ
Định nghĩa 4.25. Cho r và s là hai số hữu tỉ không âm, trong đó

( ab ) , s=C ( dc ) . Ta gọi hiệu của hai số hữu tỉ r vmố là một số hữu tỉ u, kí
ad−bc
hiệu là u = r – s , trong đó u = c( bd ), nếu ad – bc là số tự nhiên.
r =C

Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r, s với một số hữu tỉ nói trên ta
gọi là phép trừ các số hữu tỉ, trong đó r là sổ bị trừ, s là số trừ và u là hiệu và r – s
cũng gọi là hiệu,
Định lí 4.30. (Tinh chất của phép trừ các số hữu tỉ)
Giả sử r, s, t là ba số hữu tỉ bất kì. Khi đó:
(i) r- s = u khi và chỉ khi u + s = r ,
(ii) r( s – t) = rs – rt , nếu một trong hai vế có nghĩa.
Chứng minh,
a c m

(1) Giả sử b ; d ; n

theo thứ tự là các phân số đại diện của số hữu tỉ r, s, u.

Theo định nghĩa ta có r −s=C

m
=C ( )=u
( ad−bc
bd )
n

¿−bcn=bdm hay∧¿ bdm=bcn . suy ra

khi và chỉ khi:

a dm+ cn
b
dn

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
Đặt u =s-t, từ (i) ta suy ra s = u + t, Ta có: rs = r(u+t) = ru+rt= r(s -1)+rt.
Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.
2.2.4. Phép chia
Định lí 4.31. Giả sử r và s là hai số hữu tỉ, trong đó s khác 0. Khi đó tồn tại
duy nhất số hữu tỉ q sao cho qs = r


Chứng minh. Vì s ≠0 nên theo Định lí 4,28 tồn tại số hữu tỉ nghịch đảo,Đặt

q=rs−1

Rõ ràng là qs=rs−1s = r
Định nghĩa 4.26. Ta gọi số hữu tỉ q trong Định lí 4,31 là thương của hai số
hữu tỉ r và s, kí hiệu là q= r: S.
Quy tắc cho tương ứng nỗi cặp số hữu tỉ r, s với một số hữu tỉ q nói trên gọi
Phép chia các số hữu tỉ, trong đó r là số bị chia, s là sổ chia và q là thương, r : s
cũng gọi là thương
II. Vận dụng vào bài học cụ thể trong SGK (2 bài học tương ứng với 2 nội
dung đã chọn ở ý 1).
Xác định cơ sở toán học của các kiến thức toán học trong bài học đó
Bài 1: bài 10. phép cộng có tổng bằng 10, trang 12 SGK toán 2.

- Các tập hợp hữu hạn rời nhau được mô tả bằng biểu đồ Ven gồm: tập hợp
10 que tính thành 1 bó, tập hợp, tập hợp 4 que tính.
- Bản số của tập hợp 10 que tính thành 1 bó = 10, tập hợp 6 que tính = 6, tập
hợp 4 que tính =4. Mỗi lớp tương đương được ký hiệu bằng 1 số tự nhiên theo thứ
tự trong bài gồm:4; 6; 10.
- Quan hệ giữa các tập hợp hữu hạn có Quan hệ thứ tự: 4; 6 ;10.
- Tính chất giao hốn của phép hợp:
Card (6 que tính)+ Card (4 que tính) = Card (10 que tính)= 10
Card (4 que tính)+ Card (6 que tính) = Card (10 que tính)= 10
Bài 2: Mơi lít dầu cân nặng 5/4 kg. Hỏi một can dầu chứa 20 lít dầu cân nặng


bao nhiêu ki-lo-gam, biết rằng các can không dầu cân nặng 3/2 kg
Trình bày cơ sở các phép tốn trong tập số hữu tỉ được vận dụng để giải bài toán?
5

3

Cơ sở toán học được vận dụng trong bài toán trên: Bài toán cho 2 số hữu tỉ 4 và 2
20

và số tự nhiên là 20 (tức số hữu tỉ 1 ), ta thực hiện các phép toán trên các số hữu tỉ
theo
công thức sau:
a
c
Phép cộng và phép nhân 2 số hữu tỉ: r = b ; S= d
a c ad +bc
Theo định nghĩa tổng 2 số hữu tỉ: r + s= b + d = bd
a c

ac

Theo định nghĩa tích của 2 số hữu tỉ: r . s= b . d = bd
*Bài tập
I. Nội dung 1: Bài 1 : Phép cộng trong phạm vi 10 SGK toán 1 trang 45

- Cơ sở toán học của bài toán:
Bản số của 2 tập hợp hữu hạn rời nhau:
Card (A ∪ B) = Card A + Card B
+ Hợp của tập hợp 5 chấm xanh và tập hợp 2 chấm đỏ là tập hợp 7 chấm
trịn có bản số là: 5 + 2 = 7
+ Hợp của tập hợp 7 chấm xanh và tập hợp 2 chấm đỏ là tập hợp 9 chấm
trịn có bản số là: 7 + 2 = 9


+ Hợp của tập hợp 6 chấm tròn xanh và tập hợp 1 chấm tròn đỏ là tập hợp

7chấm tròn có bản số là: 6 + 1 = 7
+ Hợp của tập hợp 7 chấm xanh và tập hợp 3 chấm đỏ là tập hợp 10 chấm
trịn có bản số là: 7 + 3 = 10
- Cách vận dụng lý thuyết vào giải bài toán:
+ Ta lấy 5 kết hợp với 2 được kết quả là 7
+ Ta lấy 7 kết hợp với 2 được kết quả là 9
+ Ta lấy 6 kết hợp với 1 được kết quả là 7
+ Ta lấy 7 kết hợp với 3 được kết quả là 10
- Hướng dẫn học sinh phân tích và hướng giải bài tốn:
+ Trong phép cộng có các thành phần: Các số hạng và tổng.
Cụ thể:
5 +2 = 7. Số hạng thứ nhất (5) + số hạng thứ 2 (2) = Tổng (7)
7 +2 = 9. Số hạng thứ nhất (7) + số hạng thứ 2 (2) = Tổng (9)
6 +1 = 7. Số hạng thứ nhất (6) + số hạng thứ 2 (1) = Tổng (7)
7 +3 = 10. Số hạng thứ nhất (7) + số hạng thứ 2 (3) = Tổng (10)
- Trình bày bài giải: 5 + 2 = 7; 7 + 2 = 9; 6 + 1 = 7; 7 + 3 = 10
II. Nội dung 2: Bài tập 2, trang 148 SGK toán 4. Một người đã bán được 280
2

quả cam và quýt, trong đó số cam bằng 5 số qt. Tính số cam và số quýt đã
bán?
Bài làm
a) Cơ sở toán học được vận dung trong bài toán trên. Bài toán cho số
2

280

thập phân 5 và số tự nhiên là 280 tức là 1 . Ta thực hiện các phép toán trên các số
a
c

thập phân theo công thức sau: r =C b ; s=C ( d )

()


Định nghĩa: Cho 2 số hữu tỉ r ,s nếu tồn tại số hữu tỉ q sao cho r= q.s thì q được gọi
r

là thương của 2 số hữu tỉ r, s.Kí hiệu q= s
1 d
q=r . s−1 s1 . = được gọi là số nghịch đảo của S
s c

(

Vậy

)

a c a d
: = . Quy tắc: Chia 2 phân số ta lấy phân số thứ nhất nhân phân số thứ 2
b d b c

nghịch đảo
b) Giả sử A là tập hợp các phần tử là các quả quýt: Card (A) = x, x (bản số tập hợp
các phần tử trong tập hợp A ký hiệu x là số tự nhiên không âm)với ∀x∈N*
5

B là tập hợp các phần tử là các quả cam: Card (B)= 2 . x
A và B là hai tập hợp hữu hạn rời nhau.

5

Card (A ∩ B) = Card (A) + Card (B) = x + 2 . x = 280
7
. x = 280
2

x = 560 : 7 → x= 80
vậy Card (A)= 80 hay có 80 (quả quýt)
5

5

Card (B)= 2 . x= 2 . 80 = 200
Vậy có 200 (quả cam)
Kết luận: có 80 (quả quýt), 200 (Quả cam)
c) Tóm tắt:

? quả quýt

Số quả quýt:
Số quả cam

280 (quả cam và quýt)
? quả cam
Giải


Theo sơ đồ tổng số phần bằng nhau là: 5 + 2 = 7 (phần)
Số quả quýt là: 280 : 7 x 5 = 200 (quả)

Số quả cam là: 280 : 7 x 2 = 80

(quả)

Đáp số: 200 (quả quýt), 80 (quả cam)
C. Kết luận
Qua mơn học cơ sở Tốn Tiểu học 2 để vận dụng thực hiện làm bài tập cuối
khoá, bản thân đã rút ra được những kinh nghiệm như sau:
Hiểu được cơ sở hình thành số tự nhiên, số hữu tỉ khơng âm.
Giải thích được cơ sở toán học của một số nội dung cụ thể trong sách giáo
khoa tốn tiểu học của các phép tính số tự nhiên và số hữu tỉ không âm.
Xác định đúng cơ sở toán học của một số nội dung dạy học ở Tiểu học liên
quan đến tập hợp số.
Trên cơ sở toán học của tập hợp số tự nhiên tạo điều kiện cho ta hình thành
khái niệm số tự nhiên, tính chất số tự nhiên, các phép tính với số tự nhiên.
Từ cơ sở toán học của tập hợp số hữu tỷ là tiền đề để ta hình thành khái niệm
phân số, số thập phân, tính chất của phân số, số thập phân.
Trên cơ sở lý thuyết của học phần tốn cơ sở 2 cịn giúp chúng ta hướng dẫn
học sinh biết phân tích và tìm hướng giải tốn ở bậc tiểu học theo cách phù hợp
nhất, dễ hiểu nhất từ đó giúp cho học sinh có thói quen giải các bài tốn chính xác
góp phần hình thành những phẩm chất, năng lực khi học mơn tốn cũng như học
các môn học khác.


Vận dụng vào thực tiển nghiên cứu các phương pháp daỵ học phù hợp, dễ hiểu
cho học sinh tiểu học, nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo.
Người giáo viên cần tìm hiểu kiến thức qua hình thức tham khảo sách , nâng
cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ và giúp hồn thiện bản thân trong q trình
truyền thụ kiến thức cho học sinh.
Rất mong sự đóng góp của cơ để bản thân em có thêm kinh nghiệm trong công

tác giảng dạy.
Xin chân thành biết ơn !