Lũy thừa, hàm số lũy thừa thầy ĐVĐ

PHẦN 1 – LŨY THỪA
I – Khái niệm lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là 1 số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.
Với a ≠ 0 , a 0 = 1 và a − n =

1
. Chú ý rằng 00 và 0− n khơng có nghĩa.
an

2. Phương trình x n = b.
• n lẻ, với mọi số thực b phương trình có nghiệm duy nhất.
• n chẵn
o Nếu b < 0 , phương trình vơ nghiệm.
o Nếu b = 0 , phương tình có 1 nghiệm x = 0 .
o Nếu b > 0 , phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
3. Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2 , số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n = b
Ví dụ: 2 và -2 là căn bậc 4 của 16.
•

Nếu n lẻ, căn bậc n của b là

•

Nếu n chẵn

n

b.

o b < 0 thì khơng tồn tại căn bậc n của b.
o b = 0 thì có 1 căn bậc n của b là số 0.

o b > 0 thì có 2 căn bậc n trái dấu, ký hiệu là
 Tính chất
• n a . n b = n ab

•

( a)
n

m

n

b và − n b
•

= n am

n k

a = nk a

n 2k + 1
a khi =
• n an 
=

(k ∈ )
 a khi n = 2k
4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
m
Cho số thực a dương và số hữu tỉ r = , trong đó m ∈  , n ∈ * . Lũy thừa của a với số mũ r là số
n
•

n

n

a na
=
b
b

m
n

n
a được xác định bởi a= a= a m
5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Cho a là một số hữu tỉ dương, α là một số vơ tỉ. Ta thừa nhận rằng ln có một dãy số hữu tỉ ( rn ) có
r

r

giới hạn là α và dãy số tương ứng a rn có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số ( rn ) . Ta

( )

r
gọi giới hạn của dãy số a n là lũy thừa của a với số mũ α . Ký hiệu aα .

aα = lim a rn với α = lim rn .
n →+∞

Từ đó 1α = 1 với mọi α ∈  .

n →+∞


Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học Online Mơn Tốn

Website: />
II – Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
 Cho a, b là các số thực dương, α , β là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:
• aα .a β = aα + β ;
aα
• β = aα − β ;
a
•

(a )

α β

• ( ab ) = aα .bα ;
α

α

aα
a
•   = α
b
b
• Nếu a > 1 thì aα > a β ⇔ α > β .
• Nếu a < 1 thì aα < a β ⇔ α > β .

= aαβ ;

PHẦN 2 – HÀM SỐ LŨY THỪA
I – Khái niệm
Hàm số y = x với α ∈  cho trước là hàm số lũy thừa.
α

Tập xác định hàm số lũy thừa:
•

Nếu α ∈  + , D =  ;

•

Nếu α ∈  − hoặc α = 0 , D =  \ {0} ;

•

Nếu α ∉  , D

=

( 0; +∞ ) .
II – Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa y = xα (α ∈  ) có đạo hàm với mọi x > 0 và ( xα )′ = α xα −1 .
Tập khảo sát: ( 0; +∞ )
y xα , α > 0
=

III – Khảo sát hàm số lũy thừa
y xα , α < 0
=

1. Tập khảo sát: ( 0; +∞ ) .

1. Tập khảo sát: ( 0; +∞ ) .

2. Sự biến thiên

2. Sự biến thiên

=
y′ α xα −1 > 0 ∀x > 0
Giới hạn đặc biệt:
lim xα = 0 , lim xα = +∞

x → 0+

x →+∞

Tiệm cận: khơng có

=
y′ α xα −1 < 0 ∀x > 0
Giới hạn đặc biệt:
lim xα = +∞, lim xα = 0

x → 0+

x →+∞

Tiệm cận:

Ox là tiệm cận ngang
3. Bảng biến thiên

Oy là tiệm cận đứng của đồ thị
3. Bảng biến thiên

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

Thầy Đỗ Văn Đức – />

IB1 – Lũy thừa, hàm số lũy thừa

Website: />
4. Đồ thị

4. Đồ thị

−1

−1

3 3 9
4 3
26.9
Câu 1. Viết dưới dạng số nguyên hoặc phân số tối giản: 3 .15; −2 ;   ; 3.5−2 ; ⋅   ; 3 .
6 7
8  4  3.2
−1

Câu 2. Viết dưới dạng lũy thừa nguyên của 10: 10−2.104 ;

(

)

−5
10−5
; 10−3 ) .
−1 (
10

Câu 3. Với giá trị nào của x thì đẳng thức đúng?
a)

3

x3 = − x;

b)

6

x 6 = − x;

c)

4

x4 = x ;

d)

7

x 7 = x;

Câu 4. Hãy chứng minh các tính chất sau đây của căn bậc n dựa vào tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên
dương:
a) Cho n là một số nguyên dương, k là một số ngun. Khi đó, với hai số khơng âm a và b, ta có
1)

n

=

ab

a
2) n
=
b

n

a
n
b

n

n k
3)=
a

4) n a
=

=
5) n a k

a⋅n b;

nk

nk

(b ≠ 0) ;

(k > 0) ;

a

ak

( a)
n

(k > 0) ;
k

(a ≠ 0 nếu k ≤ 0)

b) Đối với hai số a, b tuỳ ý mà 0 ≤ a < b và n nguyên dương, ta có

n

a
Câu 5. Dùng các khẳng định trong bài 4 để đơn giản các biểu thức sau:
a)

5

b)

8. 5 4;

4

5.

1
;
16

c)

3 5

b)

5

−5 và

3

−3 ;

d)

3

−5 và

5

−3 .

27 ;

d)

6

643 .

Câu 6. So sánh:
a)

3

−0, 4 và

c)

3

−2 và

5

5

−0,3 ;

−4 ;

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Đỗ Văn Đức – />
3


Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học Online Mơn Tốn

Website: />
Câu 7. Hãy so sánh

5
a)  
7

5
2

−

2.5

và 1;

b) 2

− 12

1
và   ;
2

− 2

c) 3

d) 0, 7

và 1;

5
6

1

và 0, 7 3 .

Câu 8. Đơn giản biểu thức:
a)

3

a 3 − a 2 , với a < 0 ;

b)

4

a 4 + 2 7 a 7 , với a ≥ 0 ;

c)

5

a 5 − 6 a 6 , với a ≥ 0 ;

d)

3

a 3 + 3 8 a8 , với a < 0 .

Câu 9. Đơn giản biểu thức
a)
c)

x 6 y12 −

3

a −1
3

1

(

5

xy 2

);
5

b)

1
a+4a
× a 4 +1;
a +1

×

a4 + a2

4
3

4
3

a b + ab
;
3
a+3b

 1

m2 + 4   m 1
1
d) 
− 3
+ .
× −
2 m
 m+ 2 m +2 2   2

Câu 10. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có nghĩa, biểu thức nào khơng có nghĩa?
1

−

3

b) ( −3) ;

a) ( −2 ) 5 ;

−6

d) 0−3.

c) 5 4 ;

Câu 11. Tìm điều kiện xác định của mỗi biểu thức sau:
1

4

a) ( x + 2 ) 7 ;
−

−

b) x 3 ;

1

2

d) ( x − 3) 3 .

c) x 4 ;

Câu 12. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y=

(1 − x )

−

1
3

;

3

( 2 − x2 )5 ;

b) =
y

c) =
y

(x

y
c)=

( 3x + 1) 2 ;

2

− 1) ;
−2

d) y=

(x

d) y=

(5 − x )

2

− x − 2) .
2

Câu 13. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) =
y

1

( 2 x 2 − x + 1) 3 ;

b) y =

1

( 4 − x − x2 ) 4 ;

π

3

.

Câu 14. Với giá trị nào của x thì mỗi đẳng thức sau đúng?
6

 16 
a)  x  = x ;
 

b) ( x

1
4 4

)

= −x ;

c) ( x

1
8 8

)

1
;
=
| x|

d) ( x

0,7

)

1

3

7

= −x .

Câu 15. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2

a) y = 3− x + x ;

b) y = (0,5)sin x .

Câu 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) =
y 2 x + 2− x ;

b)=
y 2 x −1 + 23− x ;

x

c) y = e1+ x ;
2

2

2

d)
=
y 5sin x + 5cos x .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4

Thầy Đỗ Văn Đức – />

IB1 – Lũy thừa, hàm số lũy thừa

Website: />
Câu 17. So sánh các số sau với số 1:
b) ( 0, 2 ) ;

a) ( 4,1) ;

c) ( 0, 7 ) ;

0,3

2,7

3,2

d)

( 3)

0,4

.

Câu 18. So sánh các cặp số sau mà khơng dùng máy tính bỏ túi
a) ( 3,1)

7,2

và ( 4,3) ;
7,2

 10 
b)  
 11 

2,3

2,3

 12 
và   ;
 11 

c) ( 0,3)

0,3

và ( 0, 2 ) .
0,3

Câu 19. Chứng minh rằng
8

1
8
=
3−8 2
8
3+ 2

(

)(

4

3+4 2

)(

3+ 2

)

Câu 20. Khử căn thức ở mẫu
a)

1
;
2+33

b)

1
.
2+ 3+ 5

Câu 21. Không dùng máy tính và bảng số, hãy tính

3

6+

847 3
847
+ 6−
.
27
27

Câu 22. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của In-đô-nê-xi-a là 1,5%. Năm 1998, dân số của nước này là 212942000
người. Hỏi dân số của In-đô-nê-xi-a vào năm 2006?

358
. Biết rằng tỉ lệ thể tích khí CO 2 trong
106
khơng khí tăng 0, 4% hàng năm. Hỏi năm 2004, tỉ lệ thể tích khí CO 2 trong khơng khí là bao nhiêu?
Câu 23. Năm 1994, tỉ lệ thể tích khí CO 2 trong khơng khí là

Câu 24. Biết rằng tỉ lệ giảm dân số hàng năm của Nga là 0,5% . Năm 1998 , dân số của Nga là 146861000
người. Hỏi năm 2008 dân số của Nga sẽ là bao nhiêu ?
--- Hết ---

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Đỗ Văn Đức – />
5