Khóa luận tốt nghiệp giải tích_Trần Hồng Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành bản khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin chân thành
cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ giải tích đã tạo
điều kiện, giúp đỡ em trong thời gian vừa qua.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Tiến
sĩ Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho em trong suốt quá trình
nghiên cứu khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2013
Sinh viên
Trần Hồng Hạnh

Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 1
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng em.
Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các
nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công
trình nào khác.
Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2013
Sinh viên
Trần Hồng Hạnh
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 2
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 4
Chương 1 7
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7
§1: SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 7

1. Khái niệm về số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối 7
2. Sai số tính toán 9
3 . Bài toán ngược của bài toán sai số 11
§2 .SAI PHÂN 13
1. Định nghĩa và tính chất 13
2. Một số công thức nội suy sử dụng sai phân 14
§3.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 16
1. Một số khái niệm 16
2. Một số phương trình vi phân đã biết cách giải 16
3. Định lí Pica – Lindolov (định lí tồn tại và duy nhất nghiệm) 18
Chương 2 21
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG 21
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 21
§1. PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN 21
1. Phương pháp Euler 21
2. Phương pháp Euler cải tiến 22
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 3
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
§2. PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA 25
1. Trường hợp m=1 27
2. Trường hợp m= 2 27
3.Trường hợp m= 3 29
4. Trường hợp m= 4 31
5. Phương pháp Runge –Kutta có thể áp dụng để giải 1 hệ phương trình vi
phân cấp 1 hay một phương trình vi phân cấp cao 35
Chương 3 38
BÀI TẬP ÁP DỤNG 38
KẾT LUẬN 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

LỜI NÓI ĐẦU
Thoạt đầu, toán học được phát sinh do nhu cầu giải quyết các bài toán có
nguồn gốc thực tiễn. Cùng với sự phát triển của nội tại toán học và các ngành
khoa học khác, toán học chia thành hai lĩnh vực: toán học lí thuyết và toán học
ứng dụng.
Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên quan
tới phương trình vi phân thường. Vì vậy, nghiên cứu phương trình vi phân
thường đóng một vai trò quan trọng trong lí thuyết toán học.
Chúng ta biết rằng chỉ có một số ít các phương trình vi phân thường là có
thể tìm được nghiệm chính xác,trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân
thường nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác.
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 4
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
Do đó một số vấn đề đặt ra là tìm các phương pháp để xác định nghiệm gần đúng
của phương trình vi phân thường.
Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn đó, các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương
pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường. Trong các phương pháp đó,
người ta đã phân làm 2 nhóm: nhóm thứ nhất gọi là các phương pháp giải tích
cho phép tìm nghiệm gần đúng dưới dạng biểu thức giải tích, nhóm thứ hai gọi là
các phương pháp số cho phép tìm nghiệm dưới dạng bảng.
Là một sinh viên khoa Toán, trong khuôn khổ một bản khóa luận, em xin
được trình bày những hiểu biết của mình về một số phương pháp số giải gần
đúng phương trình vi phân thường.
Được sự hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng cùng với lòng
nhiệt tình say mê nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài: “Một số phương
pháp giải gần đúng phương trình vi phân”. Em đã đi sâu nghiên cứu 2 phương
pháp số: phương pháp Euler và Euler cải tiến, phương pháp Runge –Kutta.
Nội dung bản khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân.

Chương 3: Bài tập áp dụng.
Do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận của em còn nhiều thiếu sót,
kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên.

Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 5
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng

Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 6
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1: SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ
1. Khái niệm về số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối
a, Số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối:
Trong thực tế tính toán, ta thường không biết số đúng a
*
mà chỉ biết số gần
đúng của a
*
là a. Đại lượng ∆ = a
*
- a được gọi là sai số thực sự của a.
Do không biết a
*
nên ∆ cũng không biết nhưng ta có thể tìm được ∆a

≥0 sao
cho:
aa −
*

≤ ∆a ; (1.1)
Số ∆a nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a.
Tỷ số δa =
a
a∆
được gọi là sai số tương đối của a.
Ví dụ 1: Giả sử a= 3,14 ; a
*
= π
Do 3,14 < a
*
< 3,15=3,14+0,01 nên ∆a= 0,01
Mặt khác: 3,14 < a
*
< 3,142=3,14+0,002 nên ∆a

= 0,002
Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối càng nhỏ thì càng tốt.
Ví dụ 2: Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a = 10 cm và b = 1 cm với ∆a
= ∆b = 0,01. Khi đó ta có δa =
10
01,0
= 0,1%; δb =
1
01,0
= 1% hay δb = 10 δa. Hiển
nhiên rằng phép đo a chính xác hơn phép đo b mặc dù ∆a = ∆b.
Vậy độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối.
b, Sự thu gọn các số:
Một số thập phân a có dạng tổng quát như sau;

a = ± (β
p
. 10
p
+ β
p-1
. 10
p-1
+ …+ β
p-q
. 10
p-q
)
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 7
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
Trong đó: 0 ≤ β
i
≤ 9,β
i
∈ Z,( i= p,p-1,…,p-q)
Nếu p-q ≥ 0 thì a là số nguyên. Nếu p-q = -m (m>0) thì a có phần lẻ gồm
m chữ số. Nếu q = +∞ thì a là số thập phân vô hạn.
Chẳng hạn:a = 478 = 4.10
2
+ 7.10
1
+ 8.10
0
, ta thấy p-q = 0 nên a = 478 là số
nguyên.

a = 597,36= 5.10
2
+ 9.10
1
+7.10
0
+3.10
-1
+6.10
-2
ở đây p=2, q=4, β
2
=5, β
1
=9, β
0
=7, β
-1
=3, β
-2
=6, ta thấy p-q = -2 nên a = 597,36 là
số thập phân có phần lẻ gồm 2 chữ số.
Thu gọn a là vứt bỏ đi một số các chữ số hàng bên phải trong biểu diễn của
a để được một số gần đúng
a
gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần
thiết.
Quy ước: nếu chữ số đầu tiên bỏ đi tính từ bên phải qua có giá trị lớn hơn
hoặc bằng 5 thì khi thu gọn ta tăng thêm vào chữ số cuối cùng giữ lại 1 đơn vị,
nếu nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên. Trong trường hợp chữ số đầu tiên bỏ đi đúng bằng

5 và các chữ số tiếp theo toàn là chữ số 0 thì chữ số cuối cùng giữ lại để nguyên
nếu nó là số chẵn và tăng thêm 1 đơn vị nếu là số lẻ (tính toán với số chẵn thuận
lợi hơn).
Ví dụ 3: Thu gọn đến 2 chữ số sau dấu phẩy với các số sau:
a = 57,96564 ;
a
= 57,97
a = 65,752648 ;
a
= 65,75
a = 903,28500 ;
a
= 903,28
a = 423,23500 ;
a
= 423,24
c, Cách viết các số gần đúng:
Ta thường viết số gần đúng kèm theo sai số (tuyệt đối hoặc tương đối).
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 8
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
Chẳng hạn: a= 16,52








−

+
002,0
05,0
; b= 0,085 (± 0,003) ; c= 154 (±2%)
Trong các bảng số thường chỉ giữ lại các chữ số chắc, tức là các số mà chữ
số cuối cùng được giữ lại có bậc tương ứng sai số tuyệt đối theo quy tắc làm tròn
số (ở đây không đưa ra định nghĩa chính xác của chữ số chắc).
2. Sai số tính toán
Trong tính toán ta thường gặp 4 loai sai số sau:
+ Sai số giả thiết – Do mô hình hóa, lý tưởng hóa các bài toán thực tế. Sai số này
không loại trừ được.
+ Sai số phương pháp – Các bài toán thường gặp rất phức tạp, không thể giải
đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng. Sai số này sẽ được
nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể.
+ Sai số các số liệu – Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó có sai
số.
+ Sai số tính toán – Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên khi tính
toán sẽ xuất hiện sai số tính toán.
Giả sử ta phải tính đại lượng y theo công thức y = f (x
1
,…,x
n
)
Gọi x
*
= (x
*
1
, …,x
*

n
) ; y
*
= f (x
*
) là các giá trị đúng.
Giả sử ta không biết các giá trị đúng này, ta chỉ biết các giá trị gần đúng là:
x = (x
1
, …,x
n
) ; y = f(x).
Giả sử ∆x
i
(i = 1,…,n) ; δx
i
(i = 1, …,n) là các sai số tuyệt đối và tương đối
tương đối tương ứng của các đối số. Khi đó: sai số của hàm y = f(x
1
, …,x
n
) được
gọi là sai số tính toán.
Giả sử hàm f là hàm số khả vi liên tục theo tất cả các biến x
i
thì:
∆y =
*
yy −
=

), ,(), ,(
**
11 nn
xxfxxf −
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 9
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
=
∑
=
n
i
nx
xxf
i
1
1
), ,('
.
*
ii
xx −
Với
x
=(
1
x
,…,
n
x
) và

x
là điểm nằm giữa x và x
*
.
Vì f khả vi liên tục, ∆x
i
=
*
ii
xx −
khá bé nên:
∆y =
∑
=
n
i
x
xf
i
1
)('
. ∆x
i
với x =(x
1
, …,x
n
)
Vậy δy =
y

y∆
=
∑
=
∂
∂
n
i
i
xf
x
1
)(ln
. ∆x
i
; (1.2)
Và đôi khi có thể viết δy= ∆ln
y
; (1.2’)
a, Sai số của một tổng:
Nếu y=
∑
=
n
i
i
x
1
thì y’
x

i
=1 (i=1,…,n) .Vậy ta có:
∆y =
∑
=
n
i
x
xf
i
1
)('
. ∆x
i
=∆x
1
+…+ ∆x
n
=
∑
=
∆
n
i
i
x
1
; (1.3)
Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng.
b, Sai số của một tích:

y = x
1
.x
2
…x
n

y
=
1
x
.
2
x
…
n
x
Ln
y
=ln
1
x
+ln
2
x
+…+ln
n
x
→ ∆ln
y

=∆ln
1
x
+…+ ∆ln
n
x
→ δy= δx
1
+ … +δx
n
∆y =
y
. δy
Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các số
hạng thành phần.
c, Sai số của một thương:
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 10
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
y=
2
1
x
x
y’
x
1
=
2
1
x

; y’
x
2
=
2
2
1
x
x−
∆y=
2
2
1221

x
xxxx ∆+∆
δy= δx
1
+ δx
2
d, Sai số của y= lnx:
∆y =δx
3 . Bài toán ngược của bài toán sai số.
Giả sử y=f(x
1
,x
2
,…,x
n
)

Cần tính ∆x
i
để ∆y ≤ ε, (ε <0) cho trước.
Theo công thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có:
∆y=
∑
=
∂
∂
n
i
i
x
f
1
. ∆x
i
≤ ε
⇔ ∆x
i
≤
i
x
fn '.
ε
Nếu các biến x
i
có vai trò “đều nhau” thì ta có thể lấy ∆x
i
≤

i
x
fn '.
ε
khi đó:
∆y ≤ ε
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 11
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng


Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 12
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
§2 .SAI PHÂN
1. Định nghĩa và tính chất
a, Định nghĩa:
Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên tập X, h >0 sao cho: x+h ∈ X, khi
đó biểu thức:
∆f(x) = f(x+h) – f(x) được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số f(x) tại điểm x.
∆
2
f = ∆(∆f) = [f(x+h+h) - f(x+h)] – [f(x+h) – f(x)]
= f(x+2h) – 2.f(x+h) + f(x)
= ∆f(x+h) - ∆f(x)
được gọi là sai phân cấp 2 của f(x) tại x.
Tương tự: ∆
n
f= ∆(∆
n-1
f) được gọi là sai phân cấp n.
Giả sử f(x) được cho bằng bảng tại các giá trị cách đều của đối số: f(x

i
),
x
i
=x
0
+ih (i=0,±1,…)
Khi đó, ta có thể lập bảng các sai phân cấp 1, cấp 2, … của f như sau:
x
i
fx
i
∆fx
i
∆
2
fx
i
∆
3
fx
i
∆
4
fx
i
∆
5
fx
i

∆
6
fx
i
x
-3
f
-3
x
-2
f
-2
∆f
-3
x
-1
f
-1
∆f
-2
∆
2
f
-3
x
0
f
0
∆f
-1

∆
2
f
-2
∆
3
f
-3
x
1
f
1
∆f
0
∆
2
f
-1
∆
3
f
-2
∆
4
f
-3
x
2
f
2

∆f
1
∆
2
f
0
∆
3
f
-1
∆
4
f
-2
∆
5
f
-3
x
3
f
3
∆f
2
∆
2
f
1
∆
3

f
0
∆
4
f
-1
∆
5
f
-2
∆
6
f
-3
Nhận xét: bắt đầu từ cột 3 mỗi phần tử bằng hiệu của 2 phần tử dòng dưới
và dòng trên của cột liền trước.
Chẳng hạn: ∆f
-3
= f
-2
– f
-3
b, Các tính chất:
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 13
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
+) ∆
k
(f±g) = ∆
k
f ± ∆

k
g
+) ∆
k
(αf) = α.∆
k
f
+) ∆
n
(P
n
(x)) = c = const
∆
m
(P
m
(x)) = 0, nếu m>n
với P
n
(x) là đa thức cấp n của x.
+) f(x+ n.h) =
∑
=
∆
n
i
ii
n
xfC
1

)(.

+) ∆
n
f =
∑
=
−+−
n
i
i
n
i
hinxfC
1
)).((.)1(
2. Một số công thức nội suy sử dụng sai phân
Giả sử hàm y = f(x) dưới dạng bảng y
i
= f(x
i
) tại các mốc x
i
cách đều:
x
i+1
– x
i
= h = const (i≥0)
Mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự: x

0
<x
1
<…<x
n
Ta tìm đa thức nội suy dưới dạng:
P(x) = a
0
+ a
1
(x-x
0
) + a
2
(x-x
0
)(x-x
1
)+ … + a
n
(x-x
0
)…(x-x
n-1
)
Cho x = x
0
, ta được: a
0
= y

0
; x = x
1
⇒ a
1
=
h
y
0
∆

Đặt x = x
i
⇒ a
i
=
i
i
hi
y
!
0
∆
Đổi biến t =
h
xx
0
−
⇒x = x
0

+ th , ta có:
F(x
0
+ th) = y
0
+
!1
t
. ∆y
0
+
!2
)1( −tt
∆
2
y
0
+ … +
!
)1) (1(
n
nttt +−−
∆
n
y
0
+
)!1(
)(
)1(

+
−
n
f
n
ξ
h
n+1
t(t-1)…(t-n)
Đây là công thức nội suy Newtơn tiến.
Mốc nội suy sắp theo thứ tự x
n
>x
n-1
>…>x
0
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 14
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
Đặt t =
h
xx
n
−
⇒ x=x
n
+ th
Đa thức nội suy Newtơn lùi tìm dưới dạng:
P(x)= a
0
+ a

1
(x-x
n
) + a
2
(x-x
n
)(x-x
n-1
) + … + a
n
(x-x
n
)(x-x
n-1
)…(x-x
1
)
Cho x = x
n
⇒ a
0
=y
n
x=x
n-1
⇒ a
0
+ a
1

(-h)= y
n-1
⇒ a
1
=
h
y
n 1−
∆
Tổng quát: đặt x = x
i
⇒ a
i
=
i
in
i
hi
y
!
−
∆
;(i=(0,…,n))
Như vậy, công thức Newtơn lùi sẽ có dạng:
f(x
n
+th) = y
n
+
!1

t
∆y
n-1
+
!2
)1( +tt
∆
2
y
n-2
+… +
!
)1) (1(
n
nttt −++
∆
n
y
0
+
)!1(
)(
)1(
+
+
n
f
n
ξ
h

n+1
t(t+1)…(t+n)



Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 15
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
§3.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
1. Một số khái niệm
Phương trình vi phân thường bậc n là một hệ thức có dạng:
F(x,y,y’,y”,…,y
(n)
) =0 ; (1.4)
Trong đó: x là biến độc lập, y là hàm số cần tìm
y’,y”,…,y
(n)
là các đạo hàm của hàm số y (y là hàm số của x).
Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương trình.
Hàm số y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4) nếu thay
y = ϕ(x), y’=ϕ’(x),…, y
(n)
=ϕ
(n)
(x) vào (1.4) thì (1.4) trở thành đồng nhất thức.
Hàm số y=ϕ(x,c) thỏa mãn (1.4) khi (x,y) chạy khắp D, với mọi c ∈R
2. Một số phương trình vi phân đã biết cách giải
a, Phương trình vi phân có biến số phân li:
dx
dy
= f(x) ⇒ y=

∫
dxxf )(
+c
dx
dy
= f(y) ⇒
∫
)(yf
dy
= x+c
M
1
(x) N
1
(y) dx + M
2
(x) N
2
(y) dy=0 ⇔
)(
)(
2
1
xM
xM
dx +
)(
)(
1
2

yN
yN
dy =0
(M
2
(x).N
1
(y) ≠0)
b, Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất:
y’=f(
x
y
). Giả thiết hàm số xác định với mọi x ≠0.Để giải phương trình này ta đặt
u=
x
y
, sau đó đưa về việc giải phương trình vi phân có biến số phân li.
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 16
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Dạng tổng quát: y’ + P(x) y = Q(x)
+) Q(x) ≠ 0 thì gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1.
+) Q(x) ≡ 0 thì gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1.
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là:
y= e
∫
− dxxP )(







+
∫
∫
cdxexQ
dxxP )(
)(
d, Phương trình Bernoulli:
Dạng tổng quát: y’ + P(x) .y = Q(x) .y
α
+) α=1: phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1
+) α=0: phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1
+) α≠0, α≠1: ta chia cả 2 vế của phương trình cho y
α
Sau đó, đặt z=y
1-α
và đưa về phương trình tuyến tính không thuần nhất.
e, Phương trình vi phân toàn phần:
Dạng tổng quát: P(x,y) dx + Q(x,y) dy =0 ; (1.5)
trong đó: P(x,y), Q(x,y) là các hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng trên
miền đơn liên D và thỏa mãn: Q’
x
(x,y) =P’
y
(x,y) trên D.
Nếu D=R
2
, giả sử (x

0
,y
0
) ∈ D thì tích phân tổng quát của (1.5) là:
u(x,y) =
dxxxP
x
x
),(
0
0
∫
+
∫
y
y
dyyxQ
0
),(
=
∫
x
x
dxyxP
0
),(
+
∫
y
y

dyyxQ
0
),(
0
f, Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần nhất cấp 1.
dx
dy
= f








++
++
111
cybxa
cbyax
; (1.6)
Nếu c=c
1
=0 thì (1.6) là phương trình thuần nhất cấp 1
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 17
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
Nếu c≠0, c
1
≠0,

11
b
b
a
a
≠0
Đặt



+=
+=
β
α
1
1
yy
xx
, (α,β _const).
3. Định lí Pica – Lindolov (định lí tồn tại và duy nhất nghiệm)
Giả sử hàm f(x,y) xác định và liên tục trong miền G:
G =
{
}
byyaxxyx ≤−≤−
00
,:),(
đồng thời thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y. Khi đó, tồn tại một dãy nghiệm
gần đúng của phương trình
dx

dy
=f(x,y) trên đoạn [x
0
-h, x
0
+h] và dãy nghiệm này
là các hàm liên tục hội tụ đều đến nghiệm duy nhất của phương trình đã cho và
thỏa mãn điều kiện ban đầu.
y(x
0
)=y
0
, h= min






M
b
a,
, M =
Gyx ∈),(
max
f(x,y)
Chứng minh:
Lấy ϕ
0
(x)=y

0
ϕ
1
(x)=y
0
+
∫
x
x
dtttf
0
))(,(
0
ϕ

ϕ
2
(x)=y
0
+
∫
x
x
dtttf
0
))(,(
1
ϕ
; (1.7)
…….

ϕ
n
(x)=y
0
+
∫
−
x
x
n
dtttf
0
))(,(
1
ϕ
Dãy hàm {ϕ
n
(x)} gọi là nghiệm gần đúng của phương trình đã cho.Ta sẽ
chứng minh dãy {ϕ
n
(x)} hội tụ đều.
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 18
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
Gọi ϕ(x) là nghiệm đúng của phương trình, ta có:
ϕ(x)= y
0
+
∫
x
x

dtttf
0
))(,(
ϕ
Đặt ω
n
(x)=
)()( xx
n
ϕϕ
−
, ta có:
ϕ(x) - ϕ
n
(x) =
[ ]
dtttfttf
x
x
n
∫
−
−
0
))(,())(,(
1
ϕϕ
Từ đó, ta có: ω
n
(x)=

)()( xx
n
ϕϕ
−
≤
dtttfttf
x
x
n
∫
−
−
0
))(,())(,(
1
ϕϕ
Vì f(x,y) thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y do vậy:
ω
n
(x) ≤
dtttL
x
x
n
∫
−
−
0
)()(
1

ϕϕ
= L.
∫
−
x
x
n
dtt
0
)(
1
ω
; (1.8)
(L là hằng số Lipsit của hàm số f)
Với n=0, ta có: ω
0
(x)=
)()(
0
xx
ϕϕ
−
= (x-x
0
).
)('
ξϕ
; (x
0
<

ξ
<x
0
+h)
Vì
)('
ξϕ
=
))(,(
ξϕξ
f
≤ M, nên w
0
(x) ≤ M (x-x
0
). Áp dụng liên tiếp (1.8) ta
được:
ω
1
(x) ≤ L
∫
x
x
dtt
0
)(
0
ω
≤ L.M
dtxt

x
x
)(
0
0
∫
−
=L.M.
2
)(
2
0
xx −
ω
2
(x) ≤ L
∫
x
x
dtt
0
)(
1
ω
≤ L
2
.M
dt
xt
x

x
∫
−
0
2
)(
2
0
= L
2
.M.
!3
)(
3
0
xx −
………
ω
n
(x) ≤ L
n
.M.
)!1(
)(
1
0
+
−
+
n

xx
n
; (n=0,1,2…)
Từ đó, ta có: n
→
∞ thì ω
n
(x) →0 và ϕ
n
(x)→ϕ(x) trên đoạn [x
0
, x
0
+h].
Ta chứng minh ϕ(x) là duy nhất. Giả sử có 2 hàm ϕ(x) & ψ(x) là nghiệm
của phương trình đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước. Xét:
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 19
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
ϕ(x)= y
0
+
∫
x
x
dtttf
0
))(,(
ϕ
ψ(x)= y
0 +

∫
x
x
dtttf
0
))(,(
ψ
ϕ(x) – ψ(x) ≤ L
dttt
x
x
∫
−
0
)()(
ψϕ
≤ L
dttt
x
x
t
)()(sup
0
ψϕ
−
∫
= L
)()(sup tt
t
ψϕ

−
.(x-x
0
) ≤ L.
)()(sup xx
x
ψϕ
−
.a ; (
0
xx −
≤a)
⇒
)()( xx
ψϕ
−
≤ L.a.
)()(sup xx
x
ψϕ
−
;
∀
x
⇒
)()(sup xx
x
ψϕ
−
≤ L.a.

)()(sup xx
x
ψϕ
−
⇔ (1-La) .
)()(sup xx
x
ψϕ
−
(1-La) >0 ⇒
)()(sup xx
x
ψϕ
−
≤ 0
⇒
)()( xx
ψϕ
−
= 0 ,
∀
x
⇒ ϕ ≡ ψ
Vậy ϕ(x) là duy nhất.

Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 20
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
Chương 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

§1. PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN
1. Phương pháp Euler
Từ điểm ban đầu M
0
(x
0
,y
0
) của đường cong tích phân, nhờ phương trình vi
phân y’= f(x,y) ta có thể xác định gần đúng giá trị của y(x) ở các tiếp điểm theo:
x
0
< x
1
< … < x
n
= x
0
+a, bằng phương pháp đơn giản sau:
Theo công thức Taylor, ta có:
y(x
i+1
) = y(x
i
) + (x
i+1
– x
i
).y’(x
i

) +
!2
)(
2
1 ii
xx −
+
.y”(
ξ
) ; (2.1)
trong đó: x
i
≤
ξ
≤ x
i+1
Nếu ta chia đoạn [ x
0,
x
0+a
], thành n phần bằng nhau sao cho khoảng cách
giữa chúng càng bé thì ta có thể bỏ qua số hạng cuối cùng trong khai triển (2.1)
và khai triển (2.1) chỉ còn: y(x
i+1
) = y(x
i
) + (x
i+1
– x
i

).y’(x
i
) ; (2.2)
Công thức (2.2) cho ta tính được các giá trị y
i
(i=1,…,n)
Ta đặt như sau: x
i+1
– x
i
= h ; (i = 1,…,n-1), do đó:
y
i+1
= y
i
+ hf(x
i
, y
i
) ; (2.3)
Nối liền các giá trị y
i
bằng những đoạn thẳng ta được một đường gấp khúc
gọi là đường gấp khúc Euler. Thực chất của phương pháp Euler là việc thay các
đạo hàm ở các mốc x
i
bằng các tỷ số sai phân cấp 1 của y (cho y = f(x) xác định
trên tập X, h>0, h = const, số gia ∆f = f(x+h) – f(x)gọi là sai phân cấp 1 của f(x)
tại x).
Nhận xét: từ lí luận trên, ta thấy nếu n càng lớn thì đường gấp khúc này

càng gần đường cong tích phân nhưng nếu càng tăng n thì khối lượng tính toán
sẽ tăng lên
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 21
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
Ví dụ 4. Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình sau bằng phương pháp
Euler:
y’=
2
xy
, với y(0) = 1, x ∈ [0;0,5], h = 0,1.
Giải
Áp dụng công thức (2.3), ta có bảng sau:
i x
i
y
i
f(x
i
, y
i
) ∆f
i
= hf (x
i
, y
i
) y(x
i
)= e
4

2
i
x
0 0 1 0 0 1
1 0,1 1 0,05 0,005 1,0025
2 0,2 1,005 0,1005 0,0101 1,0101
3 0,3 1,0151 0,1523 0,0152 1,0228
4 0,4 1,0303 0,2061 0,0206 1,0408
5 0,5 1,0509 0,2627 0,0263 1,0645
Sai số mắc phải cỡ 0,1
≈
10.h
2
Nhận xét: qua ví dụ trên ta thấy phương pháp Euler có ưu điểm là đơn giản,
nhưng sai số mắc phải là khá lớn, bằng cách đánh giá trực tiếp nhờ công thức
Taylor ta thấy sai số mắc phải cỡ 0(h
2
).
Để nâng cao độ chính xác của nghiệm gần đúng thông thường không trực
tiếp dùng công thức (2.3) mà dùng phương pháp Euler dưới dạng cải tiến.
2. Phương pháp Euler cải tiến
Nhược điểm của phương pháp Euler là ở chỗ trong ∆y
i
chỉ tính đến giá trị
đạo hàm ở điểm (x
i
,y
i
); ∆y
i

= hf(x
i
,y
i
) mà không chú ý đến sự thay đổi của đạo
hàm (tức là của hàm f(x,y) trong [x
i
, x
i+1
]).
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 22
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
Hình 1:
Ở hình 1, ta thấy hai đường cong tích phân có giá trị khác nhau khá xa tại
điểm x
i+1
nhưng vì chúng có cùng giá trị y
i
, y’
i
nên bằng công thức Euler (2.3), ta
thu được cùng một giá trị gần đúng y
i+1
.
Từ nhận xét đó, ta thấy rằng trong khoảng nào mà hàm số f(x,y) thay đổi
nhiều và không tuyến tính thì sai số mắc phải sẽ lớn. Để tránh bớt nhược điểm
đó, ta có thể rút ngắn bước (x
i+1
– x
i

) ở phần nào f(x,y) thay đổi nhiều nhưng như
thế phải tăng khối lượng tính toán, đồng thời sai số tích lũy sẽ lớn lên. Phương
pháp hình thang hay còn gọi là phương pháp Euler – Côsi giúp ta tránh bớt được
những nhược điểm trên.
Trong công thức số gia giới nội Lagrăng:
y
i+1
= y
i
+ hf(
( )
)(,
ii
y
ξξ
; x
i
≤
i
ξ
≤ x
i+1
; (2.4)
ta có thể thay: f(
( )
)(,
ii
y
ξξ

≈

2
),(),(
11 ++
+
iiii
yxfyxf
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 23
x
y
O
y
i+1
y
i
x
i+1
x
y
O
y
i+1
y
i
x
i
x
i+1
x

i
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
Trong các giá trị của ∆y
i
=
2
h
[f(x
i
,y
i
) + f(x
i+1
,y
i+1
)] có tham giá trị chưa biết
y
i+1
, ta có thể thay giá trị đó bằng y
i+1
nhận được từ công thức Euler (2.3). Vì vậy
công thức (2.4) có dạng như sau:





+=
++=
+

+++
),(
)],(),([
*
1
*
111
iiii
iiiiii
yxhfyy
yxfyxfyy
; (2.5)
Tổng quát hơn, ta có thể dùng công thức lặp đơn:





+==
++=
++
+++
),(
)],(),([
2
*
1
)0(
1
*

11
)(
1
iiiii
iiiii
m
i
yxhfyyy
yxfyxf
h
yy
Quá trình lặp được dừng ở bước m nào đó mà các giá trị thu được
)1( +m
i
y
khá
gần
)(m
i
y
.
Ví dụ5: Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình vi phân sau bằng phương
pháp Euler cải tiến: y’=
y
x
2
3
2
; y(0) = 1; x∈ [0;0,5] ; chọn h = 0,1.
Giải:

Áp dụng công thức (2.5), ta có bảng sau:
i x
i
*
1+i
y
( )
*
11
,
++ ii
yxf
y
i
f(x
i
,y
i
) y(x
i
)=
1
3
+
i
x
0 0 1 0 1 0 1
1 0,1 1 0,015 1,0008 0,015 1,0005
2 0,2 1,0023 0,0599 1,0045 0,0597 1,004
3 0,3 1,0105 0,1336 1,0142 0,1331 1,0134

4 0,4 1,0275 0,2336 1,0325 0,2324 1,0315
5 0,5 1,0557 0,3552 1,0619 0,3531 1,0607

Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 24
Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng
§2. PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA
Phương pháp này lần đầu tiên được Runge đề ra, sau đó được Kutta và
Hâynơ cùng các nhà toán học khác hoàn chỉnh.
Xét bài toán Côsi:



=
=
)(;)(
)();,('
200
1
Ayxy
Ayxfy

Xuất phát từ giá trị ban đầu y
0
tìm giá trị gần đúng y
1
tại điểm x
0
+ h= x
1
theo công thức y

1
= y
0
+ ∆y
0
= y
0
+h[r
1
f(ξ
1
,η
1
) + … + r
m
f(ξ
m
,η
m
)] ;(2.6), trong đó:
ξ
i
= x
0
+ a
i
h ; η
i
=y
0

+ β
i1
k
1
(h) + β
i2
k
2
(h) + … + β
ii
k
i
(h) ; (2.7)
α
i
, β
ij
, r
i
là những hằng số.
α
1
= 0, k
i
(h) = hf(ξ
i
,η
i
) ; (2.8)
Các hằng số α

i
, β
ij
, r
i
được chọn sao cho khai triển Taylor của nghiệm
y(x
1
)= y(x
0
+h)=
0
y
+ h
'
0
y
+
2
2
h
"
0
y
+ … +
)!1(
1
+
+
n

h
n
)1(
0
+n
y
+ …, và biểu thức (2.6) trùng
nhau tới một số số hạng càng nhiều càng tốt với hàm f và bước h tùy ý.
Điều đó có nghĩa là phải chọn α
i
, β
ij
, r
i
sao cho hàm:
ϕ
m
(h) = y
0
(x
0
+h) – y
0
-
i
m
i
i
kr
∑

=1
; (2.9)
thỏa mãn các biểu thức sau đây:

( )
0
m
ϕ
=
( )
0
'
m
ϕ
= … =
)0(
)(s
m
ϕ
= 0 ;
0)0(
)1(
≠
+s
m
ϕ
với s càng cao càng tốt.
Như vậy sai số mắc phải trong mỗi bước sẽ là:
R
m

(h)=
)!1(
)(.
)1(1
+
++
s
h
s
m
s
ξϕ
, 0 < ξ < h ; (2.10)
Điều kiện ϕ
m
(0)= 0 luôn được thỏa mãn. Bây giờ ta xét các điều kiện còn
lại:
)0(
)(l
m
ϕ
= 0. Từ (2.9), ta có:
Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 25