Sáng kiến kinh nghiệm thpt khai thác bài toán về góc giữa hai mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

SÁNG KIẾN

Tên đề tài:
KHAI THÁC BÀI TỐN
VỀ GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Mơn/Lĩnh vực: TOÁN
Mã số: 01

Hà Tĩnh, tháng 12 năm 2022
0


PHẦN MỞ ĐẦU
I. BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI
Hội nghị TW8 khóa XI đã thơng qua Nghị quyết số 29/NQ-TW ngày 04/11/2013
về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa, hiện
đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng XHCN và hội nhập quốc tế. Quốc
hội ban hành Nghị quyết số 88/2014/QH13 ngày 28/11/2014 về đổi mới chương trình,
sách giáo khoa GDPT góp phần đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo. Mục tiêu
đổi mới được Nghị quyết số 88/2014/QH13 quy định: “Đổi mới chương trình, sách giáo
khoa GDPT nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục
phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển biến
nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về
phẩm chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mỹ và phát huy tốt nhất tiềm năng của học
sinh. Từ năm học 2022-2023 và năm học kế tiếp mỗi trường THPT thực hiện song song
chương trình GDPT 2018 cho học sinh lớp 10 và chương trình 2006 cho học sinh lớp 11,
12. Để thực hiện có hiệu quả điều đó mỗi nhà trường, mỗi người quản lý giáo dục hay
từng giáo viên cần chú trọng phát triển chương trình 2006, đổi mới phương pháp dạy học
để vừa đáp ứng ôn tập, ôn thi cho đối tượng học sinh lớp 12 vừa phát triển toàn diện năng

lực, phẩm chất cho người học.
II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình mơn Tốn cấp phổ thơng có thể nói vấn đề Hình học khơng
gian là kiến thức được giảng dạy khá đầy đủ. Các kiến thức này được học bắt đầu từ dạng
hình rất cơ bản, quen thuộc ở các lớp 9 cấp THCS và đi sâu nghiên cứu ở lớp 11, lớp 12 ở
cả hai chương trình 2006 và 2018. Phần kiến thức về “Góc” là một trong những nội dung
rất quan trọng trong khối kiến thức Hình học khơng gian. Góc giữa hai mặt phẳng là nội
dung kiến thức tương đối khó nhưng lại xuất hiện rất nhiều trong các kỳ thi và các hình
ảnh trong cuộc sống hằng ngày.
Hiện nay thi tốt nghiệp THPT mơn Tốn với hình thức trắc nghiệm khách quan
dẫn đến cách dạy và cách học có nhiều thay đổi. Đánh giá đề thi tốt nghiệp THPT các

1


năm gần đây đều sử dụng kiến thức này để ra những câu vận dụng, vận dụng cao, đòi hỏi
giáo viên và học sinh cần phát huy việc tìm tịi, sáng tạo và tập trung tư duy, liên hệ, mở
rộng kiến thức.
Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán các cấp Tỉnh thường xuất hiện nhiều bài
tốn có liên quan đến “Góc giữa hai mặt phẳng”. Và chắc chắn một điều nội dung ra các
kỳ thi đối với những năm tới cho chương trình 2018 cũng sẽ sử dụng kiến thức này rất
nhiều. Đây thường là các bài toán cần có nhiều suy luận, vận dụng và huy động đa số kiến
thức hình học khơng gian địi hỏi học sinh phải có niềm u thích bộ mơn Hình học và
các thầy cơ có những cách thức để giảng dạy học sinh dễ hiểu nhất, kích thích tự học của
học sinh.
Hiểu được sự khó khăn và yêu cầu, mong muốn của Giáo viên và Học sinh trong
quá trình day-học. Yêu cầu giáo viên cần tích cực học tập nâng cao trình độ; đổi mới
phương pháp và hình thức dạy học; nghiên cứu, khai thác, phát triển kiến thức, xây dựng
cho mình phương pháp, tổ chức trong dạy học phù hợp với đối tượng học sinh nhằm đáp
ứng tốt đổi mới giáo dục, hình thành cho các em học sinh tư duy tích cực, đam mê, sáng

tạo và tính tự học cao.
Từ những lí do nêu trên tơi thực hiện đề tài Sáng kiến kinh nghiệm có tên:
“KHAI THÁC BÀI TỐN VỀ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG”
III. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU
1. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu kiến thức về hình học khơng gian được trình bày trong sách giáo khoa
chương trình 2006, đề thi tốt nghiệp THPT các năm gần đây, các đề thi thử tốt nghiệp THPT
các trường và Sở GD&ĐT các tỉnh và một số tài liệu tham khảo.
2. Đối tƣợng nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu các kiến thức về khái niệm góc giữa hai mặt phẳng,
phương pháp xác định và tính tốn liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng.
IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu của đề tài là thơng qua những nghiên cứu từ cơ sở lý luận và
thực tiễn khi gặp các bài tốn về hình học khơng gian trong đó có bài tốn về góc giữa hai

2


mặt phẳng, học sinh thường gặp khó khăn trong định hướng phân tích, phối hợp sử dụng
những kiến thức đã học để giải quyết bài tốn; bên cạnh đó sách giáo khoa, tài liệu tham
khảo chỉ trình bày những lời giải cụ thể thiếu sự tổng hợp, bao quát nên giáo viên và học
sinh càng khó khăn trong dạy và học. Đề tài sáng kiến này góp phần khắc phục những khó
khăn nói trên nhằm tạo ra cho học sinh có hệ thống kiến thức, biết vận dụng một cách có
hệ thống, tạo ra niềm say mê, sáng tạo trong học tập.
Nhằm đưa lại hiệu quả cao hơn trong giảng dạy, đặc biệt công tác bồi dưỡng học
sinh giỏi và học sinh xét tuyển đại học; tăng khả năng xây dựng hệ thống bài tập, ngân
hàng đề thi.
V. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Hệ thống lại kiến thức cơ bản và các phương pháp giải giúp người dạy và người
học có tính bao qt khi đứng trước bài tốn về góc giữa hai mặt phẳng.

Phát triển một phương pháp của riêng cá nhân về cách xác định góc giữa hai mặt
phẳng. Phân tích, rút ra một số nhận xét quan trọng của các dạng toán.
Phân dạng và xây dựng được một hệ thống bài tốn có tính hợp lý, khoa học và
tính kết nối hệ thống kiến thức.
Có thể sử dụng đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trong dạy học, đặc biệt
trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và thi Đại học.
PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Một số cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Cơ sở lý luận
Hình học khơng gian là kiến thức quen thuộc, quan trọng trong nghiên cứu về
Tốn học cấp trung học phổ thơng nói chung và phân mơn hình học nói riêng. Trong phát
triển tư duy, thực tiễn cuộc sống, định hướng nghề nghiệp bộ môn Hình học ứng dụng rất
nhiều đặc biệt Hình học khơng gian, trong đó Góc giữa hai mặt phẳng chiếm một phần
quan trọng. Như vậy nghiên cứu Góc giữa hai mặt phẳng hồn tồn có tính tự nhiên, thiết
thực, khơng hàn lâm.

3


Trong chương trình, sách giáo khoa bậc phổ thơng hiện nay, kiến thức hình học
khơng gian, bài tốn về góc được trình bày với những nội dung chính sau:
 Hình học lớp 9: Trình bày một số hình cơ bản, có hình ảnh quen thuộc trong
cuộc sống như hình lập phương, hình hộp chữ nhật, hình trịn xoay...
 Hình học lớp 11: Trình bày các loại hình trong khơng gian, các quan hệ, tính
chất. Trình bày góc, khoảng cách.
 Hình học lớp 12: Trình bày các loại khối trong khơng gian và cách tính thể tích
của một số khối. Trình bày phương pháp tọa độ trong không gian.
1.2. Cơ sở thực tiễn
Dựa trên yêu cầu cao của học sinh trong việc định hướng, phương pháp giải toán và

hệ thống các vấn đề về Góc giữa hai mặt phẳng phục vụ cho học tập và thi cử. Mặt khác là
gợi ý, xây dựng nguồn tài liệu cho đồng nghiệp giáo viên để tạo ra sự giao lưu, học hỏi và
cùng nhau dạy tốt.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
1. Về phía Giáo viên
- Qua dự giờ, kiểm tra nhiệm vụ dạy học của giáo viên dạy Toán lớp 12 cùng
trường ở năm học 2018-2019 đến năm học 2021-2022 nhận thấy chỉ trình bày các bài tốn
về Góc giữa hai mặt phẳng ở những dạng đơn giản hoặc giải quyết những bài toán cụ thể
chưa có sự tổng hợp để tạo thành phương pháp giải để giải quyết được đa dạng bài tốn
về góc này. Hệ thống tài liệu còn hạn chế chưa đáp ứng cho học sinh học tập.
- Khảo sát 10 giáo viên dạy lớp 12 ngoài trường trên địa bàn tỉnh Hà Tĩnh với hệ
thống các câu hỏi như sau:
Câu 1: Thầy cơ thường dạy bài tốn Góc giữa hai mặt phẳng mức độ nào?
*) Kết quả:
Mức độ

Nhận biết &Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng cao

Số lượng

7

2

1

%

70%

20%

10%

4


Câu 2: Trước bài tốn Góc giữa hai mặt phẳng. Thầy cô thường hướng dẫn học
sinh giải quyết theo cách nào?
*) Kết quả:
8/10 Giáo viên trả lời: Sử dụng cách xác định góc 2 mặt phẳng cắt nhau.
2/10 Giáo viên trả lời: Thường có 2 cách (Cách thứ 1-xác định góc 2 mặt phẳng cắt
nhau; cách 2 đối với những bài tọa độ hóa).
Câu 3: Thầy cơ đã từng được học sinh đề nghị hay đã chủ động dạy những bài
tốn phức tạp về Góc giữa hai mặt phẳng?
*) Kết quả: Trả lời Rất ít: 3/10; Trả lời Khơng: 7/10.
Câu 4: Khi dạy phần kiến thức Góc giữa hai mặt phẳng, thầy cơ có hệ thống các
phương pháp để giải quyết loại tốn này?
*) Kết quả: Trả lời Khơng: 9/10.
2. Về phía học sinh
Năm học 2019-2020, khảo sát 300 học sinh lớp 11, lớp 12 khá giỏi các trường
THPT trên địa bàn huyện X, tỉnh Hà Tĩnh với bài kiểm tra 60 phút như sau:
Bài tốn 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, tâm O; cạnh
bên SA vng góc với đáy. Em hãy điền vào bảng sau:
NHẬN XÉT
PHÁT BIỂU

TT
Góc
1

phẳng

giữa

hai

mặt

phẳng

giữa

hai

mặt

phẳng

SAC ;(SAD)    BD;CD
Góc

4

mặt

SAC ;(SAD)   SC;SD
Góc

3

hai

SBD ;(ABCD)   SOA
Góc

2

giữa

ĐÚNG/SAI

giữa

hai

mặt

phẳng

SAB ;(SAC)   
thì cos  

SSAO
SSAB

5

GIẢI THÍCH


Bài toán 2: (Giải bài toán trên bằng 03 đến 04 cách)
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Cạnh bên SA vng
góc với đáy và SA  a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  .
*) KẾT QUẢ KHẢO SÁT
Bài toán 1
Câu

Số học sinh trả lời
đúng Nhận xét

Tỷ lệ

Số học sinh giải
thích đƣợc

Tỷ lệ

1

300

100%

300

100%

2

280

99.33%

243

81%

3

122

40.67%

97

32.33%

4

24

8%

11

3.67%

Bài tốn 2
Số học sinh giải
đƣợc 1 cách
273

Tỷ lệ

Số học sinh giải
đƣợc 2 cách

Tỷ lệ

Số học sinh giải
đƣợc 3 đên 4 cách

91.00%

85

28.33%

5

Tỷ lệ
1.67%

Qua một số thăm dò nêu trên nhận thấy khi giải bài tốn về Góc giữa hai mặt
phẳng chủ yếu học sinh chỉ tập trung vào phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng

cắt nhau mà ít sử dụng đến những cách thức khác như dùng định nghĩa hay khoảng cách
hoặc cơng thức diện tích hình chiếu. Điều này phản ảnh việc dạy và học phần này của
giáo viên và học sinh đang cịn đơn điệu, ít sáng tạo, ngại khai thác những kiến thức. Do
đó việc tổng hợp các phương pháp giúp học sinh định hướng về tư duy, làm nhẹ nhàng
cách tiếp cận và đặc biệt học sinh có liên hệ, kết nối các mạch kiến thức liên quan tạo hiệu
quả trong học tập; tạo niềm hứng khởi, đam mê trong dạy và học Toán của đồng nghiệp
và học sinh là điều rất cần thiết đối với mỗi người giáo viên.
III. CÁC BIỆN PHÁP TRIỂN KHAI
1. Kiến thức cần nắm vững
1.1. Định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng

6


Xét hai mặt phẳng  P  và  Q  bất kỳ.
Đường thẳng a vng góc mặt phẳng

P ;

đường thẳng b vng góc mặt phẳng  Q  .

a
b

P
Q

Khi đó  ( P);(Q)    a; b 

1.2. Phƣơng pháp xác định Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

Xét hai mặt phẳng  P  và  Q  cắt nhau
theo giao tuyến d . Một mặt phẳng  R  vng
a

góc giao tuyến d .

b

Mặt phẳng  R  cắt mặt phẳng  P  theo giao
tuyến là đường thẳng m , cắt mặt phẳng  Q 

m

P
Q
O

theo giao tuyến là đường thẳng n . Khi đó

n
d

 ( P);(Q)    m; n 
2. Kiến thức đƣợc khai thác

Từ kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng được sách giáo khoa trình bày, bản thân có
những ứng dụng, khai thác thêm, mở rộng bài toán và tổng hợp lại những phương pháp
giải bài tốn về góc giữa hai mặt phẳng như sau:
2.1. Khai thác, mở rộng, phát triển, tổng hợp các phƣơng pháp tìm góc giữa
hai mặt phẳng.

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng
Hai mặt phẳng  P  và  Q  nếu có đường thẳng a vng góc mặt phẳng  P  và
đường thẳng b vng góc mặt phẳng  Q  . Khi đó  ( P);(Q)    a; b 
Phương pháp 2: “Tìm điểm xuất phát để xác định góc giữa hai mặt phẳng”

7


Khi gặp bài tốn liên quan đến góc giữa hai
mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó Giáo viên hướng
dẫn học sinh vận dụng “Phƣơng pháp xác

P

Q

O

định Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau” như
sau:

b
a

Bước 1: Xác định giao tuyến   (P)  (Q) .
Bước 2: Trong mặt phẳng (P) xác định đường
thẳng a vng góc giao tuyến  tại điểm O.
Trong mặt phẳng (Q) xác định đường thẳng b
vuông góc giao tuyến  tại điểm O.

Bước 3: Khi đó  ( P);(Q)    a; b  Sự khó khăn của Học sinh đó là: “làm thế nào xác
định đƣờng thẳng a và đƣờng thẳng b ”
Giáo viên sẽ nêu câu hỏi “Có cách hƣớng dẫn nào đơn giản không?”
Để giải quyết những băn khoăn trên, tôi nêu ra một cách thức xác định Góc giữa
hai mặt phẳng và đặt tên “Tìm điểm xuất phát trong việc xác định Góc giữa hai mặt
phẳng”
Phân tích: Nếu ta lấy điểm A; B lần lượt trên đường thẳng a và đường thẳng b thì
ta có   (OAB)    AB .
Phƣơng pháp Tìm điểm xuất phát trong việc xác định Góc giữa hai mặt phẳng”:
Bước 1: Xác định giao tuyến   (P)  (Q) .
Bước 2: Tìm trong mặt phẳng (P) một điểm A, tìm

P

Q

O

trong mặt phẳng (Q) một điểm B sao cho AB  
b

.Bước 3: Từ A (hoặc B) kẻ đường thẳng vng góc
A

đường thẳng  tại điểm O.
Khi

đó

a

 (P);(Q)   OA; OB   AOB

nếu

00  AOB  900
0
0
0
hoặc  ( P);(Q)    OA; OB   180  AOB nếu 90  AOB  180

8

B


Phương pháp 3: Sử dụng khoảng cách trong tính góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng  P    Q   d .
Q

Từ A   P  , dựng AK  d ; AH   Q  .
Khi đó d   AKH  nên
Khi đó sin  

 P  ; Q   AKH   .

d  A;  Q  
AH
, hay sin  
AK

d  A; d 

H

A
P

α
K
d

Phương pháp 4: Sử dụng diện tích trong tính góc giữa hai mặt phẳng
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng   và    . Lấy trong mặt phẳng   một đa
giác    có diện tích là S , hình chiếu vng góc của đa giác    là đa giác    có diện
tích là S . Khi đó ta có cơng thức cos  
2.2.

S
.
S

Một số ví dụ về bài tốn Góc giữa hai mặt phẳng.

Ví dụ 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B,

AD  2AB  2BC  2a ; cạnh bên SA vng góc với đáy, SA  a . Tính góc giữa hai
mặt phẳng  SBC  và  SCD  .
Phân tích 1
Khi nghiên cứu bài tốn ta nhận thấy đây là dạng hình rất quen thuộc, hình chóp có

cạnh bên vng góc với đáy và đáy là một đa giác quen thuộc.
Nhưng khi bắt tay vào giải quyết bài tốn bằng cách xác định góc giữa hai mặt
phẳng cắt nhau sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Điều đó cần suy nghĩ, phân tích để sử dụng các
phương pháp.
Nếu sử dụng phương pháp “Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau” thì cần phải chuyển
đổi sang hai mặt phẳng khác. Từ đó đề xuất một số cách tiếp cận như sau:
LỜI GIẢI

9


► CÁCH GIẢI 1

S

Gọi    (SBC);(SCD)  .
Do  SAC    SCD  nên   900   (SAC);(SBC) 
J

Ta có BI  SC với I trung điểm AC.
Sử dụng Phương pháp 2: “Điểm xuất phát để

O

D

A

xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và
I

(SBC) là điểm B hoặc điểm I”
Ta kẻ BJ  SC   BIJ   SC  IJ  SC

B

C

Suy ra  (SAC);(SBC)    BI;IJ   BJI nên   900   (SAC);(SBC)   900  BJI  JBI

a 2
SA.CI
a
CI
IJ
 IJ 


và BI 
2
SC
CS SA
6

Ta có CJI đồng dạng CAS nên
nên tan   tan JBI 

IJ
1


   300 . Vậy góc giữa  SBC  và  SCD  bằng 300 .
BI
3

► CÁCH GIẢI 2

S

Ta kẻ AH  SB  AH  SBC   AH  SC
Sử dụng Phương pháp 2: “Điểm xuất phát để xác

K

định góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là
điểm A hoặc điểm H”
Ta kẻ AK  SC   AHK   SC  HK  SC

A

H

O

D

Suy ra  (SAC);(SBC)    AK;AH   AKH
nên   90   (SAC);(SBC)   90  AKH  HAK
0

Ta có AH 

B

C

0

SA.AB
SA  AB
2

2



SA.AC
a.a 2 a 6
a.a
a



; AK 
2
2
3
a 3
a 2
2
SA  AC

a
AH
3
cos   cos HAK 
 2 
   300 .Vậy góc giữa  SBC  và  SCD  bằng 300 .
AK a 6
2
3

10


Phân tích 2
Bài tốn đã cho nhận thấy việc tìm các đường thẳng lần lượt vng góc với các
mặt phẳng (SBC) và (SCD) khá đơn giản. Vận dụng những quan hệ vng góc đó vào
tính tốn khá thuận lợi, do vậy ta suy nghĩ đến Phương pháp sử dụng định nghĩa .
► CÁCH GIẢI 3 (Sử dụng Phương pháp 1: Sử

S

dụng định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng)
Ta kẻ AH  SB  AH   SBC 

K

Lại kẻ AK  SC  AK   SCD 
Suy ra  (SBC);(SCD)    AK;AH   HAK

O

H

A

D

Sử dụng hai tam giác vng SAB và SAC để tính
AH, AK (tương tự cách 2).

B

C

Phân tích 3
Nhận thấy xét tam giác SBC vuông tại B, biết độ dài cạnh SB, BC nên dễ dàng tính
khoảng cách từ B đến đường thẳng SC. Mặt khác việc tính khoảng cách từ B đến mặt
phẳng (SCD) khá đơn giản bằng cách chuyển về khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Do đó ta hồn tồn có thể sử dụng khoảng cách trong bài tốn tính góc giữa hai mặt
phẳng.
► CÁCH GIẢI 4 (Phương pháp 3: Sử dụng

S

khoảng cách trong bài tốn tính góc giữa hai mặt
phẳng)
Ta kẻ AK  SB  AK   SCD   d  A; SCD    AK

K

J

SA.AC

a.a 2 a 6
AK 


2
2
3
a
3
SA  AC

D
A
I

1
a 6
d  B;  SCD    BI  d  A; SCD   
2
6
Ta kẻ BI  SC  d  B;SC   BI 

B

SB.BC

SB  BC
2

2

11



a 2.a a 6

3
a 3

C


Gọi  là góc giữa  SBC  và  SCD  khi đó sin  

d  B;  SCD  
d  B; SC 

1
   300
2



Kết luận:
Qua bài toán tưởng chừng là rất quen thuộc nhưng người thầy khơng bao qt kiến

thức, có sự tổng hợp các phương pháp giải thì rất khó định hướng, hướng dẫn, hỗ trợ Học
sinh trong học tập.

Ví dụ 2
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vng cạnh a , cạnh bên SA  a và vng góc
với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB và SD ,  là góc giữa hai
mặt phẳng  AMN  và  SBD  . Tính giá trị sin  .
Phân tích 1
Nhận thấy hai mặt phẳng  AMN  và  SBD  có giao tuyến là đường thẳng MN. Để
sử dụng bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau ta phải phân tích tìm
“điểm xuất phát” dựa trên quan hệ vng góc với giao tuyến MN.

 BD / / MN
Lại có 
 AO  MN . Từ đó Sử dụng phương pháp 2 “Điểm xuất
 BD  AO
phát để xác định góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (SBD) là điểm A hoặc điểm H”
Từ đó ta có lời giải như sau:
CÁCH GIẢI 1: Gọi O là tâm của tâm của hình vng ABCD. Gọi

K  SO  MN . Theo bài ra ta có KO  MN .

 BD  AC
 BD   SAC  mà
BD

SA


S

Mặt khác ta có 

MN //BD nên MN   SAC  , suy ra MN  AK .

N
K
M

Khi đó:    (AMN);(SBD)    AK;KO  AKO

H
A

hay sin   sin AKO .Gọi H là hình chiếu của A

O
B

lên SO .
12

D

C


Xét tam giác SAO vng tại A có AH là đường cao
2
SA. AO

2  a . Xét tam giác SAO vng tại A có AK là
nên AH 

3
SA2  AO 2
a2
a2 
2
a.a

a2
a 
SO
2 a 6.
đường trung tuyến nên AK 

2
2
4
2

Xét tam giác AHK vng tại H ta có sin   sin AKO 
Vậy sin  

AH 2 2

.
AK
3

2 2
.
3

Phân tích 2
Nhận thấy bài tập này có những quan hệ vuông, đặc biệt hai mặt phẳng  AMN  và

 SBD 

có điểm chung M và N. Điều này gợi ý cho chúng ta suy nghĩ đến tính góc giữa

hai mặt phẳng bằng Phương pháp 4: Sử dụng diện tích trong bài tốn tính góc giữa
hai mặt phẳng
Vấn đề đặt ra là chiếu tam giác AMN lên mặt phẳng (SBD) hay ngược lại thuận lợi
hơn?
Với những phân tích như vậy, ta bắt tay vào giải bài tốn bằng “cơng thức diện
tích” như sau:
CÁCH GIẢI 2
Gọi O là tâm của tâm của hình vng ABCD; Gọi H là hình chiếu của A lên

SO . Suy ra hình chiếu vng góc của AMN trên mặt phẳng (SBD) là HMN
Vì  là góc giữa hai mặt phẳng  AMN  và  SBD  nên

cos  

SHMN
S AMN

1
HK .MN HK

AH
2


(với K  SO  MN )  sin  
1
AK
AK .MN AK
2

13


Kết luận:
Mỗi bài tốn có thể có nhiều hướng tiếp cận, nếu ta để ý phân tích thì tìm ra nhiều
lời giải đẹp, góp phần kích thích học sinh say mê tìm tịi, phát triển kiến thức.

Ví dụ 3
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a với a  0 . Gọi M là trung điểm BC. Hình chiếu vng góc của A1
trên mặt phẳng

A1H 

 ABC 

trùng với H là trung điểm của đoạn thẳng AM . Cho

3a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  BCC1B1  .

4

Phân tích 1
Hai mặt phẳng  ABC  và  BCC1B1  cắt nhau theo giao tuyến BC. Đường thẳng

A1H  (ABC)  A1H  BC .
Để áp dụng “Điểm xuất phát để xác định góc giữa hai mặt phẳng” ta xác định giao
điểm K của đường thẳng A1H với mặt phẳng  BCC1B1  .
Khi đó Sử dụng phương pháp 2 “Điểm xuất phát để xác định góc giữa hai mặt
phẳng (ABC) và (BCC1B1) là điểm H hoặc điểm K”, Từ đó ta có:
CÁCH GIẢI 1
Gọi M1 trung điểm cạnh B1C1 .

C1

A1
M1

Kéo dài MM1 cắt A1H tại K

B1

Ta có HM  BC  KM  BC do A1H  (ABC) .
Suy ra  (ABC);(BCC1B1 )    HM;KM   HMK

E
A
C
H

Ta có ABC là tam giác đều cạnh bằng a nên

MH 

1
1 a 3 a 3
3a
AM  .

; KH  A1M 
2
2 2
4
4

Xét HKM vuông tại H, ta có:

14

M
B

K


3a
HK
tan HMK 
 4  3  HMK  600
HM a 3

4
Vậy góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  BCC1B1  bằng 600 .
Phân tích 2
Hai mặt phẳng  ABC  và  BCC1B1  cắt nhau theo giao tuyến BC. Đường thẳng

A1H  (ABC)  A1H  BC . Điều này gợi ý cho ta chuyển đổi góc giữa hai mặt phẳng

 ABC  và  BCC1B1 

về góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và   trong đó   chứa điểm

A1 . Từ đó ta có:
CÁCH GIẢI 2
Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Do AD / /BC và A1A / /B1B suy ra  A1AD  / /  B1C1CB 
suy ra  (ABC);(BCC1B1 )    (ABCD);(A1AD)  . Ta có HA  AD  A1A  AD

1
1 a 3 a 3

Ta có AH  AM  .
2
2 2
4

C1

A1

B1

D

3a
A1H
tan A1AH 
 4  3  A1AH  600
AH a 3
4

A

C

H
M
B

Phân tích 3
Ta đã có A1H  (ABC) .
Điều này gợi ý cho ta xác định đường thẳng vng góc với mặt phẳng  BCC1B1 
để sử dụng định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng
Để dễ cho việc tính tốn góc theo cách giải này, từ điểm A1 hoặc từ điểm H ta kẻ
đường thẳng vng góc với mặt phẳng  BCC1B1  .
CÁCH GIẢI 3 (Sử dụng phương pháp 1: Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng)

15


Gọi M1 trung điểm cạnh B1C1 .

C1

A1

Kẻ A1E  MM1  A1E   BCC1B1 

M1

Lại có A1H  (ABC) .

B1

Theo định nghĩa ta có

E
A

 (ABC);(BCC1B1 )    A1H;A1E   HA1E

C
H

Kéo dài MM1 cắt A1H tại K ta có:

A1K  2A1H 

M
B

a 3

3a
và A1M1 
.
2
2
K

Áp dụng trong tam giác A1M1K vng tại A1 ta có A1E 

A1M1.A1K
A1M12  A1K 2



3a
4

3a
A1E
1
Áp dụng tam giác A1EK vuông tại E ta có cos HA1E 
 4   HA1E  600
A1K 3a 2
2
Vậy góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  BCC1B1  bằng 600 .

Ví dụ 4
Cho hình lăng trụ đều ABC. A1B1C1 . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

 ABC1 

cos 

bằng a , góc giữa hai mặt phẳng  ABC1  và  BCC1B1  bằng  với

1
2 3

. Thể tích khối lăng trụ ABC. A1B1C1 .

Phân tích 1
Bài tốn cần phải xác định góc giữa hai mặt phẳng  ABC1  và  BCC1B1  cắt nhau
theo giao tuyến BC1 . Gọi M; N lần lượt là trung điểm BC; AB ta dễ nhận thấy

AM  BC và CN  AB .
Từ AM  BC  AM   BCC1B1   AM  BC1 .

16


Khi đó ta sử dụng Phương pháp 2 “Điểm xuất phát để xác định góc giữa hai
mặt phẳng  ABC1  và  BCC1B1  là điểm A hoặc điểm M”, Từ đó ta có lời giải:
CÁCH GIẢI 1
Gọi M là trung điểm BC suy ra AM  BC  AM   BCC1B1   AM  BC1 .
Ta kẻ ME  BC1  BC1   AME   AE  BC1   (ABC1 );(BCC1B1 )    AE;ME   AEM
Từ cos 

1
2 3

 tan   11  tan AEM  11 

Đặt x  AB và h  CC1 ta có AM  CN 

AM
 11  AM  EM 11 (1).
EM

x 3
1
1 x.h
và EM  CF 
2
2
2 x2  h2

thay vào (1) được:

C1

A1

x 3 1 x.h
11h 2

11  3  2
 3x 2  8h 2 (*)
2
2
2
2

2 x h
x h

F

B1

Mặt khác d  C;  ABC1    CH  a

H

Ta có

E
C

A

1
1
1
1
4
1
1
4
1
3a

 2  2  2  2  2  2  2  h2 

2
2
C1C CN
a
h
3x
a
h
8h
a
2

Từ (*) có 3x 2  8h 2  3x 2 

2
M

N
B

8.3a 2
3x 2
 x 2  4a 2  SABC 
 3a 2
2
4

Khối lăng trụ ABC. A1B1C1 có thể tích V  h.S ABC 

a 6 2

3 2a 3
.a 3 
2
2

Phân tích 2
Dễ dàng nhận thấy AM   BCC1B1  . Khi xác định khoảng cách từ điểm C đến
mặt phẳng  ABC1  cho ta suy nghĩ điều gì? Có xác định được hai đường thẳng lần lượt
vng góc với hai mặt phẳng  ABC1  và  BCC1B1  để có thể sử dụng Phương pháp 1
“Sử dụng định nghĩa”

17


CÁCH GIẢI 2

C1

A1

Ta có AM  BC  AM   BCC1B1 
Lại có CN  AB  AB   CC1N  nên kẻ

F

B1
H

GK  C1N  GK   ABC1  .
Từ đó    (ABC1 );(BCC1B1 )    AM;GK   AGK

Đặt x  AB ta có AG 

2
x 3
AM 
3
3

E

K

C

A

N

G

M

B

1
1
a
Có GK  CH  d  C;(ABC1   . Xét tam giác AKG vng tại K có
3
3

3
cos  cos AGK 
Từ đó có SABC 
và

1
2 3



a x 3
KG
1
 x  2a .

 2 3KG  AG  2 3. 
3
3
AG 2 3

3x 2
 3a 2
4

1
1
1
1
1
2

3a 2
a 6
2






C
C

 C1C 
1
2
2
2
2
2
2
C1C
a
CN
a 3a
3a
2
2

Vậy thể tích V  h.S ABC 

a 6 2
3 2a 3
.a 3 
2
2

Ví dụ 5
Cho lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng 1 , cạnh bên bằng

3 . Gọi M là

trung điểm của CC  . Tính sin góc giữa hai mặt phẳng  ACB  và  BMA  .
Phân tích
Nhận thấy đây là một bài tốn khá phức tạp trong việc xác định phương pháp giải.
Nếu theo thói quen sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau thì
chắc chắn có sự bế tắc. Nếu khơng có tính bao qt về phương pháp giải thì việc lựa chọn
cách tiếp cận sẽ gặp khó khăn.

18


Nhận thấy việc tính khoảng cách từ điểm A đến  BMA  (khoảng cách từ chân
đường vng góc đến mặt phẳng xiên).
Mặt khác việc tính khoảng cách từ A đến giao tuyến hai mặt phẳng  ACB  và

 BMA 

sử dụng diện tích tam giác ta có thể giải quyết được. Do đó ta hồn tồn có thể

sử dụng khoảng cách trong bài tốn tính góc giữa hai mặt phẳng.

CÁCH GIẢI (Phương pháp 3: Sử dụng khoảng cách trong bài tốn tính góc
giữa hai mặt phẳng)
Gọi I là tâm hình chữ nhật ABBA và J là giao điểm của BM và BC .
suy ra IJ   ACB    BMA  .
Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng  ACB  và  BMA  . Khi đó: sin  
Gọi D  AM  AC , suy ra C là trung điểm của

AD

 BC 

1
AD
2

 ABD vuông tại

d A; BMA
d A;IJ 

A'

C'

B

B'

 BD   ABBA    BDA    ABBA  1 .

M
I

Dựng AK  AB  2  .
Từ

1

và

 2

K

suy

ra

AK   BDA 

SBAC

C
B

Tam giác BAC có BA  BC  2 , AC  1  S BAC 


J

A

3
 AK  d A; BDA  d A; BDA 
.
2

SBIJ

.

7
15
và cos ABC 
4
8

15
BI BJ 1
.
  SBIJ 
.
12
BA BC 3

Ta có: BI 

1
2
4

2
BA  1 ; BJ  BC   IJ  BI 2  BJ 2  2 BI .BJ .cos IBJ  .
2
3
3
3

 d A;IJ   d B;IJ  

2SBIJ
15
3 15
2
2

 sin  
:

. Vậy sin  
IJ
4
2
4
5
5

19

D