Bài giảng Đại số tuyến tính nâng cao

TĨM TẮT BÀI GIẢNG

Đại số tuyến tính nâng cao

BIÊN SOẠN: NGUYỄN MINH TRÍ

ĐỒNG NAI - 2013


Mục lục
1

Cấu trúc của một tự đồng cấu
1.1 Đa thức tối tiểu . . . . . . . . . .
1.2 Tổng trực tiếp các không gian con
1.3 Không gian con bất biến . . . . .
1.4 Tự đồng cấu lũy linh . . . . . . .
1.5 Dạng chuẩn Jordan . . . . . . . .
1.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

3
4
9
15
22

28
32

2

Không gian vectơ Euclide
37
2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Tự đồng cấu đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3

Dạng song tuyến tính, dạng tồn phương
3.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ma trận và biểu thức tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Dạng chính tắc của dạng tồn phương . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Luật quán tính và phân loại các dạng toàn phương . . . . . . . . . .
3.5 Đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao

Tài liệu tham khảo

55
55
56
58
63
64
67

2


Chương 1
Cấu trúc của một tự đồng cấu
Cho một ma trận vng A. Ta hãy tìm một ma trận đồng dạng với A mà
nó có dạng đơn giản nhất.
Trước tiên ta cần nhắc lại khái niệm hai ma trận tương đương. Hai ma trận
A và B được gọi là tương đương nếu có một ma trận P khơng suy biến sao cho
P −1 AP = B. Tích P −1 AP được gọi là phép biến đổi đồng dạng trên A.
Ta nhận thấy rằng, các ma trận chéo là có dạng đơn giản nhất. Vì thế ta tự hỏi
"Mọi ma trận vuông đều đồng dạng với ma trận chéo?" Trong học phần trước ta đã
chứng minh rằng điều này là không đúng. Ta có thể lấy ví dụ ma trận
"
#
Bài tốn:

A=

0 1
0 0

và thấy rằng A2 = 0. Nếu tồn tại một ma trận không suy biến P sao cho P −1 AP =
D với D là ma trận chéo thì

D2 = P −1 AP P −1 AP = P −1 A2 P = 0 ⇒ D = 0 ⇒ A = 0,
điều này mâu thuẫn. Do đó ma trận A không đồng dạng với ma trận chéo. Ta nhận
thấy A là một ma trận lũy linh và tổng quát hơn mọi ma trận lũy linh khác ma trận
không đều không chéo hóa được??? Ma trận lũy linh đóng một vai trị quan trọng
trong việc khơng chéo hóa được.

Tiếp theo ta sẽ nhắc đến một số khái niệm có liên quan đến việc chéo hóa. Một
tập đầy đủ các vectơ riêng của ma trận A cấp n là một tập bất kì gồm n vectơ riêng
độc lập tuyến tính của A. Chú ý rằng: Khơng phải mọi ma trận đều có một tập đầy
đủ các vectơ riêng.
Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được nếu và chỉ nếu A có một tập đầy đủ các
vectơ riêng. Hơn nữa, P −1 AP = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ) nếu và chỉ nếu các cột của P
là các vectơ của tập đầy đủ các vectơ riêng của A.
Vì khơng phải mọi ma trận vng đều chéo hóa được nên một câu hỏi được đặt ra
là: "Mọi ma trận đều đồng dạng với ma trận dạng tam giác?" Câu trả lời là "Đúng."
3


Ta chú ý rằng, nếu hai ma trận đồng dạng thì chúng có cùng các giá trị riêng kể cả
bội. Tuy nhiên các vectơ riêng của chúng là khác nhau.
Đối với một tự đồng cấu tuyến tính f , ta đã biết rằng các giá trị riêng của ma trận
của f không thây đổi trong các cơ sở khác nhau. Hay ta nói các giá trị riêng của f
độc lập đối với việc chọn cơ sở.
Ta sẽ phát biểu một định lý quan trọng của Schur nói về phép biến đổi đồng dạng
của ma trận như sau.
Định lí 1.0.1. Định lý tam giác hóa của Schur Mọi ma trận vng A đều đồng dạng
với một ma trận tam giác trên. Tức là tồn tại ma trận không suy biến P và ma trận
tam giác trên T sao cho P −1 AP = T. Hơn nữa các phần tử nằm trên đường chéo
của ma trận T chính là các giá trị riêng của ma trận A.
Như vậy, ta có thể đặt ra tiếp một câu hỏi là "Mọi ma trận vuông A có thể đồng
dạng với một dạng ma trận nào đơn giản hơn dạng tam giác trên không?" Câu trả lời
là "Có" và ma trận đó được gọi là ma trận chuẩn Jordan. Trong chương này chúng
ta sẽ thấy rằng nếu A ∈ Mn (C) (tức là ta xét ma trận vng trên tập số phức) thì A
sẽ đồng dạng với một ma trận chuẩn Jordan nào đó.
Đối với một tự đồng cấu f : V → V ta cũng có các câu hỏi như sau:

• Với mọi tự đồng cấu f, có tồn tại một cơ sở của V sao cho sao cho ma trận của
f đối với cơ sở này là một ma trận chéo?
Nếu có một cơ sở thỏa u cầu như trên thì ta nói f chéo hóa được. Tuy nhiên,
ta đã biết rằng khơng phải mọi tự đồng cấu đều chéo hóa được.

• Trong trường hợp f khơng chéo hóa được thì ta tìm một cơ sở nào của V sao
cho ma trận của f có đối với cơ sở đó có dạng đơn giản nhất có thể.

1.1

Đa thức tối tiểu

Cho K là một trường, xét không gian vectơ các ma trận vuông Mn (K) trên K.
Ta có dim Mn (K) = n2 . Tập các ma trận
2

A0 = I, A, . . . , An

phụ thuộc tuyến tính vì nó có n2 + 1 phần tử. Do đó có một đa thức khác khơng bậc

n2
2

p(x) = a0 + a1 x + . . . + an2 xn ∈ K[x]
sao cho p(A) = 0.
Đa thức nhận A làm "nghiệm" bên trên có bậc n2 , tuy nhiên ta có thể tìm được
đa thức có bậc nhỏ hơn n2 và nhận A làm nghiệm. Đó chính là nội dung của Định lý
Cayley-Hamilton mà ta sẽ nói dưới đây.
4

1.1. Đa thức tối tiểu

Ta nhắc lại rằng nếu A ∈ Mn (K) là một ma trận vuông cấp n thì đa thức đặc
trưng của A là

PA (x) = det(A − xI)
với PA (x) là đa thức có bậc n.
Định lí 1.1.1 (Định lý Cayley-Hamilton). Cho A ∈ Mn (K). Khi đó PA (A) = 0.
Chứng minh. Ta nhớ rằng nếu A ∈ Mn (K) và ta kí hiệu adjA là ma trận phụ hợp
của A, thì ta có

A(adjA) = (detA)I.
Đặc biệt đối với ma trận A − xI, ta có

(A − xI)B(x) = det(A − xI)I
với B(x) = adj(A − xI) là ma trận phụ hợp của A − xI. Vì mỗi phần tử trong ma
trận B(x) là định thức của ma trận con cấp n − 1 của ma trận A − xI, nên các phần
tử của B(x) là các đa thức có bậc khơng q n − 1. Như vậy B(x) có thể phân tích
thành

B(x) = B0 + B1 x + . . . + Bn−1 xn−1
với Bi ∈ Mn (K). Ví dụ, nếu


2



−1

0 
x x2 + 1

x +2 3


B(x) =  x + 1 2

2

thì













1 0 0
0 0 0
2 3 −1


 2 



B(x) = 0 0 0 x + 1 0 0 x + 1 2 0 
0 0 1
0 1 0
2 0 1
Bây giờ ta có

PA (x) = det(A − xI) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 + an xn .
Khi đó

(A − xI)(B0 + B1 x + . . . + Bn−1 xn−1 ) = (a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 + an xn )I.
Đồng nhất các hệ số của các lũy thừa của x ở hai vế, ta được

AB0 = a0 I
AB1 − B0 = a1 I
AB2 − B1 = a2 I
..
.

ABn−1 − Bn−2 = an−1 I
−Bn−1 = an I
5

Bây giờ ta nhân bên trái các đẳng thức như sau: đẳng thức thứ nhất với A0 = I, đẳng
thức thứ hai với A1 = A, đẳng thức thứ ba với A2 , . . . , đẳng thức cuối cùng với An .
Khi đó ta được

AB0 = a0 I
A2 B1 − AB0 = a1 A
A3 B2 − A2 B1 = a2 A2
..
.

An Bn−1 − An−1 Bn−2 = an−1 An−1
−An Bn−1 = an An
Cộng vế với vế của các đẳng thức ta được

0 = a0 I + a1 A + . . . + an−1 An−1 + an An .
Điều này chứng tỏ A là nghiệm của đa thức đặc trưng.
Ta có thể nhầm lẫn với một cách chứng minh đơn giản bằng cách thay ma
trận A vào x trong đa thức đặc trưng PA (x) = det(A − xI) để được PA (A) =
det(A − AI) = det0 = 0. Ta thấy rằng việc thay thế như trên là không đúng. Đầu
tiên, trong định lý Cayley-Hamilton PA (A) là một ma trận cấp n trong khi đó vế phải
là giá trị của một định thức, nó là một vơ hướng (det0 = 0 là một phần tử thuộc
trường K). Thứ hai, ta xét trong khai triển của det(A − xI). Ta lấy





1 − x
2

det(A − xI) =




3
4 − x

Chú ý:

nếu ta thay ma trận A vào vị trí của x ta được




"
#




1 2




2I2

1I2 −