Các hoạt động dạy học khái niệm doc

Các hoạt động dạy học khái
niệm
1) Định nghĩa khái niệm
a) Các cách định nghĩa
Việc hình thành khái niệm thường kết thúc bằng định nghĩa khái
niệm. Trong toán học và trong giảng dạy toán học có những
cách khác nhau để định nghĩa khái niệm.
Định nghĩa bằng cách nêu rõ loại và chủng là cách định nghĩa
có cấu trúc dạng B(x)  A(x) và P(x)
Xét tập hợp T gồm các phần tử x có tính chất A và trong T có
những phần tử mang tính chất P nào đó và những phần tử không
có tính chất này, thì nhờ tính chất P, ta chia tập hợp T thành hai
tập hợp con không rỗng, không giao nhau:
và
Như vậy một phần tử có tính chất B thì phải có tính chất A và P
và viết là: B(x)  A(x) và P(x)
Trong cấu trúc trên, tính chất B gọi là tính chất của khái niệm
chủng còn tính chất A là tính chất của một khái niệm loại,
thường là loại gần nhất với đối tượng/phần tử x được định nghĩa,
còn P là sự khác biệt đặc trưng
[12]
giữa các đối tượng có tính
chất B và các đối tượng còn lại mang tính chất A.
Ví dụ, trong định nghĩa phép vị tự nói trên, một phép biến hình
là phép vị tự (B) khi và chỉ khi phép biến hình ấy (A) và có tính
chất (P) biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho
Định nghĩa như vậy là tường minh, trong đó các khái niệm được
định nghĩa và khái niệm dùng để định nghĩa là tách bạch với
nhau. Điều đó cho phép ta thay thế cái được định nghĩa bằng cái
dùng để định nghĩa hay ngược lại. Sự thay thế như vậy rất hay
được sử dụng khi chứng minh định lý hay giải toán.

Chú ý rằng, định nghĩa bằng cách nêu rõ loại và chủng như trên
phải thỏa mãn yêu cầu logic sau: "Trong tập hợp T có những
phần tử có tính chất P và có những phần tử không có tính chất
P".
Tất nhiên, không phải tất cả các khái niệm toán học đều được
định nghĩa theo cấu trúc trên, vì sẽ có những khái niệm xuất phát
đầu tiên không được định nghĩa thông qua khái niệm nào
khác
[13]
. Những khái niệm này được định nghĩa một cách không
tường minh, giáp tiếp bằng mô tả để làm nổi bật nội dung của
chúng (ở trình độ thấp) hay bằng những tiên đề (ở trình độ xây
dựng lí thuyết chặt chẽ), chẳng hạn như khái niệm "điểm"
[14]
,
"đường thẳng", "hướng của vecto",
Như vậy, khi nói rằng các khái niệm "điểm", "đường thẳng",
"mặt phẳng" là những khái niệm xuất phát nên không được định
nghĩa thì phải hiểu là "chúng không được định nghĩa tường minh
qua các khái niệm khác".
Tóm lại, trong dạy học ở trường phổ thông, có những khái niệm
không được định nghĩa vì hai lí do khác nhau: hoặc vì chúng là
những khái niệm xuất phát trong khoa học toán học, hoặc vì lí
do sư phạm.
[15]
Đối với những khái niệm như vậy thì cần mô tả,
giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để giúp học sinh hình
dung được hình ảnh, hiểu được ý nghĩa của khái niệm ấy.
Trong các khái niệm toán học, có những khái niệm về một đối
tượng và có những khái niệm về một quan hệ. Chẳng hạn, định

nghĩa như sau: "Vecto là một đoạn thẳng trong đó đã chỉ rõ điểm
mút nào là điểm đầu và điểm mút nào là điểm cuối" là một khái
niệm về một đối tượng. Nhưng, định nghĩa "Đường thẳng d gọi
là vuông góc với mp(P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng
của mp(P)." lại là một khái niệm về một quan hệ.
Trong cách định nghĩa về một khái niệm quan hệ, rõ ràng đó là
một cách định nghĩa tường minh nhưng không thể tách được
khái niệm loại gần nhất và sự khác biệt đặc trưng.
b) Các yêu cầu của một định nghĩa
Đối với một định nghĩa, ta không thể nói rằng nó đúng hay sai.
Một định nghĩa có thể hợp lý (chấp nhận được) hay không hợp
lý (không chấp nhận được) phụ thuộc vào sự thỏa mãn hay
không thỏa mãn những yêu cầu tối thiểu của định nghĩa.
Yêu cầu quan trọng nhất là định nghĩa không được vòng quanh.
Việc vi phạm nguyên tắc này thể hiện ở chỗ cái được định nghĩa
lại chứa đựng (tường minh hay không tường minh) trong cái
dùng để định nghĩa. Chẳng hạn:
 "Góc được gọi là góc vuông nếu hai cạnh của nó vuông góc
với nhau"
 "Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu chúng tạo
thành một góc vuông"
Sự vòng quanh thể hiện ở chỗ: trong định nghĩa thứ nhất, góc
vuông được định nghĩa qua các đường thẳng vuông góc, còn
trong định nghĩa thứ hai thì khái niệm thứ hai lại được định
nghĩa qua khái niệm thứ nhất.
Yêu cầu thứ hai nhằm đảm bảo sự đúng đắn (chuẩn mực) của
một định nghĩa, đó là định nghĩa phải có trị nhưng không được
đa trị. Định nghĩa phải có trị tức là phải tồn tại ít nhất một đối
tượng thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa. Định nghĩa
không được đa trị tức là mỗi thuật ngữ hay kí hiệu chỉ được

dùng để chỉ một cái được định nghĩa. Ví dụ về sự vi phạm này là
việc dùng cùng một kí hiệu "AB" để chỉ các đối tượng "đường
thẳng đi qua đoạn thẳng với hai đầu mút là A và B", "độ dài
đoạn thẳng AB", "tia với điểm gốc A và chứa điểm B", "vecto
với điểm đầu A và điểm cuối B", Vì vậy trong sách giáo kha,
người ta phải đặt trước kí hiệu này thuật ngữ chỉ loại đối tượng
như "đoạn thẳng AB", "tia AB", hoặc kèm theo kí hiệu bổ
sung.