hinh hoc xa anh pot

Search…

Search
Advanced search
• Board index ‹ Toán Olympic ‹ Hình học phẳng
• Change font size
• Print view
• FAQ
• Register
• Login
Những định nghĩa và tính chất hình học cơ bản
Search this topic
…

Search
17 posts • Page 1 of 2 • 12
Những định nghĩa và tính chất hình học cơ bản
by no_name93 on 2008-06-22, 10:17:34 am
Trước tiên , tôi xin khẳng định rằng đây không phải là bài viết do chính tay tôi viết , do thấy
hay và cần thiết nên tôi mạn phép trích dẫn qua từ diendantoanhoc.net của anh neverstop
Sau đây là nguyên văn lời mở đầu để giới thiệu bài viết:
CODE: SELECT ALL
Mình thấy trong diễn đàn, phần Hình học Olympic có rất nhiều câu hỏi cơ
bản như: điểm đẳng giác là gì, đường đối trung là như thế nào, cực trực
giao là sao, hay những thuật ngữ trên nhưng viết bằng tiếng Anh như
thế nào, những khái niệm tiếng Anh th“ ở tiếng Việt cái gì là tương
đương,
Những kiến thức này trong chương trình phổ thông không được dạy. Thường
thì các bạn sẽ tìm được chúng trong các tài liệu tham khảo nâng cao, hoặc
từ trên mạng, hoặc được bồi dưỡng, truyền thụ lại.
Mình thiết nghĩ những kiến thức này rất cần thiết và cơ bản cho bất kỳ

một học sinh nào muốn bước chân vào khu vực Olympic. Nói vậy có nghĩa là
các bạn nên chuẩn bị những kiến thức cơ bản thật vững trước khi đánh trận
nơi đây. Những sự giúp đỡ, giải đáp của người khác sẽ không thể đáp ứng
được toàn bộ những câu hỏi cơ bản như vậy.
Cho nên mình muốn lập ra topc này để mọi người gửi những thắc mắc, những
câu hỏi về một khái niệm, tính chất cơ bản nào đó của một vấn đề h“nh học
mở rộng (tức không có trong chương tr“nh phổ thông) để tập hợp những lời
giải đáp vào chung một nơi tiện cho các bạn tra cứu.
Tất cả những câu hỏi và câu trả lời sẽ được cập nhật tại trang này. Mong
các bạn thường xuyên để ý. Những kết quả nêu ở mục này xin được phép
không nêu chứng minh ở trang đầu tiên, để cho gọn gàng và dễ tra cứu. Tuy
nhiên trong các bài viết tiếp theo, nếu bạn nào có thể chứng minh, xin
góp sức chung.
Nếu trong quá trình biên soạn các định nghĩa và tính chất, có điều gì
chưa chính xác hoặc thiếu, rất mong các bạn góp ý.
no_name93
Thành viên mới bắt đầu học toán

Posts: 36
Joined: 2008-06-21, 03:03:35 pm
Location: Kí ức NBK
•
•
T
o
p
Định lí Desargues
by no_name93 on 2008-06-22, 10:20:06 am
Định lí Desargues
Định lý này là 1 kết quả cơ bản của h“nh học xạ ảnh về 2 tam giác thấu xạ. Tuy nhiên cách

chứng minh của nó lại chỉ đơn thuần dùng h“nh học sơ cấp cho nên được ứng dụng khá nhiều
Định lý: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Khi đó điều kiện cần và đủ để các đường thẳng
nối các đỉnh tương ứng của 2 tam giác đồng quy là các giao điểm của các cạnh tương ứng của
2 tam giác thẳng hàng; tức AA', BB', CC' đồng quy khi và chỉ khi các giao điểm của BC và B'C', CA
và C'A', AB và A'B' thẳng hàng.
Chứng minh:
Gọi X, Y, Z là các giao điểm các cặp cạnh BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ tương ứng.
Phần thuận:
Giả sử các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đ�“ng quy tại S. Ta chứng minh X, Y, Z thẳng hàng.
Áp dụng định lí Mê-nê-la-uyt cho tam giác SB’C’ với cát tuyến XBC ta có:
hay
Tương tự, ta có:
và
Nhân từng vế các đẳng thức trên lại với nhau, và theo định lí Mê-nê-la-uyt suy ra X, Y, Z thẳng
hàng.
Phần đảo:
Giả sử các điểm X, Y, Z thẳng hàng. Ta chứng minh các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Gọi S là giao điểm của AA’ và BB’. SC cắt đường thẳng AC’ tại C”.
Xét 2 tam giác ABC và A’B’C” có các đường nối các đỉnh tương ứng đồng quy, do đó theo phần
thuận giao điểm của các cạnh tương ứng cũng đồng quy.
Ta thấy AB cắt A’B’ tại Z, AC cắt A’C” tại Y (do A’, C’, C” thẳng hàng), suy ra giao điểm X’ của
BC và B’C” phải thuộc YZ. Tức là X’ là giao của YZ và BC nên X’ trùng với X.
Suy ra C” trùng với C’, hay AA’, BB’, CC’ đồng quy.
no_name93
Thành viên mới bắt đầu học toán

Posts: 36
Joined: 2008-06-21, 03:03:35 pm
Location: Kí ức NBK
•

•
T
o
p
Định lí Carno
by no_name93 on 2008-06-22, 10:21:21 am
Định lí Carno(manutd)
Định lý: Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. Gọi
x, y, z lần lượt là đường thẳng vuông góc với BC, CA, AB tại M, N, P tương ứng. Khi đó x, y, z
đồng quy khi và chỉ khi đẳng thức sau thỏa mãn:
Chứng minh:
Gọi X, Y, Z là các giao điểm của x, y, z với BC, CA, AB tương ứng.
Phần thuận:
Giả sử x, y, z, đồng quy tại 1 điểm S, ta cần chứng minh hệ thức trên được thỏa mãn.
Theo định lý Pythagores ta có:
Từ đó suy ra
Mặt khác ta thấy với D là trung điểm của .
Tương tự ta có .
Từ đây suy ra , suy ra Z trùng với Z', tức x, y, z đồng quy.
no_name93
Thành viên mới bắt đầu học toán

Posts: 36
Joined: 2008-06-21, 03:03:35 pm
Location: Kí ức NBK
•
•
T
o
p

Định nghĩa "Tứ giác toàn phần"
by no_name93 on 2008-06-22, 10:29:27 am
Định nghĩa "Tứ giác toàn phần"
Một tứ giác toàn phần là một hình được tạo nên bởi bốn đường thẳng, từng đôi một cắt nhau
nhưng không có ba đường nào đồng qui. Một hình tứ giác toàn phần có 4 cạnh là 4 đường
thẳng, có 6 đỉnh là 6 giao điểm và 3 đường chéo là 3 đoạn đi qua đỉnh đối diện (chú ý hai đỉnh
này không phụ thuộc một cạnh).
Tính chất:
Trong một tứ giác toàn phần, ba trung điểm của ba đường chéo thẳng hàng.
Chứng minh tính chât:
Hình minh họa có từ giác toàn phần với 6 điểm A,B,C,D,E,F, bốn cạnh là CA,CB,AF,FD và 3
đường chéo là AE,BD,CF. Ta cần chứng minh 3 trung điểm M,N,Y của 3 đường chéo nói trên
thẳng hàng.
Dựng JK,KL,JL là các đường trung bình của tam giác ABC nên M,N,Y lần lượt thuộc JK,JL,KL.
Do đó ta có:
Nhân từng vế đẳng thức ta có:
Điều này suy ra M,N,Y thẳng hàng theo định lí Menelaus.
no_name93
Thành viên mới bắt đầu học toán

Posts: 36
Joined: 2008-06-21, 03:03:35 pm
Location: Kí ức NBK
•
•
T
o
p
Khái niệm điểm đẳng giác
by no_name93 on 2008-06-22, 10:31:13 am

Khái niệm điểm đẳng giác[/color][/size]
Khái niệm này còn có tên gọi hơi khác là điểm đẳng giác liên hợp, khái niệm tiếng Anh tương
ứng là isogonal conjugate.
Định nghĩa: Cho tam giác và một điểm bất kỳ. Các đường thẳng đối xứng của
tương ứng qua các đường phân giác góc sẽ đồng quy tại 1 điểm . Điểm này
được gọi là điểm đẳng giác của điểm .
Chú ý:điểm đẳng giác của trọng tâm tam giác được gọi là điểm đối trung. Điểm này có tên
tiếng Anh là symmedian point. Các đường thẳng đối xứng với các trung tuyến của tam giác
qua các đường phân giác tương ứng được gọi là các đường đối trung, tên tiếng Anh của chúng
tương ứng cũng làsymmedian line.
Tính chât 1: Nếu điểm là tâm tỉ cự của bộ 3 điểm theo các hệ số th“ là
tâm tỉ cự của bộ ba điểm theo các hệ số , trong đó là độ dài các cạnh của tam
giác .
Tính chất 2: Gọi thứ tự là h“nh chiếu của lên , thứ tự là h“nh chiếu
của lên . Ta có 6 điểm nằm trên một đường tròn, tâm của đường tròn
này là trung điểm . Ngoài ra ta cũng chứng minh được .
(tính chất này được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa, bạn đọc tự chứng minh)
no_name93
Thành viên mới bắt đầu học toán

Posts: 36
Joined: 2008-06-21, 03:03:35 pm
Location: Kí ức NBK
•
•
T
o
p
Khái niệm cực trực giao
by no_name93 on 2008-06-22, 10:34:10 am

Khái niệm cực trực giao
Khái niệm này có tên tiếng Anh tương ứng là orthopole.
Định nghĩa: Cho tam giác ABC và một đường thẳng d bất kỳ. Từ các đỉnh A, B, C hạ các đường
vuông góc xuống d cắt d tại M, N, P tương ứng. Từ M, N, P lần lượt hạ các đường vuông góc
xuống các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Các đường vuông góc này đồng quy tại một điểm
S gọi là cực trực giao của đường thẳng d đối với tam giác ABC.
Chứng minh: Gọi lần lượt là hình chiếu của lên (hình vẽ). Để chứng
minh đồng quy ta dùng định lí Carnot, cụ thể là cần chứng minh:
Đẳng thức cuối hiển nhiên đúng, ta có ĐPCM.
no_name93
Thành viên mới bắt đầu học toán

Posts: 36
Joined: 2008-06-21, 03:03:35 pm
Location: Kí ức NBK
•
•
T
o
p
Khái niệm tam giác hình chiếu
by no_name93 on 2008-06-22, 10:35:32 am
Khái niệm tam giác hình chiếu(zaizai)
Khái niệm này còn được gọi là tam giác bàn đạp và thuật ngữ tiếng Anh tướng ứng với nó
là pedal triangle.
Định nghĩa: Cho tam giác ABC và điểm P bất kỳ. Từ P hạ đường vuông góc xuống các cạnh BC,
CA, AB theo thứ tự cắt các cạnh đó tại D, E, F. Tam giác DFE gọi là tam giác hình chiếu của
điểm P đối với tam giác ABC.
Tính chất (manutd):
trong đó ký hiệu dùng để chỉ diện tích đại số (diện tích có hướng) của tam giác

no_name93
Thành viên mới bắt đầu học toán

Posts: 36
Joined: 2008-06-21, 03:03:35 pm
Location: Kí ức NBK
•
•
T
o
p
Định lí Miquel
by no_name93 on 2008-06-22, 10:38:56 am
Định lí Miquel
Định lý: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA,
AB tương ứng. Khi đó các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AEF, BFD, CDE đồng quy.
Chứng minh: Gọi là giao điểm của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác . Ta
chứng minh nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng góc định hướng. Thật
vậy,
, đường tròn qua tiếp xúc với tại , đường tròn qua tiếp xúc
với tại đồng quy tại một điểm.
no_name93
Thành viên mới bắt đầu học toán

Posts: 36
Joined: 2008-06-21, 03:03:35 pm
Location: Kí ức NBK
•
•
T

o
p
Định lí Brianchon
by no_name93 on 2008-06-22, 10:40:12 am
Định lí Brianchon
Định lý này được coi là tương đương đối với định lý Pascal nhờ vào khái niệm Cực và đối
cực (xem thêm tại đây)
Định lý: Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp đường tròn (O). Khi đó các đường chéo lớn AD, BE, CF
đồng quy.
no_name93
Thành viên mới bắt đầu học toán

Posts: 36
Joined: 2008-06-21, 03:03:35 pm
Location: Kí ức NBK
•
•
T
o
p
Định lí Pascal
by no_name93 on 2008-06-22, 10:40:46 am
Định lí Pascal
Định lý: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp. Khi đó các giao điểm của các cặp cạnh đối AB và DE, BC
và EF, CD và FA đồng quy.
no_name93
Thành viên mới bắt đầu học toán

Posts: 36
Joined: 2008-06-21, 03:03:35 pm

Location: Kí ức NBK
•
•
T
o
p
NextDisplay posts from previous: Sort by
Go
17 posts • Page 1 of 2 • 12
Return to Hình học phẳng
Jump to:

Go
WHO IS ONLINE
Users browsing this forum: No registered users and 1 guest
• Board index
• The team • Delete all board cookies • All times are UTC
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
Free Forum : phpbb3now.com