bài giảng nguyên hàm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (116.48 KB, 7 trang )
Nguyên hàm từng phần (Phơng pháp Long hồi đầu)
Nhắc lại
Hàm số Nguyên hàm Đạo hàm
x
n
? nx
n-1
ln x
?
1
x
2
ln x
?
2
ln x
x
sinx -cosx ?
cosx sinx ?
e
x
e
x
Dạng I:
I=
sin
( ). cos .
x
x
P x x dx
e
Đặt
( ) '. '( )
sin cos
cos . sin
x x
u P x u du P x dx
x x
dv x dx v x
e e
= =
= =
Vậy I = P(x)
cos
sin
x
x
x
e
-
cos
sin . '( )
x
x
x P x dx
e
Dạng II:
J=
( ). lnP x xdx
Đặt
1
ln
( )
( ) ( )
du dx
u x
x
dv P x dx
v Q x P x dx
=
=
=
= =
Vậy I = lnx.Q(x) -
1
( ).Q x dx
x
Dạng III
K=
( ). ( )P x Q x dx
Mặc sức sáng tác u=phần này và dv= phần còn lại, cảm xúc phải tự nhiên
1
1.
I =
dxxx
∫
+ sin)1(
§Æt
1
sin cos
u x du dx
dv xdx v x
= + =
⇒
= = −
⇒
I =
( 1)cos cos ( 1)cos sinx x xdx x x x C− + + = − + + +
∫
2.
J=
dxxx
∫
cos
2
§Æt
2
2
sin
cos
du xdx
u x
v x
dv xdx
=
=
⇒
=
=
J =
2
sin 2 sinx x x xdx−
∫
TÝnh J
1
=
sinx xdx
∫
§Æt
sin cos
u x du dx
dv xdx v x
= =
⇒
= = −
⇒
J
1
=
cos cos cos sinx x xdx x x x C− + = − + +
∫
VËy J =
2 2
sin 2( cos sin ) sin 2 cos 2sinx x x x x C x x x x x C− − + + = + − +
3.
( )
2
2
1 cos2 1
sin cos 2
2 2
1
cos2
4 2
x
I x xdx x dx x x x dx
x
x xdx
−
= = = −
= −
∫ ∫ ∫
∫
TÝnh J =
cos 2x xdx
∫
§Æt
1
cos 2
sin 2
2
du dx
u x
dv xdx
v x
=
=
⇒
=
=
⇒
J =
1 1
sin 2 sin 2 sin 2 cos 2
2 2 2 4
x x
x xdx x x C− = + +
∫
VËy I=
2 2
1 1 1
sin 2 cos2 sin 2 cos 2
4 2 2 4 4 4 8
x x x x
x x C x x C
− + + = − − +
4.
I=
dxex
x
∫
2
§Æt
2
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx
=
=
⇒
=
=
⇒
I =
2
2
x x
x e xe dx−
∫
TÝnh J=
x
xe dx
∫
§Æt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
⇒
= =
J=
x x x x
xe e dx xe e C− = − +
∫
2
⇒
I =
2 2
2 2 2
x x x x x x
x e xe e C x e xe e C
− − + = − + +
5.
I=
dxex
x
∫
+ )32(
§Æt
2 3 2
x x
u x du dx
dv e dx v e
= + =
⇒
= =
⇒
I =
( ) ( ) ( )
2 3 2 2 3 2 2 1
x x x x x
x e e dx x e e C x e C+ − = + − + = + +
∫
6.
I=
dxxx
∫
2cos
§Æt
1
cos 2
sin 2
2
du dx
u x
dv xdx
v x
=
=
⇒
=
=
⇒
I =
1 1
sin 2 sin 2 sin 2 cos 2
2 2 2 4
x x
x xdx x x C− = + +
∫
7.
dxxx
∫
ln
2
§Æt
2 3
1
ln
3
du dx
u x
x
dv x dx x
v
=
=
⇒
=
=
⇒
I =
3 3 3
2
1
ln ln
3 3 3 9
x x x
x x dx x C− = − +
∫
8.
I=
dxxx
∫
ln
§Æt
3
2
1
ln
2
3
du dx
u x
x
dv xdx
v x
=
=
⇒
=
=
⇒
I =
3 1 3 3
2 2 2 2
2 2 2 4 2 4
ln ln ln
3 3 3 9 3 9
x x x dx x x x C x x x x x C− = − + = − +
∫
9.
I=
dxx
∫
2
ln
§Æt
2
1
2 ln
ln
du xdx
u x
x
dv dx
v x
=
=
⇒
=
=
⇒
I =
2
ln 2 lnx x xdx−
∫
TÝnh J=
ln xdx
∫
§Æt
1
lnu x
du dx
x
dv dx
v x
=
=
⇒
=
=
⇒
J=
ln lnx x dx x x x C− = − +
∫
VËt I=
( )
2 2
ln 2 ln ln 2 ln 2x x x x x C x x x x x C− − + = − + +
10.
I=
dxxx
∫
+ ln)32(
3
§Æt
2
1
ln
(2 3)
3
du dx
u x
x
dv x dx
v x x
=
=
⇒
= +
= +
⇒
I =
( )
( )
( )
2
2 2
3 ln 3 3 ln 3
2
x
x x x x dx x x x x C+ − + = + − − +
∫
11.
dxxx
∫
2ln
2
§Æt
2 3
1
ln 2
3
du dx
u x
x
dv x dx x
v
=
=
⇒
=
=
⇒
I =
3 3 3
2
1
ln 2 ln 2
3 3 3 9
x x x
x x dx x C− = − +
∫
12.
dx
x
x
x
∫
+
−
1
1
ln.
§Æt
( ) ( )
2
2
1
1 1
ln
1
2
du dx
x
x x
u
x
x
dv xdx
v
−
=
−
− +
=
⇒
+
=
=
⇒
I =
2 2
2
1
ln
2 1 1
x x x
dx
x x
−
−
+ −
∫
Ta cã:
( ) ( )
2
2
1 1 1 1
1
1 1 1 2 1 1
1 1 1
ln 1 ln 1 ln
2 2 1
x
dx dx x dx
x x x x x
x
x x x x C
x
= + = + −
− − + − +
−
= + − − + = + +
+
∫ ∫ ∫
⇒
I =
2
1 1 1
ln ln
2 1 2 1
x x x
x C
x x
− −
− − +
+ +
13.
dxxx
∫
+ )cos1ln(.cos
§Æt
sin
ln(1 cos )
1 cos
cos
sin
x
u x
du dx
x
dv xdx
v x
−
= +
=
⇒
+
=
=
⇒
I =
2
sin
sin ln(1 cos ) sin ln(1 cos ) (1 cos )
1 cos
x
x x dx x x x dx
x
+ + = + + −
+
∫ ∫
sin ln(1 cos ) sinx x x x C= + + − +
14.
dxxe
x
∫
sin
§Æt
sin cos
x x
u e du e dx
dv xdx v x
= =
⇒
= = −
⇒
I =
cos cos
x x
e x xe dx− +
∫
TÝnh J=
cos
x
e xdx
∫
4
§Æt
cos sin
x x
u e du e dx
dv xdx v x
= =
⇒
= =
⇒
J =
sin
x
e x I+
VËy I =
cos
x
e x− +
sin
x
e x I+
⇒
I=
(sin cos )
2
x
e x x
C
−
+
15.
dxxe
x
∫
cos
2
§Æt
2
2
sin
cos
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx
= −
=
⇒
=
=
⇒
I =
2 2
1 1
cos sin
2 2
x x
x e e xdx−
∫
TÝnh J=
2
sin
x
e xdx
∫
§Æt
2
2
cos
sin
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx
=
=
⇒
=
=
⇒
J=
2
1 1
sin
2 2
x
xe I−
VËy I =
2 2 2
1 1 1 1 2 1
cos sin cos sin
2 2 2 2 5 5
x x x x
x e xe I I xe xe C
− − ⇒ = + +
÷
16.
( )
2
1 1 1
cos cos2 cos 2
2 2 2
x x x x x
e xdx e e x dx e e xdx= + = +
∫ ∫ ∫
TÝnh
cos 2
x
I e xdx=
∫
§Æt
1
cos2
sin 2
2
x
x
u x
du xdx
dv e dx
v e
=
= −
⇒
=
=
⇒
I =
1
cos2 sin 2
2
x x
e x e xdx+
∫
TÝnh: J=
sin 2
x
e xdx
∫
§Æt
1
sin 2
cos2
2
x
x
u x
du xdx
dv e dx
v e
=
=
⇒
=
=
⇒
1
sin 2
2
x
J e x I= −
⇒
I =
1 1 1 1 4 2
cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2
2 2 2 4 5 5
x x x x x x
e x e x I I e x e x I I e x e x C
+ − ⇔ = + − ⇔ = + +
÷
KL:
2
1 2 1
cos cos2 sin 2
2 5 5
x x x x
e xdx e e x e x C= + + +
∫
17.
( )
2
2 2
1 1
1 tan tan tan tan
cos cos
x x x x
I x x e dx x e dx e dx xe dx
x x
= + + = + = +
÷
∫ ∫ ∫ ∫
§Æt
2
1
tan
cos
x
x
u e
du e dx
v x
dv dx
x
=
=
⇒
=
=
⇒
I =
tan tan tan tan
x x x x
e x xe dx xe dx e x C− + = +
∫ ∫
18.
(
)
dx
x
xxx
∫
+
++
1
1ln.
2
2
5
§Æt
(
)
2
2 2 2
2
2
1 1
ln 1
1
1 1 1
1
1
x
u x x
du dx dx
x x x x
x
dv dx
v x
x
= + +
= + =
÷ ÷
⇒
+ + + +
=
= +
+
⇒
I =
(
)
(
)
2 2 2 2
1.ln 1 1.ln 1x x x dx x x x x C+ + + − = + + + − +
∫
19.
( )
cos lnI x dx=
∫
§Æt
( )
1
cos ln
sin(ln )
u x
du x dx
x
dv dx
v x
=
= −
⇒
=
=
( )
cos ln sin(ln )I x x x dx= +
∫
TÝnh J=
sin(ln )x dx
∫
§Æt
( )
1
sin ln
cos(ln )
u x
du x dx
x
dv dx
v x
=
=
⇒
=
=
( )
sin lnJ x x I= −
VËy
( ) ( ) ( ) ( )
cos ln sin ln cos ln sin ln
2
x
I x x x x I I x x C
= + − ⇒ = + +
20.
dx
x
x
∫
2
cos
)ln(cos
§Æt
2
ln(cos ) sin
tan
cos
1
tan
cos
u x x
du dx xdx
x
dv dx
v x
x
= −
= = −
⇒
=
=
⇒
2
2
1
tan ln(cos ) tan tan ln(cos ) 1
cos
I x x xdx x x dx
x
= + = + −
÷
∫ ∫
tan ln(cos ) tanx x x x C= + − +
6
Trung tâm luyện thi đại học
Cô Hà Trang
Đề số: 12302
Nguyên hàm
( Phơng pháp từng phần)
(Đề bài này gồm 01 trang)
1)
dxxx
+ sin)1(
Đs:
Cxxx ++ cos)1(sin
2)
dxxx
cos
2
Đs:
2
sin 2 cos 2sinx x x x x C+ +
3)
dxxx
2
sin
Đs:
Cxxx
x
+ 2cos
8
1
2sin
4
1
4
2
4)
dxex
x
2
Đs:
( )
Cxxe
x
++ 22
2
5)
dxex
x
+ )32(
Đs:
( )
Cex
x
++12
6)
dxxx
2cos
Đs:
Cxx
x
++ 2cos
4
1
2sin.
2
7)
dxxx
ln
2
Đs:
C
x
x
x
+
9
ln
3
33
8)
dxxx
ln
Đs:
ln 1
2
x
C
x x
+ +
9)
dxx
2
ln
Đs:
Cxxxx
x
++ lnln
2
2
2
10)
dxxx
+ ln)32(
Đs:
( )
Cx
x
xxx ++ 3
2
ln3
2
2
11)
dxxx
2ln
2
Đs:
C
x
x
x
+
9
2ln
3
33
12)
dx
x
x
x
+
1
1
ln.
Đs:
C
x
x
x
x
xx
+
+
+
+
21
1
ln
4
1
1
1
ln
2
2
13)
dxxx
+ )cos1ln(.cos
Đs:
Cxxxx +++ sin)cos1ln(.sin
14)
dxxe
x
sin
Đs:
( )
Cxxe
x
+ cossin
2
1
15)
dxxe
x
cos
2
Đs:
Cxx
e
x
++ )cos2(sin
5
2
16)
dxxe
x
2
cos
Đs:
Cxx
e
x
+ )2sin22cos7(
5
2
17)
( )
dxexx
x
++
2
tantan1
Đs:
Cxe
x
+tan
18)
(
)
dx
x
xxx
+
++
1
1ln.
2
2
Đs:
(
)
Cxxxx ++++ 1ln.1
22
19)
( )
dxx
lncos
Đs:
[ ]
Cxx
x
++ )sin(ln)cos(ln
2
20)
dx
x
x
2
cos
)ln(cos
Đs:
Cxxxx ++ tan)ln(cos.tan
7
