Bài giảng động lực học kết cấu chương 2

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TPHCM
KHOA XÂY DỰNG

Chương 2: HỆ MỘT BẬC TỰ DO

Bạch Vũ Hoàng Lan

1

2.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo

2.1.1 Hệ một bậc tự do (BTD) u(t)
p(t) m

u(t)
t

2

2.1.1 Hệ 1 bậc tự do

Mơ hình hệ 1BTD

u m p(t)
k

c m p(t) k c

 Các đặc trưng vật lý

m: đặc trưng quán tính (khối lượng)

k: đặc trưng đàn hồi (độ cứng)

c: đặc trưng tiêu tán cơ năng (cản) 3

2.1.1 Hệ 1 bậc tự do

Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo

u  Các lực tác động

k 𝑝(𝑡)– Ngoại lực (lực kích động)

p(t) 𝑓 c m 𝐼 = mu – Lực quán tính
𝑓𝑆 = ku – Lực đàn hồi

𝑓𝐷 = cu – Lực cản

𝑓𝐼 = mu  Phương trình cân bằng
𝑓𝑆 = ku
𝑓𝐷 = cu m p(t) lực theo phương pháp
tĩnh động (D’Alembert)

mu + cu + ku = p(t)

4

2.1.2. Ảnh hưởng của trọng lực

𝑢 𝑡 = 𝑢𝑠𝑡 + 𝑢(𝑡) ; 𝑢 = 𝑢 ; 𝑢 = 𝑢

m𝑢 + c𝑢 + k 𝑢 + 𝑢𝑠𝑡 = 𝑝 𝑡 + W = 𝑝 𝑡 + +k𝑢𝑠𝑡
→ m𝑢 + c𝑢 + k𝑢 = 𝑝(𝑡)  Dạng pt vi phân không thay đổi 5

2.1.3. Ảnh hưởng của sự rung động của gối tựa

u  Chuyển vị toàn phần của

m khối lượng m:

𝑢𝑡 = 𝑢 + 𝑢𝑔 → 𝑢𝑡 = 𝑢 + 𝑢𝑔
c k 𝑢: Chuyển vị ngang của khối

lượng do chuyển vị uốn gây ra

ug 𝑢𝑔: Chuyển vị ngang của nền đất
𝑓𝐼 = mu m
0.5𝑓𝑆 = 0.5(ku) 𝑓𝐷 hay gối tựa

 Phương trình vi phân:

0.5𝑓𝑆 m ug + u + cu + ku = 0
mu + cu + ku = −mug

6

2.1.4. Ví dụ:

Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo của hệ khi bỏ
qua trọng lượng bản thân dầm, với:

m p(t) m = 10 (kN)
c = 50 (kNs/m)
EI c p(t) = 20sin10t (kN)
L = 4 (m)
L/2 L/2 E = 2.108 (𝑘𝑁/𝑚2)
I = 2500 (𝑐𝑚4)

Ý nghĩa vật lý của độ cứng: chính là độ lớn của lực gây
ra chuyển vị của hệ bằng 1 đơn vị theo phương của
chuyển vị cần xét.

7

Xác định chuyển vị tại tiết diện giữa dầm bằng phương

pháp nhân biểu đồ

P Mx PL/4
EI

y

L/2 L/2

Độ võng của dầm: 𝑦 = 2. 1 (1 . 𝑃𝐿 . 𝐿). (2 . 𝐿) = 𝑃𝐿3
𝐸𝐼 2 4 2 3 4 48𝐸𝐼

Độ cứng của dầm:

48𝐸𝐼 48 ∗ 2 ∗ 108 ∗ 2500 ∗ 10−8 𝑘𝑁

𝑦=1→𝑘= 3 = = 3750( )
𝐿 43 𝑚

Phương trình vi phân của hệ có dạng:

mu + cu + ku = p(t) → 10u + 50u + 3750u = 20sin10t

8

Bài tập: Hãy thiết lập phương trình vi phân chủ đao của

các hệ 1BTD có sơ đồ như hình vẽ m p(t)

k1 u

k2 k3 p(t) h EI EI
m

m

EI m m EI m m

k k

L L/2 L/2 9

Chú ý: Khi khối lượng được liên kết bằng nhiều lị xo
mắc song song hay nối tiếp như trên hình vẽ, khi đó
độ cứng tổng cộng được tính như sau:

K1 K2 K1 K2 K1
α1 α2 K2

M M M

P(t) P(t) P(t)

k   ki k   ki sin2 i 1  1

i i k i ki 10

2.2. DAO ĐỘNG TỰ DO

2.2.1. Dao động tự do không cản

mu + ku = 0 Hay: u + k u = 0 Đặt: ωn = k/m
m ωn: tần số dao động riêng

Nghiệm: u = Acos ωnt + Bsin(ωnt)

u = −ωnAsin ωnt + ωnBcos(ωnt)

u = −ωn2Acos ωnt − ωn2Bsin(ωnt)
u 0

Điều kiện biên: u 0 = A; u 0 = ωnB → 𝐵 = ωn

Phương trình chuyển động:

u 0

u = u 0 cos ωnt + ωn sin ωnt = u0sin(ωnt − θ)

11

Trong đó: u0: Biên độ dao động θ: Pha ban đầu (Góc pha)
θ = atan − u 0 ωn
𝑢0 2
u0 = 𝑢 0 2 + 𝜔𝑛 u 0
𝑢
𝑡
u(0)

u(0) u0

Tn
1 2π

Chu kỳ: Tn = fn = ωn

2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt

ck
mu + c𝑢 + ku = 0 Hay: u + m u + m u = 0 (1)
Đặt: 𝜉 = 𝑐 = 𝑐 = 𝑐
𝑐𝑐𝑟 2 𝑘𝑚 2𝑚𝜔𝑛
 KC Thép: 1.5%-2.5%

𝜉 :Tỉ số cản Tỉ số cản 𝜉  KC Bê tông: 3%-5%

𝑐𝑐𝑟: Hệ số cản tới hạn  KC Phi tuyến: 5%

Thay vào (1): u + 2𝜉𝜔𝑛u + 𝜔𝑛2u = 0 (2)

Nghiệm: 𝑢 = 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝐷𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝜔𝐷𝑡

𝑉ớ𝑖: 𝜔𝐷 = 𝜔𝑛 1 − 𝜉2 - Tần số dao động có cản

Lưu ý khi ∶ 𝑐 < 𝑐𝑐𝑟 ℎ𝑎𝑦 𝜉 < 1 → Hệ có dao động (cản nhỏ)

Khi ∶ 𝑐 > 𝑐𝑐𝑟 → Hệ chuyển động tiệm cận đến vị trí cân bằng

13

2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt (tt)

Nghiệm của phương trình vi phân chuyển động:

u = e−ξωnt u(0)cos ωDt + u 0 + ξωnu 0 ω sin ω D Dt
u = u0e−ξωntsin(ωDt − θ)

Biên độ dao động có cản Pha ban đầu (góc pha):

u0 = 𝑢 0 2 + 𝑢 0 + 𝜉𝜔𝑛𝑢(0) 2 θ = atan − 𝜔𝐷u 0
𝜔𝐷 u 0 + 𝜉𝜔𝑛𝑢(0)

14

2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt (tt)

𝒖𝟎𝒆−𝝃𝝎𝒏𝒕

Không cản Có cản
Biên độ dao động (𝒖𝟎) giảm dần theo quy luật số mũ âm (−𝜉𝜔𝑛𝑡)

𝑢1 𝑛
Biên độ dao động sau n chu kỳ : 𝑢(𝑛+1) = 𝑢0

𝑢0

2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt

Tỷ số giữa 2 biên độ dao động dương cách nhau 1 chu kỳ:
u(t) = u0e−ξωntsin(ωDt − θ)

u(t + TD) = u0e−ξωn t+TD sin[ωD t + TD − θ]

2𝜋𝜉

Tỷ số : u t = eξωnTD = e 1−𝜉2
u t + TD

Độ giảm loga  KCThép: 0.09-0.16
 KC Bê tông: 0.19-0.31
Độ giảm loga 𝛿  KC Phi tuyến: 0.31

ut 2𝜋𝜉
𝛿 = ln u t + TD = 1 − 𝜉2 ≈ 2𝜋𝜉

2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt

Xác định chu kỳ và tỉ số cản dựa vào kết quả của thí
nghiệm dao động tự do
𝑢

𝑡

𝑇𝐷 Hệ số cản:   1 ln u(t)
n2 u(t  nTD )

2.2.3. Ví dụ

Xác định các đặc trưng động học và biên độ dao động sau
4 chu kỳ của hệ như hình vẽ. Biết khối lượng m, chịu tác
dụng lực kích thích tức thời P=100kN, ứng với chuyển vị
của khối lượng là 0,4cm. Sau khi lực P không tác dụng
chuyển vị đầu tiên hệ đạt được là 0,35cm, thời gian giữa 2
chuyển vị là chu kỳ T=1,5s.

P Độ cứng của dầm:

m 𝑃 100
𝑘 = 𝑢𝑠𝑡 = 0.4 ∗ 10−2
EI
c 𝑘 = 25000(𝑘𝑁 𝑚)

L/2 L/2 Khối lượng m của hệ:

Chu kỳ: T = 2π = 2𝜋 → 𝑚 = 𝑇 2 ∗ 𝑘 = 1425 𝑘𝑁. 𝑠2 𝑚
ωn 𝑘 𝑚 2𝜋
18

2π 2𝜋
Tần số dao động riêng của hệ: ωn = = = 4.18 𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝑇 1.5

ut 0.4
Độ giảm loga của hệ: 𝛿 = ln u t + T = ln 0.35 ≈ 0.134

Tỷ số cản của hệ: 𝛿 ≈ 2𝜋𝜉 → 𝜉 = 𝛿 2𝜋 = 0.021

Tần số dao động của hệ khi có cản: 𝜔𝐷 = 𝜔𝑛 1 − 𝜉2 = 4.179
Hệ số cản: 𝜉 = 𝑐 = 𝑐 → 𝑐 = 𝜉2𝑚𝜔𝑛 = 250173 𝑘𝑁𝑠 𝑚

𝑐𝑐𝑟 2𝑚𝜔𝑛

Biên độ sau 4 chu kỳ dao động:

𝑢5 = 𝑢0 𝑢1 4 = 0.4 0.35 4 = 0.234 𝑐𝑚

𝑢0 0.4

19

2.3. PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG ĐIỀU HÒA

2.3.1 Nghiệm của phương trình dao động

u mu + cu + ku = P0sinωt
k

c m P0 sin ωt Dạng nghiệm:u t = uc t + up(t)

Nghiệm thuần nhất:

uc(t) = e−ξωnt Acos ωDt + Bsin ωDt

Nghiệm riêng của phương trình vi phân tổng quát:

up t = Ccos ωt + Dsin ωt

C = P0k ∗ 1 − ω/ωn 2 2 + 2ξ ω/ωn 2 −2ξω/ωn

D = P0 ∗ 1 − ω/ωn 2

22 2
k 1 − ω/ωn + 2ξ ω/ωn 20