Bài giảng động lực học kết cấu chương 3

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TPHCM
KHOA XÂY DỰNG

Chương 3: HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO

Bạch Vũ Hoàng Lan

1

3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo

Xét hệ khung phẳng 2 tầng như hình vẽ

𝑝2(𝑡) 𝑚2 𝑢2 𝑝2(𝑡) 𝑚2 𝑢2

𝑘2 𝑐2 𝑢2 𝑓𝐼 2 𝑘2 𝑐2
𝑝1(𝑡) 𝑚1 𝑢1 𝑓𝑆2 𝑠 𝑓𝐶2 𝑠
𝑝1(𝑡) 𝑓𝑆1 𝑠
𝑘1 𝑢1 𝑓𝐼1 𝑓𝐶1 𝑠
𝑘2 𝑐2 𝑢1
𝑐1 𝑐1 𝑚1
𝑘1

𝑓𝑆1𝐼 𝑓𝐶1𝐼

Pt cân bằng của khối lượng m1:

𝑚1𝑢1 + 𝑐1𝑢1 + 𝑐2 𝑢1 − 𝑢2 + 𝑘1𝑢1 + 𝑘2 𝑢1 − 𝑢2 = 𝑝1(𝑡)

Khối lượng m2:

𝑚2𝑢2 + 𝑐2 𝑢2 − 𝑢1 + 𝑘2 𝑢2 − 𝑢1 = 𝑝2(𝑡) 2

3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo

Viết dưới dạng ma trận:

0 𝑚2 𝑢2 𝑚1 0 𝑢1 + −𝑐2 𝑐2 𝑢2 (𝑐1 + 𝑐2) −𝑐2 𝑢1 + −𝑘2 𝑘2 𝑢2 (𝑘1+𝑘2) −𝑘2 𝑢1 = 𝑝2 𝑝1

Hoặc:

𝑚11 𝑚12 𝑢 𝑚 1 21 𝑚22 𝑢2 + 𝑐11 𝑐12 𝑢 𝑐 1 21 𝑐22 𝑢2 + 𝑘11 𝑘12 𝑢1 𝑘21 𝑘22 𝑢2 = 𝑝1 𝑝2

Tổng quát:
Gọi: 𝑚𝑖𝑗 = lực quán tính tương ứng với 𝑢𝑖 do 𝑢𝑗 = 1 gây ra
𝑐𝑖𝑗 = lực cản tương ứng với 𝑢𝑖 do 𝑢𝑗 = 1 gây ra
𝑘𝑖𝑗 = lực đàn hồi tương ứng với 𝑢𝑖 do 𝑢𝑗 = 1 gây ra

3

3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo

Theo phương bậc tự do 𝑢𝑖: Với: 𝑑𝑜𝑓 - Degree of Freedom

Lực quán tính = 𝑗=1 𝑛𝑑𝑜𝑓 𝑚𝑖𝑗 × 𝑢𝑗

Lực cản = 𝑗=1 𝑛𝑑𝑜𝑓 𝑐𝑖𝑗 × 𝑢𝑗

Lực đàn hồi = 𝑗=1 𝑛𝑑𝑜𝑓 𝑘𝑖𝑗 × 𝑢𝑗

Pt cân bằng lực theo nguyên lý D’Alembert:

𝑛𝑑𝑜𝑓 𝑛𝑑𝑜𝑓 𝑛𝑑𝑜𝑓

𝑚𝑖𝑗 × 𝑢𝑗 + 𝑐𝑖𝑗 × 𝑢𝑗 + 𝑘𝑖𝑗 × 𝑢𝑗 = pi

𝑗=1 𝑗=1 𝑗=1

Xét tất cả các bậc tự do và viết dưới dạng ma trận:

𝑚𝑖𝑗 𝑢𝑖 + 𝑐𝑖𝑗 𝑢𝑖 + 𝑘𝑖𝑗 𝑢𝑖 = 𝑝𝑖

4

3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo

Hay: 𝐌𝒖 + 𝐂𝒖 + 𝐊𝒖 = 𝒑

Trong đó: 𝐌 = Ma trận khối lượng
𝐂 = Ma trận cản
𝐊 = Ma trận độ cứng

Nếu khối lượng của hệ được thu gọn về các bậc tự
do là các chuyển vị thẳng thì 𝑚𝑖𝑗 = 0 (𝑘ℎ𝑖 𝑖 <> 𝑗) và
ma trận khối lượng trở thành ma trận đường chéo
với các khối lượng tương ứng với các bậc tự do là
các chuyển vị thẳng

5

3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo

ĐỘ CỨNG CỦA KẾT CẤU

Theo định nghĩa:
𝑘𝑖𝑗 = lực đàn hồi tương ứng với 𝑢𝑖 do 𝑢𝑗 = 1 gây ra

Chú ý: Lực đàn hồi cân bằng với lực nút nhằm duy trì đường
đàn hồi, tức là ngược chiều với lực nút
Hệ số độ cứng 𝑘𝑖𝑗 được minh họa là các lực nút do chuyển vị
𝑢𝑗 = 1 gây ra (các chuyển vị khác 𝑢𝑖 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑖 <> 𝑗)

𝑃1 = 𝑘1𝑗 𝑃𝑖 = 𝑘𝑖𝑗 𝑃𝑗 = 𝑘𝑗𝑗 𝑃𝑁 = 𝑘𝑁𝑗

𝑢𝑗 = 1

1 i j N

6

𝑃1 = 𝑘1𝑗 𝑃𝑖 = 𝑘𝑖𝑗 𝑃𝑗 = 𝑘𝑗𝑗 𝑃𝑁 = 𝑘𝑁𝑗

𝑢𝑗 = 1

1 i j N

1 i j N 𝑢𝑗 = 1

𝑘1𝑗 𝑘𝑖𝑗 𝑘𝑗𝑗 𝑘𝑁𝑗

Hệ số độ cứng 𝑘𝑖𝑗 cũng chính là phản lực tại nút nếu đặt vào

đó các liên kết ngăn cản chuyển vị. Do vậy có thể dùng
phương pháp chuyển vị để xác định hệ số độ cứng

7

3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo

Ví dụ 3.1: Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo cho kết cấu

như hình vẽ. Biết rằng các thanh dầm là tuyệt đối cứng và bỏ qua

𝑝3 cản 𝑚/2 𝑢3 Dạng pt vi phân chủ đạo không cản:

𝐌𝒖 + 𝐊𝒖 = 𝒑

𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ Ma trận khối lượng:

𝑝2 𝑚 𝑢2 𝑚0 0

𝐌= 0 𝑚 0

𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 0 0 𝑚/2
𝑝1
𝑚 𝑢1 𝑢1
𝒖 = 𝑢2

𝑢3

𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 𝑝1

𝒑 = 𝑝2

𝑝3

8

Sử dụng pp chuyển vị để tính độ cứng đơn vị: 24𝐸𝐼
𝑘32 = − ℎ3
𝑘31 = 0 6𝐸𝐼 ℎ2 𝑢2 = 1
6𝐸𝐼 ℎ2

6𝐸𝐼 ℎ2 𝑢1 = 1 6𝐸𝐼 ℎ2 48𝐸𝐼
6𝐸𝐼 ℎ2 6𝐸𝐼 ℎ2 𝑘22 = ℎ3
6𝐸𝐼 ℎ2
24𝐸𝐼
𝑘12 = − ℎ3

24𝐸𝐼 Khi cho 𝑢3 = 1 tương tự ta có:
𝑘21 = − ℎ3
24𝐸𝐼
12𝐸𝐼 ℎ3 12𝐸𝐼 ℎ3 𝑘33 = ℎ3
12𝐸𝐼 ℎ3
12𝐸𝐼 ℎ3 24𝐸𝐼
12𝐸𝐼 ℎ3 𝑘23 = − ℎ3
12𝐸𝐼 ℎ3 48𝐸𝐼 𝑘13 = 0
𝑘11 = ℎ3
9

𝑝3 𝑚/2 𝑢3 Thiết lập ma trận độ cứng

𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 𝑘11 𝑘12 𝑘13
𝑝2 𝐊 = 𝑘21 𝑘22 𝑘23
𝑚 𝑢2
𝑘31 𝑘32 𝑘33

𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 𝐸𝐼 48 −24 0
𝑝1 → 𝐊 = ℎ3 −24 48 −24 0 −24 24
𝑚 𝑢1
𝐸𝐼
𝐸𝐼 ℎ

10

ℎ
P=1 𝐸𝐼 = ∞ 4

Thiết lập ma trận độ cứng ℎ ℎ3
4 𝛿11 = 24𝐸𝐼

𝑝3 𝑚/2 𝑢3 ℎ ℎ 1 24𝐸𝐼

4 4 𝑘 = 𝛿 = ℎ3
11
𝐸𝐼 𝐸𝐼
𝑝2 ℎ

𝑚 𝑢2 𝑘11 𝑘12 𝑘13
𝐊 = 𝑘21 𝑘22 𝑘23
𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ
𝑝1 𝑘31 𝑘32 𝑘33

𝐸𝐼 𝑚 𝑢1 𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2 0
𝐊 = −𝑘2
𝐸𝐼 ℎ 𝑘2 + 𝑘3 −𝑘3
0
−𝑘3 𝑘3

𝐸𝐼 48 −24 0
→ 𝐊 = ℎ3 −24 48 −24 0 −24 24

11

3.2 Dao động tự do và mode dao động

A. TẦN SỐ VÀ HÌNH DẠNG CỦA CÁC MODE DAO ĐỘNG
Phương trình vi phân chủ đạo của dao động tự do không cản:

𝐌𝒖 + 𝐊𝒖 = 𝟎

Khi hệ dao động điều hòa với hình dạng khơng đổi, có thể
biểu diễn nghiệm dưới dạng:

𝑢1 𝜙1

⋮ = ⋮ sin(𝜔𝑛𝑡 + 𝜃) hay: 𝒖 = 𝝓sin(𝜔𝑛𝑡 + 𝜃)
𝑢𝑁 𝜙𝑁

Đạo hàm bậc 2 của phương trình dao động 𝒖 𝑡 :

𝒖 = −𝜔𝑛2𝝓sin(𝜔𝑛𝑡 + 𝜃)

12

3.2 Dao động tự do và mode dao động

Thay chuyển vị và gia tốc vào phương trình vi phân chủ đạo:

𝐊 − 𝜔n2𝐌 𝝓sin(𝜔𝑛𝑡 + 𝜃) = 𝟎

Phương trình này phải thỏa mãn tại mọi thời điểm, do đó:

𝐊 − 𝜔n2𝐌 𝝓 = 𝟎 (3.2-1)

• Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (3.2-1) có ít
nhất là một nghiệm tầm thường 𝝓 = 𝟎, ứng với trạng
thái cân bằng tĩnh.

• Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (3.2-1) sẽ có
nghiệm không tầm thường nếu:

det 𝐊 − 𝜔n2𝐌 = 𝟎 : Phương trình đặc trưng của hệ

13

3.2 Dao động tự do và mode dao động

Giải phương trình bậc 𝑁 theo 𝜔𝑛2 trên ta sẽ tìm được 𝑁
giá trị (dương) của 𝜔𝑛2. Từ đó sẽ tìm được 𝑁 tần số vòng
tự nhiên 𝜔𝑛 của 𝑁 mode dao động

Thay các giá trị của 𝜔𝑛 vào phương trình thuần nhất
(3.2-1) ta sẽ tìm được 𝑁 họ nghiệm 𝝓𝒏.

Do: det 𝐊 − 𝜔n2𝐌 = 𝟎, ta không thể xác định các phần
tử 𝝓𝒊. Tuy nhiên ta có thể xác định bằng cách biểu thị
các chuyển vị theo một chuyển vị được chọn làm chuẩn
(thường lấy bằng 1 đơn vị)

14

3.2 Dao động tự do và mode dao động

Mỗi họ nghiệm 𝝓𝒋 = 𝜙1𝑗 … 𝜙𝑁𝑗 𝑇 biểu diễn hình dạng
của một mode dao động tương ứng với tần số vòng 𝜔𝑗.
Các phần tử 𝜙𝑖𝑗 tương ứng với chuyển vị chuyển vị thứ 𝑖
của n bậc tự do của dạng dao động thứ 𝑗

𝜙11 ⋮ 𝜙1𝑁
𝚽 = 𝝓𝟏 … 𝝓𝑵 = ⋮ ⋮ ⋮

𝜙𝑁1 ⋮ 𝜙𝑁𝑁

𝚽 - Ma trận các hàm dạng

15

Ví dụ 3.2: Xác định các tần số vịng tự nhiên và dạng

dao động của kết cấu như hình vẽ. Biết khối lượng

𝑚 = 20000 𝑘𝑔 ; độ cứng theo phương ngang của mỗi
tầng 𝑘 = 18. 106 𝑁 𝑚

𝑚 𝑢2 Phương trình đặc trưng:

𝑘/2 𝑘/2 ℎ det 𝐊 − 𝜔n2𝐌 = 𝟎
Ma trận khối lượng:
𝑚 𝑢1

𝐌 = 20. 103 1 0 𝑘𝑔
𝑘/2 𝑘/2 ℎ 01

Ma trận độ cứng:

𝐊 = 𝑘 2 −1 = 18. 106 2 −1 𝑁 𝑚
−1 1 −1 1
16

Các tần số dao động riêng xác định từ pt đặc trưng:

det 𝐊 − 𝜔n2𝐌 = 0

→ 36. 106 − 20. 103 𝜔𝑛2 −18. 106 = 0
18. 106 − 20. 103 𝜔𝑛2
−18. 10 6

400. 106𝜔𝑛4 − 1080. 109𝜔𝑛2 + 324. 1012 = 0

𝜔2 2 𝜔2
81. 104. 400. 106 𝑛 − 900.1080. 109 𝑛 + 324. 1012 = 0

900 900

Đặt: 𝑥 = 𝜔2 → 𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0

900

→ 𝑥1 = 0.382; 𝑥2 = 2.618

Ta xác định được : 𝜔1 = 18.54 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ; 𝜔2 = 48.54 𝑟𝑎𝑑 𝑠

17

Thay tần số dao động riêng 𝜔1 = 18.54 𝑟𝑎𝑑 𝑠 vào pt (3.2-1):

2 − 0.382 −1 Φ11 Φ21 = 0
−1 1 − 0.382

Chọn giá trị: Φ12 = 1, ta có:
1.618 −1 Φ11 −1 0.618 1 = 0 → 1.618Φ11 − 1 Φ11 − 0.618 = 0 → Φ11 = 0.618

Tương tự thay tần số dao động riêng 𝜔2 = 48.54 𝑟𝑎𝑑 𝑠

2 − 2.618 −1 Φ12 1 = 0 → Φ12 = −1.618
−1 1 − 2.618

Dạng dao động của hệ kết cấu:

𝚽 = 𝚽𝟏 𝚽𝟐 = Φ11 Φ12 Φ21 Φ22 = 0.618 −1.618 1 1

18

Các dạng dao động (mode shape) của hệ kết cấu:

𝚽 = 𝚽𝟏 𝚽𝟐 = Φ11 Φ12 Φ21 Φ22 = 0.618 −1.618 1 1

𝑢2 = 1 𝑢2 = 1

𝑚 𝑚
𝑢1 = 0.681
𝑢1 = 1.681
𝑚
𝑚

Dạng dao động thứ 1 Dạng dao động thứ 2
(mode 1)
(mode 2) 19

B. TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC MODE

Xét hai mode n và r:

𝐊 − 𝜔n2𝐌 𝝓𝒏 = 𝟎 (3.2-2)

𝐊 − 𝜔𝑟2𝐌 𝝓𝒓 = 𝟎 (3.2-3)

Lần lượt nhân trước (3.2-2) và (3.2-3) cho 𝝓𝒓𝑻 và 𝝓𝒏𝑻:

𝝓𝒓𝑻𝐊𝝓𝒏 = 𝜔n2𝝓𝒓𝑻𝐌𝝓𝒏 (3.2-4)

𝝓𝒏𝑻𝐊𝝓𝒓 = 𝜔r2𝝓𝒏𝑻𝐌𝝓𝒓 (3.2-5)

Với 𝝓𝒓𝑻 và 𝝓𝒏𝑻 là các ma trận chuyển trí của 𝝓𝒓 và 𝝓𝒏

Chuyển trí các vector và các ma trận trong pt (3.2-5):
𝝓𝒏𝐊𝐓𝝓𝒓𝑻 = 𝜔r2𝝓𝒓𝑻𝐌𝐓𝝓𝒏 (3.2-6)

20