Scribd vpdfs com bai giang giai tich nhieu bien 1

BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN 1

Mục lục

1 Tôpô và hàm liên tục trên Rn 4

1.1 Tôpô trên Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Tập mở và tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4 Chuẩn trên không gian vectơ . . . . . . . . . . . . 12

1.1.5 Metric sinh bởi chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.6 Chuẩn tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.7 Nguyên lý Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.8 Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.9 Nguyên lý Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Hàm liên tục trên Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.1 Hàm vectơ n biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.2 Giới hạn của hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.3 Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.4 Các tính chất của hàm liên tục trên tập compact và

trên tập liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.5 Hàm liên tục theo từng biến . . . . . . . . . . . . . 26

2

1.2.6 Giới hạn lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Phép tính vi phân trên Rn 32

2.1 Đạo hàm và vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.3 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.4 Công thức số gia hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.5 Các phép tính về đạo ánh . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.6 Biểu diễn đạo hàm bởi ma trận . . . . . . . . . . . 38

2.1.7 Đạo hàm riêng của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.8 Ứng dụng của khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . 40

2.2 Hàm ngược và hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.1 Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.2 Đạo hàm và vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.3 Công thức Taylor đối với hàm nhiều biến . . . . . . 46

2.4 Cực trị hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.1 Cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.3 Phương pháp 1: đưa về bài tốn tìm cực trị tự do . 52

3 Tích phân bội Riemann 57

3

Chương 1
Tôpô và hàm liên tục trên Rn

1.1 Tôpô trên Rn

1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1. Cho tập X khác rỗng. Hàm ρ : X × X → R được gọi
là một metric (hay khoảng cách) trên X nếu các tính chất sau được thoả
mãn:
i, ρ(x, y) ≥ 0∀x, y ∈ X ; ρ(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y;
ii, ρ(x, y) = ρ(y, x)∀x, y ∈ X;
iii, ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z)∀x, y, z ∈ X.

Định nghĩa 1.2. Cặp (X, ρ) xác định như trên được gọi là một khơng gian
metric.

Ví dụ 1.1. Hàm ρ : R × R → R cho bởi ρ(x, y) = |x − y| với x, y ∈ R là
một metric trên R.
Ví dụ 1.2. Hàm ρ : R2 × R2 → R cho bởi

ρ(x, y) = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2

4

với x = (x1, x2); y = (y1, y2) ∈ R2 là một metric trên R2.
Kiểm tra điều kiện iii, với x = (x1, x2); y = (y1, y2); z = (z1, z2) ∈ R2:

ρ2(x, z) = (x1 − z1)2 + (x2 − z2)2
= (x1 − y1 + y1 − z1)2 + (x2 − y2 + y2 − z2)2
= (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (y1 − z1)2 + (y2 − z2)2
+ 2(x1 − y1)(y1 − z1) + 2(x2 − y2)(y2 − z2)
≤ (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (y1 − z1)2 + (y2 − z2)2
+ 2 (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 (y1 − z1)2 + (y2 − z2)2

2

= (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (y1 − z1)2 + (y2 − z2)2
= (ρ(x, y) + ρ(y, z))2.

Sử dụng bất đẳng thức

|ab + cd| ≤ (a2 + c2)(b2 + d2)

Định nghĩa 1.3. Cho không gian metric (X, ρ), M là tập con của X. Khi
đó (M, ρ) cũng là không gian metric và được gọi là một không gian con của
không gian metric (X, ρ).

1.1.2 Sự hội tụ

Định nghĩa 1.4. Giả sử {xn} là dãy trong khơng gian metric (X, ρ). Ta
nói điểm x ∈ X là giới hạn của {xn} nếu

lim ρ(xn, x) = 0

n→∞

hay ∀ϵ > 0∃nϵ sao cho ρ(xn, x) < ϵ∀n ≥ nϵ.
Khi đó ta nói {xn} hội tụ đến x và kí hiệu limn→∞ xn = x.

5

Định lý 1.1. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.

Chứng minh. Giả sử {xn} hội tụ đến x và y khi n → ∞. Khi đó ∀ϵ∃n1, n2
sao cho ρ(xn, x) < ϵ nếu n ≥ n1, ρ(xn, y) < ϵ nếu n ≥ n2. Vậy với mọi
n ≥ max{n1, n2} ta có

ρ(x, y) ≤ ρ(xn, x) + ρ(xn, y) < 2ϵ

Do ϵ nhỏ tuỳ ý nên x = y (thật vậy, có thể chọn ϵ = ρ(x, y)/2).

Ví dụ 1.3. Trong không gian R các số thực với metric thông thường
ρ(x, y) = |x − y|, sự hội tụ của dãy {xn}n theo metric này chính là sự
hội tụ của dãy số thực đã được học.

Ví dụ 1.4. Trong khơng gian R2 với metric thông thường

ρ(x, y) = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2,

dãy {xn}n = {(xn1 , xn2 )}n hội tụ đến điểm x = (x1, x2) tức là

lim ρ(xn, x) = lim (xn1 − x1)2 + (xn2 − x2)2 = 0
n→∞ n→∞

Điều này tương đương với limn→∞ xn1 = x1 và limn→∞ xn2 = x2.

Nhận xét 1.1. Sự hội tụ trong R2 với metric thông thường là sự hội tụ

theo toạ độ. Tổng quát, xét không gian Rn với metric:

ρ(x, y) = n

(xi − yi)2 (ta gọi là metric Euclid hay metric thông thường),

i=1

trong đó x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn. Sự hội tụ đối với

metric này cũng là sự hội tụ theo toạ độ.

Ta thấy rằng trên một tập khác rỗng có thể trang bị nhiều metric khác
nhau. Sau này khi xét khơng gian Rn nếu khơng nói gì thêm ta hiểu là xét
với metric Euclid hay metric thông thường.

6

1.1.3 Tập mở và tập đóng

Định nghĩa 1.5. Ta gọi hình cầu "mở" tâm a bán kính r trong khơng gian
(X, ρ) là tập hợp

B(a, r) := {x ∈ X : ρ(x, a) < r}.

Ta gọi hình cầu "đóng" tâm a bán kính r trong không gian (X, ρ) là tập
hợp

B(a, r) := {x ∈ X : ρ(x, a) ≤ r}.

Ví dụ 1.5. Trong R hình cầu mở tâm a bán kính r là B(a, r) = (a−r, a+r)
(khoảng), hình cầu đóng tâm a bán kính r là B(a, r) = [a − r, a + r] (đoạn).
Ví dụ 1.6. Mơ tả hình cầu đóng, mở tâm a bán kính r trong R2, R3.

Định nghĩa 1.6. Tập con V ⊂ X được gọi là một lân cận của x0 nếu tồn

tại r > 0 sao cho B(x0, r) ⊂ V .

Từ định nghĩa trên suy ra hình cầu B(x0, r) cũng là lân cận của x0.
Sau đây ta xét các vị trí tương đối của một điểm và một tập hợp.

Định nghĩa 1.7. A là tập con của không gian metric X và x0 là một điểm
trong X.
a, Nếu tồn tại r > 0 sao cho B(x0, r) ⊂ A thì x0 được gọi là điểm trong
của A. Tập tất cả các điểm trong của A gọi là phần trong của A và kí hiệu
là IntA.
b, Nếu B(x0, r) ∩ A̸ = ∅∀r > 0 thì x0 được gọi là điểm dính của A. Tập tất
cả các điểm dính của A gọi là bao đóng của A và kí hiệu là A.
c, Nếu B(x0, r) ∩ A \ {x0}̸ = ∅∀r > 0 thì x0 được gọi là điểm tụ của A.

7

Tập tất cả các điểm tụ của A kí hiệu là A′.
d, Nếu tồn tại r > 0 để B(x0, r) ∩ A = {x0} thì x0 được gọi là điểm cô lập
của A.
e, Nếu B(x0, r) ∩ A̸ = ∅ và B(x0, r) ∩ (X \ A)̸ = ∅ ∀r > 0 thì x0 được gọi
là điểm biên của A. Tập tất cả các điểm biên của A kí hiệu là ∂A.

Ví dụ 1.7. Xét hình cầu đóng đơn vị B(0, 1) (tâm 0 bán kính 1) trong R.
Tập các điểm trong của hình cầu đóng đơn vị là hình cầu mở B(0, 1) =
{x ∈ R : |x| < 1}.
Tập các điểm dính của hình cầu đóng đơn vị là B(0, 1) = {x ∈ R : |x| ≤ 1}.
Tập các điểm tụ của hình cầu đóng đơn vị là B(0, 1) = {x ∈ R : |x| ≤ 1}.
Tập các điểm biên của hình cầu đóng đơn vị là ∂B(0, 1) = {−1, 1}.

Định nghĩa 1.8. Cho X là khơng gian metric, A ⊂ X. Ta nói A là tập

mở nếu với mọi điểm x0 ∈ A tồn tại r > 0 sao cho B(x0, r) ⊂ A (hay nói
cách khác IntA = A).
Ta nói A là tập đóng nếu X \ A là tập mở.

Mệnh đề 1.1. Hình cầu mở là tập mở. Hình cầu đóng là tập đóng.

Chứng minh. A = B(a, r) là hình cầu mở tâm a bán kính r trong X. Lấy
x0 ∈ A và chọn ϵ = r − ρ(a, x0) > 0. Ta sẽ chứng minh rằng B(x0, ϵ) ⊂ A.
Chọn ϵ = r − ρ(a, x0) > 0. Ta sẽ chứng tỏ rằng B(x0, ϵ) ⊂ A. Lấy x ∈
B(x0, ϵ) ta có:

ρ(a, x) ≤ ρ(a, x0) + ρ(x0, x)
< ρ(a, x0) + ϵ
= ρ(a, x0) + r − ρ(a, x0) = r

8

tức là x ∈ A, suy ra B(x0, ϵ) ⊂ A.

Mệnh đề 1.2. a, Giao của hai tập mở là tập mở. Giao của một họ hữu
hạn các tập mở cũng là tập mở.
b, Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở.

Chứng minh. a, Giả sử D1, D2 là các tập mở. Lấy phần tử tuỳ ý x ∈ D :=
D1 ∩ D2. Do x ∈ D1 và D1 mở nên tồn tại r1 sao cho B(x, r1) ⊂ D1. Tương
tự D2 mở nên tồn tại r2 sao cho B(x, r2) ⊂ D2. Chọn r = min{r1, r2} thì
B(x, r) ⊂ D1 ∩ D2 . Vậy x là điểm trong của D hay D mở.
Cho họ các tập mở Gi, i = 1, ..., n. Ta sẽ chứng minh G = ∩ni=1Gi là tập mở.
Lấy x ∈ G tuỳ ý, khi đó x ∈ Gi∀i = 1, ..., n. Do Gi là mở nên tồn tại ri > 0
sao cho B(x, ri) ⊂ Gi. Chọn r0 = min{r1, ..., rn} suy ra B(x, r0) ⊂ ∩ni=1Gi.

Vậy x là điểm trong của G và do đó G mở.
b, Cho họ các tập mở Gi, i ∈ I (I là tập chỉ số tuỳ ý). Ta sẽ chứng minh
G = ∪i∈IGi là tập mở. Lấy x ∈ G tuỳ ý, khi đó x ∈ Gi0, i0 ∈ I. Do Gi0 là
mở nên tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ Gi0. Suy ra B(x, r) ⊂ ∪i∈IGi. Vậy
x là điểm trong của G và do đó G mở.

Mệnh đề 1.3. Hợp của một họ hữu hạn các tập đóng là tập đóng. Giao
của một họ tuỳ ý các tập đóng là tập đóng.

Chứng minh. Cho họ các tập đóng Gi, i = 1, .., n. Ta sẽ chứng minh G =
∪ni=1Gi là tập đóng. Thật vậy

X \ G = X \ ∪i=1 n Gi = ∩i=1 n (X \ Gi)

là mở vì X \ Gi là mở với mọi i = 1, ..., n và giao hữu hạn tập mở là tập
mở.

9

Cho họ các tập đóng Fi, i ∈ I (I là tập chỉ số tuỳ ý). Ta sẽ chứng minh
F = ∩i∈IFi là tập đóng. Thật vậy

X \ F = X \ ∩i∈IFi = ∪i∈I(X \ Fi)

là mở vì X \ Fi là mở với mọi i = 1, ..., n và hợp tuỳ ý tập mở là tập
mở.

Mệnh đề 1.4. Phần trong của A là tập mở và là tập mở lớn nhất chứa
trong A.

Chứng minh. Từ định nghĩa ta suy ra tập A mở khi và chỉ khi A = IntA.
Ta sẽ chỉ ra phần trong của A là tập mở lớn nhất chứa trong A.
Thật vậy, nếu U là một tập mở chứa trong A thì U ⊂ A = IntA. Vậy IntA
là tập mở lớn nhất chứa trong A.

Mệnh đề 1.5. Bao đóng của A là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa
A. Tập A đóng khi và chỉ khi A = A.

Chứng minh. Để chứng minh A là tập đóng ta sẽ chỉ ra X \ A là mở. Thật
vậy, lấy x ∈ X \ A, khi đó x ∈/ A nên tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) ∩ A = ∅.
Chọn y ∈ B(x, r), do B(x, r) mở nên tồn tại r′ > 0 để B(y, r′) ⊂ B(x, r)
suy ra B(y, r′) ∩ A = ∅ hay y ∈/ A. Do đó B(x, r) ⊂ X \ A. Vậy x là điểm
trong của X \ A nên X \ A là mở. Vậy A đóng.
Giả sử B đóng và B ⊃ A. Ta cần chứng minh B ⊃ A hay X \ A ⊃ X \ B.
Lấy x ∈ X \ B, do X \ B là mở nên tồn tại r > 0 để B(x, r) ⊂ X \ B. Khi
đó B(x, r) ∩ B = ∅ suy ra B(x, r) ∩ A = ∅ hay x ∈/ A hay x ∈ X \ A.

Mệnh đề 1.6. Một tập con F của khơng gian metric X là đóng khi và chỉ
khi với mọi dãy {xn} ⊂ F , nếu xn → x thì x ∈ F .

10

Bài tập 1.1. Chứng minh rằng nếu V là lân cận của x0 thì mọi tập U ⊃ V
đều là lân cận của x0. Ngoài ra, nếu U, V là lân cận của x0 thì U ∩ V là
lân cận của x0.
U là lân cận của x0 nên tồn tại hình cầu B(x0, r1) ⊂ U . V là lân cận của
x0 nên tồn tại hình cầu B(x0, r2) ⊂ V . Khơng mất tính tổng qt, giả sử
r1 ≤ r2, khi đó B(x0, r1) ⊂ B(x0, r2) ⊂ V . Vậy B(x0, r1) ⊂ U ∩ V hay
U ∩ V là lân cận của x0.

Bài tập 1.2. Trong không gian metric X chứng minh rằng hai điểm bất
kì đều tách được bởi hai lân cận rời nhau, tức là với mọi cặp điểm x, y ∈
X, x̸ = y, tồn tại các lân cận U, V của x, y tương ứng sao cho U ∩ V = ∅.
Chọn r1 = r2 = ρ(x, y)/3. Khi đó xét 2 hình cầu mở B(x, r1) và B(y, r2).
Ta thấy B(x, r1) ∩ B(y, r2) = ∅ vì giả sử tồn tại a ∈ B(x, r1) ∩ B(y, r2) thì
ρ(x, y) ≤ ρ(a, x) + ρ(a, y) < 2ρ(x, y)/3, mâu thuẫn.

Bài tập 1.3. Cho A ⊂ Rn. Chứng minh rằng ∂A = A\IntA và A = A∪∂A.
Bài tập 1.4. Chứng minh rằng trong Rn bao đóng của hình cầu mở là hình
cầu đóng.

Bài tập 1.5. Xét hình cầu mở đơn vị B(O, 1) (tâm (0,0) bán kính 1) trong
R2. Tìm tập các điểm trong, điểm dính, điểm biên, điểm tụ.
Tập các điểm trong của hình cầu mở đơn vị là hình cầu mở B(0, 1) =
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}.
Tập các điểm dính của hình cầu mở đơn vị là B(0, 1) = B(0, 1) = {(x, y) ∈
R2 : x2 + y2 ≤ 1}.
Tập các điểm tụ của hình cầu mở đơn vị là B′ = B(0, 1) = {(x, y) ∈ R2 :

x2 + y2 ≤ 1}.

11

Tập các điểm biên của hình cầu mở đơn vị là ∂B(0, 1) = {(x, y) ∈ R2 :
x2 + y2 = 1}.

Bài tập 1.6. Tìm tập hợp A trong R sao cho tập điểm dính của A khác
với tập điểm tụ của A.
1.1.4 Chuẩn trên không gian vectơ
Định nghĩa 1.9. Cho E là một không gian vectơ trên trường vô hướng K

(K là R hoặc C). Một chuẩn trên E là một hàm số ∥ · ∥ : E → R sao cho
với mọi x, y ∈ E và α ∈ K đều thoả mãn các tiên đề sau:
i, ∥x∥ ≥ 0; ∥x∥ = 0 nếu và chỉ nếu x = 0;
ii, ∥αx∥ = |α|∥x∥;
iii, ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
Định nghĩa 1.10. Một không gian vectơ E được trang bị một chuẩn trên
đó được gọi là một khơng gian định chuẩn.
Ví dụ 1.8. Hàm độ lớn của vectơ trong R-kgvt R3 thoả mãn các tiên đề
chuẩn. Thật vậy, với v = (v1, v2, v3) ∈ R3 ta có:

∥v∥ = v12 + v22 + v32

12

Kiểm tra tiên đề ii,

∥αv∥ = ∥(αv1, αv2, αv3)∥
= (αv1)2 + (αv2)2 + (αv3)2
= α2(v12 + v22 + v32)
= |α| (v12 + v22 + v32)
= |α|∥v∥.

Kiểm tra tiên đề iii,
∥v + w∥ = (v1 + w1)2 + (v2 + w2)2 + (v3 + w3)2
≤ v12 + v22 + v32 + w12 + w22 + w32
= ∥v∥ + ∥w∥.

Ta gọi chuẩn này là chuẩn Euclid.

1.1.5 Metric sinh bởi chuẩn

Định nghĩa 1.11. Cho E là một không gian vector với chuẩn ∥ · ∥. Khi
đó (E, ρ) là một không gian metric với

ρ:E×E →R
(x, y) → ∥x − y∥

là metric sinh bởi chuẩn.
Vậy mỗi không gian định chuẩn đều là không gian metric với metric

sinh bởi chuẩn.
Trong không gian định chuẩn E sự hội tụ của dãy phần tử {xn}n ⊂ E đến

13

phần tử x ∈ E có nghĩa là ρ(xn, x) = ∥xn − x∥ → 0 khi n → ∞. Khi đó ta
nói dãy {xn}n hội tụ theo chuẩn đến x.
Một số tính chất của chuẩn sẽ được phát biểu trong định lý sau:

Định lý 1.2. Cho E là không gian vector trên trường K với chuẩn ∥.∥.
Cho {xn} và {yn} là các dãy trong E lần lượt hội tụ tới x và y thuộc E và
{αn} là các dãy trong K hội tụ tới α thuộc K. Khi đó:
a, |∥x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x − y∥;
b, limn→∞ ∥xn∥ = ∥x∥;
c, limn→∞(xn + yn) = x + y;
d, limn→∞ αnxn = αx.

Từ định lý này ta thấy chuẩn là một hàm liên tục.

Ví dụ 1.9. Khơng gian vectơ thực n-chiều Rn là một không gian định
chuẩn với chuẩn xác định bởi

∥x∥ = n

x2i ,

i=1

trong đó x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn. Chuẩn xác định như trên được gọi là

chuẩn Euclid trong Rn. Metric sinh ra bởi chuẩn này trùng với metric

Euclid trong Rn:

ρ(x, y) = n

(xi − yi)2.

i=1

Sau đây, nếu khơng có gì đặc biệt, khi nói đến chuẩn trong Rn ta hiểu

đó là chuẩn Euclid. Khái niệm tập bị chặn trong không gian định chuẩn

được hiểu như sau:

14

Định nghĩa 1.12. Một tập A trong không gian định chuẩn E được gọi là
bị chặn nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho ∥x∥ ≤ M với mọi x ∈ A.

Định nghĩa 1.13. Dãy phần tử {xn}n ⊂ E được gọi là dãy bị chặn nếu
các phần tử của dãy lập thành một tập hợp bị chặn trong E.

Định lý 1.3. (Bolzano-Weierstrass) Trong không gian Rn mọi dãy bị chặn
đều chứa một dãy con hội tụ.

Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp n = 2. Trường hợp tổng quát

ta làm tương tự.

Giả sử {xk}k = {(xk1, xk2)}k là dãy bị chặn trong R2, tức là tồn tại M > 0

sao cho

∥xk∥ = (xk1)2 + (xk2)2 < M ∀k ≥ 1.

Suy ra |xk1| ≤ ∥xk∥ < M ∀k ≥ 1. Vậy dãy số thực {xk1}k bị chặn. Theo

nguyên lý Bolzano-Weierstrass trong R, dãy {xk1}k có chứa dãy con {xk1l}l

hội tụ đến giới hạn a1 ∈ R. Tương tự, dãy {xk2l}l chứa dãy con {x2klm }m hội

tụ đến giới hạn a2 ∈ R. Vậy dãy {xklm }m = x1klm , x2klm là dãy con
của {xk}k hội tụ đến (a1, a2) ∈ R2.
m

1.1.6 Chuẩn tương đương

Có thể tồn tại nhiều chuẩn trên cùng một khơng gian. Ví dụ trên R2 ta có
2 chuẩn:

a, ∥(x1, x2)∥2 = (x1)2 + (x2)2
b, ∥(x1, x2)∥1 = |x1| + |x2|.
Định nghĩa 1.14. Cho E là không gian vector và ∥.∥1 và ∥.∥2 là 2 chuẩn
trên E. Ta nói chuẩn ∥.∥2 tương đương với chuẩn ∥.∥1 nếu tồn tại M, m > 0

15

sao cho với mọi x ∈ E

m∥x∥1 ≤ ∥x∥2 ≤ M ∥x∥1.
Bổ đề 1.1. Cho ∥.∥1, ∥.∥2, ∥.∥3 là 3 chuẩn trên không gian vector E. Giả
sử ∥.∥2 tương đương với ∥.∥1 và ∥.∥3 tương đương với ∥.∥2. Khi đó
a, ∥.∥1 tương đương với ∥.∥2.
b, ∥.∥3 tương đương với ∥.∥1.
Định lý 1.4. Hai chuẩn bất kì trên Rn tương đương với nhau.
Bài tập 1.7. Trên không gian R2 ta trang bị các chuẩn sau:

∥x∥2 = |x1|2 + |x2|2
∥x∥1 = |x1| + |x2|
∥x∥∞ = max{|x1|, |x2|}.
a, Kiểm tra lại các tiên đề chuẩn đối với 3 chuẩn này.
b, Dùng định nghĩa chứng minh rằng 3 chuẩn này đôi một tương đương với
nhau.

∥x∥21 = (|x1| + |x2|)2
= |x1|2 + |x2|2 + 2|x1||x2|
≤ |x1|2 + |x2|2 + |x1|2 + |x2|2
= 2(|x1|2 + |x2|2)
= 2∥x∥22.

16

√1
Suy ra ∥x∥1 ≤ 2∥x∥2 hay √2∥x∥1 ≤ ∥x∥2.

∥x∥22 = |x1|2 + |x2|2
≤ |x1|2 + |x2|2 + 2|x1||x2|
= (|x1| + |x2|)2
= ∥x∥21.

Suy ra ∥x∥2 ≤ ∥x∥1. Vậy √12∥x∥1 ≤ ∥x∥2 ≤ ∥x∥1.
Bài tập 1.8. Cho ∥.∥1, ∥.∥2 là 2 chuẩn tương đương trên không gian vector
E. Dãy {xn} là một dãy trong X. Chứng minh rằng {xn} hội tụ đến x
trong không gian (E, ∥.∥1) nếu và chỉ nếu {xn} hội tụ đến x trong không
gian (E, ∥.∥2).

1.1.7 Nguyên lý Cauchy

Định nghĩa 1.15. Một dãy điểm {xk}k trong không gian Rn được gọi là
dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu với mọi ϵ > 0 cho trước tồn tại k0 sao cho
với mọi k, l ≥ k0 ta có ∥xk − xl∥ < ϵ.

Định lý 1.5. Dãy {xk}k ⊂ Rn hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản.

Chứng minh. a, Điều kiện cần: Giả sử dãy {xk}k ⊂ Rn hội tụ đến a ∈ Rn.

Theo định nghĩa với mọi ϵ > 0 cho trước tồn tại k0 sao cho ∥xk − a∥ < ϵ
2

với mọi k > k0. Khi đó với mọi k, l > k0 ta có

ϵϵ
∥xk − xl∥ ≤ ∥xk − a∥ + ∥a − xl∥ < 2 + 2 = ϵ.

Vậy {xk}k là dãy cơ bản.

b, Điều kiện đủ: Ngược lại giả sử {xk}k = {(x1,k, x2,k, ..., xn,k)}k là dãy cơ

17

bản trong Rn. Khi đó với mọi ϵ > 0 tồn tại k0 sao cho ∥xk − xl∥ < ϵ với mọi

k, l > k0. Từ các bất đẳng thức |xi,k − xi,l| ≤ i=1 n (xi,k − xi,l)2 < ϵ với

mọi k, l > k0, i = 1, 2, ..., n, ta suy ra với mỗi i cố định, dãy số thực {xi,k}k

là dãy cơ bản. Theo nguyên lý Cauchy trong R tồn tại limk→∞ xi,k = ai, i =

1, 2, ..., n. Đặt a = (a1, ..., an). Vì sự hội tụ trong Rn là sự hội tụ theo toạ

độ nên dãy {xk}k hội tụ đến a trong không gian Rn.

1.1.8 Tập compact

Định nghĩa 1.16. Một tập A ⊂ Rn được gọi là tập compact nếu mọi dãy
điểm {xk}k ⊂ A đều có dãy con {xkl}l hội tụ đến một giới hạn thuộc A.
Định lý 1.6. Tập A ⊂ Rn là compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn.

Chứng minh. a, Điều kiện cần: Giả sử A là tập compact và {xk}k là một
dãy phần tử của A sao cho xk → a. Ta sẽ chứng minh a ∈ A. Vì A compact

nên theo định nghĩa dãy {xk}k có chứa dãy con {xkl}l hội tụ đến giới hạn
thuộc A. Ta có:

a = lim xk = lim xkl ∈ A.
k→∞ l→∞

Vậy A là tập đóng.

Giả sử phản chứng A khơng bị chặn. Khi đó với mỗi p ∈ N∗ tồn tại xp ∈ A

sao cho ∥xp∥ > p. Vì A là tập compact nên dãy {xp} ⊂ A sẽ chứa dãy con

xpq sao cho xpq → b ∈ A khi q → ∞. Do tính liên tục của chuẩn ta có
∥xpq∥ → ∥b∥, mâu thuẫn với ∥xpq∥ > pq với mọi q ∈ N∗. Vậy A bị chặn.
b, Điều kiện đủ: Giả sử A ⊂ Rn là tập đóng và bị chặn, {xk}k là dãy

phần tử bất kì của A. Khi đó {xk}k là dãy bị chặn. Theo định lý Bolzano-

Weierstrass dãy {xk}k có chứa dãy con {xkl}l sao cho {xkl}l → a khi l → ∞.

18

Vì A là tập đóng nên a ∈ A. Vậy A là tập compact.

1.1.9 Nguyên lý Cantor

Định nghĩa 1.17. Cho tập hợp bị chặn A ⊂ Rn. Ta gọi số d(A) =
supx,y∈A ∥x − y∥ là đường kính của A.
Dãy các tập hợp bị chặn {Ak}k ⊂ Rn được gọi là lồng nhau và thắt lại nếu

A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ Ak ⊃ ...

và
d(Ak) → 0 khi k → ∞.

Định lý 1.7. (Cantor) Trong không gian Rn mọi dãy các tập hợp compact
không rỗng lồng nhau và thắt lại đều có điểm chung duy nhất.

Chứng minh. Giả sử {Ak}k ⊂ Rn là dãy các tập compact không rỗng sao
cho

A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ Ak ⊃ ...
và

d(Ak) → 0 khi k → ∞.
Với mỗi k ∈ N∗ ta lấy một phần tử ak ∈ Ak, phần tử này tồn tại vì
Ak̸ = ∅. Dãy {ak}k bị chặn vì {ak}k ⊂ A1 và A1 là tập bị chặn. Vì vậy
tồn tại dãy con {akl}l của {ak}k sao cho akl → a khi l → ∞. Ta sẽ chứng
minh a ∈ ∩∞ k=1Ak. Thật vậy, với mỗi s ∈ N∗ cố định ta có ks ≥ s, vì
thế với mọi p ∈ N∗ ta có ks+p ≥ s + p > s, do đó aks+p ∈ Aks+p ⊂ As.
Từ đó a = liml→∞ akl = limp→∞ aks+p ∈ As (vì As là tập đóng). Điều
này đúng với mọi s ∈ N∗. Vậy a ∈ ∩∞ s=1As. Ta còn phải chứng minh a

19

chung này là duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại a′ ∈ ∩∞ s=1As. Khi đó ta có
0 ≤ ∥a − a′∥ ≤ d(As) → 0 khi s → ∞. Từ đó suy ra ∥a − a′∥ = 0 hay
a = a′.

1.2 Hàm liên tục trên Rn

1.2.1 Hàm vectơ n biến

Định nghĩa 1.18. Cho A ⊂ Rn. Ánh xạ f : A → Rp được gọi là hàm vectơ
n biến với miền xác định là A và với giá trị trong Rp.

Ví dụ 1.10. Nếu p = 1 tức là f : A → R thì ta có hàm số n biến.

Cho f : A ⊂ Rn → Rp. Khi đó với mỗi x ∈ A, f (x) là một phần
tử của Rp. Kí hiệu f1(x), ..., fp(x) là các toạ độ của f (x) ∈ Rp, tức là
f (x) = (f1(x), ..., fp(x)). Như vậy mỗi hàm vectơ f xác định p hàm thành
phần fi : A → R, i = 1, ..., p.
Ngược lại, nếu cho p hàm gi : A → R, i = 1, ..., p thì ta có thể xác định
hàm g : A → Rp bằng cách đặt g(x) = (g1(x), ..., gp(x)), x ∈ A. Kí hiệu
g = (g1, ..., gp).

Định nghĩa 1.19. Hàm f : A ⊂ Rn → Rp gọi là bị chặn trên A nếu f (A)
là tập bị chặn trong Rp, tức là nếu tồn tại M > 0 sao cho ∥f (x)∥ ≤ M với
mọi x ∈ A.

Nhận xét 1.2. Từ định nghĩa ta suy ra f = (f1, ..., fp) là bị chặn nếu và

chỉ nếu các hàm fi, i = 1, ..., p là bị chặn.

∥f (x)∥ = p

|fi(x)|2.

i=1

20