Bài giảng động lực học kết cấu chương 3 đào đình nhân

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TPHCM
KHOA XÂY DỰNG

BÀI GIẢNG ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU
(hệ đại học tín chỉ)

Chương 3: HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO
Đào Đình Nhân

1

3.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo

Xét khung phẳng 2 tầng như hình vẽ = ‫݌‬ଵ‫(ݐ)‬
Khối lượng m1:

݉ଵ‫ݑ‬ሷ ଵ + ܿଵ‫ݑ‬ሶ ଵ + ܿଶ ‫ݑ‬ሶ ଵ − ‫ݑ‬ሶ ଶ + ݇ଵ‫ݑ‬ଵ + ݇ଶ ‫ݑ‬ଵ − ‫ݑ‬ଶ
Khối lượng m2:

݉ଶ‫ݑ‬ሷ ଶ + ܿଶ ‫ݑ‬ሶ ଶ − ‫ݑ‬ሶ ଵ + ݇ଶ ‫ݑ‬ଶ − ‫ݑ‬ଵ = ‫݌‬ଶ‫(ݐ)‬

Viết dưới dạng ma trận:

‫݌‬ଶ‫(ݐ)‬ ݉ଶ ‫ݑ‬ଶ ݉ଵ 0 ‫ݑ‬ሷ ଵ 0 ݉ଶ ‫ݑ‬ሷ ଶ + ܿଵ + ܿଶ −ܿଶ ‫ݑ‬ሶ ଵ −ܿଶ ܿଶ ‫ݑ‬ሶ ଶ
+ −݇ଶ ݇ଶ ‫ݑ‬ଶ ݇ଵ + ݇ଶ −݇ଶ ‫ݑ‬ଵ = ‫݌‬ଶ ‫݌‬ଵ
݇ଶ ܿଶ

‫݌‬ଵ‫(ݐ)‬ ݉ଵ ‫ݑ‬ଵ

݇ଵ ܿଵ Hoặc:
݉ଵଵ ݉ଵଶ ‫ݑ‬ሷ ݉ ଵ ଶଵ ݉ଶ ‫ݑ‬ሷ ଶ + ܿଵଵ ܿଵଶ ‫ݑ‬ሶ ܿ ଵ ଶଵ ܿଶଶ ‫ݑ‬ሶ ଶ

+ ݇ଵଵ ݇ଵଶ ‫ݑ‬ଵ = ‫݌‬ଵ
݇ଶଵ ݇ଶଶ ‫ݑ‬ଶ ‫݌‬ଶ
2

1

3.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo

Tổng quát:

Gọi: ݉௜௝ = lực quán tính tương ứng với ‫ݑ‬௜ do ‫ݑ‬ሷ௝ = 1 gây ra
ܿ௜௝ = lực cản tương ứng với ‫ݑ‬௜ do ‫ݑ‬ሶ௝ = 1 gây ra
݇௜௝ = lực đàn hồi tương ứng với ‫ݑ‬௜ do ‫ݑ‬௝ = 1 gây ra

Theo phương bậc tự do ‫ݑ‬௜: ∑௝ୀଵ ௡೏೚೑ ݉௜௝ × ‫ݑ‬ሷ௝
Lực quán tính = ∑௝ୀଵ ௡೏೚೑ ܿ௜௝ × ‫ݑ‬ሶ௝

Lực cản = ∑௝ୀଵ ௡೏೚೑ ݇௜௝ × ‫ݑ‬௝

Lực đàn hồi =

Theo nguyên lý D’Alembert:

௡೏೚೑ ௡೏೚೑ ௡೏೚೑

෍ ݉௜௝ × ‫ݑ‬ሷ௝ + ෍ ܿ௜௝ × ‫ݑ‬ሶ௝ + ෍ ݇௜௝ × ‫ݑ‬௝ = p୧

௝ୀଵ ௝ୀଵ ௝ୀଵ

Xét tất cả các bậc tự do và viết dưới dạng ma trận:

݉௜௝ ‫ݑ‬ሷ ௜ + ܿ௜௝ ‫ݑ‬ሶ ௜ + ݇௜௝ ‫ݑ‬௜ = ‫݌‬௜

3

3.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo

Hay:

‫࢛ۻ‬ሷ + ۱࢛ሶ + ۹࢛ = ࢖

Trong đó: ‫ = ۻ‬Ma trận khối lượng
۱ = Ma trận cản
۹ = Ma trận độ cứng

Nếu khối lượng của hệ được thu gọn về các bậc tự do là các chuyển
vị thẳng thì ݉௜௝ = 0 (݄݇݅ ݅ <> ݆) và ma trận khối lượng trở thành ma
trận đường chéo với các khối lượng tương ứng với các bậc tự do là
các chuyển vị thẳng

4

2

3.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo

Ví dụ: Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo cho kết cấu như hình vẽ.
Biết rằng các thanh dầm là tuyệt đối cứng và bỏ qua tính cản

‫݌‬ଷ ݉/2 ‫ݑ‬ଷ ‫࢛ۻ‬ሷ + ۹࢛ = ࢖

‫ܫܧ‬ ‫ܫܧ‬ ݄ ‫ݑ‬ଵ
‫݌‬ଶ ࢛ = ‫ݑ‬ଶ
݉ ‫ݑ‬ଶ
‫ݑ‬ଷ
‫ܫܧ‬ ‫ܫܧ‬ ݄
‫݌‬ଵ ݉0 0
݉ ‫ݑ‬ଵ ‫ =ۻ‬0 ݉ 0
‫ܫܧ‬
‫݄ ܫܧ‬ 0 0 ݉/2

‫ ܫܧ‬48 −24 0
۹ = ݄ଷ −24 48 −24 0 −24 24

‫݌‬ଵ
࢖ = ‫݌‬ଶ

‫݌‬ଷ

5

3.2 Dao động tự do và mode dao động

DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ 3 BTD

6

3

3.2 Dao động tự do và mode dao động

TẦN SỐ VÀ HÌNH DẠNG CỦA CÁC MODE DAO ĐỘNG
Phương trình vi phân chủ đạo của dao động tự do không cản:

‫࢛ۻ‬ሷ + ۹࢛ = ૙

Khi hệ dao động đều hịa với hình dạng khơng đổi, có thể biểu diễn
nghiệm dưới dạng:

‫ݑ‬ଵ ߶ଵ
⋮ = ⋮ sin(߱௡‫ (ߠ + ݐ‬hay: ࢛ = ࣘsin(߱௡‫(ߠ + ݐ‬
‫ݑ‬ே ߶ே

Thay nghiệm này vào phương trình vi phân chủ đạo:

۹ − ߱୬ଶ‫ࣘ ۻ‬sin(߱௡ + ‫ = (ߠ‬૙

Phương trình này phải thỏa mãn tại mọi thời điểm, do đó:

۹ − ߱୬ଶ‫ = ࣘ ۻ‬૙ (3.2-1) 7

3.2 Dao động tự do và mode dao động

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (3.2-1) có ít nhất là một
nghiệm tầm thường ࣘ = ૙, ứng với trạng thái cân bằng tĩnh.
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (3.2-1) sẽ có nghiệm khơng
tầm thường nếu:

det ۹ − ߱୬ଶ‫ = ۻ‬૙ : Phương trình đặc trưng

Giải phương trình bậc ܰ theo ߱௡ଶ trên ta sẽ tìm được ܰ giá trị
(dương) của ߱௡ଶ. Từ đó sẽ tìm được ܰ tần số vòng tự nhiên ߱௡ của
ܰ mode dao động
Thay các giá trị của ߱௡ vào phương trình thuần nhất (3.2-1) ta sẽ tìm
được ܰ họ nghiệm ࣘ࢔. Mỗi họ nghiệm ࣘ࢔ = ߶ଵ௡ … ߶ே,௡ ் biểu
diễn hình dạng của một mode dao động tương ứng với tần số vòng ߱௡

߶ଵଵ ⋮ ߶ଵே
઴ = ࣘ૚ … ࣘ‫ ⋮ ⋮ ⋮ = ࡺ‬gọi là ma trận các hàm dạng

߶ேଵ ⋮ ߶ேே

8

4

3.2 Dao động tự do và mode dao động

Ví dụ: Xác định tần số vịng tự nhiên và hình dạng các mode của kết cấu

như hình vẽ Phương trình đặc trưng:

݉/2 ‫ݑ‬ଷ det ۹ − ߱୬ଶ‫ = ۻ‬૙

‫ܫܧ‬ ‫ܫܧ‬ ݄ 48 ݄ଷ ‫߱݉ − ܫܧ‬ଶ ‫ܫܧ‬ 0
‫ܫܧ‬ −24 ݄ଷ ‫ܫܧ‬
݉ ‫ݑ‬ଶ 48 ݄ଷ ‫߱݉ − ܫܧ‬ଶ
−24 ݄ଷ −24 ଷ = 0
0 ‫ܫܧ‬ ݄
−24 ݄ଷ

24 ݄ଷ ‫݉ − ܫܧ‬2 ߱ଶ

‫ܫܧ‬ ‫ܫܧ‬ ݄

݉ ‫ݑ‬ଵ

‫݄ ܫܧ ܫܧ‬

9

3.2 Dao động tự do và mode dao động

TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC MODE
Xét hai mode n và r:

۹ − ߱୬ଶ‫ = ࢔ࣘ ۻ‬૙ (3.2-2)

۹ − ߱௥ଶ‫ = ࢘ࣘ ۻ‬૙ (3.2-3)

Lần lượt nhân trước (3.2-2) và (3.2-3) cho ࣘ࢘‫ ࢀ‬và ࣘ࢔‫:ࢀ‬

ࣘ࢘‫ࢀ‬۹ࣘ࢔ = ߱୬ଶࣘ࢘‫ ࢔ࣘۻࢀ‬(3.2-4)

ࣘ࢔‫ࢀ‬۹ࣘ࢘ = ߱୰ଶࣘ࢔‫࢘ࣘۻࢀ‬ (3.2-5)
So sánh (3.2-4) và (3.2-5):

߱୬ଶ − ߱௥ଶ ࣘ࢘‫ = ࢔ࣘۻࢀ‬૙

Hay ࣘ࢘‫ࢀ࢘ࣘ = ࢔ࣘۻࢀ‬۹ࣘ࢔ = ૙ nếu n<> r

10

5

3.2 Dao động tự do và mode dao động

BIỂU DIỄN PHẢN ỨNG CHUYỂN VỊ TRONG HỆ TỌA ĐỘ MODE
Giả sử:

ܿଵࣘ૚ + ܿଶࣘ૛ + ⋯ + ܿேࣘ‫ = ࡺ‬૙ (3.2-6)
Nhân trước phương trình trên với ࣘ࢔‫:ۻࢀ‬

ܿ௡ࣘ࢔‫ = ࢔ࣘۻࢀ‬0
Vì ࣘ࢔‫ ࢔ࣘۻࢀ‬nên ܿ௡ = 0
Nghĩa là phương trình (3.2-6) thỏa mãn nếu ܿଵ = ܿଶ = ⋯ = ܿே = 0.
Nói cách khác, các mode là độc lập tuyến tính.
Vì các mode là độc lập tuyến tính nên bất kỳ một vector
࢛ = ‫ݑ‬ଵ … ‫ݑ‬ே nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp
tuyến tính của các vector ߶ଵ, … , ߶ே:

࢛ = ‫ݍ‬ଵࣘ૚ + ⋯ + ‫ݍ‬ேࣘ‫ݍ࢔ࣘ ∑ = ࡺ‬௡ = ઴ࢗ (3.2-7) 11

3.2 Dao động tự do và mode dao động

DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN
Phương trình vi phân chủ đạo của dao động tự do không cản:

‫࢛ۻ‬ሷ + ۹࢛ = ૙ (3.2-8)

Thay (3.2-7) vào (3.2-8):

‫ۻ‬઴ࢗሷ + ۹઴ࢗ = ૙ (3.2-9)

Nhân trước (3.2-9) với ઴‫:ࢀ‬

઴‫ۻࢀ‬઴ࢗሷ + ઴‫ࢀ‬۹઴ࢗ = ૙ (3.2-10)

Theo tính trực giao của các mode, phương trình (3.2-10) tương
đương với hệ ܰ phương trình có nghiệm tách rời sau:

ቐ Φଵ்‫ۻ‬Φଵ‫ݍ‬ሷଵ + Φଵ்۹Φଵ‫ݍ‬ଵ = 0 (3.2-11)

… 12
Φே் ‫ۻ‬Φே‫ݍ‬ሷே + Φே் ۹Φே‫ݍ‬ே = 0

6

3.2 Dao động tự do và mode dao động

Phương trình thứ n của hệ phương trình (3.2-11) là phương trình
dao động tự do không cản của hệ 1BTD:

‫ܯ‬௡‫ݍ‬ሷ௡ + ‫ܭ‬௡‫ݍ‬௡ = 0 (3.2-12)
Trong đó:

‫ܯ‬௡ = ࣘ࢔‫ܭ ;࢔ࣘۻࢀ‬௡ = ࣘ࢔‫ࢀ‬۹ࣘ࢔
Nghiệm của phương trình (3.2-12) là:

‫ݍ‬௡ = ‫ܣ‬௡cos(߱௡‫ܤ + (ݐ‬௡sin(߱௡‫(ݐ‬ (3.2-13)

Theo (3.2-7) và (3.2-13), nghiệm của (3.2-8) là:

࢛ = ∑ ࣘ࢔ ‫ܣ‬௡ cos ߱௡‫ܤ + ݐ‬௡ sin ߱௡‫ݐ‬ (3.2-14)

࢛ሶ = ∑ ࣘ࢔ −߱௡‫ܣ‬௡ sin ߱௡‫߱ + ݐ‬௡‫ܤ‬௡ cos ߱௡‫ݐ‬

13

3.2 Dao động tự do và mode dao động

Tại thời điểm ban đầu: (3.2-15a)
࢛(૙) = ∑ ࣘ࢔‫ܣ‬௡

࢛ሶ (૙) = ∑ ࣘ࢔߱௡‫ܤ‬௡ (3.2-15b)

Nhân 2 vế của phương trình (3.2-15) với ࣘ࢔‫:ۻࢀ‬ (3.2-16a)
ࣘ࢔‫ ࢛ۻࢀ‬૙ = ࣘ࢔‫ܣ࢔ࣘۻࢀ‬௡ = ‫ܯ‬௡‫ܣ‬௡

ࣘ࢔‫࢛ۻࢀ‬ሶ ૙ = ࣘ࢔‫߱࢔ࣘۻࢀ‬௡‫ܤ‬௡ = ‫ܯ‬௡߱௡‫ܤ‬௡ (3.2-16b)

Như vậy nghiệm của (3.2-8) là (3.2-14) với ߱௡ và ࣘ࢔ là tần số vòng
và dạng của mode dao động thứ ݊, ‫ܣ‬௡và ‫ܤ‬௡ được xác định theo
điều kiện ban đầu theo phương trình (3.2-16)

14

7

3.3 Phương pháp chồng chất mode

Hệ phương trình vi phân chủ đạo của hệ có N bậc tự do:

‫࢛ۻ‬ሷ + ۱࢛ሶ + ۹࢛ = ࢖(࢚) (3.3-1)

Biểu diễn ࢛ theo tọa độ mode như (3.2-7) và thay vào (3.3-1):

‫ۻ‬઴ࢗሷ + ۱઴ࢗሶ + ۹઴ࢗ = ࢖(࢚) (3.3-2)

Nhân trước (3.3-2) với ઴‫:ࢀ‬

઴‫ۻࢀ‬઴ࢗሷ + ઴‫ࢀ‬۱઴ࢗሶ + ઴‫ࢀ‬۹઴ࢗ = ઴‫(࢚)࢖ࢀ‬ (3.3-3)

Nếu ma trận cản tỉ lệ với ma trận khối lượng và ma trận độ cứng
(cản Rayleigh) theo:

۱ = ܽெ‫ܽ + ۻ‬௄۹ (3.3-4)

thì hệ phương trình (3.3-3) có dạng tách rời

15

3.3 Phương pháp chồng chất mode

Phương trình thứ n trong hệ phương trình vi phân tách rời:

ࣘ࢔‫ݍ࢔ࣘۻࢀ‬ሷ௡ + ࣘ࢔‫ࢀ‬۱ࣘ࢔‫ݍ‬ሶ௡ + ࣘ࢔‫ࢀ‬۹ࣘ࢔‫(࢚)࢖ࢀࣘ = ݍ‬ (3.3-5)

Hay:

‫ܯ‬௡‫ݍ‬ሷ௡ + ‫ܥ‬௡‫ݍ‬ሶ௡ + ‫ܭ‬௡‫ݍ‬௡ = ‫݌‬௡‫(ݐ)‬ (3.3-6)

Phương trình (3.3-6) là phương trình vi phân chuyển động của hệ
1BTD. Giải phương trình này để tìm ‫ݍ‬௡. Nghiệm của hệ phương
trình (3.3-1) được xác định theo:

࢛ = ∑ ࣘ࢔‫ݍ‬௡ (3.2-7)
Sự tham gia của mode n vào chuyển vị của hệ:

࢛࢔ = ࣘ࢔‫ݍ‬௡ (3.3-7)

16

8

3.3 Phương pháp chồng chất mode

LỰC TĨNH NGANG TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ SỰ THAM GIA CỦA CÁC MODE
Lực tĩnh ngang tương đương do mode thứ n gây ra:

‫ = ࢔ࢌ‬۹࢛࢔ = ۹ࣘ࢔‫ݍ‬௡ (3.3-8)

Theo (3.2-1)

۹ࣘ࢔ = ߱௡ଶ‫࢔ࣘۻ‬
Do đó:

‫߱ = ࢔ࢌ‬௡ଶ‫ݍ࢔ࣘۻ‬௡

Phân tích hệ chịu ‫ ࢔ࢌ‬để tính phản ứng ࢘࢔ của hệ. Đây là sự tham
gia của mode thứ n vào tổng phản ứng của hệ. Tổng phản ứng

của hệ được tính bởi:

࢘ = ∑ ࢘࢔

17

9