Điều khiển h cho mạng nowronhopfield phân thứ có trễ biến thiên

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC </b>

<b>NGUYỄN THỊ THANH NGÂN </b>

<i><b>ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MẠNG NƠ RON HOPFIELD </b></i>

<b>PHÂN THỨ CÓ TRỄ BIẾN THIÊN</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Mục lục

1.1. Một số kiến thức cơ bản về tích phân và đạo hàm phân thứ 7

2.1. Phát biểu bài toán và một số định nghĩa . . . 22 2.2. Thiết kế điều khiển H_∞ cho hệ nơ ron thần kinh phân thứ

có trễ biến thiên . . . 23

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích phân thứ nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học vì những ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghiệp [1, 2, 14, 15, 21]. Mạng nơ ron phân thứ là một trong những ứng dụng quan trọng của giải tích phân thứ. So với mạng nơ ron mô tả bởi đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi đạo hàm phân thứ có thể mơ tả chính xác hơn các hiện tượng thực tế. Do đó mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học, nhiều kết quả nghiên cứu sau sắc về mạng nơ ron phân thứ đã được công bố trong những năm gần đây, chẳng hạn như nghiên cứu tính ổn định tiệm cận [37], nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu hạn [30, 34, 35], tính thụ động [10, 28], bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển [31, 32], tính đồng bộ hóa [27].

Điều khiển H_∞ là một công cụ hữu hiệu để đảm bảo hiệu suất của hệ thống khi có tác động bởi nhiễu. Bài toán điều khiển H_∞ cần đảm bảo hai yếu tố: ổn định hóa hệ thống khi khơng có nhiễu đầu vào và đảm bảo hiệu suất của hệ thống khi có nhiễu. Bài tốn điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học và một số kết quả sau sâu sắc và quan trọng đã được công bố trong những năm gần đây [3, 9, 25]. V.N. Phat cùng các cộng sự [25] nghiên cứu bài toán điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron có trễ biến thiên với bậc nguyên bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii kết hợp với bất đẳng thức Jensen. Một vài tiêu chuẩn phụ thuộc cận trên của độ trễ cho bài toán điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron khơng chắc chắn

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

có trễ hỗn hợp được đưa ra trong [3]. Chinnamuniyandi cùng các cộng sự [9] nghiên cứu bài toán điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron ngẫu nhiên với bậc nguyên có trễ biến thiên. Có thể nói kỹ thuật chính được sử dụng để nghiên cứu bài toán điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên đó là phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii kết hợp với các bất đẳng thức tích phân (bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức Wirtinger, bất đẳng thức Bessel-Legendre). Do đó việc xây dựng các hàm Lyapunov–Krasovskii và tính đạo hàm của nó đóng vai trị quan trọng khi nghiên cứu bài tốn điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên. Tuy nhiên đối với mạng nơ ron với bậc phân thứ, việc xây dựng các hàm Lyapunov phù hợp và ước lượng đạo hàm phân thứ của nó gặp nhiều khó khăn. Đó là lý do chính khiến cho việc nghiên cứu bài toán điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron với bậc phân thứ gặp nhiều khó khăn và có ít kết quả về bài toán này cho mạng nơ ron với bậc phân thứ được công bố [26, 30]. X. Peng và H. Wu [26] nghiên cứu bài toán ổn định hóa trong thời gian hữu hạn và bài toán điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron phân thứ có trễ bằng việc sử dụng các cơng cụ của giải tích khơng trơn, kỹ thuật bất đẳng thức và phương pháp hàm Lyapunov. M.V. Thuan cùng các cộng sự [30] nghiên cứu bài toán điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron phân thứ khơng có trễ bằng cách sử dụng lý thuyết ổn định trong thời gian hữu hạn và bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Tuy nhiên, khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn và khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov là hai khái niệm độc lập. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn khơng suy ra tính ổn định theo nghĩa Lyapunov và ngược lại. Gần đây, các tác giả trong tài liệu [29] đưa ra một vài tiêu chuẩn giải bài toán điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron phân thứ có trễ biến thiên bằng cách sử dụng định lý Razumikhin cho hệ phân thứ kết hợp với kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính [5].

Luận văn tập trung trình bày một số tiêu chuẩn giải bài tốn điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron phân thứ có trễ biến thiên trên cơ sở đọc

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

hiểu và trình bày lại một cách chi tiết nội dung của bài báo trong tài liệu [29]. Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung sau:

Trong chương 1, chúng tơi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo, mối liên hệ giữa đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và đạo hàm phân thứ Caputo. Định lý Razumikhin dùng để nghiên cứu tính ổn định cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo được chúng tơi trình bày trong phần tiếp theo của chương này. Chúng tơi trình bày một số tiêu chuẩn giải bài toán điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên. Cuối chương, chúng tơi trình bày một số bổ đề bổ trợ dùng cho chương hai của luận văn. Nội dung của chương này được viết dựa trên các tài liệu [12, 14, 15, 21, 25].

Trong chương 2 của luận văn, chúng tơi trình bày một số tiêu chuẩn giải bài tốn điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron phân thứ có trễ biến thiên. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [29]. Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Mai Viết Thuận và TS. Nguyễn Thị Ngọc Oanh. Tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học của mình. Những người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tơi trong suốt q trình thực hiện đề tài luận văn này.

Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học -Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tơi trong suốt q trình nghiên cứu. Sau cùng tơi xin kính chúc tồn thể q thầy cơ trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin chân thành cảm ơn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Danh mục ký hiệu

Rⁿ không gian vec tơ thực Euclide n chiều A^> ma trận chuyển vị của ma trận A

λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A λ_max(A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λ<small>min</small>(A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

kAk chuẩn phổ của ma trận A, kAk = pλ_max(A<small>></small>A)

A > 0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rⁿ, x 6= 0 LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x₁, x<small>2</small>, ..., x<small>n</small>)^> ∈ R<small>n</small>

R^n×r khơng gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rⁿ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rⁿ AC^m[a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

<small>t</small>₀I_t^α toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

E<small>α,β</small> hàm Mittag-Leffler hai tham số

dαe số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α sym(P ) thay thế cho P + P^T

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, trước hết, chúng tơi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ bao gồm tích phân phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ. Tiếp đến, chúng tơi trình bày một số tiêu chuẩn giải bài tốn điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên. Cuối chương, chúng tơi trình bày một số bổ đề bổ trợ dùng cho chương hai của luận văn. Nội dung của chương này được viết dựa trên các tài liệu [12, 14, 15, 21, 25].

1.1.Một số kiến thức cơ bản về tích phân và đạo hàm phân thứ

1.1.1. Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thơng thường.

Định nghĩa 1.1. ([15]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước _t₀I_t^α := I với I là toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau.

Định lý 1.1. ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi đó, tích phân _t₀I_t^αx(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa,

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực.

Định nghĩa 1.2. ([15]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và _dt^dⁿ<small>n</small> là đạo hàm thông thường cấp n.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.

Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f⁰(t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b].

Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACⁿ[a, b] như sau: ACⁿ[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dⁿ⁻¹f )(t) ∈ AC[a, b]

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACⁿ[a, b].

Mệnh đề 1.1. ([15]) Không gian ACⁿ[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Ngồi ra, từ các điều kiện trên ta có

<small>0</small> D_t^αf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2

Hệ quả 1.1. ([15]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

Mệnh đề 1.2. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Định nghĩa 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

<small>t</small>₀D^α_t x(t) := <small>t</small>₀I_t^n−αDⁿx(t),

trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dⁿ = _dx^dⁿ<small>n</small> là đạo hàm thông thường cấp n.

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x₁(t), x₂(t), . . . , x_d(t))^T đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:

<small>t</small>₀D^α_tx(t) := ^C_t₀D_t^αx<small>1</small>(t), ^C_t₀D_t^αx<small>2</small>(t), . . . , ^C_t₀D_t^αx<small>d</small>(t)^T .

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đạo hàm Caputo phân thứ cấp α.

Định lý 1.3. ([15]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ ACⁿ[a, b], khi đó đạo hàm phân thứ Caputo ^C_t

<small>0</small>D_t^αf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Mệnh đề 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một tốn tử tuyến tính, tức là

<small>t0</small>D_t^α[λf (t) + µg(t)] = λ^C_t₀D_t^αf (t) + µ^C_t₀D^α_tg(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ ACⁿ[a, b].

Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.

Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.

Mệnh đề 1.4. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì ^C_t

<small>0</small>D^α_t ξ = 0.

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là nghịch đảo trái của tốn tử tích phân phân thứ.

Định lý 1.4. ([15]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có

<small>t</small>₀D_t^α(<small>t</small>₀I_t^αf (t)) = f (t).

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung khơng là tốn tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định

Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Định lý 1.6. [15] Cho α > 0 và đặt n = dαe . Với bất kì x ∈ ACⁿ[a, b],

với hầu hết t ∈ [a, b].

Định lý 1.7. (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas và các đồng tác giả [15]) Cho các số dương α > 0, β > 0. Giả sử rằng f (t) là một hàm liên tục. Khi đó ta có đẳng thức sau đây

<small>t0</small>I_t^α^_t₀I_t^βf (t)^ = _t₀I_t^β(_t₀I_t^αf (t)) = _t₀I_t^α+βf (t), ∀t ≥ t₀ ≥ 0.

1.2.Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ

Trong mục này chúng tơi trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo. Ngồi ra, chúng tơi cũng trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ.

Trước hết, chúng tơi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.

Định nghĩa 1.4. [14] Cho α ∈ C, một hàm E<small>α</small> : C −→ C xác định bởi

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.

Nhận xét 1.1. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hồn tồn tương tự, tức là

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas [15].

Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo sau đây

trong đó α ∈ (0, 1), x = (x₁, x<small>2</small>, . . . , x<small>n</small>)^T ∈ R<small>n</small> là véc tơ trạng thái, t₀ ≥ 0 là thời điểm ban dầu, và f : [0, +∞) × Rⁿ −→ R<small>n</small> là một hàm liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x.

Định nghĩa 1.6. ([37]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0.

Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có thể chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ (1.1) trở thành

<small>t0</small>D_t^αy(t) = ^C_t₀D_t^α(x(t) − x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)), (1.2)

trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t). Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

bất kỳ của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định tính của điểm gốc 0 của hệ. Khơng mất tính tổng qt, ta ln giả thiết hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có điểm cân bằng là 0.

Định nghĩa 1.7. ([37]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.1) được gọi là ổn định Mittag–Leffler nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn

kx(t)k ≤ [m(x₀)E<small>α</small>(−λ(t − t<small>0</small>)^α)]^b,

ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≤ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x ∈ Rⁿ với hằng số Lipschitz m₀.

Nhận xét 1.2. ([37]) Nếu hệ (1.1) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm cận, tức là lim

Định lý dưới đây được đưa ra bởi các tác giả Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny. Định lý cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1). Đây được xem là phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo.

Định lý 1.8. ([21]) Hệ (1.1) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương α₁, α<small>2</small>, α<small>3</small>, a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện:

(i) α<small>1</small>kx(t)k<small>a</small> ≤ V (t, x(t)) ≤ α₂kx(t)k<small>ab</small>, (ii) ^C_t₀D_t^αV (t, x(t)) ≤ −α₃kx(t)k<small>ab</small>,

trong đó t ≥ t₀ ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0 trong Rⁿ. Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rⁿ thì hệ (1.1) là Mittag–Leffler ổn định tồn cục.

Tiếp theo, chúng tơi trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ. Đối với lớp hệ phương trình vi phân

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

phân thứ Caputo có trễ, B. Chen và J. Chen [6] đã đưa ra một phiên bản mới của Định lý Razumikhin cho hệ phân thứ có trễ. Theo như sự hiểu biết của chúng tôi, đây là một trong những phương pháp quan trọng để nghiên cứu tính ổn định và một số tính chất liên quan của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ.

Định lý 1.9. [6] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ

<small>t</small>₀D_t^αx(t) = f (t, x<small>t</small>), ở đó x<small>t</small> = x(t + θ) ∈ C([t<small>0</small> − τ, t<small>0</small>], Rⁿ), −τ ≤ θ ≤ 0, f : [t₀, +∞) × C([t₀ − τ, t₀], Rⁿ) → Rⁿ là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương trên [t₀, +∞), x<small>t</small>₀ = φ ∈ C([t₀ − τ, t₀], Rⁿ) là điều kiện ban đầu. Giả sử tồn tại ba hằng số dương a₁, a<small>2</small>, a<small>3</small> và một hàm khả vi V : R × Rⁿ −→ R thỏa mãn

(i) a₁kxk<small>2</small> ≤ V (x) ≤ a₂kxk<small>2</small>,

và đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V (.) thỏa mãn

(ii)^C_t₀D_t^αV (x(t)) ≤ −a₃kxk<small>2</small> khi mà V (x(t + s)) ≤ γV (x(t)), s ∈ [−τ, 0], với γ > 1 nào đó.

Khi đó hệ ổn định tiệm cận.

1.3.Bài toán điều khiển H

_∞

cho mạng nơ ron với bậc ngun có trễ biến thiên

Trong chương này chúng tơi trình bày một số tiêu chuẩn cho bài tốn điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên có trễ biến thiên. Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo V.N. Phat và H. Trinh

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

trong đó τ = max{τ₁, τ<small>2</small>}, x(t) ∈ R<small>n</small> là véc tơ trạng thái của hệ nơ ron, u(.) ∈ L₂([0, s), R^m), s > 0, m ≤ n là véc tơ điều khiển, w(.) ∈ L<small>2</small>([0, ∞), R^r), r ≤ n là véc tơ nhiễu đầu vào của hệ nơ ron, z(t) ∈ R^l, l ≤ n là véc tơ quan sát của hệ nơ ron. Các hàm

Trong mục này, ta giả thiết độ trễ τ₁(t), τ<small>2</small>(t) là các hàm liên tục thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây.

(H1) 0 ≤ τ<small>1</small>(t) ≤ τ<small>1</small>, ˙τ<small>1</small>(t) ≤ δ<small>1</small> < 1, 0 ≤ τ<small>2</small>(t) ≤ τ<small>2</small>, ˙τ<small>2</small>(t) ≤ δ<small>2</small> < 1, ∀t ≥ 0. (H2) 0 ≤ τ₁(t) ≤ τ₁, 0 ≤ τ₂(t) ≤ τ₂, ∀t ≥ 0.

Hàm kích hoạt f (.), g(.), h(.) thỏa mãn f (0) = h(0) = g(0) = 0 và thỏa mãn điều kiện dưới đây

|f_i(x<small>1</small>) − f<small>i</small>(x<small>2</small>)| ≤ ξ<small>i</small>|x₁− x₂|, i = 1, 2, . . . , n, ∀x₁, x<small>2</small> ∈ R, |g_i(x<small>1</small>) − g<small>i</small>(x<small>2</small>)| ≤ σ<small>i</small>|x₁− x₂|, i = 1, 2, . . . , n, ∀x₁, x<small>2</small> ∈ R, |h_i(x<small>1</small>) − h<small>i</small>(x<small>2</small>)| ≤ η<small>i</small>|x₁ − x₂|, i = 1, 2, . . . , n, ∀x₁, x<small>2</small> ∈ R,

trong đó ξ_i > 0, σ_i > 0, η_i > 0, i = 1, 2, . . . , n là các hằng số cho trước.

Định nghĩa 1.8. Cho trước số β > 0. Hệ (1.3), trong đó w(t) = 0, z(t) = 0, là β−ổn định hóa nếu tồn tại một điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái u(t) = Kx(t) sao cho mọi nghiệm x(t, φ) của hệ đóng sau đây

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

thỏa mãn

∃N > 0 : kx(t, φ)k ≤ N kφke^−βt, ∀t ≥ 0.

Định nghĩa 1.9. Cho các số dương β > 0, γ > 0. Bài toán điều khiển H_∞ cho hệ (1.3) có nghiệm nếu tồn tại một điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái u(t) = Kx(t) thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

(i) Hệ (1.3) với w(t) = 0, z(t) = 0 là β−ổn định hóa.

(ii) Tồn tại một số c₀ > 0 sao cho bất đẳng thức dưới đây thỏa mãn với mọi điều kiện ban đầu φ(.) ∈ C([−τ, 0], Rⁿ) và véc tơ nhiễu đầu vào w(.) ∈ L₂([0, ∞), Rⁿ).

Để nghiên cứu bài toán điều khiển H_∞ cho hệ (1.3), ta giả thiết D^T ^h_{C W}₂ⁱ= 0, D^TD = I_m.

Định lý dưới đây đưa ra một tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển H_∞ cho mạng nơ ron thần kinh (1.3) trong trường hợp độ trễ là hàm khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện (H1).

Định lý 1.10. [25] Giả sử giả thiết (H1) thỏa mãn. Cho trước số β > 0. Bài toán điều khiển H_∞ cho hệ nơ ron thần kinh (1.3) có nghiệm nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ R^n×n, hai ma trận đường chéo chính xác định dương D₁, D<small>2</small> sao cho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đây được thỏa mãn

</div>