full Đề ôn thi toán thpt quốc gia 2024

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

MỤC LỤC

§6. Ứng dụng đồ thị để biện luận nghiệm phương trình và bất phương trình 33

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

§1. Số phức 69

ChươngVII.

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

HÀM SỐ

Never put off until tomorrow what you can do today!

Đừng bao giờ để đến ngày mai những gì có thể làm hơm nay!

1) Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; b). Khi đó ✓ Hàm số đồng biến trên (a; b) nếu

∀x₁, x₂ ∈ (a; b) : x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) < f (x₂)

Trên khoảng (a; b), đồ thị là một "đường đi lên" khi xét từ trái sang phải.

Trên khoảng (a; b), đồ thị là một "đường đi xuống" khi xét từ trái sang phải.

2) Các tính chất thường dùng cho hàm đơn điệu

✓ Cho hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (a; b). Xét m, n ∈ (a; b). Nếu f (m) = f (n) thì m = n.

Nếu f (m) < f (n) thì m < n.

trình f (x) = k có khơng q 1 nghiệm

trình f (x) = k có khơng q 1 nghiệm thực trên (a; b).

3) Liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Chương 1. HÀM SỐ

① Nếu y^′ ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) thì y = f (x) đồng biến trên (a; b). ② Nếu y<small>′</small> ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) thì y = f (x) nghịch biến trên (a; b). Chú ý: Dấu bằng xảy ra chỉ tại các điểm "rời nhau".

II. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP

Dạng Tìm khoảng đơn điệu của một hàm số cho trước

<small>1</small> Tìm tập xác định D của hàm số.

<small>2</small> Tính y^′, giải phương trình y^′ = 0 tìm các nghiệm x_i (nếu có).

<small>3</small> Lập bảng xét dấu y^′ trên miền D. Từ dấu y<small>′</small>, ta suy ra chiều biến thiên của hàm số. Khoảng y^′ mang dấu −: Hàm nghịch biến.

Khoảng y^′ mang dấu +: Hàm đồng biến.

<small>Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a</small>

Nếu ∆ > 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x<small>1</small>, x<small>2</small>, ta có bảng xét dấu:

<small>f (x)</small>

<small>Cùng dấu với a 0</small> _{Trái dấu với a} <small>0 Cùng dấu với a</small>

Đối với tam thức từ bậc 3 trở lên ta xét dấu theo nguyên tắc: Thay 1 điểm x₀ ∈ Z gần với x_n bên ô phải của bảng xét dấu vào f (x) và xét theo nguyên tác: Dấu của f (x) đổi dấu khi qua nghiệm đơn, bội lẻ và không đổi dấu khi qua nghiệm bội chẵn .

Nghiệm bội chẵn là nghiệm có dạng (x − a)ⁿ = 0 (với n = 2, 4, 6, . . .). Nghiệm đơn x − b = 0, bội lẻ có dạng (x − b)ⁿ = 0 (với n = 1, 3, 5, . . .).

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

§1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

L

₁ _{Tìm khoảng đơn điệu của hàm số bằng hình ảnh đồ thị cho trước}

✓ Nếu đề bài cho đồ thị y = f (x), ta chỉ việc nhìn các khoảng mà đồ thị "đi lên" hoặc "đi xuống".

① Khoảng mà đồ thị "đi lên": hàm đồng biến; ② Khoảng mà đồ thị "đi xuống": hàm nghịch biến.

✓ Nếu đề bài cho đồ thị y = f<small>′</small>(x). Ta tiến hành lập bảng biến thiên của hàm y = f (x) theo các bước:

① Tìm nghiệm của f^′(x) = 0 (hồnh độ giao điểm với trục hoành);

② Xét dấu f^′(x) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Ox mang dấu âm); ③ Lập bảng biến thiên của y = f (x), suy ra kết quả tương ứng.

Dạng Tìm Khoảng đơn điệu của hàm số cho trước f^′(x)

Bài toán tổng quát: cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f^′(x) = . . . , ∀x ∈ K. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f (x).

○ Bước 1.Tìm nghiệm f^′(x) = 0 (nếu có).

○ Bước 2.Lập bảng xét dấu của f^′(x), khi đó tìm được khoảng đơn điệu của y = f (x). Khoảng f^′(x) chứa dấu + thì u = f (x) đồng biến trên khoảng đó.

Khoảng f^′(x) chứa dấu − thì u = f (x) nghịch biến trên khoảng đó.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Dạng Biện luận đơn điệu của hàm đa thức trên khoảng, đoạn cho trước

✓ Loại 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax<small>3</small>+ bx<small>2</small>+ cx + d đơn điệu trên toàn miền xác định R. (Đã học ở dạng trên)

✓ Loại 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax<small>3</small> + bx² + cx + d đơn điệu trên khoảng con của tập R.

Ta thường gặp hai trường hợp:

① Nếu phương trình y<small>′</small> = 0 giải được nghiệm "đẹp": Ta thiết lập bảng xét dấu y^′ theo các nghiệm vừa tìm (xét hết các khả năng nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó "ép" khoảng mà dấu y^′ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.

② Nếu phương trình y^′ = 0 nghiệm "xấu": Ta sử dụng 1 trong 2 cách sau Cách 1. Dùng định lý về so sánh nghiệm (sẽ nói rõ hơn qua bài giải cụ thể ). Cách 2. Cô lập tham số m, dùng đồ thị (cách này xét sau).

✓ Loại 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax<small>4</small> + bx<small>2</small> + c đơn điệu trên khoảng con của tập R.

① Giải phương trình y<small>′</small> = 0, tìm nghiệm.

② Biện luận các trường hợp nghiệm (nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó "ép" khoảng mà dấu y^′ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.

<small>1</small> Cách 1. Biện luận (đối với cách này phương trình y^′ = 0 có ∆ = (cx + d)² )

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

§1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Cô lập tham số m, tức là biến đổi f^′(x, m) ≥ 0 (≤ 0) ⇔ g(x) ≥ m (≤ m). Bước 1. Xác định tham số để hàm số f xác định trên khoảng đã cho.

Bước 2.Tính f^′(x, m), vận dụng định lí 1 vào các hàm số thường gặp trong chương trình.

Bước 3. Để giải bài toán dạng này, ta thường sử dụng các tính chất sau.

b

Nếu hàm số đồng biến trên (a; b) thì

f^′(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ←−−−−−−−−−−−→ g(x) ≥ h(m), ∀x ∈ [a; b]^{cô lập tham số m} ⇔ min

g(x) ≥ h(m).

b

Nếu hàm số nghịch biến trên (a; b) thì

f^′(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b] ←−−−−−−−−−−−→ g(x) ≤ h(m), ∀x ∈ [a; b]^{cô lập tham số m}

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<b>L<small>ƯU Ý</small></b>. Trong một số bài toán chứa tham số m mà tham số m bao gồm bậc hai và bậc một (hoặc các m lệch bậc) thì khơng thể cơ lập m được nên ta buộc phải biện luận.

b

Gọi S tập nghiệm của A · f^′(x) ≥ 0 thì S = R hoặc S = (−∞; x<small>1</small>) ∪ (x₂; +∞).

b

Khi đó điều kiện: A · f^′(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇔ [a; b] ⊂ S.

b

Khi đó điều kiện: A · f^′(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇔ [a; b] ⊂ [x₁; x₂].

c Ví dụ 2ac Ví dụ 2

Số các giá trị nguyên của m thuộc khoảng (−2021; 2021) sao cho hàm số y = x<small>3</small>−3x<small>2</small>−3mx+1 đồng biến trên khoảng (0; +∞) là

Dạng Hàm bậc ba y = ax<small>3</small>+ bx<small>2</small>+ cd + d (a ̸= 0) đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k hoặc nhỏ/lớn hơn k với k > 0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

§1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số 5

Dạng _{Phần tiếp theo}

○ Bước 3.Biến đổi |x₁− x₂| = k (∗) ⇔ (x₁− x₂)² = k<small>2</small> ⇔ (x₁+ x₂)²− 4x₁ · x₂ = k<small>2</small>.

○ Bước 4.Sử dụng định lý Vi-ét để đưa (∗) thành phương trình tham số.

○ Bước 5.Giải (∗), so sánh điều kiện để chọn kết quả thoả mãn.

○ Bước 2.Thực hiện yêu cầu bài toán:

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y^′ > 0 ⇔ ad − cb > 0. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y^′ < 0 ⇔ ad − cb < 0.

Dạng Biện luận đơn điệu của hàm phân thức trên khoảng, đoạn cho trước

✓ Loại 1. Tìm điều kiện của tham số để hàm y = ^{ax + b}

cx + d ^{đơn điệu trên từng khoảng xác} định. (Đã học ở dạng trên)

✓ Loại 2. Tìm điều kiện để hàm y = ^{ax + b}

cx + d đơn điệu trên khoảng (m; n) ⊂ R\

/ Bài toán: Cho hàm số f (u(x)) xác định và có đạo hàm trên(a; b). Xác định tham số m để hàm số f đồng biến (nghịch biến) trên (a; b).

/ Nhận xét: đối với các bài toán đặt ẩn phụ ta sử dụng tính chất sau: 8 Tính chất: đặt t = u(x), ∀x ∈ (a; b) ⇒ min

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Dạng Bài toán liên quan đến hàm hợp

✓ Loại 1: Cho đồ thị y = f<small>′</small>(x), hỏi tính đơn điệu của hàm y = f (x). ① Tìm nghiệm của f^′(x) = 0 (hồnh độ giao điểm với trục hoành);

② Xét dấu f<small>′</small>(x) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Ox mang dấu âm); ③ Lập bảng biến thiên của y = f (x), suy ra kết quả tương ứng.

✓ Loại 2: Cho đồ thị y = f<small>′</small>(x), hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = f (u). ① Tính y^′ = u^′· f<small>′</small>(u);

② Giải phương trình f^′(u) = 0 ⇔ "

u^′ = 0

f^′(u) = 0( Nhìn đồ thị, suy ra nghiệm.)^; ③ Lập bảng biến thiên của y = f (u), suy ra kết quả tương ứng.

✓ Loại 3: Cho đồ thị y = f<small>′</small>(x), hỏi tính đơn điệu của hàm y = g(x), trong đó g(x) có liên hệ với f (x).

① Tính y^′ = g^′(x);

② Giải phương trình g^′(x) = 0 (thường dẫn đến việc giải phương trình liên quan đến f^′(x). Loại này ta nhìn hình để suy ra nghiệm).

③ Lập bảng biến thiên của y = g(x), suy ra kết quả tương ứng. 9

Dạng Đơn điệu của hàm giá trị tuyệt đối

Hàm số y = |f (x)| đồng biến trên đoạn [a; +∞) khi và chỉ khi

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

§1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Các dạng đồng biến y = |f (x)| trên (−∞; a], [α; β] ta thực hiện tương tự. Hàm số hỏi nghịch biến làm ngược lại.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1) Định nghĩa.Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x<small>0</small> ∈ K. Ta nói:

○ x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại (a; b) chứa x₀ sao cho (a; b) ∈ K và f (x) > f (x₀), ∀x ∈ (a; b) \ {x₀}. Khi đó f (x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .

○ x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại (a; b) chứa x₀ sao cho (a; b) ∈ K và f (x) < f (x₀), ∀x ∈ (a; b) \ {x₀}. Khi đó f (x₀) được goi là giá trị cực đại của hàm số f .

 Chú ý:

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi  Điểm cực đại và điểm cực tiểu được

gọi chung là điểm cực trị của hàm số.

M (x₀; f (x₀))

2) Định lý.

<small>1</small> Hàm số đạt cực trị tại x₀ thì x₀ là nghiệm của phương trình y^′ = 0 hoặc x₀ là điểm mà tại đó đạo hàm khơng xác định (chỉ có một chiều nhé, đừng suy ngược lại).

(x₁; y₁) là điểm cực đại của đồ thị hàm số

(x₂; y₂) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số • x<small>1</small> là điểm cực đại của hàm số

• y₁ là giá trị cực đại của hàm số

• x₂ là điểm cực tiểu của hàm số • y<small>2</small> là giá trị cực tiểu của hàm số

 <b>L<small>ƯU Ý</small></b>.

① Đạo hàm f^′(x) có thể bằng 0 tại điểm x₀ nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

§2. Cực trị của hàm số

③ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số khơng có đạo hàm.

3) Định lý.Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀.

Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x₀ thì f^′(x₀) = 0.

4) Định lý.Giả sử y = f (x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x₀− h; x₀+ h) với h > 0. Khi đó:

○ Nếu f^′(x₀) = 0, f^′′(x₀) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x₀.

○ Nếu f^′(x₀) = 0, f^′′(x₀) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x₀. Từ định lý 1.3 ta có quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

✓ Bước 1:Tìm tập xác định. Tìm f^′(x).

✓ Bước 2:Tìm các nghiệm x_i (i = 1; 2; . . .) của phương trình f^′(x) = 0.

✓ Bước 3:Tính f^′′(x) và tính f^′′(x_i).

Nếu f^′′(x<small>i</small>) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x<small>i</small>. Nếu f^′′(x_i) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x_i.

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

1) Cực trị của hàm đa thức bậc ba y = ax<small>3</small>+ bx²+ cx + d 1) Cực trị thoả mãn điều kiện cho trước.

 Xét hàm số bậc ba y = ax<small>3</small>+ bx<small>2</small>+ cx + d. Có đạo hàm y^′ = 3ax<small>2</small>+ 2bx + c (a ̸= 0).

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Có hai cực trị cùng dấu dương

⇔ phương trình y<small>′</small> = 0 có hai nghiệm dươngphân biệt

Có hai cực trị cùng dấu âm

⇔ phương trình y<small>′</small> = 0 có hai nghiệm âmphân biệt

Nếu (ax_A+ by_A+ c) (ax_B+ by_B+ c) < 0 thì hai điểm A, B nằm khác phía so với đường thẳng ∆.

Nếu (ax<small>A</small>+ by<small>A</small>+ c) (ax<small>B</small>+ by<small>B</small>+ c) > 0 thì hai điểm A, B nằm cùng phía so với đường thẳng ∆.

Đặc biệt

Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng phía đối với trục Oy

⇔ hàm số có 2 cực trị cùng dấu

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

⇔ y<small>′</small> = 0 có hai nghiệm phân biệt và y_CĐ· y_CT > 0. ① Cùng về phía trên đối với trục Ox.

⇔ y<small>′</small> = 0 có 2 nghiệm phân biệt và (

y_CĐ· y_CT > 0 y_CĐ+ y_CT > 0 ② Cùng về phía dưới đối với trục Ox.

⇔ y<small>′</small> = 0 có 2 nghiệm phân biệt và (

y_CĐ· y_CT > 0 y_CĐ+ y_CT < 0

Đặc biệt

Các điểm cực trị của đồ thị nằmkhác phía với trục Ox ⇔ y<small>′</small> = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y_CĐ· y_CT < 0

<small>2</small> Đưa các nghiệm x_i và x_j lên bảng xét dấu và xét dấu y^′;

<small>3</small> Lập bảng biến thiên và nhìn "điểm dừng":

"Dừng" trên cao tại điểm (x₁; y₁) thì x₁ là điểm cực đại của hàm số; y₁ là giá trị cực đại (cực đại) của hàm số; (x₁; y₁) là tọa độ điểm cực đại của đồ thị.

"Dừng" dưới thấp tại điểm (x<small>2</small>; y<small>2</small>) thì x<small>2</small> là điểm cực tiểu của hàm số; y<small>2</small> là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hàm số; (x<small>2</small>; y₂) là tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị.  Quy tắc 2: Chỉ dùng khi hàm số có đạo hàm cấp 2 tại x<small>0</small>. Ta thực hiện các bước:

<small>1</small> Tính y^′. Giải phương trình y^′ = 0, tìm nghiệm x₀.

<small>2</small> Tính y^′′.

Nếu y^′′(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số. Nếu y^′′(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số.

 <b>L<small>ƯU Ý</small></b>. Ghi nhớ: "âm" lồi, "dương" lõm

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Chương 1. HÀM SỐ 1

Dạng Xác định cực trị khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị

✓ Loại 1: Cho bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm y = f (x). Ta nhìn "điểm dừng":

① "Dừng" trên cao tại điểm (x<small>1</small>; y₁) thì x₁ là điểm cực đại của hàm số; y₁ là giá trị cực đại (cực đại) của hàm số; (x₁; y₁) là tọa độ điểm cực đại của đồ thị

② "Dừng" dưới thấp tại điểm (x<small>2</small>; y₂) thì x₂ là điểm cực tiểu của hàm số; y₂ là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hàm số; (x<small>2</small>; y<small>2</small>) là tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị

✓ Loại 2: Cho đồ thị hàm f<small>′</small>(x). Ta thực hiện tương tự như ở phần đồng biến, nghịch biến. 2

Dạng Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm x₀ cho trước

<small>1</small> Giải điều kiện y^′(x₀) = 0, tìm m.

<small>2</small> Thử lại với m vừa tìm được bằng một trong hai cách sau:

Cách 1: Lập bảng biến thiên với m vừa tìm được. Xem giá trị m nào thỏa yêu cầu.

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Dạng Biện luận cực trị hàm trùng phương y = ax<small>4</small> + bx<small>2</small>+ c

<small>1</small> Tính y^′ = 4ax³+ 2bx = 2x(2ax²+ b); y^′ = 0 ⇔ x = 0 hoặc 2ax² + b = 0 (1).

<small>2</small> Nhận xét:

Hàm số có ba điểm cực trị khi (1) có hai nghiệm khác 0. Suy ra ab < 0 Hàm số có đúng một điểm cực trị ab ≥ 0 và a, b không đồng thời bằng 0.

Dạng Đường Thẳng Đi Qua Hai Điểm Cực Trị

Bài tốn: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y = ax<small>3</small>+ bx<small>2</small>+ cx + d:

③ Dùng phép chia đa thức: đề chia đạo −→ lấy dư.

Bài tốn: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y = ^ax

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f^′(x) = (x²− 1) (x − 4) với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f (3 − x) có bao nhiêu điểm cực đại?

b

<small>Lời giải.</small> g^′(x) = −f^′(3 − x) = − [(3 − x)²− 1] (3 − x − 4) = (x + 1) (x<small>2</small>− 6x + 8) .

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Cho hàm số y = f (x) có f^′(x) = x²(x − 2028)(x − 2023)² với ∀x ∈ R. Khi đó hàm số y = g(x) = f (x²+ 2019) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? Bước 1: Giữ lại phần đồ thị nằm phía trên trục Ox của (C).

Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới Ox của (C) qua trục Ox, sau đó xóa nó đi.

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

 <b>L<small>ƯU Ý</small></b>. Số điểm cực trị của hàm số y = |f (x)| bằng a + b, với a là số điểm cực trị của hàm số y=f(x);

b là số nghiệm bội lẻ của phương trình f (x) = 0 (hoặc có thể hiểu b là số giao điểm (khơng tính tiếp xúc) của đồ thị y = f (x) với trục Ox).

2. Từ đồ thị (C) : y = f (x) suy ra đồ thị (C^′) : y = f (|x|)

Bước 1: Giữ lại phần đồ thị nằm bên phải trục Oy của (C) và xóa hẳn phần đồ thị nằm bên trái trục Oy của (C).

Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải Oy của (C) qua trục Oy.

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

2) Các phương pháp thường dùng để tìm max - min

Dùng đạo hàm (đối với hàm một biến), lập bảng biến thiên. Dùng bất đẳng thức đánh giá và kiểm tra dấu bằng

① Bất đẳng thức Cauchy: Với a<small>1</small>; a₂; · · · ; a_n là các số thực không âm, ta ln có a₁+ a₂+ · · · + a_n≥ n√<small>n</small>

a₁· a₂· · · a_n Dấu "=" xảy ra khi a₁ = a₂ = · · · = a_n.

Trường hợp thường gặp Cauchy cho 2 số hoặc 3 số : Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình.

Giả sử y₀ thuộc miền giá trị của hàm số y = f (x). Khi đó, tồn tại x ∈ D để phương trình f (x) = y<small>0</small> có nghiệm. Biện luận điều kiện này, ta sẽ tìm được "khoảng dao động" của y<small>0</small>. Từ đó suy ra max, min.

II. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

§3. Gía trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Dạng Bài toán thực tế max - min

<small>1</small> Bài toán chuyển động:

Gọi s(t) là hàm quãng đường; v(t) là hàm vận tốc; a(t) là hàm gia tốc; Khi đó s^′(t) = v(t); v^′(t) = a(t).

<small>2</small> Bài toán thực tế – tối ưu.

Biểu diễn dữ kiện cần đạt max – min qua một hàm f (t).

Khảo sát hàm f (t) trên miền điều kiện "đúng" và suy ra kết quả.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Chương 1. HÀM SỐ 4

Dạng Max - min hàm giá trị tuyệt đối

<b>L<small>ƯU Ý</small></b>. Cho hàm số y = f (x). Biết rằng max

<small>x∈D</small> ^{= A, min}<small>x∈D</small> ^{= a.} Khi đó max

<small>x∈D</small> |f (x)| = max {|A|; |a|}

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

§4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1) Đường tiệm cận ngang (TCN)

✓ Cho hàm số y = f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (a; +∞), (−∞; b) hoặc (−∞; +∞). Đường thẳng y = y₀ là TCN của đồ thị hàm số y = f (x) nếu lim

② Xem ở "vị trí" nào ra kết quả hữu hạn thì ta kết luận có tiệm cận ngang ở "vị trí" đó. ✓ Sử dụng máy tính cầm tay: Nhập biểu thức f (x).

① Bấm CACL X = 10<small>8</small> để kiểm tra khi x → +∞. ② Bấm CACL X = −10<small>8</small> để kiểm tra khi x → −∞.

① Tìm nghiệm của mẫu, giả sử nghiệm đó là x = x<small>0</small>. ② Tính giới hạn một bên tại x<small>0</small>. Nếu xảy ra lim

f (x) = ∞ hoặc lim <small>x→x</small>⁺₀

f (x) = ∞ thì ta kết luận x = x₀ là đường tiệm cận đứng.

✓ Sử dụng máy tính cầm tay: Nhập biểu thức f (x).

① Bấm CACL X = x<small>0</small>− 0.000001 để kiểm tra khi x → x⁻₀. <small>+</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Thực hiện theo lý thuyết đã nêu trên. Chú ý các vấn đề thường gặp sau: ✓ Tính giới hạn của hàm số dạng phân thức ^aⁿ^x

③ bậc tử > bậc mẫu thì kết quả bằng ∞. Lúc này đồ thị khơng có đường TCN. ✓ Khi tìm TCĐ, trước tiên ta tìm nghiệm của mẫu. Chú ý:

① Những nghiệm "đơn" không thỏa tử đều nhận. ② Những nghiệm "đơn" thỏa tử đều bị loại.

① Nếu “vị trí” nào ra kết quả hữu hạn thì vị trí đó có TCN.

② Nếu “vị trí” nào khơng tồn tại hoặc ra kết quả ∞ thì "vị trí" đó khơng có TCN. ✓ Nhìn “vị trí có hai gạch sọc”để xác định TCĐ.

① Nếu “vị trí” nào xuất hiện ∞ thì vị trí đó là TCĐ.

② Nếu “vị trí” nào khơng xuất hiện ∞ ở cả hai bên (giới hạn trái và giới hạn phải) thì vị trí đó khơng là TCĐ.

Dạng Một số bài tốn biện luận theo tham số m Bài toán 1. Tiệm cần đồ thị hàm số y = ^{ax + b}

○ Ta có a là hằng số và f (x) là đa thức bậc n > 0 nên đồ thị hàm số (C^′) ln có tiệm cận ngang duy nhất là y = 0 (bậc tử < bậc mẫu).

○ Tìm tiệm cận đứng bằng cách giải f (x) = 0 ⇒ x = x₀.

Bài toán 3. Tiệm cận đồ thị hàm số y = ^g(x) (C^′′) với f (x); g(x) là đa thức bậc

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

§4. Đường tiệm cận của hàm số 3

Dạng _{Phần tiếp theo}

○ Tìm tiệm cận ngang ta có các trường hợp sau:

 Bậc tử > bậc mẫu −→ ĐTHS khơng có tiệm cận ngang.

 Bậc tử < bậc mẫu −→ ĐTHS có một tiệm cận ngang duy nhất y = 0.

 Bậc tử = bậc mẫu −→ ĐTHS có tiệm cận ngang y = ^a

b ^{với a; b là hệ số bậc cao} nhất trên tử và dưới mẫu.

○ Tìm tiệm cận đứngta có các trường hợp sau:

 Bước 1. Tìm điều kiện f (x) = 0 có nghiệm (1).

 Bước 2. Giả sử g(x) = 0 ⇔ x = x<small>0</small>, khi đó f (x<small>0</small>) ̸= 0 (2).

 Bước 3. Từ (1) & (2) −→ kết luận.

Bài toán 4. Tiệm cận đồ thị hàm sốy = f (x) (C^′′′), với f (x) là hàm số vô tỉ.

g(x) ^với^h(x) ^{là biểu thức theo} ^x ^và ^g(x) ^{là biểu thức theo} ^{f (x).}

○ Từ đồ thị/bảng biến thiên tìm nghiệm g(x) = 0 −→ biểu thức g(x).

○ Rút gọn biểu thức ^h(x)

g(x) ^{rồi tìm các đường tiệm cận.}  Lưu ý: điều kiện tồn tại của h(x).

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

④ Hoành độ điểm uốn là nghiệm phương trình y^′′ = 0 ⇔ x = − ^b

3a^{. Tọa độ điểm uốn là} tâm đối xứng của đồ thị.

⑤ Tiếp tuyến tại điểm uốn I(x<small>0</small>; y₀) sẽ có hệ số góc nhỏ nhất nếu a > 0 và lớn nhất nếu

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

⑤ Giao hai đường tiệm cận (điểm I) là tâm đối xứng của đồ thị.

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng Nhận dạng đồ thị hàm bậc ba y = ax<small>3</small>+ bx<small>2</small> + cx + d

✓ Nhìn "dáng điệu" của đồ thị: Bên phải đi lên thì a > 0.

✓ Nhìn vào giao điểm của đồ thị với trục tung. Thay x = 0 thì y = d. Đồ thị qua điểm

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Bên phải đi lên thì a > 0.

✓ Nhìn giao điểm của đồ thị với trục tung. Thay x = 0 thì y = c. Đồ thị qua điểm (0; c). ✓ Nhìn điểm cực trị

Đồ thị có 3 điểm cực trị ab < 0

✓ Nhìn những điểm thuộc đồ thị.

 <b>L<small>ƯU Ý</small></b>. Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có một điểm cực trị sẽ có đồ thị chính là dạng Parabol của đồ thị hàm số bậc hai. Để phân biệt hai đồ thị này ta cần chú ý:

<small>1</small> Bước 1: Giữ lại phần đồ thị nằm phía trên trục Ox của (C).

<small>2</small> Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới Ox của (C) qua trục Ox, sau đó xóa nó đi.

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<b>L<small>ƯU Ý</small></b>. Số điểm cực trị của hàm số y = |f (x)| bằng a + b, với a là số điểm cực trị của hàm số y=f(x);

b là số nghiệm bội lẻ của phương trình f (x) = 0 (hoặc có thể hiểu b là số giao điểm (khơng tính tiếp xúc) của đồ thị y = f (x) với trục Ox).

2. Từ đồ thị (C) : y = f (x) suy ra đồ thị (C^′) : y = f (|x|)

<small>1</small> Bước 1: Giữ lại phần đồ thị nằm bên phải trục Oy của (C) và xóa hẳn phần đồ thị nằm bên trái trục Oy của (C).

<small>2</small> Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải Oy của (C) qua trục Oy.

Bước 1: Giữ lại phần đồ thị của (C) nằm bên phải Oy và xóa hẳn phần đồ thị của (C) nằm bên trái Oy.

Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải Oy của (C) qua trục Oy, ta được đồ thị (C₁).

Bước 3: Giữ lại phần đồ thị của (C₁) nằm phía trên Ox.

Bước 4: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox của (C<small>1</small>) qua trục Ox, sau đó xóa nó đi.

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

Bước 2: Giữ nguyên phần đồ thị của (C) mà f (x) ≥ 0 .

Bước 3: Lấy đối xứng phần còn lại của (C) (phần f (x) < 0) qua trục Ox (phần dưới đối xứng lên trên, phần trên đối xứng xuống dưới), sau đó xóa nó đi.

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

§6 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1) Ứng dụng đồ thị để biện luận nghiệm phương trình.

✓ Xét phương trình f (x) = m, với m là tham số. Nghiệm của phương trình này có thể coi là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f (x) (cố định) với đường thẳng y = m (nằm ngang). ✓ Từ đó, để biện luận nghiệm phương trình f (x) = m, ta có

thể thực hiện các bước như sau:

① Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) trên miền xác định mà đề bài yêu cầu.

② Tịnh tiến đường thẳng y = m theo hướng "lên, xuống". Quan sát số giao điểm để quy ra số nghiệm tương ứng.

2) Ứng dụng đồ thị để biện luận nghiệm bất phương trình.

✓ Xét bất phương trình ở dạng f (x) < m (1), với m là tham số.

① Bài tốn 1. Tìm điều kiện của tham số m để (1) có nghiệm trên miền D: Khi đó, ta tìm điều kiện để đồ thị y = f (x) có phần nằm dưới đường thẳng y = m.

② Bài tốn 2. Tìm điều kiện của tham số m để (1) nghiệm đúng với mọi x thuộc miền D: Khi đó, ta tìm điều kiện để đồ thị y = f(x) nằm hồn tồn phía dưới đường thẳng

Minh họa Bài toán 2 ✓ Các bài toán tương tự:

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

Chương 1. HÀM SỐ

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng Giải, biện luận nghiệm phương trình bằng phương pháp đồ thị • Chuyển phương trình đã cho về dạng f (x) = m;

• Tịnh tiến đường thẳng y = m lên xuống theo phương ngang. Nhìn giao điểm với đồ thị y = f (x) để quy ra số nghiệm tương ứng.

Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên . Khi đó phương trình 4f (3x<small>4</small>) − 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

§6. Ứng dụng đồ thị để biện luận nghiệm phương trình và bất phương trình

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

Ta suy ra: Phương trình (1), (2), (4) mỗi phương trình có 1 nghiệm, phương trình (3) có 3 nghiệm và các nghiệm này đều phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.

Từ đồ thị hàm số y = f (x) và từ bảng biến thiên của hàm số u(x) = x<small>3</small> − 3x + 1 ta có bảng sau biến thiên của hàm hợp f (x<small>3</small>− 3x + 1) = f (u) như sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

§7 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1) Phương pháp đại số

Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị y = f (x) và y = g(x), ta thực hiện các bước: ① Giải phương trình hồnh độ giao điểm f (x) = g(x) . Tìm các nghiệm x<small>0</small> ∈D<small>f</small> ∩D<small>g</small>. ② Với x<small>0</small> vừa tìm, thay vào 1 trong 2 hàm số ban đầu để tìm y₀.

③ Kết luận giao điểm (x<small>0</small>; y₀). 2) Phương pháp đồ thị

① Nếu đề bài cho hình ảnh đồ thị y = f (x) và y = g(x), ta có thể dùng hình vẽ để xác định tọa độ giao điểm giữa chúng.

② Số nghiệm phương trình f (x) = m chính bằng số giao điểm của đồ thị y = f (x) với đường

Cho hai hàm số f (x) và g(x) có đồ thị lần lượt là (C₁); (C₂). Khi đó số giao điểm (điểm chung) của hai đồ thị (C₁); (C₂) đưa về dạng:

Để tách ra được như thế ta chia hookne.

• Tuỳ theo u cầu bài tốn mà có điều kiện cho a₁x<small>2</small>+ b₁x + c₁ = 0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

○ (∗) có một nghiệm ⇔ f (x) khơng có cực trị hoặc có cực trị thoả f_CĐ· f_CT > 0.

○ (∗) có hai nghiệm phân biệt ⇔ f (x) có cực trị thoả f_CĐ· f_CT = 0.

○ (∗) có ba nghiệm phân biệt ⇔ f (x) có cực trị thoả f_CĐ· f_CT < 0.

• Hàm số f (x) = ax<small>3</small>+ bx<small>2</small>+ cx + d có các điểm cực trị là “số khơng đẹp” , khi đó ta dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị kết hợp với định lý Vi-ét để Khi đó ta có bài tốn sau:

Tìm m để đồ thị hàm bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng.

○ Điều kiện cần: x₀ = − ^b

3a ^{là 1 nghiệm của phương trình.} Từ đó thay vào phương trình để tìm m.

○ Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra.

Dạng Phương pháp giải tương giao đồ thị của hàm số bậc bốn

Cho hai hàm số f (x) và g(x) có đồ thị lần lượt là (C<small>1</small>); (C₂). Khi đó số giao điểm (điểm chung) của hai đồ thị (C₁); (C₂) đưa về dạng:

ax⁴+ bx²+ c = 0 (∗).

Với bài phương trình (∗) có chứa tham số thì ta có các phương pháp sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

§7. Sự tương giao của hai đồ thị ③ Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t₁, t₂ thoả mãn: 0 = t₁ < t₂. ④ Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t<small>1</small>, t<small>2</small> thoả mãn: 0 < t<small>1</small> < t<small>2</small>. ✓ Một số câu hỏi thường gặp:

01

Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác −^d c^.

02

Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ và thoả mãn: −^d

c ^{< x}¹ ^{< x}²^.

03

^{Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) ⇔ (1) có}_{2 nghiệm phân biệt x}₁_{, x}₂ _{và thỏa mãn x}₁ _{< x}₂ _{< −}<small>dc</small>.

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

② Tam giác ABC vng.

③ Tam giác ABC có diện tích S₀ ✓ Quy tắc:

Tìm điều kiện tồn tại A; B ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt. Xác định toạ độ của A và B (chú ý Vi-ét).

Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m. Từ đó suy ra m.

Dạng Đếm Số Giao Điểm (Điểm Chung) Biết Đồ Thị/BBT

○ Giải phương trình f (x) = a với a là hằng số ta kẻ đường thẳng y = a song song với Ox cắt đồ thị f (x) tại bao nhiêu điểm thì có bấy nhiêu điểm chung.

○ Áp dụng các phép biến đổi đồ thị ở “Chuyên đề 05. Đồ thị hàm số”

</div>