ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (757.48 KB, 66 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 4 năm 2017

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận đã được hồn thành dưới sự giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo của cô giáo ThS. Dương Thị Thu Thúy. Em xin phép được gởi đến cô lời cảm ơn sâu sắc về sự tận tâm của cô đối với bản thân em, khơng những trong q trình làm khóa luận mà cịn trong suốt q trình học tập.

Em cũng xin phép được gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô đã giảng dạy em trong suốt 4 năm học vừa qua, cũng như tồn thể thầy cơ giáo trong khoa Toán trường Đại học Quảng Nam, những người đã cho em kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện khóa luận.

Cuối cùng em xin phép được gởi lời cảm ơn đến những người thân, bạn bè đã quan tâm, động viên, giúp đỡ em trong suốt quãng đường học tập vừa qua.

Quảng Nam, ngày 24 tháng 4 năm 2017 SVTH

Triệu Thị Luận

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

M ỤC L ỤC

MỞ ĐẦU ... 1

1. Lí do chọn đề tài ... 1

2. Mục tiêu nghiên cứu ... 1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ... 1

4. Phương pháp nghiên cứu ... 1

5. Lịch sử nghiên cứu ... 2

6. Đóng góp của đề tài ... 2

7. Cấu trúc đề tài ... 2

NỘI DUNG ... 3

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ... 3

1.1. Một số khái niệm cơ bản ... 3

1.1.1. Giới hạn của hàm số ... 3

1.1.1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm ... 3

1.1.1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực ... 4

1.1.1.3 Giới hạn một bên ... 4

1.1.2. Hàm số liên tục ... 5

1.1.3. Đạo hàm của hàm số tại một điểm ... 6

1.1.4. Đạo hàm một bên tại một điểm ... 6

1.1.5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng ... 7

1.1.6. Ý nghĩa hình học của đạo hàm ... 8

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

1.7. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số ... 14

1.8. Sự tiếp xúc của hai đường cong ... 14

2.1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu của hàm số ... 15

2.1.1. Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số ... 15

2.1.2. Dạng 2: Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước ... 18

2.1.3. Một số bài tập tự luyện ... 21

2.2. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số ... 22

2.2.1. Dạng 1: Sử dụng bảng biến thiên để tìm cực trị của hàm số ... 22

2.2.2. Dạng 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai để tìm cực trị của hàm số ... 25

2.2.3. Một số bài tập tự luyện ... 27

2.3. Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ... 28

2.3.1. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn ... 28

2.3.2. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát trực tiếp ... 31

2.3.3. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát gián tiếp ... 33

2.3.4. Một số bài tập tự luyện ... 36

2.4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm ... 37

2.5. Ứng dụng đạo hàm giải phương trình ... 41

2.5.1. Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình ... 41

2.5.2. Dạng 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình ... 45

2.5.3. Một số bài tập tự luyện ... 48

2.6. Ứng dụng đạo hàm giải hệ phương trình ... 49

2.6.1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình ... 49

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài

Theo quy định mới của bộ Giáo Dục và Đào Tạo, kỳ thi tốt nghiệp và xét đại học, mơn Tốn được đánh giá theo hình thức trắc nghiệm. Vì thế khối lượng kiến thức được kiểm tra sẽ nhiều hơn, rộng hơn. Để giải quyết tốt được chúng, học sinh không chỉ cần nắm chắc kiến thức mà còn cần rất nhiều kỹ năng giải toán, biết giải một dạng toán bằng nhiều cách, biết giải cách nào để cho đáp số nhanh nhất…Trong chương trình tốn bậc Trung học phổ thơng một cơng cụ có thể áp dụng để giải quyết rất nhiều dạng toán như: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, khảo sát sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số… đó chính là đạo hàm của hàm số.

Đạo hàm là một trong những kiến thức khá quen thuộc đối với học sinh Trung học phổ thông. Nội dung này đã được đề cập trong chương trình kì 2 của lớp 11. Và sau đó, nó được vận dụng xuyên suốt trong quá trình giải nhiều dạng tốn trong chương trình lớp 12. Nó là một kiến thức không thể thiếu đối với mỗi học sinh trung học phổ thông. Mặc dù vậy để nắm vững khái niệm đạo hàm, tính chất của đạo hàm và sử dụng linh hoạt các kiến thức này vào giải quyết từng dạng toán khác nhau lại là một vấn đề hồn tồn khơng đơn giản.

Từ những lý do trên, với vai trò sẽ là một giáo viên tương lai, tôi mong muốn bản thân sẽ thuần thục và biết cách vận dụng linh hoạt các kiến thức đạo hàm vào giải quyết một số dạng toán sơ cấp, để sau này truyền lại cho học sinh của mình những

phương pháp đó. Vì vậy, tơi chọn đề tài “Ứng dụng đạo hàm giải một số dạng toán

sơ cấp trong chương trình Trung học phổ thơng” cho khóa luận tốt nghiệp của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu việc ứng dụng đạo hàm vào giải một số dạng bài tập trong chương trình phổ thơng, từ đó giúp học sinh có nhiều hướng giải quyết một bài toán cụ thể liên quan đến hàm số.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối lượng nghiên cứu: Dùng đạo hàm để giải quyết một số dạng bài tập phương trình, hệ phương trình, khảo sát sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình Trung học phổ thơng.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp kiến thức.

- Tham khảo ý kiến chuyên gia.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

5. Lịch sử nghiên cứu 6. Đóng góp của đề tài

Khóa luận sau khi hình thành sẽ là một tài liệu tham khảo về giải toán sơ cấp bằng phương pháp đạo hàm cho các bạn đọc quan tâm.

7. Cấu trúc đề tài

Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và hai chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương 2. Ứng dụng đạo hàm giải toán một số dạng toán sơ cấp Phần tài liệu tham khảo và phụ lục.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

NỘI DUNG

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số khái niệm cơ bản

 

1.1.1. Giới hạn của hàm số

1.1.1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1.1. Giới hạn hữu hạn

hợp

   

a b; \ x0 . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0

(hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số ( )xn trong tập hợp

   

a b; \ x0 (tức là xn 

 

a b;

và xn  x0 với mọi n) mà limxn x0, ta đều có lim ( )f xn L.

Định nghĩa 1.2. Giới hạn vô cực

Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự như giới hạn

xxf x

  có nghĩa là với mọi dãy

 

xn trong tập hợp

   

a b; \ x0 mà limxn x0, ta đều có limf x

 

n  .

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

mọi n nên lim f x

 

n  . Do đó

 

1.1.1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực



a;



(tức là xn a với mọi n) mà limxn , ta đều có:

Định nghĩa 1.4. Giới hạn bên phải

với mọi dãy số

 

xn trong khoảng



x b0;



mà limxnx0, ta đều có limf x

 

n L.

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

- Giả sử hàm số f xác định trên khoảng



a x; 0



(x0 ). Ta nói rằng hàm số f

số

 

xn trong khoảng



a x; 0



mà limxn x0, ta đều có lim f x

 

n L.

Định nghĩa 1.6. Hàm số liên tục tại một điểm

Nên hàm số f x

 

liên tục tại x03.

Định nghĩa 1.7. Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa 1.8. Hàm số liên tục trên một đoạn

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Hàm số f xác định trên đoạn

 

a b; được gọi là liên tục trên đoạn

 

a b; nếu nó liên tục trên khoảng

 

a b; và

1.1.3. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1.9. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

1.1.4. Đạo hàm một bên tại một điểm

Định nghĩa 1.10. Đạo hàm bên phải

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Định nghĩa 1.11. Đạo hàm bên trái

Đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải được gọi chung là đạo hàm một bên.

Ví dụ 1.11. Tính đạo hàm bên trái của hàm số f x

 

x22x tại điểm x0.

1.1.5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng

Định nghĩa 1.12. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Ví dụ 1.12. Tìm đạo hàm của hàm số y x 3 trên khoảng



 ;



Giải: Với mọi x  



;



ta có:

Định nghĩa 1.13. Đạo hàm của hàm số trên một đoạn

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Hàm số f gọi là có đạo hàm trên đoạn K 

 

a b; nếu nó có đạo hàm tại mọi

Ví dụ 1.13. Chứng minh hàm số yx2 có đạo hàm trên đoạn



2; 2



Giải: Với mọi x 



2; 2



ta có:

Định nghĩa 1.14. Đạo hàm của hàm số trên một nửa khoảng

Ví dụ 1.14. Hàm số y x có đạo hàm bằng 1 trên nửa khoảng



0;



và có đạo

1.1.6. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Ý nghĩa: Đạo hàm của hàm số y f x

 

tại điểm

x là hệ số góc của tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tại điểm M x f x0( ; ( ))0 0 .

Chú ý: Nếu hàm số y f x

 

có đạo hàm tại điểm x thì tiếp tuyến của đồ thị hàm 0

số tại điểm M x f x0( ; ( ))0 0 có phương trình là

y f xx x  f x .

Ví dụ 1.15. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx2 tại điểm M0

 

2; 4

Giải: Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số f x

 

x2 tại x02.

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

1.2.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Định lí 1.1. Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

bởi biểu thức u x

 

, ta được biểu thức f u x

 

 với biến x. Khi đó, hàm số yg x

 

với g x

 

 f u x

 

 được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian.

Định lí 1.2. Cách tính đạo hàm của hàm số hợp

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

1.2.3. Đạo hàm của hàm số ngược

Định lí 1.3. Giả sử hàm số u u x

 

liên tục tăng nghiêm ngặt trong khoảng

 

a b; và

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

nó gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f , kí hiệu là f(3). Tương tự, đạo hàm cấp n của

một hàm số được định nghĩa như sau:

Vậy  x0

 

a b f x; :

 

0 M, tức M là giá trị lớn nhất của f x

 

trên

 

a b; . Chứng minh tương tự đối với giá trị bé nhất.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Vì f x( ) liên tục, có đạo hàm nên F x

 

là hàm liên tục trên đoạn

 

a b; , có đạo Vậy định lí được chứng minh.

Ví dụ 1.18. Chứng minh rằng phương trình acosx bcos 2x ccos 3x0 có nghiệm

'( ) 0

f c  .

Chứng minh:

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

1.5. Tính đơn điệu của hàm số

 

Định lí 1.7. Tính đơn điệu của hàm số

1.6. Cực trị của hàm số

 

5

1.6.1. Khái niệm cực trị của hàm số

Định nghĩa 1.17. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D  ) và x0D. + x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

 

a b;

chứa điểm x0 sao cho

 

a b; D và f x( ) f x( )0 với mọi x

   

a b; \ x0 .

điểm x0 sao cho

 

a b; D và f x( ) f x( )0 với mọi x

   

a b; \ x0 .

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị.

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

a) Nếu f x'

 

0 với mọi x



a x; 0



và f x'

 

0 với mọi x



x b0;



thì hàm số

b) Nếu f x'

 

0 với mọi x



a x; 0



và f x'

 

0 với mọi x



x b0;



thì hàm số

Định lí 1.10. Quy tắc tìm cực trị của hàm số nếu có đạo hàm cấp hai

Định nghĩa 1.18. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D  ).

1.8. Sự tiếp xúc của hai đường cong

 

5 Định nghĩa 1.19. Điều kiện tiếp xúc

độ tiếp điểm của hai đường trên.

+ Hai đường cong ( ) :C1 y f x

 

và ( ) :C2 y g x

 

tiếp xúc với nhau khi và

hồnh độ tiếp điểm của hai đường cong.

Ví dụ 1.20. Chứng minh các đồ thị của hai hàm số y x 3 x2 4

 

C1 và

y  xx

 

C2 tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó.

Giải: Hồnh độ giao điểm của hai đường cong

 

C1 và

 

C2 là nghiệm của hệ phương

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Chương 2. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP 2.1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu của hàm số

2.1.1. Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

* Phương pháp:

Sử dụng định lí về tính đơn điệu của hàm số (Định lí 1.7). Cụ thể, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm miền xác định.

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

2.1.2. Dạng 2: Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng I cho

trước, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

Vậy a0 thỏa mãn yêu cầu bài toán . (1)

Bài 5. Cho hàm số y x 3 3 2



m1



x2



12m5



x2. Xác định giá trị của m



m



</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

Khi đó dấu của y' chính là dấu của tam thức bậc hai g x

 

  x2 6x3m5, có

Bài 1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm sốy x s inx.

Bài 2. Tùy theo m, tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

Bài 4. Cho hàm sốy x 33x2mx m . Xác định m để hàm số nghịch biến trên

Dạng này sử dụng đối với các hàm số dễ dàng lập bảng biến thiên, ta có thể thực hiện các bước giải sau:

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Bài 3. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số y x e . x

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

các bước sau để tìm cực trị của hàm số.

+ Nếu f x''

 

i 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi. + Nếu f x''

 

i 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

Miền xác định: D .

Đạo hàm: y'ex.cosx e x.sinx;

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

Khi đó hồnh độ điểm cực đại là

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

2.3. Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2.3.1. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

* Phương pháp:

Đối với dạng toán này ta có thể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

 

nhỏ nhất của hàm số để giải (Định nghĩa 1.18).

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn ta thực hiện theo các bước:

x a b . Giả sử các nghiệm là x x1, ,...2

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y x 2x2 trên  2; 2.

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

Sử dụng định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (Định nghĩa 1.18).

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bằng khảo sát trực tiếp, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số dựa trên bảng biến

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

Bài 6. Thể tích của một hình lăng trụ tứ giác đều bằng V. Cạnh đáy của hình lăng trụ

đó phải bằng bao nhiêu để diện tích tồn phần của hình lăng trụ đó là nhỏ nhất.

Bài 7. Cho phương trình x2



2a6



x a  13 0 với a1. Tìm a



a



để nghiệm lớn của phương trình đạt giá trị lớn nhất.

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

2.3.3. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát gián tiếp

* Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (Định nghĩa 1.18).

Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát gián

tiếp được sử dụng thông qua việc thực hiện đối số mới t để đưa hàm số ban đầu về

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

Vậy giá trị lớn nhất của 25

Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức



1 sin2



1 sin2



1 sin2



nên cos



A B



cosC).

</div>Trang 41<div class="page_container" data-page="41">

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ysin20xcos20x.

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số



2

</div>Trang 42<div class="page_container" data-page="42">

 

C qua A x y



A; A



, ta thực hiện theo các bước.

</div>Trang 43<div class="page_container" data-page="43">

Phương trình tiếp tuyến qua M2



0; 1



là:y  2x 1.

Bài 2. Tìm trên trục hồnh những điểm mà qua đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ

Giải:

</div>Trang 44<div class="page_container" data-page="44">

Bài 4. Cho hàm số y x 33x1 có đồ thị

 

C và đường thẳng

 

d :y mx m  3. Tìm m để

 

d cắt

 

C tại M



1;3



; N ; P sao cho tiếp tuyến của

 

C tại Nvà P

vuông góc với nhau.

</div>Trang 45<div class="page_container" data-page="45">

Bài 2. Tìm trên đường thẳng

 

d :y2x1 những điểm kẻ được đúng một tiếp

*Bài tập trắc nghiệm.

</div>Trang 46<div class="page_container" data-page="46">

Bài 1. Cho đồ thị

 

C của hàm số y f x

 

x4x21. Tìm các điểm A Oy kẻ

2.5. Ứng dụng đạo hàm giải phương trình

2.5.1. Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

* Phương pháp:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (Định lí 1.7).

Để sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có các cách giải sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

- Tính f x'

 

, chứng minh f x'

 

0  x D hoặc f x'

 

0  x D.

</div>

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

UBND TỈNH QUẢNG NAM

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM </b>

<i><b>KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b></i>

<i><b>Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 </b></i>

UBND TỈNH QUẢNG NAM

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM </b>

 

   

   

 

 

   

 

 

 





 





 





 





 

 

 

 

 

 









 













 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 





 





 





 



