TÍCH PHÂN MẶT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (8.38 MB, 20 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

Lời nói đầu . . . . i

1.1.3. Tính chất của tích phân đường loại một . . . .3

1.1.4. Mặt cong S cho bởi phương trình z = z(x, y) . . . .3

1.1.5. Mặt cong S cho bởi phương trình y = y(x, z) . . . .3

1.1.6. Mặt cong S cho bởi phương trình x = x(y, z) . . . .4

1.1.7. Ứng dụng hình học của tích phân mặt loại một . . . .7

1.2. Tích phân mặt loại hai . . . . 8

1.2.1. Mặt định hướng . . . .8

1.2.2. Bài toán thực tế . . . .10

1.2.3. Định nghĩa tính phân mặt loại hai . . . .10

1.2.4. Đưa tích phân mặt loại hai về tích phân kép . . . .11

1.2.5. Cách tính tích phân mặt loại hai . . . .12

1.2.6. Công thức Ostrogratxki - Gauss . . . .14

1.2.7. Công thức Stokes . . . .17

1.3. Bài tập . . . . 19

1.3.1. Tích phân mặt loại một . . . .19

1.3.2. Tích phân mặt loại hai . . . .19

1.3.3. Công thức Ostrogratxki - Gauss . . . .19

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

TÍCH PHÂN MẶT

1.1. Tích phân mặt loại một . . . .21.2. Tích phân mặt loại hai . . . .81.3. Bài tập . . . .19

1.1.1 Bài tốn tính khối lượng của mặt cong

Cho mặt cong S trong khơng gian có phân bố khối lượng khơng đồng đều theo diện tích mặtcong của nó. Sự phân bố này trong hệ trục tọa độ Oxyz được mô tả bởi hàm khối lượng trên một đơn

Hình 1.1: Lát kim loại mỏng khơng đồng chất

Hãy tính khối lượng M của mặt cong S

Nếu chúng ta chọn một điểm tùy ý (x∗ij, yij∗, zij∗) ∈ Sij thì ta sẽ được tổng Riemann của tích phân

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

mặt loại một. Như vậy, khối lượng của vật thể được tính gần đúng là

M ≈

f (x∗ij, yij∗, z∗ij)∆Sij.

S là mặt cong lấy tích phân, f (x, y, z) gọi là hàm lấy tích phân.

1.1.3 Tính chất của tích phân đường loại một10.

1.1.4 Mặt cong S cho bởi phương trình z = z(x, y)

dS =s

f (x, y, z(x, y))s

1.1.5 Mặt cong S cho bởi phương trình y = y(x, z)

dS =s

f (x, y(x, z), z)s

1.1.6 Mặt cong S cho bởi phương trình x = x(y, z)

dS =s

dydz

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

f (x, y, z)dS =

f (x(y, z), y, z)s

dx =

Hình 1.3: S là mặt xung quanh của tứ diện x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

Giải.Mặt cong S = S1+ S2+ S3+ S4 nên theo tính chất của tích phân mặt loại một, ta cóI =

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Mặt cong S1 được xác định bởi phương trình z = 1 − x − y ⇒ zx0 = −1, zy0 = −1. Khi đó

I1 =

q1 + (z0

dx = −√

√3. ln 2.

I2 =

q1 + (x0

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Hình chiếu của mặt cong S lên mặt phẳng Oxy là

D : 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 r 6 1.

Khi đó

I =

(x2+y2)dS =

(x2+y2)vu

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Hình 1.6: S là 1 phần tám mặt cầu x2+ y2+ z2 = 9 trong góc x 6 0, y 6 0, z 6 0.

Giải.Vì S là 1 phần tám mặt cầu x2+ y2+ z2 = 9 trong góc x 6 0, y 6 0, z 6 0 nên mặt cong S

9 − x2− y2, zy0 = p y

9 − x2− y2.Hình chiếu của mặt cong S lên mặt phẳng Oxy là

2 , 0 6 r 6 3.Khi đó

I =

x2+ y2dS =

xx2+ y2

9 − r2 = 3. [sin ϕ]3π/2π .harcsinr3

1.1.7 Ứng dụng hình học của tích phân mặt loại mộtTính diện tích của mặt cong S

Diện tích mặt cong =

q1 + (z0

x)2+ z0y

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Fx0, Fy0, Fz0 liên tục và không đồng thời bằng 0 trên S.

(n1(x, y, z), n2(x, y, z), n3(x, y, z)) liên tục trên S

Hình 1.8: Mặt hai phía

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Cho S được xác định bởi phương trình F (x, y, z) = 0. Khi đó pháp véc tơ đơn vị của S là

−→n =

x)2+ (F0

y)2+ (F0z)2

x)2+ (F0

y)2+ (F0z)2

x)2+ (F0

y)2+ (F0z)2

Trong trường hợp đặc biệt khi mặt cong S được xác định bởi z = z(x, y) và có pháp véc tơ đơn vị−

−→n =

1 + (zx0)2+ (z0y)2

của mặt cong S là F (x, y, z) = z(x, y) − z = 0 và

−→n =

x)2+ (z0y)2+ 1

Tuy nhiên, có những mặt khơng thể định hướng, ví dụ lá Mobius. Lá Mobius có thể được tạo bằngcách sau: lấy một hình chữ nhật ABCD (bằng giấy) sau đó vặn cong hình chữ nhật để hai đầu giáp

thể có hai hướng, do đó hàm pháp véc tơ không liên tục trên mặt Mobius, vì nếu liên tục thì sau khidịch chuyển một cách liên tục, quay về vị trí M ban đầu thì pháp véc tơ phải trùng với pháp véc tơ

hướng (mặt hai phía).

Hình 1.9: Lá Mobius là mặt một phía

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

1.2.2 Bài tốn thực tế

Xét bài tốn tính lượng chất lỏng đi qua bề mặt cho trước S trong một đơn vị thời gian.

trong không gian không đổi theo thời gian.

Khi đó khối lượng của chất lỏng đi qua mặt cong S trên một đơn vị diện tích, theo một đơn vịthời gian là ρ.−→v (kg/(m2.s)) = (P (Mi), Q(Mi), R(Mi))

Giả sử pháp véctơ đơn vị của mặt S tại điểm Mi là −→n (Mi) = (cos α(Mi), cos β(Mi), cos γ(Mi)).

[P (Mi) cos α(Mi) + Q(Mi) cos β(Mi) + R(Mi) cos γ(Mi)].∆Si.

Đây là tổng Riemann của tích phân mặt loại hai.

1.2.3 Định nghĩa tính phân mặt loại hai

hướng S. Pháp véctơ đơn vị của mặt S là −→n = (cos α, cos β, cos γ), với α, β, γ lần lượt là góc tạo

I =

[P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ]dS

I =

P dydz + Qdzdx + Rdxdy

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Hình 1.11: Tính tổng Riemann tích phân mặt loại hai

1.2.4 Đưa tích phân mặt loại hai về tích phân kép

Rdxdy =

R cos γdS,

của mặt cong S là F (x, y, z) = z − z(x, y) = 0 và

−→n =

1 + (z0

x)2+ (z0

y)2, −z

q1 + (z0

x)2+ (z0

y)2,q 11 + (z0

x)2+ (z0y)2

Tia Oz có véc tơ chỉ phương đơn vị là−→k = (0, 0, 1). Vì γ là góc tạo bởi −→n và tia Oz nên

cos γ = < −→n ,−→k >||−→n ||.||−→k ||

1 + (z0x)2+ (zy0)2

Mặt khác, ta có

dS =q

1 + (z0

x)2+ (z0

y)2dxdyNhư vậy, theo cơng thức tính tích phân mặt loại một, ta được

R(x, y, z) cos γdS =

1 + (z0

x)2+ (z0y)2

1 + (z0

x)2+ (z0

y)2dxdy =

R(x, y, z(x, y))dxdy

−→n =

1 + (zx0)2+ (z0y)2

0y

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

cos γ = < −→n ,−→k >||−→n ||.||−→k || = −

1 + (z0

x)2+ (z0y)2

1.2.5 Cách tính tích phân mặt loại hai

Tích phân mặt loại hai của P, Q, R trên mặt định hướng S là

I =

P dydz+Qdzdx+Rdxdy=

P dydz+

P cos αdS+

Q cos βdS+

• Dấu "-"nếu pháp véctơ tạo với chiều dương của tia Ox 1 góc tù.

• Dấu "-"nếu pháp véctơ tạo với chiều dương của tia Oy 1 góc tù.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

• Dấu"-" nếu pháp véctơ tạo với chiều dương của tia Oz1 góc tù.

mặt cầu x2+ y2+ z2 = 9, z > 0.

Giải.Ta tách tích phân I thành 3 tích phân mặtI =

x2dydz +

y2dzdx +

z2dxdy = I1+ I2+ I3

x = p9 − y2− z2, x > 0 và S2 với phương trình x = −p9 − y2− z2, x < 0. Mặt cong S1 có pháp

x2dydz =

x2dydz +

y =√9 − x2− z2, y > 0 và S4 với phương trình y = −√9 − x2− z2, y < 0. Mặt cong S3 có pháp véc

y2dzdx =

y2dzdx +

của tia Oz nên pháp véc tơ đơn vị của S sẽ tạo với tia Oz một góc nhọn. Hình chiếu của mặt cong S

I3 =

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Vậy I = I1+ I2+ I3 = 81π

1.2.6 Công thức Ostrogratxki - Gauss

Hình 1.13: Pháp véc tơ của mặt cong kín S

(y − x)dydz + (z − y)dzdx +(x − z)dxdy, trong đó S là mặt phía ngồi hình lập phương −1 6 x 6 1, −1 6 y 6 1, −1 6 z 6 1.

Hình 1.14: Hình lập phương −1 6 x 6 1, −1 6 y 6 1, −1 6 z 6 1.

Giải.Vì S là mặt phía ngồi hình lập phương −1 6 x 6 1, −1 6 y 6 1, −1 6 z 6 1 nên S là mặtkín có pháp véc tơ hướng ra phía ngồi hình lập phương. Do đó theo cơng thức Ostrogratxki -Gauss, ta có

I =

Ω

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Ví dụ 1.2.3. Dùng cơng thức Ostrogratxki - Gauss tính tích phân I =

ydydz + xydzdx − zdxdy,

Giải.Vì S là mặt phía trong của vật thể Ω xác định bởi x2+ y2 6 4, 0 6 z 6 x2+ y2 nên S là mặtkín có pháp véc tơ hướng vào phía trong vật thể Ω. Do đó theo cơng thức Ostrogratxki - Gauss,ta có

S

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Giải.Vì S là mặt phía trong của vật thể Ω giới hạn bởi 0 6 z 6 4 − x2− y2 nên S là mặt kín cópháp véc tơ hướng vào phía trong vật thể Ω. Do đó theo cơng thức Ostrogratxki - Gauss, ta có

(2x + y)dydz + (2y + z)dzdx + (2z + x)dxdy,

theo hướng dương trục Oz.

Giải. Vì S là phần mặt z = 2 − x2 − y2 nên S chưa là mặt kín. Do đó ta phải thêm vào mặt

đó theo cơng thức Ostrogratxki - Gauss, ta có

I =

(2.1 + x)dxdy

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

∂R

Chú ý. Hướng của pháp véc tơ đơn vị −→n của mặt cong S và hướng của đường cong khép kín C

phía trên thì hướng của đường cong khép kín C là hướng ngược chiều kim đồng hồ; cịn nếu

cong khép kín C là hướng cùng chiều kim đồng hồ.

Hình 1.18: Hướng của pháp véc tơ đơn vị của mặt cong S và hướng của đường cong khép kín C

3ydx + 3xdy + 3xdz, trong đó C là đường

trục Oz.

nhìn từ phía dương của trục Oz.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Giải.Vì hướng của đường cong C ngược chiều kim đồng hồ nên hướng của pháp véc tơ đơn vị với

ta có

I =

(0 − 0) dydz + (0 − 3) dzdx + (3 − 3) dxdy = −3.

dzdx = 0.

2ydx − xdy + xdz, trong đó C là đường

của trục Oz.

hồ nhìn từ phía dương của trục Oz.

Giải. Vì hướng của đường cong C ngược chiều kim đồng hồ nên hướng của pháp véc tơ đơn vịvới mặt cong S : z − y − 1 = 0 sẽ hướng lên phía trên. Do đó, pháp véc tơ đơn vị với mặt cong S là−

→n =0, −√12,

I =

(0 − 0) dydz + (0 − 1) dzdx + (−1 − 2) dxdy = −

(dzdx + 3dxdy) =

= −

(1. cos β + 3. cos γ) dS = −

+ 3.

dS = −

1 + (zx0)2+ (zy0)2dxdy =

= −

2.p1 + 02+ 12dxdy = −2

Dxy