Luận văn thạc sĩ Toán học: Bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic tuyến tính

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. HỒNG QC TỒN

Hà Nội - Năm 2012

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<small>1.1 Định lý Lax Milgram)...2...00. 9</small>

Sees s eee "1

2.1 Không gian Sobolev H(O)|...- 11

<small>1.2.2. Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng 121.2.3 Toán tử của bài toán Diichletl... 14</small>

<small>1.2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet] .... 15</small>

1.3. Bài tốn Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tinh cấp 3 . 20

1.3.1 Điều kiện "bức!| ... Q21.3.2 Bài tốn Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2|... .

2 Bài tốn Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp

<small>cao 29</small>

2.1 Bất dang thức Garding và bài tốn Dirichlet đối với phương trình

elliptic tuyến tính cấp cao]... 2.

<small>1.1</small>

Bất đẳng thức Garding

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

2.1.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tinh

2.2.2 Áp dung lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài toán

Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic cấp 2

2.2.3 Ap dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào bài tốn

Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic cấp cao

<small>Tài liệu tham khảo 55</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

LỜI MỞ ĐẦU

Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là một phần quan trọng trong lýthuyết phương trình đạo hàm riêng. Mặc dù nhiều mơ hình tốn học của các bàitốn cơ học và vật lý được mô tả bởi những phương trình vi phân khơng tuyếntính, nhưng việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính được bắt

đầu từ hàng thế kỷ nay và được tiếp tục đến tận bây giờ. Những kết quả của

việc nghiên cứu này vừa góp phần phát triển lý thuyết phương trình đạo hàmriêng nói chung, vừa có nhiều ứng dụng để giải quyết không chỉ những vấn đề

liên quan đến vật lý cơ học mà còn nhằm giải quyết nhiều vấn đề về tự nhiên,

kinh tế và xã hội, ... chẳng hạn như mơ hình quần thể sinh thái, mơ hình phát

triển dân số, ...

Có nhiều phương pháp khác nhau được áp dụng để nghiên cứu phương trình

<small>đạo hàm riêng như phương pháp ứng dụng giải tích, giải tích phức, phương trìnhtích phân, giải tích hàm, ...</small>

<small>Trong luận văn này chúng tơi trình bày một vài ứng dụng phương pháp giải</small>

tích hàm để nghiên cứu bài tốn Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến

Nội dung luận văn bao gồm:

<small>Chương 1: Trình bày định lý Lax-Milgram va 4p dung của định lý vào chứng</small>

minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trìnhLaplace và phương trình elliptic cấp hai.

Chương 2: bao gồm chứng minh bất đẳng thức Garding và áp dụng vào bài

tốn Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp cao, áp dụng của lý

thuyết. Fredholm-Riesz-Schauder vào bài tốn Dirichlet thuần nhất của phương

trình elliptic tuyến tinh.

Trong quá trình viết luận văn, tác giả được sự hướng dẫn nhiệt tình của

PGS.TS Hồng Quốc Tồn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Thay.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ giải tích củakhoa Tốn -Cơ -Tin học đã giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luận văn

<small>đúng hạn.</small>

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ vũtạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

KIÊN THỨC CHUAN BI

Trong mục này chúng ta sẽ làm quen với các định nghĩa về phương trình đạo

hàm riêng, các ký hiệu và kiến thức bổ sung được sử dụng trong phần sau.

1. Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo

hàm riêng, phương trình elliptic

Định nghĩa 1.1. Cho k là một số nguyên dương, © là một tập mở trong R”.

Một phương trình liên hệ giữa an hàm #(,#a,...,#„), các biến độc lập x; và

<small>các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay</small>

phương trình đạo hàm riêng cho gon va sẽ viết tắt là phương trình DHR). Nó

<small>có dạng:</small>

F(œ,u(œ), Du(+),.... D®u(œ)) = 0, (x € ©). (1.1)

Trong đó F:Q x R x R” x RTM — R là ham cho trước và w : 2 > R là hàm

cần tìm.

Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của có mặt trong phương trình được gọi

là cấp của phương trình. Ở đây (1.1) là phương trình cấp k.

Ta nói rằng phương trình (1.1) giải được nếu ta tìm được tất cả các hàm số

+ thỏa mãn (1.1).

<small>Dinh nghia 1.2.</small>

(i) Phương trình DHR (1.1) được gọi là tuyến tính nếu nó có dang:

» a„(z)D”“u = f(x)

<small>|o|<k</small>

trong đó a(x), f(x) là các hàm số đã cho. Phương trình tuyến tinh nay

được gọi là thuần nhất nếu ƒ = 0.

(ii) Phương trình (1.1) được gọi là nửa tuyến tính nếu nó có dang» a„()D“u + ag(%,u, Du,..., D*~1„) = 0.

(iii) Phương trình (1.1) được gọi là tựa tuyến tính nếu nó có dạng

» a„(%,u, Du,..., D®~1u) D%u + ag(,u, Du,..., D’~!u) =

<small>|œ|—=k</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

(iv) Phương trình (1.1) được gọi là phi tuyến hồn tồn nếu nó phụ thuộc

khơng tuyến tính vào đạo hàm cấp cao nhất.

Định nghĩa 1.3. Xét toán tử vi phân A(z,D) = ` aa()DÐ*, ở đó aa(z) là

<small>|la|<m</small>

hàm có giá trị phức đo được, x € R”. Nếu ø„(z) # 0 với a nào đó mà |a| = m

<small>ngun dương thì m được gọi là bậc của A.</small>

<small>Đa thức đặc trưng của tốn tử A là</small>

ở đó yo = const > 0 và trên mặt cầu đơn vị |Ao(z,£)| > +o và Ao là hàm thuần

nhất bậc m đối với £. Hằng số yo được gọi là hằng số elliptic.

Định nghĩa 1.4. Giả sử © là một miền trong R”. Phương trình

<small>A(z, D)u = f(x), zcQ (1.2)</small>

được gọi là phương trình elliptic trong miền 2 nếu A là toán tử elliptic trongmiền ©.

Hàm u(x) được gọi là nghiệm của phương trình nếu đẳng thức Au = ƒ

được thỏa mãn hầu khắp x € 2.

Dinh lý 1.5. Nếu số chiều của không gian R” lớn hơn 2 thi bậc của phương

<small>trinh elliptic là chấn.</small>

Định nghĩa 1.6. Bài tốn tìm nghiệm phương trình DHR (1.2) sao cho u(x) =

g(x) với moi x € OQ được gọi là bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic

tuyến tính. Khi u(x) = 0 với mọi x € ØO thì phương trình DHR gọi là bàitốn Dirichlet thuần nhất đối với phương trình elliptic tuyến tính.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

2. Ký hiệu và kiến thức bổ sung

2.1. Ký hiệu

(i) R” là khơng gian Euclide n chiều.

<small>(ii) © là tập mở trong R”, OO là biên của ©,</small>

<small>VỚI ay tag + --- + a, = Jal.</small>

2.2. Cac không gian ham

(i) Œ#(O) = {u: Q > R| u liên tục khả vi k lần}.

(ii) Œ®(O) = {u:O — R| u kha vi vô hạn trong Q}, C°(Q) = a, CF(Q).

(iii) C&(Q) = {u € C*(Q)|supp u compact trong ©}.

<small>(iv) CĐ(Q) = {u Cđ%(9)| supp u compact trong â}.</small>

<small>(v) L?(Q) = {u:Q > R| u là đo được Lebesgue, ||u|[u»(o < +oo} trong đó</small>

lular) ={ [ Iule) P4)”, 1<p< +00.

<small>Q</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

(vi) H*(Q) (k = 0,1,2,...), ký hiệu khơng gian Sobolev. H*(Q) là bổ sung đủ

của C®(Q) theo chuẩn

Hull -(/ » Duan)?

<small>Q lelsk</small>

2.3. Một số kiến thức bổ sung

<small>2.3.1. Không gian Banach</small>

Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn.

Định nghĩa 2.1. Ta nói rằng day {u,}?, C X hội tụ đến u € X nếu

<small>lim ||uy — u|| = 90,</small>

<small>ký hiệu uy —> wu.</small>

<small>Định nghĩa 2.2.</small>

(i) Day {uz}£2¡ C X được gọi là một dãy Cauchy nếu với mọi e > 0, tồn tại

<small>N >0 sao cho ||uy — u¡|| < e với mọi k,l > N.</small>

(ii) X là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.

(iii) Không gian Banach X là không gian tuyến tính định chuẩn day đủ.

<small>2.3.2. Khơng gian SobolevĐịnh nghĩa 2.3.</small>

(i) Không gian WTM?(Q) là không gian bao gồm các hàm u(x) € L?(Q) saocho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp a, |a| < m, thuộc L?(Q) và

được trang bị chuẩn

Illws»(e) ={ » [oewtyras)?.

<small>0<|a|<m Q</small>

(ii) Khi p = 2, không gian W"?(Q) = WTM?(Q) ký hiệu là HTM(Q). Như vậy

HTM(Q) = {uc L7(Q), Va:|a|<m, D°ue F?(©)}.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<small>Trong H”(O) đưa vào tích vơ hướng</small>

(u,0)„„ = D®uD*%udz

= » (Du, DZ0)r2(œ, với mọi u,v € H”(Ơ).

<small>|a|<mDo đó</small>

llu|lỗ, = (u,u)„ = 3) (D%u, Du) = 3”

(i) Tu = ulao nếu u € H!(9)nŒ(9).

(ii) |[fwllzz(ey < c|lu|lurcoy với moi wu € H'(Q) và c là hằng số.

Khi đó Tu được gọi là vết của u trên OQ.

Ton tại y > 0 sao cho

|LJ2ul||r>(oy > +- |lullr.2(o): VỚI mol u € Cx (Q),

<small>trong đó</small>

<small>Ou Ou Ou ):</small>

Du =(5 Oxo’ Orn,

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Chương 1

Bài toán Dirichlet đối với

phương trình elliptic tun

tính cấp 2

1.1 Định lý Lax Milgram

Dinh ly 1.1. Giả sử X là một không gian Hilbert thực, a(u,v) là phiếm hamsong tuyến tính trên X. Giả thiết a(u,v) thỏa man các điều kiện:

(i) Ton tại c >0 sao cho |a(u,v)| < c||u||- |[o|| uới mọi u,v € X.

(ii) Ton tại y > 0 sao cho a(u,u) > +||u||Ÿ uới mọi u € X.

Khi đó moi phiếm hàm tuyến tính liên tục F(u) trên X đều tồn tại f € X sao

F(u) = a(u, f), uc X.

Chứng minh. Lay u € X cỗ định. Khi đó, u(v) = a(u,v) là phiếm hàm tuyến

<small>tính trên X. Theo (i), ta có:</small>

<small>|a(u,ø)| < c||u|| - |lo|| với mọi v € X.</small>

Điều này chứng tỏ u(v) là phiém hàm tuyến tính liên tục trên X. Theo địnhlý Riesz-Frechét, tồn tại một phần tử, ký hiệu Au € X, sao cho

<small>u(v) = (Au,v), Vue X.</small>

<small>9</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<small>Như vậy a(u,v) = (Au,v), Vu € X, và ta có một tốn tử</small>

<small>A:X > Xu—> Au.</small>

A là tốn tử tuyến tính. Thật vậy với moi Ay, A2 € R, uy, ug € X và với mỗi

<small>0€ X có</small>

<small>(A(Aiui + Ague), 0) = ø(Ä1t1 + Agua, 0) = Àid(01,90) + Aga(ua, 0)</small>

= À1 (Au, 0) + A2(Aua, v) = (A, Aut + A Aug, 0).

Dang thức đúng với mỗi € X bởi vậy A tuyến tính. Theo giả thiết ii, ta có:|| Aul|? = (Au, Au) = a(u, Au) < c||u|| - || Au], Vu c X

ta chứng minh A(X) đóng trong X. Thật vay, giả sử {Au;} là dãy hội tụ đến

<small>v € X. Vì {Au;} là dãy Cauchy trong X nên ta có</small>

<small>lim ||Au; — Auz|| = 0.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Điều này chứng tỏ {u;} là dãy Cauchy trong X, cho nên tồn tại u € X sao

<small>cho Jim uj; =u trong X. Do A là ánh xa liên tục nên Au = v € A(X), tức là</small>

<small>A(X) đóng trong X.</small>

Ta chứng minh A(X) = X. Giả sử A(X) C X, A(X) đóng. Ta lấy ue X mà

<small>u ¢ A(X), trực giao với A(X), tức là</small>

<small>(u, Au) = a(u,u) = 0.</small>

Vì ||u||Ÿ <

<small>—a(u,u) = 0 nên u = 0, tức la A(X) = X. Vậy A: X 5 X là</small>¹

Khi đó, ton tại ƒ € X sao cho Af = g. Do đó

<small>F(u) = (g,u) = (Af, u) = a(f, u) Vue X.</small>

<small>Dinh ly được chứng minh. LÌ</small>

Định nghĩa 1.2. Dang cấu A: X > X xây dựng trong định lý Lax-Milgram

<small>sao cho</small>

<small>(Au, v) = a(u, v), Vu,ucxX (1.4)</small>

được gọi là tốn tử liên kết với dang song tuyến tính a(u,v) trên không gianHilbert X hay ngược lại a(u,v) được gọi là dạng song tuyến tính liên kết với

<small>tốn tử A.</small>

1.2 Bài tốn Dirichlet đối với phương trình Laplace

1.2.1 Khơng gian Sobolev H)(O)

<small>Giả sử (2 là tập mở bị chặn trong khơng gian R” với biên O(Q) trơn. Œø°(©)</small>

<small>là khơng gian các ham khả vi vơ hạn có giá compact trong 2.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

llwll;(oy = (w,u)Ÿ, Vu € Co? (Q).

Nhờ bat đẳng thức Poincare ta xác định một chuẩn tương đương với chuẩn

Khi đó H2(©) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng và nhúng liên

tục và compact trong L?(Q). Hạ(O) gồm các hàm suy rộng u € H'(Q) triệt tiêu

<small>. lôi</small>

trên biên cùng với các đạo hàm suy rộng theo nghĩa vết (u = 0, a = 0 trên

dQ theo nghĩa vết).

1.2.2 Bài toán Dirichlet va nghiệm suy rộng

<small>Ta xét bài tốn Dirichlet:</small>

<small>u=0 trên OQ.</small>

<small>Trong đó f(a) là hàm liên tục trong 2.</small>

Giả sử u € C?(M) là nghiệm của bai tốn (1.7). Khi đó với mỗi v(x) € Œø°(©)

<small>ta CĨ:</small>

I.. = | t@eloae. (1.8)

<small>12</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Áp dụng công thức Green cho về trái đẳng thức (1.8) ta co:

Nếu f(z) là hàm không liên tục trong © thì bài tốn (1.7) nói chung khơng

có nghiệm trong C?(Q). Vì vậy khi đó nghiệm bài tốn (1.7) cần hiểu theo nghĩa

<small>suy rộng. Ta có định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán như sau:</small>

Định nghĩa 1.3. Giả sử f(x) € L?(Q). Khi đó hàm u € H(©) được gọi là

nghiệm suy rộng của bài toán (1.7) nếu:

(Du, De) = (ƒ,2), Ve € Œ§°(9)

(u, ~)1 = (f, 9). Vụ = Œ§°(9).

Trong đó (u,v); là tích vơ hướng trong Hộ(9).

Chú ý 1.4. Nếu nghiệm suy rộng € H¿(O)ñ C?(Q) ta có:

(1) wu € H(©) nên

(Du, De) = (f, 9), Vụ € Œ(9).

(2) we Œ2(©) nên

<small>13</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<small>Do đó</small>

(—Au,ø) = (ƒ,ø). Ve € Cpe (Q).

<small>Từ đó suy ra —Au = f trong Q.</small>

Vậy u là nghiệm cổ điển của bài toán (1.7).

1.2.3 Toán tử của bài toán Dirichlet

Định nghĩa 1.5. Không gian đối ngẫu của Hạ(O) được ký hiệu là HÌ(©):

ƒceH' (9) nếu ƒ là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên H(©).

Nếu ƒ eH' (0)

|fllu-¿øy = sup{ < feu >| € Hộ(9), |lllyey < 1}.

Ta viết < -,: > để ký hiệu giá trị của ƒ eH 1(@) trên u € H2(9).

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<small>Toán tử —A được xây dựng như trên được gọi là tốn tử của bài tốn Dirichlet</small>

Từ định nghĩa ta có các tính chất của tốn tử —A:

<small>(1) (—Au,0) = (Du, Dv) = (u, —Av), Vu, € D(—A), suy ra —Au là toán</small>

<small>tử tự liên hợp.</small>

(2) (—Au,u) = (Du, Du) = |lul|? > 0, Vu € D(—A), suy ra —A là toán tử

<small>xác định dương. (—Au, u) = 0 khi và chỉ khi = 0.</small>

<small>Vay —A là toán tử tự liên hợp xác định dương.</small>

1.2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet

Định lý 1.6. Toán tử —A : Hạ(O) > Hˆ(Q) là ánh xạ 1-1 lên.

<small>Chứng minh. Theo định nghĩa ta có:</small>

(—Au, u) = (Du, Du) = ||Dullis(ey = k||elD2(vy Vu € Hộ(6).

Ta chứng tổ —A là đóng trong miền xác định 2(—A).

Giả sử {f;} là dãy hội tụ đến f trong #(—A) C H~†(). Khi đó tồn tại dãy

<small>{u;} C D(—A) sao cho</small>

Au = fi.

Theo (1.9)

llu; — welleacay Š ©: (fi — f2|ÌH-t(oy› V2,É:

Từ đó {u;} là day Cauchy trong Hj(Q). Vì H¿(Ĩ) là khơng gian Hilbert nên

tồn tại u sao cho

ae llu; — ullna(ay = 0:

<small>15</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Do —A là toán tử liên tục nên —Au = f. Từ đó suy ra tồn tại u € H¿(O)

<small>sao cho</small>

—Au = ƒ,

<small>nên ƒ € R(—A) > R(—A) đóng.</small>

<small>Bây giờ ta chứng minh —A là ánh xạ lên.</small>

Giả sử up € HẠ(©) trực giao với R(—A) C H7'(Q). Ta có

(—Au, uo) = 0 Vu € Hộ(9).

<small>Cho u = uo suy ra</small>

0 = (—Auo, uo) = k|luo la (a) > Up = 0.

Từ đó do R(—A) đóng trong H~'(Q) nên suy ra

<small>Vậy —A là ánh xạ lên.</small>

Hệ quả 1.7. Moi f(x) € L?(Q) bài toán Dirichlet ton tại duy nhất nghiệm

suy rộng uọ € Hạ(©).

Chứng minh. Giả sử f(x) € L?(Q) C H~1(@). Theo định Iý[L.6|tồn tại duy nhất

uo € Hộ(9) sao cho

<small>(—Auo, v) = (Duo, Dv) = (f,v), Vu € C£°(9).</small>

Điều đó có nghĩa up là nghiệm suy rộng của bai toán Dirichlet (1.7). L]

Định nghĩa 1.8. Giá trị À được gọi là giá trị riêng của toán tử —A nếu tồn tại

hàm y(a2) # 0, y(a) € Hạ(©), sao cho:

<small>—Ay = Ay.</small>

<small>Ham vy được gọi là ham riêng ứng với giá trị riêng À.</small>

Ký hiệu T :H†(O) > Hộ(Ĩ) là tốn tử nghịch đảo của tốn tử —A. Giả sử

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Như vậy toán tử (—A) có dãy các hàm riêng /; trong Hg (2) tương ứng với

<small>dãy các giá trị riêng {A;}72, đơn điệu tăng khi 7 — oo, nghĩa là</small>

<small>—Au; = AjUj; j = 1, 2, ..`a VỚI Aj =</small>

Vì {u;}?2¡ (7 = 1,2,...) cũng là các hàm riêng của T nên ta di đến khẳng

<small>định sau:</small>

<small>17</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Dinh lý 1.9. Ton tại một cơ sở Hilbert gồm những ham riêng {u;} (i = 1,2,...)

<small>của toán tử —A tương ứng uới day các giá trị riêng {Ay} đơn điệu tăng khi</small>

<small>¡ — OO.</small>

Liên quan đến giá trị đầu tiên À¡ của tốn tử —A ta có định lý sau:

Định lý 1.10. Nếu À¡ là giá trị riêng đơn đầu tiên của toán tử —A thà:

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<small>Hệ quả 1.11. Ham riêng uị của toán tử —A thỏa mãn</small>

|IDui|lDs(e) = An:

<small>Chứng minh. Ta có</small>

|Dwillfs(oy = (Dur, Dur) = (CA, 0) = Oru, v1) = Ail |eua|l72 (a):

ILDwillf2¿ey = Ài

và ta có điều phải chứng minh. oO

Liên quan đến ham riêng u; ta có kết quả khác mà sẽ trình bay trong định

lý tiếp theo. Tuy nhiên ta cần kết quả về tính trơn của bài tốn Dirichlet. Định

<small>lý sau chỉ đưa ra nhưng khơng chứng minh.</small>

<small>Xét tốn tử vi phân Ù dạng:</small>

<small>Lu = —ÂAu + Xu</small>

trong đó X là toán tử vi phân cấp 1 với hệ số trơn trong 2.

Định lý 1.12. Cho ƒ e H“~!(Q) vdi k = 0,1,2,... Khi đó nghiệm up € HẠ(©)

<small>của phương trinh</small>

<small>Lu = ƒ</small>

thuộc #?ˆ*1(Q). Hơn nữa ta có tước lượng tiên nghiệm

InllP-sve) < e(IIEellfz se; + lela)

trong đó e là hằng số dương nào đó va u H***(Q)n Hạ(Q) bắt kỳ.

Hệ quả 1.13. Ham riêng u; (i = 1,2,...) của toán tử —A thuộc C?(Q)N.HG(Q).

<small>Chứng minh. Xét toán tử L dưới dạng:</small>

<small>TL —Â — Xj.Khi đó ta có đánh giá</small>

<small>Lu; = (-A — À¡}u¿ = —Au; — À¡u¿ = 0.</small>

Do 0 € Hộ(©) nên theo định lý ta đi đến kết luậnuj € C®(Ø)n HẠ(9).

<small>19</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Trở lại bài tốn Dirichlet đối với phương trình Laplace. Ta xét bài tốn

<small>— Au = 0 trong ©,</small>

<small>ulog = ƒ trên OQ.</small>

<small>Trong đó ƒ € (99) là ham cho trước.</small>

Giả sử F € C*(Q) sao cho

Flag = f.

Dat u= F + hay v =u— F. Khi đó bài tốn (1.13) được đưa về bài toán

<small>(1.14)vilag = 0.</small>

Với g = AF € CTM(Q) tồn tại duy nhất nghiệm của bai tốn (1.14) có dạng:

v=Tg € Hạ(9).

<small>Hon nữa theo định lý nghiệm v = Tg € CTM(Q). Như vậy với mỗi</small>

f € CTM(AQ) tồn ti duy nht nghim Cđ(â) ca bi toỏn Dirichlet (1.12).

1.3 Bài tốn Dirichlet đối với phương trình

trong đó aj; = aj; € C?(Q), b¿,b¿ € C1(Q), e€ C(Q) là những hàm nhận giá trị

thực sao cho tồn tại y > 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Giả sử a(u,v) là dang song tuyến tính liên tục

a(u,v) = /( » ai; on, in “Dh TA

Hơn nữa, với u HẠ(O) = V, phiếm hàm a(u,v) = I(v), v € V là phiếm hamtuyến tính liên tục liên tục trên V = Hạ(O). Do đó ta xác định tốn tử

A:V->V' =(H¿(9))'=H'1(9@)

<small>sao cho</small>

<small>(Au,Đ)r2(o) = ue Vu eV.</small>

~ ju ow << `. av

n= | (tua an, † 3 hấp oF Sa Da, + cud) dr.

<small>t,g=1 t=1 =1</small>

<small>Theo công thức Green</small>

<small>Suy ra với moi u,v € Ce (2)</small>

a(u, v) 1 » in (a; ae Da sev Soon T + cud) der

<small>Q #/=1 =</small>

<small>21</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

hay Au = » SP (ai; se) yn Dn, >- aa! (biu) + cu, Vu € OF°(Q).

<small>z2=1 ¿=1</small>

Hơn nữa, 4 là tốn tử tuyến tính liên tục trên V,

|| Aul|? = (Au, Au) = a(u, Au) < ||u|| - |LAu|| > |[A+al| < ful] Vu V.

Dinh ly 1.14. Ton tai hằng số \yo € R sao cho vdi mọi X > Xo thà toán tử

A+AI là một đẳng cấu từ Hạ(Q) lên H”1(Ơ).

Chứng minh. Theo giả thiết về tính elliptic, ta có

Suy ra tồn tại các hằng số Œ¡ và C2 sao cho

a(u,u) > 2||Dull2s(ey — C1||Dullz2 (ay - |[t|z(ey — C|Vu|lỗ2(ey:

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Vậy tồn tại hằng số C > 0 sao cho a(u,u) > 2IlÐw|lŸs¿a) — C|\u|l7s(oy hay

(a(u,w)) + C||u||s¿¿y = 2 llwlllve Vue. (1.18)

Ap dung hệ quả ?? suy ra toán tử A+ AJ là đẳng cấu từ V = HẠ(O) lên V’

Ta chứng minh bổ đề sau đây.

Bổ đề 1.15. Cho f,g € H'(Q), một trong chứng thuộc HẠ(Q). Ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<small>Ký hiệu B = (bị,bạ,...,bẤ), BỖ = (b1, bƯ,...,bƯẤ), ta nhận được ước lượng</small>

a(u, u) > V|Dullz2 (a) N cỞ av (B+ ềate Vu Hạ(9).

Vậy nếu tồn tại d > 0 sao cho

cỞ sdlv (B+)>đơ Vren (1.19)

thì dạng song tuyến tắnh a(u,v) là thỏa mãn điều kiện bức

a(u,u) > collu|lln cay Vu Ạ Hộ(9),

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

1.3.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp

Giả sử O là một miền không bị chặn với biên OO trơn. Xét bài tốn Dirichlet

đối với phương trình elliptic cấp 2:

(ce) — 5 div(B + B')) > 6, Vr EQ.

Khi đó uới mọi ƒ € L?(Q) tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng up € Ho(Q) của

bài toán (1.20) — (1.21).

Chứng minh. Với điều kiện của định lý, toán tử A liên kết với dang song tuyến

tính a(u,v) là đẳng cấu từ H2(©) lên H*(@).

Giả sử ƒ € /?(O), ƒ eH(O), tồn tại up € Hộ(O) sao cho Aug = f trong

L?(O), tức là

<small>(Auo,0) = (f,v), Vo € C£(9).</small>

<small>Do đó</small>

ao, 0) = (f,v), Vo € Cp (Q).

Điều đó có nghĩa là up là nghiệm suy rộng của bài toán (1.20) — (1.21). O

Ta xét bai toán biên Dirichlet trong miền bị chặn.

Gia sử Q là tập mở bị chặn. Trong Q cho toán tử A xác định bởi (1.15) va

dang song tuyến tính a(u,v) xác định bởi (1.17).

Với Q là miền bị chặn, ánh xạ nhúng H2(©) vào L?(Q) là compact.

<small>Ta có định lý sau.</small>

<small>25</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Dinh lý 1.19. Giả sử © là tập mở bị chặn trong R". Toán tử vi phân tuyến

tinh elliptic cấp 2 được xác định theo công thức (1.15) va dạng song tuyến tinh

a(u,v) được xác định bởi cơng thức (1.17).

(a) Tốn tử A liên kết uới dạng song tuyến tính a(u,v) là một đẳng cấu từHà(©) lên H(Q) nếu

c— 5 din B + B')>0, Va En.

(b) Toán tử A là toán tử Fredholm với chi số 0 từ HẠ() lên H7'(Q).

Chứng minh. (a) Theo giả thiết

||DullZ2(a) = R|lu|lÖs(e). Vu € Ho(Q), k > 0.

<small>Q là tập mở bị chặn, ta nhận được ước lượng</small>

+ yk

a(u,u) > W|Dullz2@) 2 gl lDullracay + “5 Hellz) 2 ellw|lñn (a) Vu H(9),

Suy ra a(u,u) là thỏa mãn điều kiện bức.

Theo định lý Lax-Milgram, A là đẳng cấu từ Hj(Q) lên H7'(Q).

(b) Ta có, A+ AI là đẳng cấu từ H¿(O) lên H7'(Q) với À đủ lớn, cịn À7 làtốn tử compact từ Hj(Q) vào H~*(Q). Do đó

là tổng của một dang cấu và một toán tử compact nên A là toán tử Fredholm

với chỉ số 0. L]

<small>26</small>

</div>