Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.29 MB, 179 trang )
<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">
<i><b>Xin chào các anh/ chị học viên! </b></i>
Rất hân hạnh được gặp các anh/ chị trong Bài 1 mơn <i><b>Đại số tuyến tính.</b></i>
Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản của Toán học. Ta cần tìm hiểu khái niệm về tập hợp, sau đó là mối quan hệ giữa các tập hợp, các phép toán về tập hợp.
Trong các quan hệ giữa các tập hợp thì quan hệ hai ngơi đóng vai trị quan trọng. Từ đó, ta sẽ xét các quan hệ cơ bản: quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự.
Sau đó, nội dung của chương này trình bày khái niệm về ánh xạ. Các ánh xạ cơ bản được xét là đơn ánh, song ánh và toàn ánh. Tiếp đó, xét ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh xạ. Cuối chương xét lực lượng của tập hợp.
<i><b>Bài học này gồm có 07 nội dung: </b></i>
1. Tập hợp
2. Quan hệ hai ngơi 3. Ánh xạ
4. Tóm lược 5. Bài tập
6. Câu hỏi trắc nghiệm
7. Đáp án câu hỏi trắc nghiệm
- Cuối cùng là lực lượng của tập hợp.
- Giải được các bài tốn thơng thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và
</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">- Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu
<i><b>Một số khái niệm và ký hiệu cần thiết </b></i>
Mệnh đề toán học là một khẳng định tốn học hoặc là đúng hoặc là sai (khơng có nhập nhằng), ký hiệu bởi các chữ in <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,...
<i>Ví dụ: </i>
812:
<i>A</i> là mệnh đề đúng. 0
4:
</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">Đọc
bao hµm trong chøa
<i><b>Sự bằng nhau của 2 tập hợp </b></i>
Nếu một phần tử bất kỳ của tập hợp
<i>Tính chất 1.1 </i>
<i><b>Chú ý:</b></i> Khi
<i><b>Tính chất 1.3 (Tính chất chung của </b></i>
( <i>A</i> <i>B</i><i>C</i> <i>A</i><i>B</i> <i>A</i><i>C tính chất phân phối </i><i>đối với </i>:
( <i>A</i> <i>B</i><i>C</i> <i>A</i><i>B</i> <i>A</i><i>C tính chất phân phối </i><i>đối với </i>Chứng minh tính chất (1):
<i><b>Hiệu của hai tập hợp </b></i>
<b>Định nghĩa 1.3: Hiệu của tập </b>
Ký hiệu
<b>Hình 1.5 </b>
</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7"><i><b> Tập bù </b></i>
Khi
<i><b>Ví dụ: </b></i>Gọi
Xét chứng minh (1)
<i><b>Tích của 2 tập hợp (tích Đề các) </b></i>
<b>Định nghĩa 1.4: Tích của tập hợp </b>
Ký hiệu
<b>Hình 1.6 </b>
</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8"><i><small>RR y </small></i>
<i><small>x </small></i>
<i><small>AB B </small></i>
<b>3.2. QUAN HỆ HAI NGÔI </b>
<b>3.2.1. KHÁI NIỆM VỀ QUAN HỆ HAI NGÔI </b>
Giả sử cho tập
<b>3.2.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ TRONG MỘT TẬP HỢP </b>
Quan hệ R trong tập
- Tính đối xứng:
<b>3.2.3. QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG </b>
Quan hệ R trong tập <i><b>X</b></i> gọi là <i><b>quan hệ tương đương</b></i> nếu nó có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu.Trong trường hợp này, ta viết ~ thay v× <i>aba R </i>
<i><b>Ví dụ: </b></i>Quan hệ đồng dạng giữa các tam giác; quan hệ cùng tỉnh của một tập hợp dân một thành phố là các ví dụ trực quan của quan hệ tương đương.
Các lớp tương đương: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương trong <i><b>X</b></i>. Với mỗi phần tử
</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10"><i><b>Ta thu được định lý: </b></i>Một quan hệ tương đương trong <i><b>X</b></i> xỏc định một phõn hoạch của <i><b>X</b></i>, mỗi phần tử của phõn hoạch này là một lớp tương đương.
Họ cỏc lớp tương đương này được gọi là tập thương, ký hiệu
<i><b>Vớ dụ:</b></i> Trong tập cỏc số nguyờn
Xột quan hệ R:
Nếu ngoài ra, với bất kỳ hai phần tử nào
Khi R là một quan hệ thứ tự trong <i><b>X</b></i>, ta núi <i><b>X</b></i> được xếp thứ tự bởi R thay vỡ
Nếu <i>x</i><i>y</i> và <i>x</i><i>y</i> ta viết <i>x</i><i>y</i>
<i><b>Vớ dụ 1: </b></i>Quan hệ < hoặc
<i><b>Vớ dụ 2:</b> Quan hệ "a b</i>" tức là bội số của trong *<i>abN là quan hệ thứ tự bộ phận. Tập X </i>
<i>trong đú đó xỏc định một quan hệ thứ tự gọi là tập được sắp xếp. </i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">Tập <i><b>X</b></i> gọi là <i><b>miền xác định</b></i> hay nguồn của ánh xạ, tập <i><b>Y</b></i> gọi là đích của ánh xạ.
Phần tử
Nói riêng, khi <i><b>X </b></i>và <i><b>Y</b></i> là các tập hợp số thì khái niệm ánh xạ trở thành khái niệm hàm số. Cho
lµ tËp con cđa lµ tËp con cđa
Ta gọi <i><b>ảnh </b></i>của <i><b>A</b></i> bởi <i><b>f</b></i> là tập con <i>B</i> của <i><b>Y</b></i> xác định bởi:
Cần để ý là <small>1</small>
<i>f</i><sup></sup> <i>B B</i> , có thể là tập rỗng.
<b>3.3.2. ĐƠN ÁNH – TOÀN ÁNH – SONG ÁNH </b>
Trong số các ánh xạ, các ánh xạ dưới đây giữ vai trị quan trọng:
• Ánh xạ <i><b>f</b></i> gọi là <i><b>đơn ánh</b></i> nếu
• Ánh xạ <i><b>f</b></i> gọi là <i><b>toàn ỏnh</b></i>, nếu
<b>3.3.3. ÁNH XẠ NGƯỢC (CỦA MỘT SONG ÁNH) </b>
Giả sử
sao cho
Ánh xạ <small>1</small>
Vậy, ỏnh xạ ngược của <small>1</small>
Giả sử
ỏnh xạ <i>g A</i>: <i>Y</i> xác định bởi <i>g x</i>
<i><b>A</b></i>, ta ký hiệu
Nếu: <i>X</i>'<i>X X</i>, '<i>X</i> thì ánh xạ '<i>X</i> <i>Y</i> sao cho <i>h x</i>
lờn tập
</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">Thực chất, việc đánh số hay việc đếm số phần tử là sự thiết lập một song ánh <i><b>f</b></i> từ tập <i><b>n</b></i>
số tự nhiên E<small>n</small>
<b>Định nghĩa 1.7: </b>
Cho hai tập hợp <i><b>A</b></i> và <i><b>B</b></i> khác rỗng (hữu hạn hoặc vô hạn). Nếu tồn tại một song ánh
Tập có cùng lực lượng với tập E<small>n</small> gọi là tập hữu hạn.
Rõ ràng, hai tập hữu hạn đồng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số phần tử.Vậy khái niệm “cùng lực lượng” là sự khái quát hóa khái niệm “cùng số lượng” thông thường.
Nếu <i><b>A</b></i> và <i><b>B</b></i> đồng lực lượng, ta nói <i><b>A </b></i>tương đương với <i><b>B</b></i> và viết <i>A B</i>
Tập có cùng lực lượng với tập số N gọi là tập vô hạn đếm được.
Tập vô hạn không cùng lực lượng với tập N gọi là tập không đếm được. Người ta chứng minh được rằng tập các số thực R là tập không đếm được. Các tập hữu hạn, hoặc vô hạn đếm được thường được gọi chung là <i><b>đếm được</b></i>.
<i>2. Bước quy nạp: Chứng minh phép kéo theo P(n) P(n + 1) là đúng với mọi số </i>
<i><b>nguyên dương n, trong đó người ta gọi P(n) là giả thiết quy nạp. </b></i>
Khi hoàn thành cả hai bước chúng ta đã chứng minh P(n) là đúng với mọi số nguyên dương, tức là đã chứng minh P(n) là đúng.
</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14"><i><b>Ví dụ:</b></i> Bằng quy nạp toán học, hãy chứng minh rằng tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n<small>2</small>.
<i><b>Giải:</b></i> Gọi P(n) là mệnh đề “tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n<sup>2</sup>”. Đầu tiên ta cần làm bước cơ sở, tức là phải chỉ ra P(1) là đúng. Sau đó phải chứng minh bước quy nạp, tức là cần chỉ ra P(n + 1) là đúng nếu giả sử P(n) là đúng.
<i>Bước cơ sở: P(1) hiển nhiên là đúng vì 1 = 1</i><small>2</small>.
<i>Bước quy nạp: Giả sử P(n) đúng, tức là với mọi n nguyên dương lẻ ta có: </i>
1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n<small>2</small>
Ta phải chỉ ra P(n + 1) là đúng, tức là: 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) + (2n + 1) = (n + 1)<small>2</small>
Do giả thiết quy nạp ta suy ra: 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n - 1)] + (2n + 1) = n<sup>2 </sup>+ (2n + 1) = (n + 1)<sup>2</sup>
Đẳng thức này chứng tỏ P(n + 1) được suy ra từ P(n).
Vì P(1) là đúng và vì mệnh đề kéo theo P(n) P(n + 1) là đúng với mọi n nguyên dương, nguyên lý quy nạp toán học chỉ ra rằng P(n) là đúng với mọi n nguyên dương.
- Cuối cùng là lực lượng của tập hợp.
- Giải được các bài tốn thơng thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và theo trắc nghiệm.
Bài tiếp theo anh/ chị sẽ được học về Định thức và ma trận.
</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15"><i><b>Bài 1: Cho hai tập hợp X và Y </b></i>
Chiều : Lấy , , ta có,
<i>x yABACxA</i>
<i>yBCx yAC</i>
<i>yCx yA BC</i>
<i>ABACA BC</i>
<i>x yACyC</i>
<i>x yABAC</i>
<i>x yABACxA</i>
<sub></sub>
Từ (3) và (4), ta có điều phải chứng minh.
<i><b>Bài 3: Cho </b></i>
<small></small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17"><i><b>Bài 4: Cho f là một ánh xạ từ E vào F. </b></i>
Chứng minh rằng <i><b>f</b></i> là toàn ánh khi và chỉ khi đối với mỗi tập <i><b>G</b></i> và với các ánh xạ <i><b>g</b></i> và <i><b>h</b></i>
, ' Do giả thuyết khơng phải là tồn ánh
</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">Nh-ng theo cách chọn
<i><b>Bài 5: Cho f là một ánh xạ từ E vào F. </b></i>
Chứng minh rằng <i><b>f</b></i> là đơn ánh khi và chỉ khi với mỗi tập <i><b>D</b></i> và với các ánh xạ <i><b>g </b></i>và <i><b>h </b></i>từ <i><b>D </b></i>
vào <i><b>E</b></i>, ta có:
Cần
'"
</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">c. LËp luËn theo bao hµm hai chiỊu:
<i>f xAf xBf xAB</i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">và là 2 phần bất biến theo .
Hái vµ cã bÊt biÕn theo ?
<i><b>Bài 8: Xét hai tập có thứ tự E và F, trong đó thứ tự cho bởi </b></i>
<i><b>quan hệ R sau đây. Xác định trên </b></i>
<i>x y</i>
Ta có <i><b>x</b></i> R<i><b> y</b></i> <i>f x Tf y</i>
nh-ng
Do đó:
<b>Cõu 1.</b> Cho <i>A</i>
và
<i><b>Xin chào các anh/ chị học viên! </b></i>
Rất hân hạnh được gặp các anh/ chị trong Bài 2 môn <i><b> Đại số </b></i>
Định thức là khái niệm cơ bản của đại số, có nhiều ứng dụng về lý thuyết và thực hành. Ta cần tìm hiểu khái niệm về định thức, các tính chất và cách tính định thức. Khi tính định thức cấp cao, người ta khai triển định thức theo các phần tử của một hàng hoặc theo một cột. phương pháp biến đổi sơ cấp để triển khai định thức …Những khái niệm và kết quả này rất cần thiết cho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính và nghiên cứu khơng gian véc tơ.
<i><b>@ Nội dung của bài học gồm có các mục sau: </b></i>
1. Khái niệm về định thức 2. Các tính chất của định thức 3. Cách triển khai định thức 4. Định thức cấp cao
<i><b>Ngoài ra trong bài học cịn có câu hỏi trắc nghiệm cuối bài và phần tóm tắt lại nội dung bài học </b></i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">Biểu thức
<small>1 22 122</small>
Biểu thức
<b>O O OO O OO O O</b>
<small>3 số mang dấu (+) theo đường chéo chính </small>
<small>3 số mang dấu (-) theo đường chéo phụ </small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28"><i>a b cb c ac a bc b ab a ca c b</i>
So sánh hai biểu thức (2.2) và (2.3), ta thấy
<i><b>Chú thích:</b></i> Do tính chất 1, từ nay về sau ta phát biểu các tính chất cho cột và cần phải hiểu nó cũng đúng đối với hàng.
<i><b>Tính chất 2.2:</b></i> Khi ta đổi vị trí hai cột cho nhau thì định thức đổi dấu.
</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29"><i><b>Tớnh chất 2.3:</b></i> Một định thức cú 2 cột giống nhau thỡ bằng 0.
<i><b>Chứng minh: </b></i>
Thật vậy, gọi
, do đó 2 0 0 .
<i><b>Tớnh chất 2.4:</b></i> Thừa số chung của cỏc phần tử của cựng một cột cú thể đưa ra ngoài dấu định thức.
</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30"><b>III.3. KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC THEO CÁC PHẦN TỬ CỦA CÙNG MỘT CỘT (HAY MỘT HÀNG). ĐỊNH THỨC CON. PHẦN PHỤ ĐẠI SỐ. </b>
Biểu thức (2.2) trong định nghĩa định thức cấp ba
<i><b>Chú thích:</b></i> Trong cơng thức (2.7) giả sử
Vì vậy, ta có thể áp dụng tính chất 2.6 để đưa một định thức cấp ba về dạng trong đó có hai phần tử của cùng một hàng hay một cột bằng 0, sau đó áp dụng tính chất trên, ta có thể tính định thức cấp ba khá nhanh.
</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">
</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">0 nÕu
... hµng . . ... .
... hµng . . ... .
Định thức
bằng các phần tử tương ứng của hàng thứ <i><b>i</b></i> (các hàng khác giữ nguyên). Khai triển định thức
<i><b>Sau khi học xong bài này, yêu cầu Anh/chị cần nắm các vấn đề chính sau đây: </b></i>
❖ Định thức là gồm các phần tử được sắp xếp thành hàng và cột, trong đó: - Số hàng phải bằng số cột
- Cấp của định thức = chính số hàng hay số cột ❖ Định thức có 5 tính chất cơ bản:
- Khi ta đổi Hàng i cho Cột i, đổi Cột j cho Hàng j thì định thức khơng đổi - Khi ta đổi vị trí hai cột (hàng) cho nhau thì định thức đổi dấu
- Một định thức có 2 cột (hàng) giống nhau thì bằng 0
- Thừa số chung của các phần tử cùng 1 hàng (cột) có thể đưa ra ngồi định thức. - Nếu nhân mỗi phần tử của Cột (hàng) thứ i với cùng một số rồi cộng vào cột (hàng) thứ k thì định thức khơng đổi
<i>= (b - c)(b - a)</i>
<i>= (b - c)(b - a)(a - c)</i>
<i>= (b - c)(b - a)(a - c)</i>
01
</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34"><i>= (b - c)(b - a)(a - c)(-1)</i>
<i>= (b - c)(b - a)(c - a)(c<sup>2</sup>+ a<sup>2</sup>+ ca - ca - cb - c<sup>2</sup>- a<sup>2</sup>- ab- ac) =(b - c)(a - b)(c - a)(cb + ab + ac) </i>
<i>b. </i>
<i> với ε = cos</i>
<i>+ sin </i>
TA CÓ:
<i> </i>
<i>= </i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">1 cos cos 2 cos cos cos cos
cos coscos
1 2 cos cos cos cos cos cos 2 cos cos cos
</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">
<i>abcdbadc</i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37"><i>a b c d b a d cda dab cc db ab a</i>
<i>c db a c db a c da b c d b a d c b a c d b c da</i>
* Nếu
LÊy cét 3 céng víi cét 21
LÊy cét 3 trõ ®i cét 11
<i>SỬ DỤNG –ABCC<small>1</small> + (AB+ BC+ CA)C<small>2</small> + C<small>3</small></i> đưa vào C<small>3</small>
Ä =
<small> </small>
0 0 0 1
<small> </small>
<i>n</i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">1 2 3 4 ...0 2 3 4 ... 20 0 3 4 ... 2
1.2.3.4... !0 0 0 4 ... 2
<i>an</i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">
<small>2</small>0 0 ... 0
0 0 0 ...0 0 0 ... 1
Nhân hàng 2 với , nhân hàng 3 với ,..., nhân hàng với rồi cộng vàohàng 1, ta được:
<small></small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 43</span><div class="page_container" data-page="43"><small>01</small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 44</span><div class="page_container" data-page="44"><i><b>Xin chào các anh/ chị học viên! </b></i>
Rất hân hạnh được gặp các anh/ chị trong Bài 3 môn <i><b>Đại số</b></i>.
Đầu tiên, ta xét việc giải hệ 2, 3 phương trình và 2, 3 ẩn để nắm chắc phương pháp giải theo quy tắc Cramer.
Tiếp đó, ta sẽ xét phương pháp Gausse. Sau đó, ta xét hệ phương trình thuần nhất. Cuối cùng, ta mở rộng kết quả để xét phương trình tuyến tính tổng quát, cũng chia ra làm hai trường hợp: hệ phương trình thuần nhất và hệ phương trình có vế phải khác 0.
7. Câu hỏi trắc nghiệm
8. Đáp án câu hỏi trắc nghiệm
Sau khi học xong chương này, anh/ chị sẽ:
- Nắm được phương pháp giải hệ 2, 3 phương trình và 2, 3 ẩn; hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau theo phương pháp Cramer và phương pháp Gausse;
- Nắm được phương pháp giải hệ phương trình thuần nhất;
- Nắm được phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát cho hai trường hợp: hệ phương trình thuần nhất và hệ phương trình có vế phải khác 0;
- Giải được các bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính.
</div><span class="text_page_counter">Trang 45</span><div class="page_container" data-page="45">trong đó <i><b>x,y</b></i> là các ẩn số <i>a a b b h h</i><sub>1</sub>, <sub>2</sub>, ,<sub>1</sub> <sub>2</sub>, ,<sub>1</sub> <sub>2</sub> là các số đã biết.
Hệ (3.1) được gọi là khơng thuần nhất nếu ít nhất một trong hai số
Ta gọi nghiệm của hệ (3.1) là cặp (<i><b>x,y</b></i>) thỏa mãn cả hai phương trình của hệ ấy. Hệ được gọi là tương thích nếu có ít nhất một nghiệm, là khơng tương thích trong trường hợp trái lại.
Ta cũng có các định nghĩa tương tự cho hệ (3.2) như đối với hệ (3.1).
<b>3.2. Điều kiện tương thích phương pháp Cramer và phương pháp Gausse </b>
</div>