skkn cấp tỉnh một số sai sót của học sinh mắc phải khi tính tích phânsách giáo khoa giải tích 12 chương trình cơ bản

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (226.27 KB, 18 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ SAI SÓT CỦA HỌC SINH MẮC PHẢI KHITÍNH TÍCH PHÂN

( Sách giáo khoa Giải tích 12, Chương trình cơ bản )

Người thực hiện: Vũ Đức TuấnChức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2024

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 32.1.1 Định nghĩa và tính chất của Nguyên hàm 32.1.2 Định nghĩa và tính chất của Tích phân 42.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 52.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để

giải quyết vấn đề

2.3.1. Sai do khó khăn trong việc đi tìm nguyên hàm 5

2.3.2. Sai do “ mơ hồ ” dẫn đến nhầm lẫn giữa các công thức với

2.3.3. Sai trong việc thực hiện đổi biến số tích phân 8

2.3.4. Sai trong việc thực hiện các phép biến đổi hàm số dưới dấu

DANH MỤC SKKN ĐƯỢC XẾP LOẠI CẤP NGHÀNH 17

1. MỞ ĐẦU:1.1. Lý do chọn đề tài

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

G.Polya đã từng nói: “ Con người phải biết học từ những sai lầm và

những thiếu sót của mình” [1], [7]. Từ những sai sót của mình, con người ta nếu

biết nhìn nhận và sửa chữa thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học vàsẽ tránh được những sai lầm tương tự.

Trong thực tế giảng dạy ở trường phổ thơng, tơi nhận thấy Tích phân chiếmmột vị trí rất quan trọng, nó là nội dung không thể thiếu trong đề thi tốt nghiệpTHPT và tuyển sinh vào các trường Đại học&Cao đẳng. Thêm nữa cịn thấy nócịn là một cơng cụ hữu hiệu để giải quyết bài tốn thực tế phổ biến đó là : Bàitốn tính diện tích và thể tích.

Khi giảng dạy phần kiến thức này, tôi thấy khá nhiều học sinh mắc phảimột số lỗi khi giải các bài toán tích phân. Những sai sót mà học sinh mắc phảinhư: Ngun hàm tìm được khơng phải là ngun hàm của hàm số trên đoạn lấytích phân; Nhầm lẫn giữa cơng thức lấy Nguyên hàm và công thức lấy Đạo hàm;Thực hiện đổi biến số tích phân bị sai ( đổi biến số khơng đổi cận, đổi biến sốkhơng tính vi phân ); Thực hiện các phép biến đổi hàm số dưới dấu tích phân bịsai ( tính tốn sai, biến đổi không đồng nhất, không tương đương )…

Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn với mong muốn giúp các em học sinh hiểuđược kiến thức cơ bản, hạn chế được những sai sót và phát triển năng lực giảitốn cho học sinh bằng việc chỉ ra và phân tích một số sai sót của học sinh khi

tính Tích phân. Vì vậy tơi chọn đề tài: “Một số sai sót của học sinh mắc phải

khi tính Tích phân”.1.2. Mục đích nghiên cứu

Thơng qua việc chỉ ra và phân tích một số sai sót của học sinh trong giảitốn Tích phân để hình thành và phát triển tư duy, khả năng suy đoán nhằm pháttriển năng lực giải toán cho học sinh. Đồng thời giúp học sinh cảm thấy uthích mơn Tốn hơn.

1.3. Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu, đưa ra một số dạng toán mà học sinh thường mắc sai sóttrong giải tốn Tích phân ( gồm dạng mẫu và một hệ thống bài tập đề nghị ) chohọc sinh phân tích lỗi sai và cách khắc phục sai sót đó.

1.4. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.- Phương pháp khảo sát điều tra

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Kết hợp giữa kinh nghiệm và yêu cầu thực tế trong việc dạy học ôn tậpcho học sinh.

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:2.1.1. Định nghĩa và tính chất của Nguyên hàm:

a) Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng hoặc đoạn hoặc

nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K. [4]

(x 0)

6. y = ax

adxax x



, (0a1)7. y = cosx cosxdxsinxC

8. y = sin x sinxdxcosxC9.

[4]

g) Phương pháp tính nguyên hàm: +) Phương pháp đổi biến số :

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Định lí 1: Nếu



f u du F u( )  ( )c và u u x( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì



f u x u x dx F u x[ ( )] '( )[ ( )]C [4]

+) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:

Định lí 2: Nếu hai hàm số u u x ( )vàv v x ( )có đạo hàm liên tục trên K thì



u x v x dx u x v x( ). '( )  ( ). ( )



v x u x dx( ). '( ) hay

udv u v.vdu

[4]

2.1.2. Định nghĩa và tính chất của Tích phân:

a) Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một

nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Hiệu số F(b)  F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b] ) của hàm số f(x), kí hiệu là:

Đ ị n h l í : Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử hàm số

( )

x  t có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ;  ] sao cho  ( ) a, ( )  b và( )

a  t b với mọi t [ ; ].

 

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Chương trình Tốn lớp 11 học sinh đã học Đạo hàm và Vi phân. Đến lớp12 học sinh được học Nguyên hàm - Tích phân. Trong đó Ngun hàm là phéptính ngược của Đạo hàm, và Tích phân là phép tính ngược của Vi phân, nên việctính Nguyên hàm – Tích phân sẽ khó khăn hơn so với việc tính đạo hàm. Nhiềuhọc sinh cảm thấy “ mơ hồ ” khi giải các bài tốn Tích phân, dẫn đến các emmắc những sai sót khi giải tốn. Trong thực tế việc phân tích những sai sót củahọc sinh giúp các em hiểu được bản chất của vấn đề, để các em nhớ lâu hơn vàđồng thời qua đó có thể phát triển năng lực tư duy, năng lực giải toán cho cácem.

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấnđề:

Đưa ra một số ví dụ cụ thể về các dạng tốn Tích phân mà học sinhthường mắc sai sót khi giải tốn và kèm theo đó là một hệ thống bài tập đề nghịđể học sinh tham khảo. Những ví dụ đưa ra có kèm theo phân tích ngun nhândẫn đến sai sót, để qua đó học sinh có thể rút ra kinh nghiệm, khắc sâu thêm

kiến thức, hạn chế được các sai lầm tương tự. [7]

2.3.1. Sai do khó khăn trong việc đi tìm ngun hàm: Ví dụ 1: Tính



2 1 ln

I 



x x dx [9]* Sai sót mắc phải:

* Nguyên nhân: Do cách đặt u và dv của học sinh không hợp lý. Về lý thuyết

hàm số

ylnx

liên tục trên khoảng



0; 



thì nó sẽ có Ngun hàm trên

khoảng đó. Nhưng ta khơng thể tìm được Ngun hàm của hàm số này.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

* Lời giải đúng:

Đặt:

* Lưu ý học sinh: Khi thực hiện tính tích phân theo phương pháp từng phần.

Cần chọn u sao cho tính du dễ ( tính đạo hàm u’ dễ ), chọn dv sao cho tính v dễ (tính nguyên hàm

vdv

dễ ). Cần ghi nhớ thứ tự ưu tiên khi chọn u như sau:1_Hàm logarit, 2_Hàm đa thức, 3_Hàm lượng giác, 4_Hàm mũ. Thế mới có câu“ Nhất Lơ, nhì đa, tam lượng, tứ mũ ”.

* Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau:

ln xdxx

1cos xdx

xdxx

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Ví dụ 2:

3 9 152 42 410 4

Ix dxx dxx

  

                     

* Lưu ý học sinh: Học sinh cần có bước kiểm tra, sau khi lấy nguyên hàm xong

thì cần lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem nó có phải là hàm số đã chokhơng? Hay dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả tìm được.

* Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau:

120

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

3/ 1

3(2x 1) dx0



[11]

5/ 1

dx3(1 x)

10sin x dx2

cos x.dx

9/ 3cot x.dx54

ln x.dx1



[11]

11/ 0

x 13dx1

ln 2xe1dx0

* Lưu ý học sinh: Học sinh cần lập ra bảng nguyên hàm của hàm hợp và học

thuộc nó. Học sinh cần có bước kiểm tra, sau khi lấy nguyên hàm xong thì cầnlấy đạo hàm của ngun hàm tìm được xem nó có phải là hàm số đã cho khơng?Hay dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả tìm được.

Ví dụ 4: Tính tích phân : I =

I 



 tt dt 



t dt 



 dt    

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

* Nguyên nhân: Do học sinh khi thực hiện đổi biến số nhưng không đổi cận.* Lời giải đúng:

Đặt x = sint suy ra dx=costdt.

Đổi cận:

xtxt 

 

 

dxx 1

dx4 x



[9]

cos x

dx1 sin x

dx1 e

120

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

* Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau:

1 cos 2x dx





</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

x mdx

x  x dx

là khơng tương đương vì 0 



1;1



nên không thểchia cả tử cả mẫu cho x  [6]0.

* Lời giải đúng:

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

* Lưu ý học sinh: Khi tính tích phân mà cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho

x

thì cần để ý xem trong đoạn lấy tích phân có chứa điểm x  hay khơng?0

* Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

xdxx 

1 240

2.3.5. Một số nghịch lý trong bài tốn Ngun hàm - Tích phân. Đề nghịthầy cơ và các em học sinh tìm hiểu xem sai ở chỗ nào? Nguyên nhân vàcách khắc phục. Hi vọng thầy cô và các em sẽ rút ra được những kết luậnbổ ích.

Bài tốn 1: “ 0 = 1”

Khi tính tích phân: cot xdx



Có bạn một bạn học sinh làm như sau:cos

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Hay I  1 I Suy ra. : 0 1 [8]

Bài toán 2: “ Diện tích hình phẳng bằng 0 ”

Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  2 2cos 2 x , trụcOx và hai đường thẳng ;

x  x .Một bạn học sinh làm như sau:

Vậy hình phẳng đã cho có diện tích bằng 0. [8]

Bài toán 3: “ Voi cũng bằng kiến ”

Xét hypebol xác định bởi phương trình y2  x2 1 0. Nếu cắt hypebol bởiđường thẳng x 2và gọi các giao điểm của chúng là M N, ( Hình 18 ).

Thể tích

V

1của khối trịn xoay do tam giác cong MAN quay xung quanh trục

Bây giờ, cắt hypebol bởi hai đường thẳng x2;x2thì thể tích V2của khối

trịn xoay do hai tam giác cong MAN và M AN''quay quanh trục Oxtạo thànhlà:

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Vậy, voi cũng bằng kiến ư? [8]

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, vớibản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy, bước đầu đã thu được một sốkết quả khả quan. Học sinh có sự tiến bộ hơn trong tư duy, thể hiện qua chấtlượng của các kì thi khảo sát. Đa số học sinh các em đã bắt đầu nhìn nhận đượcbản chất của vấn đề tránh được sai sót khi tích phân nói riêng và hạn chế đượccác sai sót khi giải tốn nói chung. Thơng qua đó, chất lượng giảng dạy bộ mơnnói riêng và chất lượng giáo dục nói chung của Nhà trường dần được nâng lên.

Đề tài đã được thảo luận, đánh giá ở tổ chuyên môn cho thấy được việc giảiquyết nội dung còn hạn chế của đề tài, là nguồn cảm hứng cho đồng nghiệptrong việc nghiên cứu khoa học. Có tác động khơng nhỏ tới phong trào nghiêncứu khoa học của nhà trường.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ3.1. Kết luận

Qua đề tài này, tôi muốn giúp các em học sinh trau dồi, củng cố và khắcsâu thêm kiến thức về tích phân. Việc chỉ ra và phân tích nguyên nhân các saisót trong giải tốn cịn có thể phát triển được tư duy, rèn luyện được tính cẩnthận, chính xác, rèn luyện kỹ năng, nâng cao năng lực giải tốn nói chung và kỹnăng giải tốn tích phân nói riêng.

3.2. Kiến nghị

Đề tài cần được phát triển, bổ sung thêm những sai sót của học sinh và bổsung thêm bài tập để củng cố thêm kiến thức và rèn luyện thêm kỹ năng giảitoán cho học sinh.

Nhà trường nên trang bị thêm các sách viết về các sai lầm của học sinh khigiải tốn để học sinh được tìm tịi về những sai lầm thường mắc phải khi giảitoán để các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi thực hành giải bàitập.

Tuy đã có sự cố gắng trong thực hiện đề tài, song do thời gian có hạn và dokinh nghiệm của bản thân cịn nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót. Rấtmong sự đóng góp ý kiến của Q thầy cơ và bạn bè đồng nghiệp để sáng kiếnnày có ích trong việc truyền thụ tri thức cho học sinh.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 5 năm 2024.

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, khơng sao chép nội dung của người

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

[1]. G. Polya; Suy luận nghe có lý; NXB giáo dục.

[2]. Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn; Sai lầm thường gặp & các sáng tạo khigiải toán; NXB Hà Nội.

[3]. Lê Thống Nhất - Nguyễn Vĩnh Cận – Phan Thanh Quang; Sai lầm phổ biếnkhi giải toán; NXB giáo dục.

[4]. Trần Văn Hạo ( Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn ( chủ biên ); SGK Giải tích 12;NXB giáo dục.

[5]. Vũ Tuấn ( Chủ biên ); Bài tập Giải tích 12; NXB giáo dục.

[6]. Các trang mạng internet ( mathvn.com; thuvienhoclieu; toanmath.com;vnteach.com...)

[7]. Vũ Đức Tuấn; SKKN: “Một số sai lầm thường gặp của học sinh trong suyluận tương tự khi giải bất phương trình”; Năm học đánh giá xếp loại 2017-2018.

[8]. Nguyễn Phụ Hy ( Chủ biên ); Giảng dạy Tích phân trong chương trình Tốnlớp 12; NXB giáo dục.

[9]. Nguyễn Thanh Vân – Hà Văn Chương; Các phương pháp tính Tích phân;NXB Trẻ.

[10]. Trần Thành Minh ( chủ biên ); Giải tốn tích phân&Giải tích tổ hợp; NXBgiáo dục.

[11]. Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy; Phương pháp giải các dạng tốn Tíchphân&Số phức; NXB ĐHQG Hà nội.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

DANH MỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINHNGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC

CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Vũ Đức Tuấn

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên, Trường THPT Hoằng Hóa 4

TTTên đề tài SKKN

Cấp đánh giáxếp loại

(Ngành GD cấphuyện/tỉnh;

Kết quảđánh giá

xếp loại

(A, B,hoặc C)

Năm họcđánh giáxếp loại

1. Một số sai lầm thường gặpcủa học sinh trong suy luậntương tự khi giải tốn bấtphương trình.

QĐ số: 1455/QĐ- SGD&ĐT ngày

2. Nâng cao năng lực tư duy vàtính sáng tạo cho học sinhqua việc sử dụng công cụ véctơ vào giải một số bài toánĐại số

QĐ số: 1362/QĐ- SGD&ĐT ngày

</div>

skkn cấp tỉnh một số sai sót của học sinh mắc phải khi tính tích phânsách giáo khoa giải tích 12 chương trình cơ bản

<b>TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4</b>

<b>MỘT SỐ SAI SÓT CỦA HỌC SINH MẮC PHẢI KHITÍNH TÍCH PHÂN</b>

<b>( Sách giáo khoa Giải tích 12, Chương trình cơ bản )</b>











<i><sup>udv u v</sup></i><sup>.</sup><i><sup>vdu</sup></i>

 





<i>y</i>ln<i>x</i>





<i>v</i><i>dv</i>













<i>1 cos 2x dx</i>



<i>x m</i><i>dx</i>





<i>x</i>



<i>V</i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về