Chìa khoá giải toán ôn thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.97 MB, 32 trang )
Chuyên:
-
10 11 12
CÁC
11 12
CHUYÊN TOÁN
0937 448 229
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
1
GIẢI TÍCH
Vấn đề 1: Miền xác định của hàm số:
Miền xác định (MXĐ) của hàm số
()y f x
là
tập hợp tất cả các giá trị của biến số
xR
sao cho ta
tính đƣợc giá trị
()y f x
. Kí hiệu:
f
D
hoặc D và
/ ( )D x R f x R
Dạng 1:
1
1 1 0
nn
nn
y a x a x a x a
là D = R
Dạng 2:
()
()
Px
y
Qx
, có nghĩa khi
( ) 0Qx
Dạng 3:
2
()
n
y P x
, có nghĩa khi
( ) 0Px
Dạng 4:
21
()
n
y f x
là
()f x R
Dạng 5:
()
( ) log ( )
Ax
f x B x
có nghĩa khi
0 ( ) 1Ax
và
( ) 0Bx
.
Dạng 6:
1
()
()
fx
Ax
có nghĩa khi
( ) 0Ax
.
Dạng 7:
()
()
Bx
y A x
là
/ ( ) 0D x R A x
và
()B x R
.
Dạng 8:
sinyx
,
osy c x
là D = R
tanyx
có nghĩa khi
,
2
x k k z
ty co x
có nghĩa khi
,x k k z
Vấn đề 2: Miền giá trị hàm số
Miền giá trị (MGT) của hàm số
()y f x
là tập
hợp tất cả các giá trị
yR
sao cho ta tìm đƣợc biến
số
xR
thỏa mãn
()y f x
.
Kí hiệu G và
/G y R x R
thỏa
()y f x
.
Phƣơng pháp giải toán
Bƣớc 1: Xét phƣơng trình
( ) 0f x y
(*), trong
đó x là ẩn số và y là tham số.
Bƣớc 2: Tìm y để (*) có nghiệm.
Bƣớc 3: Giải điều kiện ta tìm đƣợc y với
yG
.
Lƣu ý: Đây cũng là một phương pháp tìm GTLN-
GTNN của hàm số
Vấn đề 3: Tính chẵn – lẻ của hàm số
Tập hợp
DR
đƣợc gọi là đối xứng
x D x D
Cho hàm số
()y f x
có MXĐ là
DR
, khi đó:
()fx
đƣợc gọi là hàm số chẵn
D
đối xứng
và
( ) ( )f x f x
()y f x
đƣợc gọi là hàm số lẻ
D
đối xứng
và
( ) ( )f x f x
Chú ý:
▪ Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.
▪ Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
Vấn đề 4: Phƣơng pháp khử dạng vô định
1. Dạng
0
0
:
Phân tích tử và mẫu (chia cho
0
xx
)(khi tử và
mẫu là đa thức)
0 0 0
0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
n
x x x x x x
x x K x
P x K x K x
Q x R x R x
x x R x
Dùng lƣợng liên hợp (khi tử hoặc mẫu có chứa
căn).
2. Dạng
: Chia tử và mẫu cho
n
x
3. Dạng
: Dùng lƣợng liên hợp
4. Dạng
0.
: Biến đổi
1
0.
Kết quả cần nhớ:
Vấn đề 5: Hàm số liên tục
a)
()y f x
liên tục bên phải
0
x
nếu
0
x
0
0
lim ( ) ( )
xx
f x f x
;
b)
()y f x
liên tục bên trái
0
x
nếu
0
0
lim ( ) ( )
xx
f x f x
;
c)
()y f x
l.tục
tại
0
x
0
00
0
0
lim ( ) ( )
lim ( ) lim ( ) ( )
xx
x x x x
f x f x
f x f x f x
d)
()y f x
l.tục trên (a; b) nếu
()fx
l.tục tại mọi
điểm
0
x
thuộc (a; b)
e)
()y f x
liên tục trên đoạn
,ab
nếu
()fx
liên tục
trên khoảng (a; b) và liên tục phải tại a, liên tục trái
tại b.
Chú ý: Hàm số sơ cấp xác định tại đâu thì liên tục
tại đó.
Vấn đề 6: Đạo hàm
1. Qui tắc tính đạo hàm:
1
0
1
lim 1 ,lim 1
x
x
xx
x e e
x
a)
( . ) . ( )au au a R
b)
( )' ' 'u v u v
c)
( . ) . .uv u v uv
d)
( . . ) . . . . . . 'uv w u vw u v w uvw
e)
2
' . '
( 0)
u u v u v
v
vv
f)
2
'
( 0, )
av
a v a R
vv
a)
( . ) . ( )au au a R
b)
( )' ' 'u v u v
c)
( . ) . .uv u v u v
d)
( . . ) . . . . . . 'u v w u vw uv w uv w
e)
2
' . 'u u v u v
v
v
f)
2
'
( 0, )
av
a v a R
v
v
1
0
1
lim 1 lim 1
x
x
xx
xe
x
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
2
2. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp:
3. Đạo hàm cấp 2:
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trƣớc tổ hợp và lũy thừa tăng
(giảm) dần từ 1.2 đến (n-1).n hoặc tăng (giảm) dần
từ
2
1
đến
2
n
(không kể dấu).
Xét khai triển:
0 1 2 2 1 1
1
n
n n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
(1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta đƣợc:
1 2 3 2 1 1
2 3 (1 )
n n n
n n n n
C C x C x nC x n x
(2)
Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta đƣợc:
2 3 4 2 2 2
1.2 2.3 3.4 ( 1) ( 1)(1 )
n n n
n n n n
C C x C x n nC x n n x
(3)
Nhân x vào 2 vế của (2) ta đƣợc:
1 2 2 3 3 1
2 3 (1 )
n n n
n n n n
C x C x C x nC x nx x
(4)
Đạo hàm 2 vế của (4) ta đƣợc:
2 1 2 2 2 3 2 2 1 2
1 2 3 (1 )(1 )
n n n
n n n n
C C x C x n C x n nx x
(5)
4. Đạo hàm cấp cao của hàm số:
Nếu hàm số
()y f x
có đạo hàm trên khoảng (a, b)
thì
()fx
là một hàm mới xác định trên khoảng (a, b).
Đạo hàm
()fx
là đạo hàm cấp một. Đạo hàm
của
()fx
(nếu có) là đạo hàm cấp hai và ký hiệu:
( ) ( )f x f x
Bằng quy nạp, giả sử
()fx
có đạo hàm đến cấp n-1
và ký hiệu
( 1)
()
n
fx
ta định nghĩa và ký hiệu đạo hàm
cấp n là
( ) ( 1)
( ) ( )
nn
f x f x
Vấn đề 7: Hàm số đơn điệu
Cho hàm số
()y f x
xác định trên K
1. Định nghĩa:
a)
()y f x
tăng trên K nếu:
1, 2 1 2 1 2
: ( ) ( )x x K x x f x f x
b)
()y f x
giảm trên K nếu:
1, 2 1 2 1 2
: ( ) ( )x x K x x f x f x
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K
được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
2. Định lý:
Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm trên K
a) Nếu
( ) 0,f x x K
và
( ) 0fx
chỉ tại một số
hữu hạn điểm thì hàm số
()y f x
đồng biến trên K.
b) Nếu
( ) 0,f x x K
và
( ) 0fx
chỉ tại một số
hữu hạn điểm thì hàm số
()y f x
nghịch biến trên
K.
Chú ý:
▪ Nếu
( ) 0,f x x K
thì hàm số
()y f x
không
đổi (còn gọi là hàm hằng) trên K.
▪ Nếu
( ) 0, ( , )f x x a b
và
()fx
liên tục trên
,ab
thì hàm số
()y f x
tăng trên
,ab
(tƣơng tự
cho các trƣờng hợp khác).
Vấn đề 8: Cực trị của hàm số
1. Định lý 1:
Giả sử hàm số
()y f x
liên tục trên
khoảng
00
( ; )K x h x h
và có đạo hàm trên K hoặc trên K\
0
( 0)xh
.
a) Nếu
( ) 0fx
trên
khoảng
00
( ; )x h x
và
( ) 0fx
trên
khoảng
00
( ; )x x h
thì
0
x
là một điểm cực đại của hàm
số
()fx
b) Nếu
( ) 0fx
trên
khoảng
00
( ; )x h x
và
( ) 0fx
trên
khoảng
00
( ; )x x h
thì
0
x
là một điểm cực tiểu của
hàm số
()fx
.
Quy tắc 1 (áp dụng định lý 1 tìm cực trị)
* Bƣớc 1: Tìm tập xác định
* Bƣớc 2: Tính
()fx
. Tìm các điểm tại đó
( ) 0fx
hoặc
()fx
không xác định.
* Bƣớc 3: Lập bảng biến thiên.
a)
( . ) . ( )au au a R
b)
( )' ' 'u v u v
c)
( . ) . .uv u v uv
d)
( . . ) . . . . . . 'uvw u vw uv w uvw
e)
2
' . '
( 0)
u u v uv
v
vv
f)
2
'
( 0, )
av
a v a R
vv
Đạo hàm h.số sơ cấp
Đ.h hàm hợp
()ux
1)
1
( ) .xx
2)
2
11
x
x
3)
1
2
x
x
1)
1
( ) . '.u u u
2)
2
1 u
u
u
3)
2
u
u
u
4)
(sin )' osx c x
5)
( os )' sinc x x
6)
2
1
(tan )'
os
x
cx
2
1 tan x
7)
2
1
(cot )'
sin
x
x
2
(1 cot )x
4)
(sin )' . osu u c u
5)
( osu)' .sinc u u
6)
2
(tan )'
os
u
u
cu
2
(1 tan )uu
7)
2
(cot )'
sin
u
u
u
2
(1 cot )uu
8)
()
xx
ee
9)
( ) .ln
xx
a a a
8)
( ) .
uu
e u e
9)
( ) . .ln
uu
a u a a
10)
1
ln x
x
11)
1
log
.ln
a
x
xa
10)
ln
u
u
u
11)
'
log
.ln
a
u
u
ua
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
3
* Bƣớc 4: Từ bảng biến thiên ta suy ra các điểm
cực trị.
2. Định lý 2:
Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm cấp 2 trong
khoảng
00
( ; )x h x h
với h > 0.
a) Nếu
0
( ) 0fx
và
0
( ) 0fx
thì
0
x
là điểm cực tiểu
b) Nếu
0
( ) 0fx
và
0
( ) 0fx
thì
0
x
là điểm cực đại.
Quy tắc 2 (áp dụng định lý 2 tìm cực trị)
* Bƣớc 1: Tìm tập xác định. Tính
()fx
* Bƣớc 2: Giải phƣơng trình
0
( ) 0fx
và kí
hiệu
( 1,2, )
i
xi
là các nghiệm của nó.
* Bƣớc 3: Tính
()fx
và
()
i
fx
* Bƣớc 4: Dựa vào dấu
()
i
fx
suy ra tính chất cực
trị của
i
x
.
3. Đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm
số bậc ba.
Cho hàm số
32
y ax bx cx d
có đồ thị
()C
.
Giả sử
()C
có 2 điểm cực trị
là
11
( , )A x y
và
22
( , )B x y
trong đó
12
,xx
là nghiệm của
phƣơng trình
0y
, để viết phƣơng trình đƣờng
thẳng đi qua A và B ta thực hiện các bƣớc sau:
* Bƣớc 1: Chia y cho
y
ta đƣợc
()y px q y ax
(*).
* Bƣớc 2: Thế tọa độ của A và B vào (*) ta có:
1 1 1 1
2 2 2 2
( ). ( )
( ). ( )
y px q y x ax
y px q y x ax
11
22
y ax
y ax
* Bƣớc 3: Đƣờng thẳng (AB):
y ax
4. Đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm
số bậc 2/1
Cho hàm số
2
ax bx c
y
dx e
có đồ thị
()C
& có 2
điểm cực trị là
11
( , )A x y
và
22
( , )B x y
trong đó
12
,xx
là
nghiệm của phƣơng trình
0y
, để viết phƣơng
trình đƣờng thẳng đi qua A và B ta thực hiện các
bƣớc sau:
* Bƣớc 1: Đặt
2
,U ax bx c V dx e
ta
có
2
''u v uv
y
v
(*)
* Bƣớc 2: Thế tọa độ của A và B vào (*) ta có:
(1,2) (1,2) (1,2) (1,2)
(1,2)
2
(1,2)
'( ). ( ) ( ). ( )
()
U x V x U x V x
yx
Vx
(1,2) (1,2) (1,2) (1,2)
'( ). ( ) ( ). ( ) 0U x V x U x V x
(1,2) (1,2)
(1,2) (1,2)
(1,2) (1,2)
( ) ( )
2
( ) ( )
U x U x
ab
yx
V x V x d d
* Bƣớc 3: Đƣờng thẳng (AB):
2ab
yx
dd
Lƣu ý: Định m để hàm số
Đạt cực đại tại x
0
khi:
0
0
0
'( ) 0
'( )
'( ) 0
''( ) 0
fx
fx
fx
fx
Đạt cực tiểu tại x
0
khi:
0
0
0
'( ) 0
'( )
'( ) 0
''( ) 0
fx
fx
fx
fx
Đạt cực trị tại x
0
khi:
0
0
0
'( ) 0
'( )
'( ) 0
''( ) 0
fx
fx
fx
fx
Có 1 cực trị:
'0y
có 1 nghiệm đơn
Có n cực trị:
'0y
có n nghiệm đơn (bội đơn)
Không có cực trị:
'0y
vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép (bội kép).
Lƣu ý: Cực trị các hàm số như sau
- Hàm bậc 3 và bậc 2/bậc 1 hoặc có 2 cực trị hoặc
không có cực trị
- Hàm trùng phƣơng hoặc có 3 cực trị hoặc có 1 cực
trị
- Hàm nhất biến không có cực trị.
Vấn đề 9: Đồ thị lồi, lõm, điểm uốn
1. Định nghĩa: Cho
()y f x
xác định trên (a, b) và
có đồ thị là
()C
a)
()C
đƣợc gọi là đồ thị lồi trên khoảng (a, b) nếu
mọi tiếp tuyến tại
0
( , )x a b
đều nằm ở phía trên
()C
.
b)
()C
đƣợc gọi là đồ thị lõm trên khoảng (a, b) nếu
mọi tiếp tuyến tại
0
( , )x a b
đều nằm ở phía dƣới
()C
c) Điểm phân chia giữa lồi và lõm của
()C
đƣợc gọi
là điểm uốn.
2. Định lý:
()y f x
có đ.hàm đến cấp 2 trên (a, b)
và có đ.thị
()C
a) Nếu
( ) 0, ( , )f x x a b
thì
()C
lõm trên khoảng
(a, b).
b) Nếu
( ) 0, ( , )f x x a b
thì
()C
lồi trên khoảng
(a, b).
c) Nếu
0
( ) 0fx
và
0
( ) 0fx
đổi dấu tại
0
xx
thì
00
( , ( ))U x f x
là điểm uốn.
Vấn đề 10: Giá trị lớn nhất (max) – Giá trị nhỏ
nhất (min) của hàm số
đổi dấu từ (+) sang (-) khi qua x
0
đổi dấu từ (-) sang (+) khi qua x
0
đổi dấu khi qua
x
0
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
4
1. Định nghĩa: Cho hàm số
()y f x
có MXĐ D và
XD
a) Số M đƣợc gọi là giá trị lớn nhất của
()fx
trên X
nếu:
00
( ) ,
: ( )
f x M x X
x X f x M
Ký hiệu
ax ( )
x
M m f x a
b) Số m đƣợc gọi là giá trị nhỏ nhất của
()fx
trên X
nếu
00
( ) ,
: ( )
f x m x X
x X f x m
Ký hiệu
min ( )
x
m f x
2. Tìm max – min của hàm số liên tục trên
đoạn
,ab
* Bƣớc 1: Giải phƣơng trình
( ) 0fx
, giả sử có
nghiệm
12
; ; ;
n
x x x
đoạn
,ab
(ta loại nghiệm nằm
ngoài
,ab
)
* Bƣớc 2: Tính
()fa
,
12
( ), ( ), , ( ), ( ).
n
f x f x f x f b
* Bƣớc 3: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị
ở bƣớc 2 là các giá trị tƣơng ứng cần tìm.
Chú ý:
a) Nếu đề bài chƣa cho đoạn
,ab
thì ta phải tìm
MXĐ của hàm số trƣớc khi làm bƣớc 1.
b) Có thể đổi biến số
()t t x
và
viết
( ) ( ( ))y f x g t x
. Gọi T là miền giá trị của hàm
số
()tx
(thƣờng gọi là điều kiện của t đối với x), thì:
min ( ) min ( ), ax ( ) axg(t).
xT
xT
f x g t m f x m
c) Tìm max – min của hàm số l.tục trên khoảng (a,
b) hoặc trên R.
* Bƣớc 1: Giải phƣơng trình
( ) 0fx
. Giả sử n có
nghiệm
12
; ; ;
n
x x x D
(ta loại các nghiệm không
thuộc D).
* Bƣớc 2: Tính
1
lim ( )
xa
f x L
,
12
( ), ( ), , ( ),
n
f x f x f x
2
lim ( )
xb
f x L
* Bƣớc 3:
i)
1 2 1 2
min ( ), ( ), , ( ) min ,
n
f x f x f x L L
1
min ( ) min ( ) ( )
n
D
f x f x f x
(1)
ii)
1 2 1 2
max ( ), ( ), , ( ) max ,
n
f x f x f x L L
1
max ( ) max ( ) ( )
n
D
f x f x f x
(2)
iii) Nếu không thỏa (1) hoặc (2) thì hàm số không
đạt min (max).
Vấn đề 11: Tiệm cận của đồ thị hàm số
1. Đƣờng thẳng
0
yy
đƣợc gọi là đường tiệm cận
ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số
()y f x
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau
đƣợc thỏa mãn:
0
lim ( )
x
f x y
,
0
lim ( )
x
f x y
2. Đƣờng thẳng
0
xx
đƣợc gọi là đường tiệm cận
đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
()y f x
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau
đƣợc thỏa mãn:
0
lim ( )
xx
fx
,
0
lim ( )
xx
fx
0
lim ( )
xx
fx
,
0
lim ( )
xx
fx
.
3. Phƣơng pháp tìm tiệm cận xiên (d):
y ax b
Cách 1: Tìm
()
lim
x
fx
a
x
,
lim ( )
x
b f x ax
Cách 2: Ta viết
( ) ( )f x ax b x
với
lim ( ) 0
x
x
Vấn đề 12: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số
I) Bổ sung lý thuyết:
1) Định nghĩa:
a) Cho
()y f x
có đồ thị là
()C
và giả sử
()fx
có đạo
hàm tại điểm
0
x
. Đƣờng thẳng (d) có phƣơng
trình
0 0 0
( )( )y f x x x y
đƣợc gọi là tiếp tuyến
với
()C
.
b)Cho hàm số
()y f x
,
()y g x
có đồ thị lần lƣợt
là
1
()C
và
2
()C
. Ta nói
1
()C
và
2
()C
tiếp xúc với nhau
tại điểm
00
( ; )M x y
nếu chúng có một tiếp tuyến
chung tại điểm
00
( ; )M x y
.
2) Định lý (điều kiện tiếp xúc):
Cho 2 hàm số
()y f x
,
()y g x
có đồ thị lần lƣợt
là
1
()C
và
2
()C
. Điều kiện cần và đủ để
1
()C
và
2
()C
tiếp xúc với nhau là hệ phƣơng trình:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
(1)
(2)
có nghiệm
Chú ý:
i) Phƣơng trình (1) là ph.trình hoành độ giao điểm
của
1
()C
và
2
()C
ii)Nghiệm
0
x
của phƣơng trình là hoành độ của tiếp
điểm và
00
( ) ( )f x g x
là hệ số góc của tiếp tuyến chung.
II) Các dạng tiếp tuyến thƣờng gặp:
1) Tiếp tuyến tại điểm
00
( ; ) ( ): ( )M x y C y f x
Bƣớc 1: Kiểm tra điểm M thuộc đƣờng cong
()C
Bƣớc 2: Áp dụng công thức
0
00
()
x
y f x x y
2) Tiếp tuyến với đƣờng cong
()C
:
()yx
biết hệ số
góc k
Bƣớc 1:
Giải ph.trình
0 0 0
()f x k x y
00
( ; )M x y
Bƣớc 2: Áp dụng công thức
00
()y y k x x
3) Tiếp tuyến đi qua điểm
( ; )
AA
A x y
(A có thể thuộc
()C
)
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
5
Bƣớc 1: Gọi
00
( ; )M x y
là tiếp điểm. Phƣơng trình
tiếp tuyến có dạng:
'
0 0 0
( ).( ) ( )y f x x x f x
(d)
Bƣớc 2:
'
0 0 0
( ; ) : ( ).( ) ( )
A A A A
A x y C y f x x x f x
Bƣớc 3: Giải phƣơng trình trên tìm
đƣợc
00
xy
tiếp tuyến
Vấn đề 13: Hàm số
32
( 0)y ax bx cx d a
* Tập xác định D = R
* Đạo hàm
2
32y ax bx c
0: 0y
vô nghiệm hoặc có nghiệm
kép
hàm số đơn điệu trên R
0: 0y
có 2 nghiệm ph.biệt
12
,xx
hàm số
có hai cực trị
* Giới hạn tại vô cực:
3
23
lim lim
xx
b c d
y x a
x
xx
* Bảng biến thiên và đồ thị tƣơng ứng
a > 0 và hàm số có 2 cực trị
a < 0 và hàm số có 2 cực trị
a > 0 và hàm số không có cực trị
a < 0 và hàm số không có cực trị
Vấn đề 14: Hàm số
42
( 0)y ax bx c a
* Tập xác định D = R.
* Đạo hàm
32
4 2 2 (2 )y ax bx x ax b
0ab
:
00yx
hàm số có 1 cực trị.
0ab
:
0y
có 3 nghiệm phân biệt
hàm có 3
cực trị.
* Giới hạn tại vô cực
4
24
lim lim
xx
bc
y x a
xx
lim
x
y
nếu a > 0,
lim
x
y
nếu a < 0
* Bảng biến thiên và đồ thị tƣơng ứng:
a > 0 và hàm số có 3 cực trị
a < 0 và hàm số có 3 cực trị
a > 0 và hàm số có 1 cực trị
a < 0 và hàm số có 1 cực trị
Vấn đề 15: Hàm số
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
* Tập xác định
\
d
DR
c
* Đạo hàm
2
()
ad cb
y
cx d
▪
0: ' 0ad cb y
hàm số đồng biến trên D
▪
0: ' 0ad cb y
hàm số nghịch biến trên D
* Tiệm cận đứng
d
x
c
, tiệm cận ngang
a
y
c
* Bảng biến thiên và đồ thị tƣơng ứng:
0ad cb
và hàm số đồng biến trên MXĐ
x
y’
y
1
x
2
x
+
0
0
_
_
CĐ
CT
0
+
C
Đ
0
O
2
x
y
2
x
y’
y
1
x
2
x
_
0
0
_
+
CĐ
CT
O
2
x
y
-2
x
y’
y
+
O
2
x
y
O
2
x
y
2
x
y’
y
1
x
2
x
_
0
0
+
+
CT
CĐ
0
_
CT
0
O
2
y
-2
x
y’
y
1
x
2
x
+
0
0
+
_
CT
C
Đ
O
2
X
y
-2
x
y’
y
_
0
0
+
CT
O
2
y
x
x
y’
y
+
0
0
_
CĐ
O
2
x
y
-
x
+
- d/c
+
a/c
a/c
y
y’
O
4
x
-2
2
x
x
y’
y
-
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
6
0ad cb
và hàm số nghịch biến trên MXĐ
Vấn đề 16: Hàm số hữu tỉ
2
ax bx c
y
dx e
0( ,
e
ad
d
không là nghiệm của tử số)
* Tập xác định
\
e
DR
d
*
2
' 0 2 . . ( ) 0y adx ae x be cd
(1)
▪ (1) Có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số có 2 cực
trị.
▪ (1) Vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số
đơn điệu trên D
* Giới hạn, tiệm
cận
2
ax bx c C
y Ax B
dx e dx e
lim
e
x
d
e
yx
d
là tiệm cận đứng
lim 0
x
C
y Ax B
dx e
là tiệm cận xiên
* Bảng biến thiên và đồ thị tƣơng ứng:
ad > 0 và hàm số có 2 cực trị
ad < 0 và hàm số có 2 cực trị
ad > 0 và hàm số không có cực trị
ad < 0 và hàm số không có cực trị
Vấn đề 17: Công thức dời trục tọa độ
Đổi hệ trục
00
Ox IXY
( ; )
OI
y
I x y
,có công thức đổi trục:
0
0
x x X
y y Y
Vấn đề 18: Phép Biến Đổi Đồ Thị
a) Vẽ đồ thị
()C
:
()y f x
b) Từ
()C
( '): ( )C y f x m
- Tịnh tiến
()C
theo phƣơng Oy lên phía trên một
đoạn m ta đƣợc
( ')C
(khi m > 0)
- Tịnh tiến
()C
theo phƣơng Oy lên phía xuống một
đoạn
m
ta đƣợc
( ')C
(khi m < 0)
c) Từ
()C
:
()y f x
( '): ( )C y f x m
- Tịnh tiến
()C
theo phƣơng Ox sang phải một đoạn
m
ta đƣợc
( ')C
(khi m < 0)
- Tịnh tiến
()C
theo phƣơng Ox sang trái một đoạn
m ta đƣợc
( ')C
(khi m > 0)
d) Từ
()C
:
()y f x
( '): ( )C y f x
Nhận xét:
( ) ( )f x f x
hàm chẳn
đồ
thị
( ')C
có 2 nhánh đối xứng qua Oy
()
()
()
fx
fx
fx
(
(
khi
khi
0)
0)
x
x
- nhánh
- nhánh
1
2
+ Nhánh 1 của
( ')C
trùng với
()C
khi
0x
(phần
bên phải trục tung)
+ Nhánh 2 của
( ')C
đối xứng nhánh 1 qua Oy.
e) Từ
()C
:
()y f x
( '): ( )C y f x
()
()
()
fx
fx
fx
(
(
khi
khi
( ) 0)
( ) 0)
fx
fx
- nhánh
- nhánh
1
2
+ Nhánh 1 của
( ')C
trùng với
()C
khi
( ) 0fx
(phần
(C) trên Ox)
+ Nhánh 2 của
( ')C
đối xứng
()C
khi
( ) 0fx
(phần (C) dƣới Ox)
Vấn đề 19: Sự tƣơng giao của 2 đồ thị
Cho hàm số
()y f x
,
()y g x
có đồ thị lần lƣợt
là
1
()C
và
2
()C
. Để tìm số giao điểm (có thể có điều
kiện) của 2 đồ thị ta thực hiện các bƣớc sau:
* Bƣớc 1: Lập phƣơng trình hoành độ giao điểm
của
1
()C
và
2
()C
:
( ) ( )f x g x
(*)
* Bƣớc 2: Số nghiệm của (*) (thỏa điều kiện) là số
giao điểm của
1
()C
và
2
()C
.
x
y’
y
_
- d/c
_
a/c
a/c
O
4
x
y
-2
2
x
y
1
x
2
x
+
0
+
_
C
CT
_
0
-e/d
y’
O
x
y
-2
2
x
y’
y
1
x
2
x
_
0
_
+
CT
CĐ
-e/d
+
0
O
x
y
-2
2
x
y’
y
+
-e/d
+
O
x
y
-2
2
x
y’
y
_
_
- e/c
O
x
y
-2
2
O
x
y
0
y
Y
x
I
0
x
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
7
Lƣu ý: nếu (*) là bậc ba thì nhẫm 1 nghiệm x
0
, rồi
tách thành tích
Vấn đề 20: Biện luận số nghiệm của phƣơng
trình bằng đồ thị
Để biện luận theo m số nghiệm của phƣơng
trình
( , ) 0f x m
(1) (m đồng bậc) ta thực hiện các
bƣớc sau:
* Bƣớc 1: Viết lại phƣơng trình (1)
thành
( ) ( )g x h m
(2) (cô lập m)
* Bƣớc 2: Vẽ đồ thị
()C
(hoặc lập bảng biến thiên)
của hàm số
()y g x
.
* Bƣớc 3: Số nghiệm của (1) tùy thuộc vào số giao
điểm của đồ thị
()C
và đƣờng thẳng song song với
trục hoành (d):
( ).y h m
ĐẠI SỐ
Vấn đề 1 Cần nhớ :
a) Đẳng thức cần nhớ:
▪
2
A
AA
A
khi
khi
( 0)
( 0)
A
A
▪
2
2
22
3
24
BB
A AB B A
▪
2
2
24
b
ax bx c a x
aa
b) Hằng đẳng thức cần nhớ:
▪
2 2 2 2 2 2
( ) 2 ( ) 2A B A AB B A B A B AB
▪
2 2 2 2 2 2
( ) 2 ( ) 2A B A AB B A B A B AB
▪
3 3 2 2 3
( ) 3 3A B A A B AB B
3 3 2 2
( )( )A B A B A AB B
▪
3 3 2 2 3
( ) 3 3A B A A B AB B
3 3 2 2
( )( )A B A B A AB B
▪
2 2 2 2
( ) 2 2 2A B C A B C AB BC CA
▪
2 2 2 2
( ) 2 2 2A B C A B C AB BC CA
▪
()
n
AB
dùng nhị thức Newton hoặc tam giác
Pascal.
c) Bất đẳng thức cần nhớ:
* a < b:
Nếu
22
,0a b a b
(ví dụ
22
2 3 2 3
)
Nếu
22
,0a b a b a
(ví dụ
5 4 25 16
)
Nếu
22
0; 0ab
ab
ab
(ví dụ
2 3 4 9
)
Nếu
22
0; 0ab
ab
ab
(ví dụ
4 3 16 9
)
*
m x n
Nếu
2 2 2
,0m n m x n
(ví dụ
2
2 3 4 9xx
)
Nếu
2 2 2
,0m n m x n
(ví dụ
2
3 2 9 4xx
)
Nếu
22
0; 0
0
mn
xn
mn
(ví dụ
2
2 3 0 9xx
)
Nếu
22
0; 0
0
mn
xm
mn
(vd
2
4 2 0 16xx
)
*
11
ab
Nếu
,0
,0
ab
ab
ab
ví dụ
11
32
32
11
24
24
Nếu
0
0
a
ab
b
ví dụ
11
23
23
*
AB
AM
AM
BM
BM
*
22
0
0
0
A
AB
B
*
AM
AM
BN
BN
A B M N
*
1
11
1
11
.1
A
AA
B
BB
B
hay
A
Vấn đề 2: Phƣơng trình bậc nhất 1 ẩn
Cho phƣơng trình bậc nhất
0ax b ax b
(1)
a)
0a
: (1) có nghiệm duy nhất
b
s
a
b) a = 0 và b = 0: (1) có vô số nghiệm
sR
c) a = 0 và
0b
: (1) vô nghiệm
s
Vấn đề 3: Bất phƣơng trình bậc nhất 1 ẩn
Cho bất phƣơng trình bậc nhất ax > b (2)
a) a > 0: (2) có nghiệm
b
x
a
b) a < 0: (2) có nghiệm
b
x
a
c) a = 0 và
0b
: (2) vô nghiệm
d) a = 0 và b < 0 : (2) có nghiệm với
x
.
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
8
Vấn đề 4: Phƣơng trình bậc hai 1 ẩn
Cho phƣơng trình bậc hai:
2
0ax bx c
,
0a
(3)
Có
2
4b ac
a)
0
: (3) vô nghiệm
b)
0
: (3) vô nghiệm kép
2
b
x
a
c)
0
: (3) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
b
x
a
A. Định lý Vi-et: (thuận và đảo)
a) Cho phƣơng trình
2
0ax bx c
có hai
nghiệm
12
,xx
thì
12
12
.
b
S x x
a
c
P x x
a
b) Nếu biết
.
S x y
P x y
thì x.y là nghiệm của phƣơng
trình
2
0X SX P
Vi-et bậc 3:
32
ax 0bx cx d
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
b
x x x
a
c
x x x x x x
a
d
x x x
a
Cần nhớ:
Đối với bài toán phương trình bậc 2 có tham số m,
định m để:
a) Phƣơng trình vô nghiệm
0
0
0
0
0
a
b
c
a
b) Phƣơng trình có 1 nghiệm
0
0
0
0
a
b
a
c) Phƣơng trình có nghiệm
0
0
0
0
a
b
a
d) Phƣơng trình có nghiệm kép
0
0
a
e) Phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt
0
0
a
f) Phƣơng trình có 2 nghiệm dƣơng phân
biệt
0
0
0
0
a
S
P
g) Phƣơng trình có 2 nghiệm âm phân biệt
0
0
0
0
a
S
P
h) Phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu
0
0
a
P
i) Phƣơng trình có 2 nghiệm cùng dấu
0
0
0
a
P
j) Phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt không
âm
12
(0 )xx
.
k) Phƣơng trình có 2 nghiệm không
âm
(0
K
x
12
0)xx
l) Phƣơng trình có nghiệm không âm
(0 x
đơn (a
= 0)
0 x
kép
12
0 )xx
.
m) Phƣơng trình có duy nhất 1 nghiệm
dƣơng
(0 x
đơn (a = 0)
0 x
kép
12
0xx
12
0)xx
Vấn đề 5: Dấu của tam thức bậc 2
2
( ) ( 0)f x ax bx c a
▪
0
. ( ) 0a f x x
(tức là
()fx
cùng dấu với a)
▪
0
. ( ) 0a f x x
(dấu “ = “ xảy ra
khi
2
b
x
a
)
▪
0
()fx
có 2 nghiệm
12
,xx
(Giả sử
12
xx
) ta
có bảng xét dấu:
Cần nhớ: cho
2
()f x ax bx c
(có tham số m)
x
2
()fx
Cùng dấu a
x
0
Cùng dấu
a
x
kép
Cùng dấu a
()fx
x
1
x
2
x
Cùng dấu a
0
0
trái dấu a
()fx
Cùng dấu
a
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
9
a)
2
0ax bx c
xR
b)
2
0ax bx c
xR
0
0
0
0
0
a
b
c
a
0
0
0
0
0
a
b
c
a
c)
2
0ax bx c
xR
d)
2
0ax bx c
xR
0
0
0
0
0
a
b
c
a
0
0
0
0
0
a
b
c
a
Vấn đề 6: Bảng biến thiên của hàm số bậc hai
2
()f x ax bx c
1) a < 0 2) a > 0
Vấn đề 7: So sánh nghiệm của tam thức bậc hai
2
()f x ax bx c
với một số
a)
12
. ( ) 0x x a f
b)
12
. ( ) 0
. ( ) 0
af
xx
af
c)
12
12
( ). ( ) 0
xx
ff
xx
d)
12
0
. ( ) 0
2
xx
af
s
e)
12
0
. ( ) 0
2
xx
af
s
f)
12
0
. ( ) 0
. ( ) 0
2
af
xx
af
s
Vấn đề 8: Phƣơng trình đại số bậc cao
Phƣơng trình bậc n tổng quát có dạng
1
10
0( 0)
nn
n n n n
a x a x a x a a
Thông thƣờng ta chỉ giải đƣợc phƣơng trình bậc 3
trở lên bằng cách nhẩm nghiệm.
a) Ph.trình bậc ba
32
0( 0)ax bx cx d a
(4)
* Bƣớc 1: Nhẩm 1 nghiệm
x
của (4) (bấm máy)
* Bƣớc 2: Chia
32
ax bx cx d
cho
x
(dùng sơ
đồ Horner), đƣa (4) về phƣơng trình tích:
x
2
0ax Bx C
* Sơ đồ Horner:
Cách nhớ: “ Đầu rơi
Nhân ngang và cộng chéo
………………………….
Nhân ngang và cộng chéo”
b) Phƣơng trình bậc 4 đặc biệt:
* Dạng 1 (trùng phƣơng):
42
0ax bx c
( 0)a
Đặt
2
,0t x t
và đƣa về phƣơng trình bậc hai:
2
0at bt c
* Dạng 2:
( )( )( )( )x a x b x c x d k
( 0)k
với
a + c = b + d
Đặt
( )( )t x a x c
và đƣa về phƣơng trình bậc
hai theo t.
* Dạng 3:
44
( ) ( )x a x b k
( 0)k
Đặt
2
ab
tx
và đƣa phƣơng trình trùng phƣơng
theo t.
* Dạng 4:
4 3 2
0ax bx cx bx a
( 0)a
* Bƣớc 1: Do x = 0 không là nghiệm nên ta chia 2
vế cho
2
x
thì ta đƣợc
2
2
11
0a x b x c
x
x
* Bƣớc 2: Đặt
1
tx
x
và đƣa phƣơng trình bậc 2
theo t.
* Dạng 5:
4 3 2
0ax bx cx dx e
trong
đó
,0ae
và
2
eb
ad
Hay dạng:
4 3 2 2
0ax bx cx kbx k a
Cách giải: Chia 2 vế cho
2
0x
2
2
2
0
kk
a x b x c
x
x
Đặt
k
tx
x
Điều kiện của t.
Đƣa về phƣơng trình bậc 2 ẩn số t biết cách giải.
x
CĐ
2
b
a
x
()fx
2
b
a
CT
b
a b B
c
d
B c C
0Cd
a
a
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
10
* Dạng 6:
22
( 0)
mx nx
kk
ax bx c ax b x c
(*)
x = 0 không phải là nghiệm
(*)
mm
k
cc
ax b ax b
xx
Đặt
c
t ax
x
c
t ax
x
Điều kiện của t
mn
k
t b t b
.
Đƣa về phƣơng trình bậc hai biết cách giải:
* Dạng 7:
( )( ) ( )
xb
x a x b x a
xa
Đặt
()
xb
t x a
xa
điều kiện của t
2
( )( )t x a x b
* Dạng 8:
22
22
0
n
nn
x a x a x a
(n là số
nguyên dƣơng lẻ)
Giả sử
0a
, chia 2 vế cho
2
n
xa
0
2
0
nn
a x a x
a x a x
Đặt
n
ax
t
ax
phƣơng trình:
2
0t t a
biết
cách giải.
Vấn đề 9:Bất phƣơng trình hữu tỉ
()
0
()
Px
Qx
* Bƣớc 1: Tìm tất cả các nghiệm của P(x) và
Q(x). Giả sử có n nghiệm
* Bƣớc 2: Sắp xếp n nghiệm theo thứ tự tăng dần
trên cùng một trục số thành các
khoảng
1 1 2
( ; ),( , ), ,( ; )
n
x x x x
* Bƣớc 3: Thế
0
x
tùy ý vào
()
()
Px
Qx
ta đƣợc dấu của
khoảng chứa
0
x
. Đổi dấu các khoảng tiếp theo nếu x
đi qua nghiệm bội lẻ, giữ nguyên dấu nếu x đi qua
nghiệm bội chẳn.
* Bƣớc 4: Bỏ qua các khoảng có dấu
của
()
()
Px
Qx
không thỏa bất đẳng thức.
Vấn đề 10:
Điều kiện để phƣơng trình có nghiệm trong
khoảng (a; b)
1) Định lý 1: Hàm số
()fx
liên tục
trên
,ab
thỏa
( ). ( ) 0f a f b
thì phƣơng
trình
( ) 0fx
có nghiệm trong (a, b) (ngƣợc lại
không đúng).
2) Định lý 2: Hàm số
()fx
liên tục trên
,ab
và
có
( ) 0fx
hoặc
( ) 0fx
trong khoảng (a, b) thì
phƣơng trình
( ) 0fx
có không quá một nghiệm
trong (a, b).
Vấn đề 11: Phƣơng trình và bất ph.trình vô tỉ
a) Phƣơng trình và bất phƣơng trình chứa giá trị
tuyệt đối:
1)
22
A B A B A B
2)
0B
AB
AB
3)
A B B A B
4)
0B
AB
B A B
5)
0A B B
hoặc
0B
A B A B
b) Phƣơng trình và bất phƣơng trình vô tỉ:
1)
0,( 0)AB
AB
AB
2)
0A B B
và
2
AB
3)
00A B A B
4)
2
0, 0, 0A B C
A B C
A B C
dạng
AB
5)
0B
AB
AB
6)
2
0, 0AB
AB
AB
7)
0
0
B
AB
A
hoặc
2
0B
AB
8)
33
A B A B
9)
21
21
n
n
A B A B
10)
22
0,( 0)
nn
AB
AB
AB
11)
2
2
0
n
n
B
AB
AB
Vấn đề 12: Phƣơng trình và bất phƣơng trình
mũ – logarit
a) Hàm số mũ
( 0)
x
y a a
- Miền xác định D = R
(Chọn b.thức đơn giản)
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
11
- Miền giá trị
(0; )G
+ 0 < a < 1: + a > 1:
Hsố ng.biến trên R Hsố đồng biến trên R
* Một số công thức cần nhớ (giả sử các điều kiện
đƣợc thỏa)
1)
0
1( 0)aa
2)
1
n
n
a
a
3)
.
m n m n
a a a
4)
:
m n m n
a a a
5)
.
n
m m n
aa
6)
.
m
mm
ab a b
7)
m
m
m
aa
b
b
8)
m
n
m
n
aa
b) Hàm số logarit
log (0 1)
a
y x a
log
y
a
y x x a
- Miền xác định
(0; )D
- Miền giá trị:
GR
+ 0 < a < 1: + a > 1:
Hsố ng.biến trên R Hsố đồng biến trên R
* Một số công thức cần nhớ (giả sử các điều kiện
đƣợc thỏa)
1)
log
x
x
ax
2)
ln x
ex
3)
log log
bb
ca
ac
4)
2
log 2 og
n
aa
x nl x
5)
log log
a
bb
6)
1
log
og
a
b
b
la
7)
log
log
log
c
a
c
b
b
a
8)
log . og og
a b a
bl c l c
9)
log log log
a a a
bc b c
10)
log log og
a a a
b
b l c
c
c) Phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ cơ bản:
1)
()
0
( ) log
01
a
fx
b
xb
a
a
b
f
2)
( ) ( )
1
: ( ), ( )
f x g x
a
a
x R f x g x R
a
hoặc
01
( ) ( )
a
f x g x
3)
()
0
( ) log
01
a
fx
b
xb
a
a
b
f
hoặc
0
: ( )
b
x R f x R
4)
()
0
( ) log
1
a
fx
b
fb
ab
x
a
hoặc
0
: ( )
b
x R f x R
5)
( ) ( )
( ) ( )
01
f x g x
f
a
xg
a
x
a
6)
( ) ( )
( ) ( )
1
f x g x
f x g x
a
a
a
d) Phƣơng trình và bất phƣơng trình logarit cơ bản:
1)
()
0
lo (
1
g)
a
b
f x a
a
f x b
2)
log ( ) log ( )
( ) 0
( ) ( )
01
aa
f
f x g
x
a
x
x
f g x
3)
0 ( )
01
log ( )
b
a
fx
f
a
b
a
x
4)
()
1
log ( )
b
a
f x a
a
f x b
5)
log ( ) log ( )
0 ( ) ( )
01
aa
f x x
f g x
a
g
x
6)
log ( ) log (
( ) ( )
)
0
1
aa
f x g x
a
f x g x
Lƣu ý: Các cách thường dùng để giải PT & BPT
mũ và logarit
- Dùng công thức cơ bản
- Dùng logarit hóa
- Đặt ẩn số phụ t
- Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất.
Vấn đề 13: Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
Đặt
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
;;
a b c b a c
D Dx Dy
a b c b a c
a)
0D
: Hệ phƣơng trình có nghiệm duy
nhất
/
/
x
y
x D D
y D D
b)
0D
:
0
x
D
hoặc
0
y
D
: Hệ phƣơng trình vô
nghiệm
O
x
y
1
O
x
y
1
O
x
y
1
O
x
1
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
12
c)
0
xy
D D D
: Hệ có vô số nghiệm hoặc vô
nghiệm
Vấn đề 14: Hệ phƣơng trình đẳng
cấp
22
1 1 1 1
22
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
* Bƣớc 1: Nhận xét y = 0 có thỏa hệ phƣơng trình
không, nếu có tìm x và thu đƣợc nghiệm.
* Bƣớc 2: Với
0y
đặt x = ty thay vào hệ phƣơng
trình giải tìm t, y và x
* Bƣớc 3: Thử lại nghiệm.
Vấn đề 15: Hệ đối xứng loại I
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
trong đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x
* Bƣớc 1: Xét điều kiện, đặt
S = x + y.P = x.y
2
4SP
* Bƣớc 2: Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi-et đảo tìm x,
y
Vấn đề 16: Hệ đối xứng loại II
a) Dạng 1:
( , ) 0
( , ) 0
f x y
f y x
Phƣơng pháp chung:
* Cách 1: Trừ hai phƣơng trình cho nhau, đƣa về
phƣơng trình tích, giải x theo y (hay ngƣợc lại) rồi
thế vào một trong hai phƣơng trình của hệ.
* Cách 2: Nếu cách 1 không thực hiện đƣợc. Cộng
và trừ lần lƣợt hai phƣơng trình đƣa về hệ mới
tƣơng đƣơng gồm 2 phƣơng trình tích (thông
thƣờng tƣơng đƣơng với 4 hệ mới).
* Cách 3: Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y.
b) Dạng 2:
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
* Cách 1: Đƣa PT đối xứng về dạng tích, giải y
theo x thế vào phƣơng trình còn lại.
* Cách 2: Thƣờng đƣa về
( ) ( )f x f y x y
với
()fx
đơn điệu
Vấn đề 17: Hệ phƣơng trình chứa mũ, logarit và
dạng khác
Tùy từng trƣờng hợp cụ thể chọn phƣơng pháp
thích hợp (thƣờng dùng phƣơng pháp thế)
Vấn đề 18: Phƣơng trình & hệ phƣơng trình có
điều kiện
* Bài toán
* Các bƣớc giải tổng quát:
Bƣớc 1: Tìm GTNN (minf(x)) và GTLN
(maxf(x)) của f(x) trên X
Bƣớc 2:
min ( ) ( ) max ( )f x g m f x
Chú ý:
1) Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì
ta xem
()fx
XD
(miền xác định của
()fx
)
2) Nếu hàm
()fx
không đạt min hoặc max thì ta phải
dùng giới hạn, ta có thể thay thế bƣớc 2 bằng bảng
biến thiên (BBT) của
()fx
.
3) Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phƣơng trình
có từ hai nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải dùng
BBT.
4) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và tìm điều
kiện của t (miền giá trị T)
5) Đối với hệ phƣơng trình ta đƣa về phƣơng trình 1
ẩn x.
Vấn đề 19: Bất đẳng thức
a) Các tính chất cơ bản cần nhớ:
1)
0a b a b
2)
,a aa R
3)
ab
và
b c a c
4)
ab
a c b c
5)
ab
a c b d
cd
6)
ab
( 0)
( 0)
ac bc c
ac bc c
7)
0
0
ab
ac bd
cd
8)
0 ( )
nn
a b a b n Z
9)
0 ( )
nn
a b a b n Z
10)
22
0a b a b
11)
0 xy
và
1
xy
a a a
12)
0 xy
và
01
xy
a a a
13)
11
0 ab
ab
14)
, , 0abc
&
1
a
b
thì
a a c
b b c
b) Bất đẳng thức Cauchy:
* Cauchy hai số: Cho
,0ab
; ta có:
Thuận:
2
ac
ab
. Đẳng thức xảy ra thì a = b
Nghịch:
2
.
2
ab
ab
* Cauchy mở rộng:
,chỉ có một ph.trình đối xứng
Tìm điều kiện tham số m để phƣơng trình
( ) ( )f x g m
(1) có nghiệm
xX
(m là tham
số, X là tập hợp con của R)
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
13
- Cho n sô không âm
12
, , ,
n
a a a
ta có:
12
12
, , ,
n
n
n
a a a
a a a
n
Đẳng thức xảy ra khi
12
n
a a a
c) Bất đẳng thức trong tam giác:
b c a b c
SỐ PHỨC
Vấn Đề 1:
a) Định nghĩa số phức:
Biểu thức dạng a + bi, trong đó
2
, , 1a b R i
đƣợc
gọi là số phức
Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b
là phần ảo của z.
Tập hợp các số phức ký hiệu
là
2
, , 1C a bi a b R i
Lƣu ý:
z = a + bi đƣợc gọi là dạng đại số của số phức.
∙ a = 0
z = bi gọi là số ảo (hay thuần ảo)
∙ b = 0
z = a gọi là số thực
∙ a = b = 0
z = 0 gọi là số 0.
b) Số phức bằng nhau:
a bi c di a c
và b =
d
c) Biểu diễn hình học số phức:
Mỗi số phức z = a + bi đƣợc biểu diễn bởi điểm
M(a, b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
d) Mô đun của số phức là
22
z a b
e) Số phức liên hợp của z = a + bi là
Z
= a – bi:
Nhận xét:
1) z = a + bi
z
= a – bi
z
= a + bi
hay
z
= z.
2)
2
2 2 2
z a b a b z
* Các phép tính cơ bản:
1) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;
2) (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i;
3) (a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i;
4) z +
z
= (a + bi) + (a – bi) = 2a;
5) z.
z
= (a + bi).(a – bi) =
22
ab
=
2
22
a b z
;
6)
1 1 2
2
22
z z z
z
zz
Chú ý:
Trong thực hành để tính thương
c di
a bi
, ta nhân
cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi.
Vấn đề 2: Giải phƣơng trình bậc hai
a) Căn bậc hai của số phức:
▪ a > 0 có hai căn bậc hai là:
a
▪ a < 0 có hai căn bậc hai là:
.ai
▪ Tìm căn bậc hai của z = a + bi ?
Gọi w = x + yi =
z
, suy ra
2
w z
hay
2
22
2x yi a bi x y xyi a bi
22
22
2
2
x y a
x y a
b
xy b
y
x
Giải hệ phƣơng trình tìm đƣợc x, y
Tìm đƣợc căn bậc hai của z.
b) Phƣơng trình bậc hai:
Cho phƣơng trình bậc hai
2
0ax bx c
với a, b, c
,0Ra
.
Có
2
4b ac
- Khi
0
, phƣơng trình có một nghiệm
thực
2
b
x
a
.
- Khi
0
, phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt xác
định bởi công thức
1,2
2
bw
x
a
(w: là căn bậc hai
của
)
Vấn đề 3: Dạng l.giác của số phức và ứng dụng
a) Dạng lƣợng giác của số phức:
i) Cho số phức
0z
có điểm biểu diễn trên mặt
phẳng tọa độ là M. Số đo (radian) của góc lƣợng
giác tia đầu Ox, tia cuối OM đƣợc gọi là một
acgumen của z (thƣờng kí hiệu là
)
ii) Cho z có mô đun r và acgumen
thì dạng lƣợng
giác của z là:
( os isin )z r c
b) Chuyển từ dạng đại số sang dạng lƣợng giác:
z = a + bi, ta có:
▪ Tìm
22
r a b
▪ Tìm
?
sin
os
b
r
a
c
r
c) Nhân và chia hai số phức:
Cho
( os isin )z r c
và
''
' '( os isin )z r c
, ta
có:
' . ' ( os( ') isin( ')zz r r c
và
''
( os( ' ) isin( ) ( 0)
zr
cr
zr
11
( os( ) isin( ) ( 0)cr
zr
O
x
y
a
b
M
Z=a+bi
O
x
y
b
a
M
r
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
14
d) Công thức Moivre:
( osn isin )
nn
z r c n
e) Căn bậc hai của số phức:
Số phức z dƣới dạng lƣợng giác (r > 0) có hai căn
bậc hai là:
( os isin )
22
rc
và
os isin
22
rc
LƢỢNG GIÁC
Vấn đề 1: Liên hệ cung và giá trị hàm lƣợng giác
Lƣu ý:
+ Cung (góc) ta nghĩ đến điểm nằm trên vòng tròn
màu xanh
+ Giá trị hàm ta nghĩ đến các trục màu đỏ
Ví dụ: Cho góc
xác định bởi điểm M trên đƣờng
tròn xanh. Hãy tìm giá trị hàm số lượng giác ứng
với góc
đó?
* Tìm
sin
?
- Chiếu M lên trục sin ta có điểm K
- Đoạn
sinOK
(hình a)
* Tìm
osc
?
- Chiếu M lên trục cos ta có điểm H
- Đoạn
osOH c
(hình a)
* Tìm
tan
?
- Kẻ OM cắt trục tan tại H
- Đoạn
tanAH
(hình b)
* Tìm
cot
?
- Kẻ OM cắt trục tan tại K
- Đoạn
cotOK
(hình b)
Chú ý:
Hãy nhớ phần này và sử dụng nhanh khi gặp trong
phương trình lượng giác.
Vấn đề 2: Cung góc liên kết
a) Cung (góc) đối nhau: (đối
cos)
1)
oscx
oscx
2)
sin x
sin x
3)
tan( )x
tanx
4)
cot( )x
cot x
b) Cung (góc) bù nhau: (bù
sin)
1)
sin x
sin x
2)
os( )cx
oscx
3)
tan( )x
tanx
4)
cot( )x
?
c) Cung (góc) phụ nhau: (phụ
chéo)
1)
sin
2
x
oscx
2)
os
2
cx
sin x
3)
tan
2
x
cot x
4)
cot
2
x
tan x
d) Cung (góc) hơn kém nhau
: (hơn
tan, cot)
1)
tan( )x
tan x
2)
cot( )x
cot x
3)
os( )cx
oscx
4)
sin x
sin x
e) Cung (góc) hơn kém nhau
2
: (hơn
2
chiều
KĐH)
1)
sin
2
x
oscx
2)
os
2
cx
sin x
3)
tan
2
x
cot x
4)
cot
2
x
tanx
Vấn đề 3: Công thức cơ bản
1)
22
sin osx c x
1
2)
sin
tan sin tan cos
os
x
x x x x
cx
3)
os
t os cot sin
sin
cx
co x c x x x
x
sin x
1
x
2
2
k
sin x
-1
x
2
2
k
sin x
0
x
0 k
osc x
1
x
0 2 ( )k k z
osc x
-1
x
2k
osc x
0
x
2
k
O
cos
sin
k
-1
-
1
(-)
M
1
1
/2
02
3
2
H
(Hình a)
(+)
O
cot
tan
B
K
0
0
/2
02
3
2
H
(Hình b)
1
▬
▬
▬
▬
▬
M
A
-sin
sin
cos
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
15
4)
2
2
1
1 tan
os
x
cx
5)
2
2
1
1 cot
sin
x
x
6)
1
tan
cot
tan .cot 1
1
cot
tan
x
x
xx
x
x
Vấn đề 4: Công thức cộng
1)
sin( ) sin .cos os .sinx y x y c x y
2)
os( ) cos .cos sin .sinc x y x y x y
3)
tan tan
tan( )
1 tan .tan
xy
xy
xy
Vấn đề 5: Công thức nhân đôi
1)
22
os2 os sinc x c x x
2
2 os 1cx
2
1 2sin x
2)
sin2 2sin .cosx x x
3)
2
2tan
tan2
1 tan
x
x
x
Vấn đề 6: Công thức nhân ba
1)
3
os3 4 os 3cosc x c x x
2)
3
sin3 3sin 4sinx x x
3)
3
2
3tan tan
tan3
1 3tan
xx
x
x
Vấn đề 7: Công thức hạ bậc
1)
2
1 os2
os
2
cx
cx
2)
3
3 os os3
os
4
c x c x
cx
3)
2
1 os2
sin
2
cx
x
4)
3
3sin sin3
sin
4
xx
x
Vấn đề 8: Công thức biểu diễn sinx, cosx, tanx
theo
tan
2
x
t
1)
2
2
sin
1
t
x
t
2)
2
2
1
os
1
t
cx
t
3)
2
2
tan
1
t
x
t
Vấn đề 9: Công thức biến đổi tích thành tổng
1)
1
os .cos os( ) os( )
2
c x y c x y c x y
Cùng cos
cos (+)
2)
1
sin .sin os( ) os( )
2
x y c x y c x y
Cùng sin
cos (-)
3)
1
sin . os sin( ) sin( )
2
x c y x y x y
Khác sin
sin (+)
4)
1
os .sin sin( ) sin( )
2
c x y x y x y
Khác cos
sin (-)
Vấn đề 10: Công thức biến đổi tổng thành tích
1)
os cos 2cos os
22
x y x y
c x y c x
2)
os cos 2sin sin
22
x y x y
c x y
3)
sin sin 2sin os
22
x y x y
x y c
4)
sin sin 2 os sin
22
x y x y
x y c
5)
sin( )
tan tan
os .cos
xy
xy
c x y
6)
sin( )
cot cot
sin .sin
yx
xy
xy
Vấn đề 11: Công thức đặc biệt cần nhớ
1)
sin os 2sin / 4 2 os / 4x c x x c x
2)
sin os 2sin / 4 2 os / 4x c x x c x
3)
4 4 2 2 2
1
sin os 1 2sin . os 1 sin 2
2
x c x xc x x
4)
6 6 2 2 2
3
sin os 1 3sin . os 1 sin 2
4
x c x x c x x
5)
2
1 sin2 (sin os )x x c x
6)
sin
sin( )
sin
x
xk
x
7)
os
os( )
os
cx
c x k
cx
8)
tan( ) tanx k x
9)
cot( ) cotx k x
Vấn đề 12: Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
(k chẳn)
(k lẻ)
(k chẵn)
(k lẻ)
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
16
1)
2
os cos ,
2
xk
c x k Z
xk
2)
2
sin sin ,
2
xk
x k Z
xk
3)
tan tan ,x x k k Z
4)
cot cot ,x x k k Z
Vấn đề 13: Các dạng ph.trình lƣợng giác khác
a) Dạng bậc hai theo một hàm số lƣợng giác:
1)
2
os os 0ac x bc x c
2)
2
tan tan 0a x b x c
3)
2
sin sin 0a x b x c
4)
2
cot ot 0a x bc x c
* Bƣớc 1: Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t =
tanx, t = cotx) và điều kiện của t (nếu có)
* Bƣớc 2: Đƣa phƣơng trình về dạng
2
0at bt c
b) Dạng bậc nhất theo sinx và cosx
sin os (*),( , 0)a x bc x c a b
Cách 1: Chia 2 vế (*) cho a và đặt
tan
b
A
a
(*)
sin tan . os sin( ) os
cc
x c x x c
aa
Cách 2: Chia 2 vế (*) cho
22
ab
và
đặt
2 2 2 2
os , sin
aa
c
a b a b
(*)
22
sin . os os .sin
c
x c c x
ab
22
sin( )
c
x
ab
Chú ý: Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
222
a b c
* Dạng mở rộng:
22
22
sin os sin (1 )
sin os osu(1 )
a x bc x a b u a
a x bc x a b c b
sin os sin cos (2)a x bc x m u n u
2 2 2 2
()a b m n
Giải tương tự: chia 2 vế cho
22
ab
c) Đẳng cấp bậc hai:
Cách 1:
▪ Xét
os 0
2
c x x k
, kiểm tra xem có là
nghiệm của (*) không (nếu có ta thu đƣợc nghiệm)
▪ Xét
2
xk
, chia 2 vế của (*) cho
2
oscx
, ta
đƣợc:
2
tan tan 0a x b x c
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đƣa
(*) về bậc nhất theo sin2x và cos2x.
d) Dạng đối xứng và bất đối xứng:
* Bƣớc 1:
Đặt
sin os 2sin 2 2
4
t x c x x t
2
1 2sin .cost x x
sin . os xc x
* Bƣớc 2: Thay vào (*) rồi ta giải phƣơng trình bậc
hai theo t.
Vấn đề 14: Liên hệ các góc trong tam giác ABC
()A B C A B C
2 2 2 2 2
A B C A B C
Vấn đề 15: Các định lý trong tam giác ABC
Trong
ABC
, ta ký hiệu:
1) a, b, c lần lƣợt là các cạnh đối diện các góc A, B,
C.
2) R, r lần lƣợt là bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp và
nội tiếp
3)
2
abc
p
là nửa chu vi của
ABC
4)
,,
abc
m m m a
lần lƣợt là độ dài các trung tuyến xuất
phát từ các đỉnh A, B,C.
5)
,,
abc
h h h
lần lƣợt là độ dài các đƣờng cao xuất
phát từ các đỉnh A, B,C.
6) S là diện tích của
ABC
.
a) Định lý Phythagore (Pitago): Cho
ABC
vuông tại
A và đƣờng cao AH, ta có:
Hệ quả:
1)
2
.BA BH BC
,
2
.CA CH CB
2)
AH BC AB AC
3)
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
4)
2
.AH BH CH
b) Định lý hàm số cosin:
2 2 2
a b c
H
C
A
B
22
sin sin os cos 0(*)a x b xc x c x
(sin os ) sin . os 0(*)a x c x b x c x c
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
17
2 2 2
2 2 2
2 .cos cos
2
b c a
a b c bc A A
bc
c) Định lý hàm số sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
d) Định lý hàm tan:
tan
2
tan
2
AB
ab
AB
ab
Vấn đề 16: Công thức tính độ dài đƣờng trung
tuyến
1)
2 2 2
2
24
a
b c a
m
2)
2 2 2 2 2 2
3
()
4
a b c
m m m a b c
Vấn đề 17: Độ dài phân giác
2 . . os
2
a
A
b c c
l
bc
Vấn đề 18: Công thức tính diện tích
1)
1
2
a
S ah
2)
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S ab C bc A ca B
3)
.S p r
4)
4
abc
S
R
5)
( )( )( )S p p a p b p c
Vấn đề 19: Bán kính đƣờng tròn nội tiếp, ngoại
tiếp tam giác
1)
( )tan ( )tan ( )tan
2 2 2
S A B C
r p a p b p c
p
2)
4 2sin 2sin 2sin
abc a b c
R
S A B C
HÌNH HỌC
PHẦN I: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
MẶT PHẲNG
BÀI 1: VÉCTƠ TỌA ĐỘ
1. Hệ tọa độ đề các vuông góc Oxy:
2. Tọa độ điểm – tọa độ véctơ:
2.1 Tọa độ điểm:
( , )M x y OM xi y j
Vd: a)
(1,2) 1 2M OM i j
b)
3 ( 1,3)OA i j A a
2.2 Tọa độ véctơ:
1 2 1 2
;a a a a a i a j
Vd: a)
2, 3 2 3a a i j
b)
3 (3,0)u i u
3. Phép toán trên điểm – trên véctơ:
a) Trên điểm.
Cho
( , )
AA
A x y
,
( , )
BB
B x y
,
( , )
CC
C x y
▪
( , )
B A B A
AB x x y y
▪
22
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
▪ I là trung điểm AB
2
2
AB
I
AB
I
xx
x
yy
y
▪ G là trọng tâm tam giác
ABC
3
3
A B C
G
A B C
G
xxx
x
G
yyy
y
▪ A’ là chân đường cao kẻ từ A
'. 0
'
AA BC
BA
▪ H là trực tâm
ABC
.0
.0
AH BC
BH AC
▪ M chia đoạn AB theo tỉ số k sao cho:
.MA k MB
1
1
AB
M
AB
M
x kx
x
k
y ky
y
k
A’
C
A
B
H
C
A
B
cùng phƣơng
BC
O
x
y
= (0; 1)
j
i
= (1; 0)
Phân giác II
(y = -x)
Phân giác I
(y = x)
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
18
▪ I là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
IA = IB = IC
22
22
IA IB
IA IC
giải tìm I
▪ D là chân đường phân giác trong góc A
E là chân đường phân giác ngoài góc A
DB AB
AC
DC
,
EB AB
AC
EC
▪ I là tâm đường tròn nội tiếp
ABC
Cách 1:
- Tìm D là chân đƣờng phân giác trong
A
của
ABC
- Tìm I là chân đƣờng phân giác trong
B
của
ABD
Cách 2: Viết phƣơng trình 2 đƣờng phân giác
trong, giải hệ
I
▪ Chứng mình A, B, C thẳng hàng (ABC không tạo
thành
)
AB
cùng phƣơng
AC
▪ Tìm D để ABCD theo thứ tự đó tạo thành hình
bình hành.
,,A B C
AB DC
▪ Tìm D để ABCD tạo thành (A, B, C không thẳng
hàng)
+ Hình thang: (theo thứ tự đó)
AB
AD
+ Hình thang cân
AB
AD BC
AD
+ Hình thang vuông
.0
AB
AB AD
▪ Diện tích
ABC
:
( , )AB x y
;
( ', ')AC x y
12
' ' AA'
2
ABC
S
S xy x y
BC
Lƣu ý:
- Trọng tâm là giao điểm 3 đƣờng trung tuyến
- Trực tâm là giao điểm 3 đƣờng cao.
- Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp là giao điểm 3 đƣờng
trung trực
- Tâm đƣờng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đƣờng
phân giác.
b) Trên Véctơ:
12
( ; )a a a
,
12
( ; )b b b
,
12
( ; )c c c
▪
1 1 2 2
( ; )a b a b a b
▪
12
( ; )ka ka ka
▪
1 1 2 2
. . .ab a b a b a
(định lý)
os( , )a b c a b
(định nghĩa)
▪
1 1 2 2
os( , )
a b a b
c a b
ab
▪
a
cùng phƣơng
b
12
1 2 1 2
12
0
a kb
aa
a b b a
bb
▪
.0a b ab
▪
11
22
ab
ab
ab
Lƣu ý:
(1) Tính góc A?
.
AB
.
AC
.
os os( , )
AB AC
c A c AB AC
AB AC
+
.0AB AC A
nhọn
+
.0AB AC A
tù
(2) Véctơ đơn vị:
Nếu
0a
thì
a
e
a
là vec tơ đơn vị của
a
BÀI 2: ĐƢỜNG THẲNG
I. Vectơ pháp tuyến, véctơ chỉ phƣơng của đƣờng
thẳng:
- Màu đỏ là vectơ chỉ phƣơng
- Màu xanh là vectơ pháp tuyến.
II. Phƣơng trình đƣờng thẳng:
1. Phƣơng trình tham số - chính tắc:
Cần biết
00
12
( ; )
( ; )
M x y
vtcpa a a
* Phƣơng trình tham số:
10
20
x a t x
y a t y
tR
* Phƣơng trình chính tắc
12
( , 0)aa
00
12
x x y y
aa
2. Phƣơng trình tổng quát: Cần biết
00
( ; )
( ; )
M x y
vtpt n A B
cùng phƣơng
CD
(đáy là AB, CD)
I
C
A
B
C
A
B
D
E
cùng phƣơng
BC
(đáy là AD, BC)
không cùng phƣơng
BC
cùng phƣơng
CD
(đáy là AB, CD)
cùng phƣơng
CD
C
A
B
()
I
C
B
A
D
D
C
A
B
không thẳng hàng
D’
C
D
A
B
C
D
A
B
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
19
Phƣơng trình tổng quát
()
có dạng:
00
0A x x B y y
22
0AB
Định lý: Mọi phƣơng trình có
dạng
0Ax By C
thỏa
22
0AB
đƣợc gọi là phƣơng trình tổng quát của
đƣờng thẳng với vtpt
( ; )n A B
* Lƣu ý:
- Hai đƣờng thẳng song song
cùng vtpt, cùng
vtcp, cung hệ số góc
- Hai đƣờng thẳng vuông góc
pháp tuyến của
đƣờng này là chỉ phƣơng đƣờng kia và ngƣợc lại;
tích hệ số góc bằng -1
- Đƣờng thẳng (d) có:
+ vtcp
12
( ; )a a a
vtpt
21
( ; )n a a
hoặc
21
( ; )n a a
+ vtpt
( ; )n A B
vtcp
( ; )a B A
hoặc
( ; )a B A
- Giả sử (d)
0ax by c
:
+
()
// (d) nên có dạng:
'0ax by c
+
()
(d) nên có dạng
'0
'0
bx ay c
bx ay c
3) Các dạng khác của đƣờng thẳng:
a) Phƣơng trình đt
( , )
AA
Qua A x y
hsg k
()
AA
y k x x y
b) Phƣơng trình đt qua
( , )
AA
A x y
Cách 1:
()
A
AA
xx
y k x x y
Cách 2:
( ) ( ) 0
AA
A x x B y y
22
0AB
c) Phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn:
1
xy
ab
oàn
1
oàn
h h tung
h h tung
Vd: Viết ptđt AB biết:
(0; 3)A
,
(2;0)B
d) Phƣơng trình đt có hệ số góc k
y kx m
e) phƣơng trình đt có pháp tuyến
( ; )n a b
0ax by c
Lƣu ý: Cho
( , )
AA
A x y
,
( , )
BB
B x y
AB
AB
AB
yy
K
xx
f) Phƣơng trình đƣờng thẳng (không cho dữ kiện gì)
Cách 1:
0Ax By C
22
( 0)AB
Cách 2:
y kx m
III. Vị trí tƣơng đối:
1) Giữa 2 đƣờng thẳng:
1
()d
1 1 1
0a x b y c
2
()d
2 2 2
0a x b y c
Cách 1: xét hệ
1
2
d
d
Cách 2:
+
11
22
1 2 1 2
::
ab
ab
a a b b
cắt
+
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
song song
+
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
trùng nhau
2) Giữa 2 điểm đối với 1 đƣờng thẳng:
Cho hai điểm
1 1 1
( ; )M x y
,
2 2 2
( ; )M x y
và đƣờng
thẳng (d):
0Ax By C
ta có:
▪
Nếu
1 1 2 2
( )( ) 0Ax By C Ax By C
1
M
hoặc
2
()Md
▪
Nếu
1 1 2 2
( )( ) 0Ax By C Ax By C
1
M
&
2
M
kh
ác phía (d)
▪
Nếu
1 1 2 2
( )( ) 0Ax By C Ax By C
1
M
&
2
M
cù
ng phía (d)
IV. Khoảng cách góc:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng:
Cho điểm
00
( ; )M x y
& đƣờng thẳng (d):
0ax by c
00
22
)
,( )
ax by c
d M d
ab
2. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng song song:
Cho
1
d
:
1
0ax by c
&
2
d
:
2
0ax by c
12
12
22
( ),( )
cc
d d d
ab
3. Góc giữa hai đƣờng thẳng:
12
1 2 1 2
12
,
os , os ,
.
nn
c d d c n n
nn
V. Phƣơng trình phân giác hai đƣờng thẳng:
1
d
:
1 1 1
0a x b y c
2
d
:
2 2 2
0a x b y c
Phƣơng trình hai đƣờng phân giác:
O
x
y
B(0:b)
A(a:0)
Xét đt thẳng đứng
Vô số nghiệm
trùng nhau
Một nghiệm
cắt
Vô nghiệm
song song
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
20
1 1 1
22
11
a x b y c
ab
2 2 2
22
22
a x b y c
ab
12
()tt
12
,nn
Nhọn
Tù
< 0
12
tt
> 0
VI. Chùm đƣờng thẳng:
Giả sử
1
d
cắt
2
d
tại I. Mọi đƣờng thẳng qua I thuộc
chùm:
1 1 1
()m a x b y c
2 2 2
( ) 0n a x b y c
( , 0)mn
BÀI 3: ĐƢỜNG TRÒN
1) Phƣơng trình đƣờng tròn:
a. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng tròn:
Cần biết
â ( , )t m I a b
R
2 2 2
( ) ( )x a y b R
Ví dụ: Viết phƣơng trình đƣờng tròn
()C
, biết:
- Tâm I(1, 2), R = 3
- Tâm I(0, - 1) và qua A(1, 1)
R = IA
- Tâm k(1, 3) và tiếp
xúc
()
:
2 5 0 ( , )x y R d k
- Đƣờng kính AB với A(1, 1), B(3, 3)
- Tâm A(1, 1) và tiếp xúc
( ')C
tâm k(1, 2), R = 3
b. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng tròn:
Định lý: Mọi phƣơng trình có dạng
22
2 2 0x y ax by c
thỏa
22
'0a b c
đƣợc
gọi là phƣơng trình tổng quát của đg.tròn
()C
22
)â (,I a b
R a b c
tm
2) Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn:
Loại 1: Tiếp tuyến
tại
00
( ; ) ( )M x y C
()
Qua M
vtpt IM
Loại 2: Tiếp tuyến có phƣơng cho trƣớc:
Bƣớc 1: Định dạng tiếp tuyến
đƣa về dạng tổng
quát
0Ax By C
Bƣớc 2: Điều kiện tiếp xúc:
,( )d I R
Loại 3: Tiếp tuyến qua
( , )
AA
A x y
Bƣớc 1: Định dạng tiếp tuyến qua A (dùng cách 1
hoặc cách 2)
Bƣớc 2: Điều kiện tiếp xúc
k hoặc A, B.
3) Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng (d) và đƣờng
tròn
()C
a)
()d
tiếp xúc với
()C
( ;( ))d I d R
b)
()d
cắt
()C
tại hai điểm phân biệt
( ; )d I d R
c)
()d
không cắt
()C
( ;( ))d I d R
4) Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng tròn
1
()C
,
2
()C
a)
1
()C
và
2
()C
ngoài nhau
1 2 1 2
I I R R
b)
1
()C
tiếp xúc ngoài với
2
()C
1 2 1 2
I I R R
c)
1
()C
cắt
2
()C
tại điểm phân
biệt
1 2 1 2 1 2
R R I I R R
d)
1
()C
tiếp xúc trong với
2
()C
1 2 1 2
I I R R
e)
1
()C
và
2
()C
chứa nhau
1 2 1 2
I I R R
5) Phƣơng tích:
Cho đƣờng tròn
()C
22
2 2 0x y ax by c
và
điểm
00
( ; )M x y
,
vẽ cát tiếp tuyến
0
M AB
và tiếp tuyến
0
MM
. Phƣơng
tích của điểm
0
M
đối với
()C
là:
a)
0
2 2 2
/( ) 0 0 0 0
.
MC
P M AM B M I R M M
b)
0
22
/( ) 0 0 0 0
22
MC
P x y ax by c
Nhận xét:
-
0
/( ) 0
0 ( )
MC
P M C
-
0
/( )
0
MC
P
thì
0
M
nằm trong
()C
-
0
/( )
0
MC
P
thì
0
M
nằm ngoài
()C
6) Trục đẳng phƣơng:
Cho
1
()C
:
22
1 1 1
2 2 0x y a x b y c
và
2
()C
:
22
2 2 2
2 2 0x y a x b y c
Phƣơng trình trục đẳng phƣơng của
1
()C
và
2
()C
là:
1 2 1 2 1 2
2( ) 2( ) ( ) 0a a x b b y c c
BÀI 4: ELIP
1. Định nghĩa:
Cho hai điểm cố định
12
,FF
với
12
2F F c
và hằng số
2a (a > c > 0).
12
( ) 2M E MF MF a
a)
12
,FF
là hai tiêu điểm; b)
12
2F F c
là
hai tiêu cự
c)
1 2 1 2
( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )A a A a B b B b
là 4 đỉnh của
Elip.
2. Phƣơng trình chính tắc:
Cho elip (E) có hai tiêu điểm
1
( ;0)Fc
và
2
( ;0)Fc
nằm
trên trục hoành thì (E) có phƣơng trình chính tắc là:
Trong đó,
2 2 2
a b c
và (a > b > 0)
3. Bán kính qua tiêu điểm:
22
22
( ): 1
xy
E
ab
1
T
2
T
1
d
2
d
O
-a
b
a
-b
-c
F
2
y
x
c
F
1
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
21
1 M
c
MF a x
a
,
2 M
c
MF a x
a
4. Tâm sai:
22
( 1)
c a b
ee
aa
5. Đƣờng chuẩn của elip:
2
1
()
aa
x
ec
,
2
2
()
aa
x
ec
6. Điều kiện tiếp xúc:
2 2 2 2 2
( 0)a A b B C C
BÀI 5: HYPERBOL
1. Định nghĩa:
Cho hai điểm cố định
12
,FF
với
12
2F F c
và hằng số
2a (c >a > 0),
12
( ) 2M H MF MF a
a)
1
( ;0)Fc
và
2
( ;0)Fc
là hai tiêu điểm
b)
12
2F F c
là tiêu cự.
c)
12
( ;0), ( ;0)A a A a
là hai đỉnh thuộc trục thực,
12
(0; ), (0; )B b B b
2. Phƣơng trình chính tắc(H):
Trong đó:
2 2 2
c a b
3. Bán kính qua tiêu điểm:
a) M thuộc nhánh
phải
0
M
x
:
1 M
MF ex a
,
2 M
MF ex a
b) M thuộc nhánh
trái
0
M
x
:
1 M
MF ex a
,
2 M
MF ex a
4. Tâm sai:
1
c
e
a
5. Đƣờng chuẩn:
2
aa
x
ec
6. Tiệm cận:
b
yx
a
7. Điều kiện (H) tiếp xúc với đƣờng thẳng:
2 2 2 2 2
( 0)a A b B C C
BÀI 6: PARABOL
1. Định nghĩa:
Cho đƣờng thẳng cố định
()
và điểm
()F
cố
định,
()MP
( , )MF d M
a)
;0
2
p
F
là tiêu điểm,
()
là đƣờng chuẩn
b)
( , )p d F
là tham số tiêu
c) O(0; 0) là đỉnh và MF là bán kính qua tiêu điểm
(M thuộc (P))
2. Phƣơng trình chính tắc (P):
3. Tâm sai: e = 1
4. Đƣờng chuẩn:
2
p
x
5. Điều kiện tiếp xúc:
2
2AC B p
PHẦN II: HÌNH HỌC CỔ ĐIỂN
VẤN ĐỀ 1 : QUAN HỆ SONG SONG
I. TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG:
Cách 1:
Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Đƣờng
nối hai điểm chung chính là giao tuyến.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
I
IJ
J
Cách 2:
()
()
( ) ( ) / / / /
//
( ) ( )
x
a
b
M a b
ab
M
Cách 3:
( ) / /
( )/ / ( ) ( ) / /
( ) ( )
x
M
M
Cách 4:
()
/ /( ) ( ) ( ) / /
( ) ( )
x
a
a M a
M
II. TÌM GIAO ĐIỂM CỦA
VÀ d :
Cách 1:
Tìm trong
đƣờng thẳng a sao cho a cắt d tại I,
lúc đó I là giao điểm phải tìm.
()
()
a
dI
a d I
Cách 2:
o Xác định mặt phẳng
()
chứa d
o Tìm giao tuyến giữa
( )&( )
o Giao tuyến cắt d ở đâu đó là giao điểm phải
tìm.
()
( ) ( ) ( )
d
dI
dI
III. CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG :
Ta ch.minh 3 điểm cùng thuộc 2 mặt phẳng
phân biệt
22
22
( ): 1
xy
H
ab
-5
x
B
5
B
A
A
y
x
M
O
F
y
-P/2
-4
-2
2
4
MH=M
F
MH=M
H
M
b
a
M
M
a
I
a
d
2
2 ( 0)y px p
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
22
IV. CHỨNG MINH 3 ĐƢỜNG THẲNG ĐỒNG
QUI :
Ta chứng minh giao điểm của hai đƣờng thẳng
này nằm trên hai mặt phẳng phân biệt mà có giao
tuyến là đƣờng thẳng thứ ba.
V. THIẾT DIỆN :
Ví dụ hình bên có thiết diện là
IJK
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ABC
ACD
A
IJ
JK
ID KB
Muốn tìm thiết diện của
với khối chóp:
* Ta tìm các đoạn giao tuyến giữa
với các mặt
của khối chóp;
* Hoặc tìm giao điểm của
với các cạnh của khối
chóp.
VI. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH:
1. Chứng minh hai đƣờng thẳng song song:
- Dùng phƣơng pháp trong hình học phẳng nhƣ:
định lý Talet, tính chất đƣờng trung bình, tính chất
so le….
- Dùng 3 tính chất giao tuyến ở phần I
- Hai mp song song bị cắt bởi mp thứ ba tạo nên
hai giao tuyến song song
2. Chứng minh đƣờng thẳng song song mặt phẳng:
- Chứng minh đg.thẳng
// với đƣờng thẳng a
trong
//
( ) / /( )
()
a
a
- Hoặc ch.minh đg thẳng
chứa trong
()
mà
//
()
()
/ /( )
( ) / /( )
3. Chứng minh hai mặt phẳng song song:
Ta chứng minh trong mặt phẳng này có hai
đƣờng thẳng cắt nhau và // với mặt phẳng kia
, ( )
,
, / /( )
ab
ab
ab
Hệ quả:
, ( )
,
', ' ( )
'/ / , '/ /
ab
ab
ab
a a b b
VẤN ĐỀ 2: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
I. ĐỊNH LÝ 3 ĐƢỜNG VUÔNG GÓC:
bc
cb
II. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH:
1. Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc:
- Chứng minh góc giữa chúng là góc vuông
bằng cách trong hình học phẳng nhƣ định lý Pitago
- Ta chứng minh
với mặt phẳng chứa đƣờng
thẳng d hoặc ngƣợc lại.
()
()
d
d
2. Chứng minh đƣờng thẳng vuông góc mặt phẳng:
Ta chứng minh
a & b cắt nhau trong
,
, ( )
a
b
ab
ab
()
3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
Ta chứng minh trong mặt phẳng này có chứa 1
đ.thẳng vuông góc với m.phẳng kia.
()
( ) ( )
()
Lƣu ý: Nếu hai mặt phẳng vuông góc nhau, đường
thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao
tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia
( ) ( )
( ) ( )
()
()
a
a
a
III. MỘT SỐ KHÁI NIỆM:
1. Mặt phẳng trung trung của đoạn thẳng AB:
Là mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông góc
với AB.
Tính chất: Tất cả những điểm thuộc mặt phẳng
trung trực cách đều hai đầu đoạn thẳng AB.
2. Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
Là giao điểm của 3 đƣờng trung trực của các
cạnh
Lƣu ý:
* Nếu tam giác đều
tâm là giao điểm 3 đƣờng
trung trực, 3 đƣờng trung tuyến, 3 đƣờng cao, 3
đƣờng phân giác.
* Nếu tam giác vuông
tâm là trung điểm cạnh
huyền.
3. Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp hình vuông, hình chữ
nhật:
Là giao điểm hai đƣờng chéo.
I
A
K
J
B
C
D
cắt nhau
( ) / /( )
cắt nhau
( ) / /( )
cắt nhau
a
c
b
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
23
4. Trục đƣờng tròn ngoại tiếp đa giác:
Là đƣờng thẳng đi qua tâm của đƣờng tròn
ngoại tiếp đa giác, đồng thời vuông góc với mặt
phẳng đa giác.
Lƣu ý: 2 kết quả quan trọng phần vuông góc
Nếu hai mặt phẳng vuông góc nhau, đường
thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao
tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia
( ) ( )
( ) ( )
()
()
a
a
a
Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng sẽ vuông góc
với mặt phẳng thứ ba
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Q
VẤN ĐỀ 3 : GÓC, KHOẢNG CÁCH
I. GÓC:
1. Góc giữa 2 đƣờng thẳng a, b:
* Là góc gữa a’// a và b’// b (với a’&b’ cắt nhau tại
O)
*
00
(0 90 )
2. Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng:
* Góc giữa đƣờng thẳng
()
và
là góc giữa
()
với hình chiếu
()
của nó lên
*
00
(0 90 )
3. Góc giữa 2 mặt phẳng
( )&( )
:
( ) ( )
( ); ( ),( ) ( , )
( );
a a a b
bb
00
(0 90 )
II. KHOẢNG CÁCH:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
* Dựng đƣờng thẳng
()
qua M và vuông góc
*
()
giao
= H (H là hình chiếu vuông góc của
M lên
)
* Đoạn MH là khoảng cách từ M đến
.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng:
* Dựng
qua M và vuông
()
*
() H
(H là hình chiếu vuông góc của M lên
()
)
* Đoạn MH là khoảng cách từ M đến đƣờng thẳng.
3. Khoảng cách gữa đƣờng thẳng
()
và
biết
/ /( )
:
* Xác định điểm M thuộc đƣờng thẳng
()
* Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng
Lƣu ý: Chọn điểm M cho khéo
4. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:
- Xác định
()M
- Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng
()
5. Khoảng cách giữa 2 đƣờng chéo nhau:
Trƣờng hợp 1:
ab
* Dựng
chứa b và vuông góc với a
*
()aI
* Dựng
()
qua I vuông góc và cắt b tại J
=> khoảng cách là đoạn IJ
Trƣờng hợp 2: Từ hình vẽ bài toán ta thấy
a
b
,a b IJ
Trƣờng hợp 3:
* Dựng
chứa a và // b
* Kh.cách từ điểm M bất kì thuộc
chính là
khoảng cách a và b.
Trƣờng hợp 4:
* Dựng
() a
* Tìm hình chiếu b’ của b lên
* Tình khoảng cách từ a đến mặt phẳng (b, b’)
VẤN ĐỀ 4 : CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM & BÁN
KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP
Bƣớc 1: Xác định xem trong các đỉnh của hình
chóp, có đỉnh nào nhìn một cạnh của hình chóp
dƣới một góc vuông?
+ Nếu có thì xét các đỉnh còn lại, nếu các đỉnh
còn lại cũng nhìn cạnh đó dƣới một góc vuông thì
tâm mặt cầu là trung điểm cạnh đó;
+ Nếu không thì qua bƣớc 2;
Bƣớc 2: Xác định trục
()
của đƣờng tròn ngoại tiếp
đa giác đáy
Bƣớc 3: Xảy ra 1 trong 2 trƣờng hợp sau
Trƣờng hợp 1: Nếu
()
đồng phẳng với một cạnh
bên nào đó của hình chóp thì trong mặt phẳng
chứa
()
và cạnh bên, ta dựng đƣờng trung trực d
của cạnh bên, khi đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp là giao điểm của
()
và d;
Trƣờng hợp 2: Nếu
()
không đồng phẳng với
một cạnh bên nào thì tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp là giao điểm của
()
và trục đƣờng tròn ngoại
tiếp của một mặt bên nào đó của hình chóp; hoặc là
giao điểm của
()
và mặt phẳng trung trực của 1
cạnh bên nào đó của hình chóp.
tại I
tại J
Chuyên Toán – Thầy Dũng
Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học
Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D…
24
VẤN ĐỀ 5 : THỂ TÍCH - DIỆN TÍCH
I. THỂ TÍCH:
a) Thể tích khối lăng trụ: V = S.h (S: là diện tích
dáy, h: là độ dài đƣờng cao)
b) Thể tích khối chóp: V =
1
3
S.h (S: là diện tích dáy,
h: là độ dài đƣờng cao)
c) Thể tích khối nón:
V =
1
3
S.h =
2
1
3
R
h (R: là bán kính đáy, h: là độ dài
đƣờng cao)
d) Thể tích khối trụ:
V = S.h =
2
R
h (R: là bán kính đáy, h: là độ dài
đƣờng cao)
e) Thể tích khối cầu: V =
3
4
3
R
(R: là bán kính đáy)
f) Cho tứ diện ABCD, B trên tia AB, AC lấy các
điểm B’, C’, D’ khác A. Ta có:
', '. '. '
, . .
' ' '
A B C D
A B C D
V
AB AC AD
V AB AC AD
g) Mặt phẳng (P) song song mặt đáy, cắt khối chóp
S.ABCD tại A’, B’, C’, D’. Ta có tỉ lệ:
. ' ' ' '
.
' ' ' '
S A B C D
S ABCD
V
SA SB SC SD
V SA SB SC SD
II. DIỆN TÍCH:
a) Diện tích xung quanh hình nón:
xq
S Rl
(R:
bán kính đáy, l: là độ dài đƣờng sinh)
b) Diện tích toàn phần hình nón:
()
tp
S R R l
(R:
bán kính đáy, l: là độ dài đƣờng sinh)
c) Diện tích xung quanh hình trụ:
2
xq
S Rh
(R:
bán kính đáy, l: là độ dài đƣờng cao)
d) Diện tích toàn phần hình trụ:
2 ( )
tp
S R R h
(R:
bán kính đáy, l: là độ dài đƣờng cao)
B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI HÌNH KHÔNG GIAN
BẰNG TỌA ĐỘ
Để giải đƣợc các bài toán hình không gian bằng
phƣơng pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ
thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa
vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
* Ta thƣờng gặp các dạng sau:
1. Hình chóp tam giác:
2. Hình chóp tứ giác:
a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy là
hình vuông (hoặc hình chữ nhật).
b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc
hình thoi) tâm O đƣờng cao SO vuông góc với đáy.
c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD
và AB = b,
SAD đều cạnh a vuông góc với đáy
3) Hình lăng trụ đứng
Tùy theo từng dạng của đáy ta chọn hệ trục nhƣ các
dạng trên.
Chú ý:
- Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và
các cạnh bên bằng nhau, nhƣng không nhất thiết
phải bằng đáy. Chân đƣờng cao là trọng tâm của
đáy.
- Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh
bên bằng đáy.
- Hình hộp có đáy là hình bình hành nhƣng không
nhất thiết phải là hình chữ nhật.
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN
VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC TÍNH TỌA ĐỘ
Cho:
1 2 3
( ; ; )a a a a
,
1 2 3
( ; ; )b b b b a
ta có:
1)
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b
2)
1 2 3
( ; ; ),ka ka ka ka k R
3) Tích vô hƣớng
1 1 2 2 3 3
. . . .ab a b a b a b
4)
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a a a a a a a a
5)
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z a
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
6)
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
.
cos( , )
.
a b a b a b
ab
ab
ab
a a a b b b
1 1 2 2 3 3
. . . 0a b a b a b a b a
7)
2 3 3 1
12
2 3 3 1
12
, ; ;
a a a a
aa
ab
b b b b
bb
8)
a
cùng phƣơng
. . 0b a k b ab
3
12
1 2 3
a
aa
b b b
1 2 3
( , , 0)b b b
9)
, ; ,a b a a b b
10)
, . sin ,a b a b a b
11)
,,abc
đồng phẳng
, . 0a b c
12) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ
số
.k MA k MB
;;
1 1 1
A B A B A B
x kx y ky z kz
M
k k k
13) Điểm I là trung điểm của AB thì
I
;;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
14) Tọa độ trọng tâm G của
ABC:
1
;;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
n
15) Trọng tâm G của tứ diện ABCD
thỏa
0GA GB GC GD
