bài 1: Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp

Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12.
Ngày: 14/02/2006
Chơng IV: đại số tổ hợp
Tiết PPCT: 75
Đ1. Hoán vị. chỉnh hợp. Tổ hợp
(Tiết 1: Quy tắc cộng - quy tắc nhân. Hoán vị)
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Kiến thức: Học sinh nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc
nhân. hiểu rõ thế nào là một hoán vị của một tập hợp. Hai hoán vị khác nhau có nghĩa là
gì. Nắm đợc công thức tính số các hoán vị,
Kỹ năng: Học sinh vận dụng đợc hai quy tắc đếm cơ bản trong những tình huống
thông thờng. Phân biệt đợc khi nào sử dụng quy tắc cộng, khi nào sử dụng quy tắc nhân.
Biết phối hợp hai quy tắc đếm trong việc giải các bài toán tổ hợp đơn giản. Học sinh
biết tính số các hoán vị của n phần tử
Trọng tâm: Học sinh nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản và công thức tính số hoán vị
của n phần tử.
B. hớng đích và gợi động cơ.
HĐ1: Trong thực tế cuộc sống, nhiều trờng hợp chúng ta phải giải quyết các bài toán
kiểu: Một tổ có 12 học sinh 8 nam và 4 nữ hỏi có bao nhiêu cách chọn một hs làm tổ trởng hoặc
có bao nhiêu cách chọn phơng tiện đi từ Hà nội vào TP. HCM qua TP. Vinh?
Trong bài học hôm nay chúng ta sẽ đi tìm câu trả lời cho các bài toán đó.
C. làm việc với nội dung mới.
Các hoạt động
Nội dung
HĐ 2:
- Hãy thử xác định xem có bao
nhiêu cách chọn?
Tổng quát cho m
1
bi trắng, m
2

bi
đỏ?
Vậy có bao nhiêu cách chọn một
trong các đối tợng x, y?
Cũng với trờng hợp trên nhng
thêm m
3
bi vàng .
HĐ 3:
Gsử ta xuất phát từ HN vào Vinh
I. quy tắc cộng và quy tắc nhân
1. Quy tắc cộng.
Ví dụ 1. Trong hộp có 60 viên bi trắng và 40 viên bi đỏ. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn một trong các viên bi ấy?
Giải.
Có 60 cách chọn một viên bi trắng và 40 cách chọn một viên
bi đỏ và nếu đã chọn bi trắng thì không chọn bi đỏ và ngợc lại.
Vì vậy số cách chọn một trong những viên bi đó là:
60 + 40 = 100.
Trong ví dụ trên chúng ta đã sử dụng quy tắc cộng cho hai
đối tợng. Ta có thể phát biểu quy tắc này nh sau:
Nếu có m cách chọn đối tợng x, n cách chọn đối tợng y, và
nếu cách chọn đối tợng x không trùng với bất kì cách chọn đối
tợng y nào, thì có m+n cách chọn một trong các đối tợng đã
cho.
Một cách tổng quát, ta có quy tắc cộng:
Nếu có m
1
cách chọn đối tợng x
1

; m
2
cách chọn đối tợng x
2
; ....
m
n
cách chọn đối tợng x
n
và nếu cách chọn đối tợg x
i
không
trùng với bấy kì cách chọn đối tợng x
j
nào (ij, j=1...n) thì có
m
1
+m
2
+...+m
n
cách chọn một trong các đối tợng đã cho.
2. Quy tắc nhân.
Ví dụ 2. Từ Hà Nội vào Vinh có thể đi bằng xe máy, ôtô, tàu
hỏa, hoặc máy bay. Từ Vinh đi Huế có thể đi bằng ôtô, tàu hỏa
hoặc máy bay. Muốn đi từ Hà Nội vào Huế giả sử rằng phải
qua Vinh. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ Hà Nội vào Huế?
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi
1
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12.

bằng xe máy, khi đó ta có 3 cách để
đi từ Vinh vào Huế. Tơng tự
Xem hình vẽ trên bảng phụ.
Có mấy cách đi từ HN vào Vinh?
Với mỗi cách đi đó có mấy cách đi từ
Vinh vào Huế?
Vậy tất cả có mấy cách đi từ HN vào
Huế qua Vinh?
Mở rộng cho t/h có m
1
cách đi từ HN
vào Vinh và m
2
cách đi từ Vinh vào
Huế?
HĐ 4:
Gsử ta có m
3
cách đi từ Huế vào Đà
nẵng Có mấy cách đi từ HN
Vinh Huế ĐN Tổng quát?
ĐS:
a) Có 10.10.10 = 1000 cách
b) Có 6.6.6+4.4.4 = 280 cách
HĐ 5:
Mở rộng cho n phần tử?
K/q của sự sắp xếp n ptử khác
nhau theo một thứ tự nào đó đợc gọi
là một hoán vị của n ptử đó.
Hai hoán vị khác nhau nghĩa là gì?

(Nghĩa là có cùng các ptử đó nhng
khác nhau về thứ tự sắp xếp)
A B C D
- Hãy liệt kê?
Có 24 cách sắp xếp.
Có thể dùng quy tắc nhân
VT1: 4 cách; VT2: 3 cách;
VT3: 2 cách; VT4: 1 cách
Cho n phần tử thì có mấy cách sắp
xếp?
Giải.
Có 4 cách đi từ Hà Nội vào Vinh, ứng với mỗi cách đi đó lại có
3 cách đi từ Vinh vào Huế. Vì vậy có tất cả là 4 x 3 = 12 cách
đi từ Hà Nội vào Huế qua Vinh.
Từ đó ta có quy tắc nhân trong trờng hợp có hai đối tợng:
Nếu có m cách chọn đối tợng x, và sau đó, với mỗicách chọn
x, có n cách chọn đối tợng y, thì có m ì n cách chọn cặp đối t-
ợng (x, y).
Tổng quát:
Nếu một phép chọn đợc thực hiện qua n bớc liên tiếp, bớc 1 có
m
1
cách chọn, bớc 2 có m
2
cách chọn, ... bớc thứ n có m
n
cách
chọn, thì phép chọn đó đợc thực hiện theo m
1
ìm

2
ì...ìm
n
cách
khác nhau.
Ví dụ 3. Mỗi lớp có 4 tổ, mỗi tổ có 6 nam và 4 nữ. Cần chọn
từ mỗi tổ một ngời để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn để:
a) Lập một đội tùy ý?
b) Lập một đội toàn nam hoặc toàn nữ?
II. hoán vị
1. Định nghĩa.
Ví dụ 4. Hãy sắp xếp 4 bạn A, B, C, D ngồi vào một bàn học 4
chổ?
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1). Mỗi cách sắp thứ tự n
phần tử của tập hợp A đợc gọi là một hoán vị của n phần tử
đó.
Giải.
Liệt kê: ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB;
BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA;
CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA;
DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA
2. Số hoán vị của n phần tử.
Định lí. Kí hiệu P
n
là số hoán vị của n phần tử thì:
P
n
= n(n1) 2.1
Kí hiệu: n! = n(n1) 3.2.1 (n!: n giai thừa)

Vậy P
n
= n(n1) 2.1= n!
D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 6: Nội dung hai quy tắc đếm? Công thức tính số hoán vị, Trờng hợp vận dụng?
Bài tập về nhà: Làm các bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 SGK.
E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi
Hà nội
Huế
Xe máy
Máy bay
Ô tô
Vinh
Ô tô
Tàu hỏa
Tàu hỏa
Máy bay
2
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12.
Ngày: 15/02/2006
Tiết PPCT: 76
Đ1. Hoán vị. chỉnh hợp. Tổ hợp
(Tiết 2: Chỉnh hợp. Tổ hợp)
A. Mục tiêu.
Kiến thức: Học sinh nắm đợc thế nào là một chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n

phần tử. Hai chỉnh hợp chập k khác nhau có nghĩa là gì. Hiểu rõ thế nào là tổ hợp chập k
của một tập hợp gồm n phần tử. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp chập k của n phần tử.
Nhớ các công thức tính số các chỉnh hợp chập k và số các tổ hợp chập k của một tập
có n phần tử.
Kỹ năng: Học sinh biết tính số các chỉnh hợp chập k và số các tổ hợp chập k của
một tập có n phần tử. Phân biệt đợc các trờng hợp vận dụng và biết cách phối hợp các
kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp để giải toán.
Trọng tâm: Ghi nhớ các công thức tính và nắm vững trờng hợp vận dụng.
B. hớng đích và gợi động cơ.
HĐ1: Phát biểu quy tắc cộng và quy tắc nhân?
C. làm việc với nội dung mới.
Các hoạt động Nội dung
HĐ 2:
AB;AC;AD;BA;BC;BD;
CA;CB;CD;DA;DB;DC;
uuur uuuuruuur uuur uuur uuuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Chú ý:
AB BA
uuur uuur
(Đầu: 4 cách, Cuối: 3 cách)
2 chỉnh hợp khác nhau khi
nào?
(Khi chúng gồm các phần tử khác
nhau hoặc thứ tự của các ptử khác
nhau)
Mỗi chỉnh hợp chập k của n phần
tử là một bộ k phần tử sắp thứ tự
nên ta có:
b1: phần tử 1 có n khả năng

b2: phần tử 2 có n1 khả năng

bk: phần tử k có n(k1) = nk+1
khả năng
Theo quy tắc nhân có:
III. Chỉnh hợp.
1. Định nghĩa.
Ví dụ 1. Trên mp, cho 4 điểm A, B, C, D sao cho không
có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu
vectơ khác
0
r
mà các đầu mút thuộc các điểm đã cho?
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (0kn)
phần tử sắp thứ tự của tập hợp A đợc gọi là một chỉnh hợp
chập k của n phần tử của A.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Bài toán: Cho tập A gồm n phần tử, tính số các chỉnh hợp
chập k của n phần tử của A?
Định lí. Kí hiệu
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử
thì ta có:
k
n
n!
A n(n 1)...(n k 1)
(n k)!

= + =

Chú ý: Quy ớc: 0! = 1, và do đó ta có:
n
n n
A P=
Ví dụ 2. Từ 4 chữ số 1, 2, 3, 4 hãy lập tất cả các số tự
nhiên gồm 3 chữ số khác nhau
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi
3
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12.
n(n1) (n k+1) khả năng
HĐ 3:
AB, AC, AD, BC, BD, CD
Hai tổ hợp khác nhau nghĩa là gì?
(Khi chúng có các phần tử khác
nhau)
Hai phần tử A, B nh trên lập
thành một tổ hợp chập 2 của 4
phần tử. Nhng lập đợc mấy chỉnh
hợp chập 2 của 4 phần tử?

Mỗi tổ hợp chập k của n sinh ra k!
chỉnh hợp chập k của n do đó:
k k
n n
A k!C=

định lí:
Có thể c/m bằng phơng pháp qui nạp

toán học.
Chỉnh hợp là tập con có thứ tự. Tổ
hợp là tập con không có thứ tự.
Đs:
3
6
C
HĐ 5:
Tính
n k k 1 k
n n 1 n 1
C ,C C


+
Có nhận xét gì về mỗi số đó?
IV. Tổ hợp.
1. Định nghĩa.
Ví dụ 3. Cần phân công 2 trong bốn bạn A, B, C, D làm
trực nhật. Hãy liệt kê các cách phân công?
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (0kn)
phần tử của A đợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử
đa cho.
2. Số tổ hợp chập k của n phần tử.
Định lí. Kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là
k
n
C
thì:
k

n
n!
C
k!(n k)!
=

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng cho 6 điểm phân biệt sao cho
không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có thể vẽ bao nhiêu tam
giác mà các đỉnh của chúng thuộc tập điểm đã cho?
3. Các hệ thức giữa các số
k
n
C
k n k
n n
k 1 k k
n 1 n 1 n
a) C C
b) C C C



=
+ =
Ví dụ 5. Giải bất phơng trình:
2 2 3
2x x x
1 6
A A C 10
2 x

+
Đs: 3 x 4.
D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 6: Các công thức tính số chỉnh hợp chập k, tổ hợp chập k của n phần tử.
Trờng hợp vận dụng.
Bài tập về nhà: Làm các bài tập 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17 SGK.
E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung:
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................
Ngày: 19/02/2006
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi
4
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12.
Tiết PPCT: 77
Đ1. Hoán vị. chỉnh hợp. Tổ hợp
(Tiết 3: Luyện tập)
A. Mục tiêu.
Kiến thức: Học sinh củng cố, khắc sâu các quy tắc đếm cơ bản, công thức tính
k k
n n n
P , A ,C
.
Kỹ năng: Học sinh nắm đợc phơng pháp giải các bài toán liên quan đến các quy tắc
đếm và công thức tính
k k

n n n
P , A , C
.
Trọng tâm: Hs nắm vững phơng pháp giải các bài toán về quy tắc đếm.
B. Kiểm tra và đánh giá.
HĐ1: Phát biểu quy tắc cộng và quy tắc nhân?
Tính giá trị các biểu thức:
12
15
14
2
5 10 8
P
A
F ;S
P .P C
= =
C. luyện tập.
Các hoạt động Nội dung
HĐ 2:
Cách giải chung?
Dạng số cần tìm?
Số cách chọn a, b, c?
Có tất cả bao nhiêu cách
chọn?
HĐ 3:
Xác định sơ đồ đờng đi?
Có mấy cách đi
A B D?
Có mấy cách đi

A C D?
Vận dụng quy tắc nào?
HĐ 4:
Dạng số cần tìm?
Số cách chọn a, b, c?

Có bao nhiêu số thỏa mãn?
Bài số 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó
các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau.
Hớng dẫn giải.
Các số tự nhiên thỏa mãn bài toán có dạng:
x abcba=
.
Trong đó: Chữ số a có 9 cách chọn (không nhận giá trị 0).
Chữ số b có 10 cách chọn (Chọn tùy ý từ 0
9)
Chữ số c có 10 cách chọn
Theo quy tắc nhân, có tất cả: 9.10.10 = 900 số thỏa mãn.
Bài số 2. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đờng,
từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đờng; Từ thành
phố A đến thành phố C có 2 con đờng, từ thành phố C đến
thành phố D có 3 con đờng. Không có con đờng nào nối
thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu con
đờng từ thành phố A đến thành phố D.
Hớng dẫn giải.
Từ A đến D qua B có 2.3 = 6 con đờng
Từ A đến D qua C có 3.2 = 6 con đờng
Theo quy tắc cộng ta có: 6 + 6 = 12 đờng đi từ A đến D.

Bài số 3. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao

nhiêu số tự nhiên chẳn có 3 chữ số.
Hớng dẫn giải.
Các số thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng:
x abc=
.
Chữ số a có 6 cách chọn (không chọn 0)
Chữ số b có 7 cách chọn (chọn tùy ý từ 0 6)
Chữ số c có 4 cách chọn (từ {0, 2, 4, 6})
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi
5