bài giảng nhị thức newton

Tr ng THPT S 3 An Nh nườ ố ơ
Tr ng THPT S 3 An Nh nườ ố ơ
T Toánổ
T Toánổ






KiÓm tra bµi cò
KiÓm tra bµi cò
Nªu các khái niệm Hoán vị,Chỉnh hợp, Tæ hîp
Công thức tính và phân biệt các khái niệm này
( )
!
!
!
!
!( )!
n
k
n
k
n
P n
n
A
n k

n
C
k n k
=
=
−
=
−


Tiết 29
Tiết 29
Khai triển các hằng đẳng thức sau:
(a + b)
2

(a + b)
3
(a + b)
4
= a
3
+ a
2
b + ab
2
+ b
3
= a
4

+ a
3
b + a
2
b
2
+ ab
3
+ b
4
Tính nhanh:
0
2
C
0 1 2
2
2 2 0 1 1 0 2
2 2
( ) C C Ca b a b a b a b
+ = + +
3 3 0 2 10 1 2 3
3 3 3 3
1 2 0 3
( )a b a b a b a b aC C bC C
+ = + + +
4 4 0 3 1 2 2 10 1 2 3 4
4 4
3
4
0

4
4
4
( ) C C Ca b a b a b a b a b bC aC
+ = + + + +
Vậy với mọi số tự nhiên n 1 và với mọi cặp số (a; b) ta có công
thức sau gọi là công thức nhị thức Niutơn

nn
n
kknk
n
n
n
n
n
n
n
n
bCbaCbaCbaCaCba
++++++=+

)(
222110
(1)
0
3
C
0
4

C
= a
2
+ ab + b
2
1
2
C
2
2
C
1
3
C
2
3
C
3
3
C
1
4
C
2
4
C
3
4
C
4

4
C
= 2
= 1
= 1
= 1
= 3
= 3
= 1
= 1
= 4
= 1
= 4
= 6
1
3
31
1
2
1
1 1
6 4 4
0
2
C
1
2
C
2
2

C
0
3
C
1
3
C
2
3
C
3
3
C
0
4
C
1
4
C
2
4
C
3
4
C
4
4
C





∑
=
−
=+
n
k
kknk
n
n
baCba
0
)(
VÝ dô 1: a/ Khai triÓn ( x + y)
6
thµnh ®a thøc bËc 6
b/ Khai triÓn ( 3x - 4)
5
thµnh ®a thøc bËc 5

6542332456
606
6
515
6
424
6

333
6
242
6
151
6
060
6
6
61520156
)(
yxyyxyxyxyxx
yxCyxCyxCyxCyxCyxCyxCyx
++++++=
++++++=+
5 0 5 0 1 5 1 2 4 2 3 3 3
5 5 5 5
4 2 4 5 1 5
5 5
5 4 3 2
(3 4) (3 ) ( 4) (3 ) ( 4) (3 ) ( 4) (3 ) ( 4)
(3 ) ( 4) (3 ) ( 4)
243 1620 14320 5760 3840 1024
x C x C x C x C x
C x C x
x x x x x
− = − + − + − + − +
− + − =
− + − + −
∑

nn
n
kknk
n
n
n
n
n
n
n
n
bCbaCbaCbaCaCba
++++++=+
−−−
)(
222110


T công th c khai tri n trên,hãy cho ừ ứ ể
T công th c khai tri n trên,hãy cho ừ ứ ể
bi t s h ng t ng quát c a khai tri n là ế ố ạ ổ ủ ể
bi t s h ng t ng quát c a khai tri n là ế ố ạ ổ ủ ể
gì? Và đó là s h ng th bao nhiêu?ố ạ ứ
gì? Và đó là s h ng th bao nhiêu?ố ạ ứ

S h ng th k+1 ố ạ ứ
S h ng th k+1 ố ạ ứ


1
k n k k
K n
T C a b
−
+
=


!"#$%&
!"#$%&
"'()*+,
"'()*+,
-
-
Giải:
456789
909
9
818
9
727
9
636
9
545
9
454
9
363

9
272
9
181
9
090
9
9
20164032537646082034512
1)2(1)2(1)2(1)2(1)2(
1)2(1)2(1)2(1)2(1)2()12(
xxxxxx
xCxCxCxCxC
xCxCxCxCxCx
+++=
+++++
++++=+
Từ công thức => số hạng đứng thứ 7 kể từ trái sang phải của khai triển
trên là:
kknk
n
baC

===

336
9
6696
9
)8.(841)2(1)2( xxCxC

.
.


/01#$#12
/01#$#12
34&)
34&)
5
5
"6 "'7)(+,
"6 "'7)(+,
+
+
89
89
:.77;.;
:.77;.;
/7-<
/7-<
=(.77;.;
=(.77;.;
(7-<
(7-<
74)
74)
+
+
>
>

+
+
"6 "
"6 "


Giải:
Từ công thức => k = 12. Vậy hệ số của x
21
y
12
trong
khai triển là:
45 2
15
k n k k k k k
n
C a b C x y

=
12
15
15!
455
3!12!
C
= =
118144
2
++

xx
3
672x

3
672x

3 15
( )x xy
+


!>"#
!>"#
'?*,
'?*,


@A9'(?,
@A9'(?,


@A
@A


∑
=
−
=+=+

n
k
knkk
n
nn
baCabba
0
)()(
∑ ∑
= =
−−
−=−=−+=−
n
k
n
k
kknk
n
kkknk
n
nn
baCbaCbaba
0 0
)1()())(()(
∑
=
−=−
n
k
kk

n
kn
xCx
0
)1()1(
(Khai triÓn theo luü thõa t¨ng cña x)
∑
=
−−
−=−
n
k
knk
n
knn
xCx
0
)1()1(
(Khai triÓn theo luü thõa gi¶m cña x)
∑
=
−
=+
n
k
kknk
n
n
baCba
0

)(


+/ Sè c¸c sè h¹ng cña c«ng thøc b»ng ?
+/ Tæng c¸c sè mò cña a vµ b trong mçi sè h¹ng
b»ng ?
+/ Sè h¹ng sè d¹ng lµ sè h¹ng thø mÊy
trong khai triÓn ?
kknk
n
baC
−
CỦNG CỐ




1. Số các số hạng của công thức bằng n + 1
2. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức (n - k) + k = n
3. Số hạng tổng quát có dạng ( k = 0, 1, 2, , n)
(Đó là số hạng thứ k + 1 trong sự khai triển của nhị thức (a + b)
n
)
4. Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau vì
kknk
nk
baCT

+
=

1
kn
n
k
n
CC

=
5. Ta có thể viết công thức nhị thức Niutơn dXới dạng tXờng minh hơn nhX sau:
nnkknnnnn
bnabba
k
knnn
ba
nn
bnaaba
+++
+
++

++=+

1221

3.2.1
)1) (1(

2
)1(
)(

n
n
k
nnnn
nn
CCCCC
++++++=+=
)11(2
210
n
n
nk
n
k
nnn
n
CCCCC )1( )1( )11(0
210
+++++==
Tiế t 30
Tiế t 30
6.
7.


0
1
C
0
0

C
0
3
C
0
2
C
1
2
C
1
1
C
2
2
C
1
2
C
1
3
C
3
3
C
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
+

=
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n = 6 1 6 15 20 15 6 1
n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1
n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1



=9B$*C3D>8B$#$8++E
=9B$*C3D>8B$#$8++E
*CF"')(+,
*CF"')(+,
+;
+;


CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP NĂM HỌC 2011-2012
TRƯỜNG THPT SỐ 3 AN NHƠN
Bài 1: (Đề thi tốt nghiệp THPT – 2006)
Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức
Biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng 1024.
*
)1( Nnx
n
∈+

5
x
Ta có

Suy ra n = 10
Vậy hệ số của trong khai triển là
0 1 2 10
2 1024 2
n n
n n n n
C C C C
+ + + + = = =
0
(1 )
n
n k k
n
k
x C x
=
+ =
∑
5
x
5
10
252C
=

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP NĂM HỌC 2011 - 2012
TRƯỜNG THPT SỐ 3 AN NHƠN
Bài 2: (Đề thi CĐ - ĐH khối D – 2004)
Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển: với
0x )x(
7
>+
x4
1
Bài 3: (Đề thi CĐ - ĐH khối B – 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển
Biết
Ngoài ra còn một số dạng khác như: Tính tổng các dựa vào phương pháp
lấy đạo hàm hoặc dựa vào phép tính tích phân Hay gặp trong các đề thi
tuyển sinh Cao đẳng - Đại học.
10
x
n
x)(2
+
n 0 1 1 n-2 2 n
3 3 3 ( 1) 2048
n n
n n n n
C C C C
−
− + − + − =
k
n

C


CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP NĂM HỌC 2011 - 2012
TRƯỜNG THPT SỐ 3 AN NHƠN
BÀI TẬP LUYỆN TẬP.
153
)(x xy
+
1221
x y
n
)
x
1
(x
+
743
)1(1)(3x-1)-(2xP(x)
+++=
x
Bài 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
Bài 2: Tìm hệ số của số hạng chứa

trong khai triển:
Bài 3: Khai triển có tổng các hệ số của ba số hạng đầu là 28. Tìm số
hạng thứ 5 của khai triển đó.
Bài 4: Xét khai triển
a) Tìm hai hạng tử chính giữa.
b) Tính hệ số của hạng tử chứa .

10
)
x
1
-(2x
3
x


1111
15
xC
Học sinh làm bài tập trắc nghiệm sau:
Chọn phXơng án đúng
1. Khai triển: ( 2x - 1)
5
là:
A. 32x
5
+ 80x
4
+ 80x
3
+ 40x
2
+ 10x + 1;
B. 16x
5
+ 40x
4

+ 20x
3
+ 20x
2
+ 5x + 1;
C. 32x
5
- 80x
4
+ 80x
3
- 40x
2
+ 10x - 1;
D. -32x
5
+ 80x
4
- 80x
3
+ 40x
2
- 10x + 1;
2. Số hạng thứ 12 kể từ trái sang phaicủa khai triển ( 2- x)
15
là:
A. -16


/?G$HI$#$J$K6

/?G$HI$#$J$K6


* Khi n = 1, ta có
( a + b)
1
= a + b = => Vậy công thức (1) đúng khi n = 1
* Giả sử (1) đúng khi n = m, tức là ta có
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = m + 1, tức là ta có
Thật vậy, ta có:
Vì nên ta có (2)
Vậy công thức nhị thức Niutơn (1) là đúng với mọi số tự nhiên n
11110110
110
1101
)( )( )(
) (
) ()()()(
+++

+
+++++++++
=+++++
++++++=++=+
mm
m
mm
m
m
m

kkmk
m
k
m
m
mm
m
m
mm
m
kkmk
m
m
m
m
m
mm
m
kkmk
m
m
m
m
m
mm
bCabCCbaCCbaCCaC
bbCbaCbaCaC
abCbaCbaCaCbababa
bCaC
1

1
0
1
+
mm
m
kkmk
m
m
m
m
m
m
bCbaCbaCaCba
+++++=+

)(
110
11
1
1
1
1
1
10
1
1
)(
++
+

+
++
+
+
+
+++++=+
mm
m
kkmk
m
m
m
m
m
m
bCbaCbaCaCba
k
m
k
m
k
m
m
m
m
mmm
CCCCCCC
1
11
1

0
1
0
,1,1
+
+
++
=+====
(2)
1