Đề thi HSG Toán 12 Thanh hoá 2010

sở giáo dục và đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
thanh hoá Năm học: 2009 2010
đề thi chính thức Môn thi: toán
lớp: 12 thpt
Ngày thi: 24/03/2010
Thời gian: 180 phút(không kể thời ian giao đề thi)
Đề này có 05 bài gồm 10 trang

Bài 1: (4 điểm) Cho hàm số
3
3 1y x x= +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) kẻ từ điểm
( )
2;1M
Bài 2: (6 điểm)
1. Giải phơng trình:
2
cos 2 2 sin 2
4
1
sin cos
2 2
x x
x x


+ +
ữ

=

ữ

2. Giải hệ phơng trình:
( )
2 3
log 4
x y
x y x y
x y x y
+

+ + = +



=



3. Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
( ) ( )
2
4 6 2x x x x m+ +

nghiệm đúng với mọi
[ ]
4;6x
Bài 3: (3 điểm)

1. Tính tích phân:
2
9
2
0
cos
dx
x


.
2. Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác
nhau, trong đó phải có hai chữ số 2 và 4?
Bài 4:
1.Cho hình lập phơng ABCDABCD có cạnh bằng a. Trên các cạnh BC và DD
lần lợt lấy các điểm M và N sao cho
( )
BM DN x 0 x a= =
. Chứng minh rằng
MN AC và tìm x để MN có độ dài nhỏ nhất.
2.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đờng tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 1 2 9C x y + + =
và
đờng thẳng
: 3 4 0d x y m + =
. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm P
mà từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến PA,PB tới (C) (A và B là hai tiếp điểm) sao
cho PA PB.

3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
( )
1; 2;3M
. Viết phơng trình mặt
phẳng () đi qua điểm M và cắt tia Ox, Oy, OZ lần lợt tại A, B, C sao cho thể tích
của tứ diện OABC nhỏ nhất
Bài 5 (2 điểm) Cho tam giác ABC không tù. Chứng minh rằng:
10 3
tan tan tan tan .tan .tan
2 2 2 2 2 2 9
A B C A B C
+ + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Hết
Số báo danh