Giới hạn của hàm số hót

T
i
ế
t

5
5
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
III. Giới hạn vô cực của hàm số:
1. Định nghĩa:
- Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
- Giới hạn một bên
2. Định lí về giới hạn hữu hạn:
a) Giả sử , .Khi đó:

lim ( )
o
x x
f x L
→
= lim ( )
o
x x
g x M
→
=
[ ]
lim ( ) ( )
o

x x
f x g x L M
→
+ = +
[ ]
lim ( ) ( )
o
x x
f x g x L M
→
− = −
[ ]
lim ( ). ( ) .
o
x x
f x g x L M
→
=
( )
lim
( )
o
x x
f x L
g x M
→
=
b) Nếu và , thì

( ) 0f x ≥

lim ( )
o
x x
f x L
→
=
0L ≥
và
lim ( ) .
o
x x
f x L
→
=
1. Định nghĩa:
- Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
2. Chú ý:
-
Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số khi vẫn
còn đúng khi hoặc
o
x x→
x → +∞
x → +∞
1. Giới hạn vô cực
•
Định nghĩa: (Giới hạn của hàm số khi x
dần tới dương vô cực)
−∞
( )y f x=

Cho hàm số xác định trên khoảng (a ; ).
Ta nói hàm số có giới hạn là khi
nếu với dãy số bất kì, và , ta có
( )y f x=
+∞
( )y f x=
−∞
x → +∞
n
x a>
n
x → +∞
( )
n
f x → −∞
Kí hiệu: hay khi
lim ( )
x
f x
→+∞
= −∞
( )f x → −∞
x → +∞
•
Các định nghĩa: , ,
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞ lim ( )

x
f x
→−∞
= +∞
lim ( ) ,
x
f x
→−∞
= −∞
lim ( ) ,
o
x x
f x
→
= +∞
lim ( ) ,
o
x x
f x
−
→
= +∞
lim ( ) ,
o
x x
f x
+
→
= +∞
… phát biểu tương tự.

•
NHẬN XÉT
lim ( ) lim ( ( ))
x x
f x f x
→+∞ →+∞
= +∞ ⇔ − = −∞
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) với k nguyên dương.
b) nếu k là số lẻ.
c) nếu k là số chẵn.
lim
k
x
x
→+∞
= +∞
lim
k
x
x
→−∞
= −∞
lim
k
x
x
→−∞
= +∞
3. Một vài qui tắc về giới hạn vô cực

a) Qui tắc tìm giới hạn của tích f (x).g(x)
lim ( )
o
x x
f x
→
lim ( )
o
x x
g x
→
lim ( ). ( )
o
x x
f x g x
→
0L >
0L <
+∞
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
−∞
b) Qui tắc tìm giới hạn của thương
( )
( )
f x

g x
lim ( )
o
x x
f x
→
lim ( )
o
x x
g x
→
( )
lim
( )
o
x x
f x
g x
→
0L >
0L <
+∞
+∞
−∞
−∞
L
Tùy ý
0
0
±∞

+
-
+
-
Dấu của
g(x)
( Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính
giới hạn, với )
0
x x≠
CHÚ Ý
Các qui tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp ,
, và .
o
x x
+
→
o
x x
−
→
x → +∞ x → −∞
Ví dụ 1: Tính
4
2
lim ( 1)
x
x x x
→+∞
− + −

Giải
4
2 4
2 3 4
1 1 1
1 1x x x x
x x x
 
− + − = − + −
 ÷
 
Ta có:
Vì:
4
lim
x
x
→+∞
= +∞
2 3 4
1 1 1
lim 1 1 0
x
x x x
→+∞
 
− + − = >
 ÷
 
4

2 4
2 3 4
1 1 1
lim ( 1) lim 1
x x
x x x x
x x x
→+∞ →+∞
 
− + − = − + − = +∞
 ÷
 
Nên ta có:
Ví dụ 2: Tính
2
2
3 5
lim
( 2)
x
x
x
→
−
−
Ta có:
Giải
2
2
lim( 2) 0

x
x
→
− =
2
lim(3 5) 1 0
x
x
→
− = >
2
( 2) 0x − >
Vậy:
2
2
3 5
lim .
( 2)
x
x
x
→
−
= +∞
−
Ví dụ 3: Tính
1
2 3
lim
1

x
x
x
−
→
−
−
Giải
Ta có:
1
lim( 1) 0
x
x
−
→
− =
1
lim(2 3) 1 0
x
x
−
→
− = − <
Ta lại có:
1 1 0.x x< ⇒ − <
Do đó:
1
2 3
lim .
1

x
x
x
−
→
−
= +∞
−
Bài 1: Tính
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
→−∞
− +
5 2
lim (4 3 1)
x
x x
A.
+∞
B.
C. 0

D. 4

−∞
Đáp án:

B
Bài 2: Tính
→−∞
− +

4 2
lim 4 3 1
x
x x
A.
+∞
B. 0

C.

D. 1

−∞
Đáp án:

A
Bài 3: Tính
−
→
−
−
1
2 7
lim
1
x
x
x
A. 2

+∞
B.
C. 0

D.

−∞
Đáp án:

D
Bài 4: Tính
→
−
−
2
4
1
lim
( 4)
x
x
x
A.
+∞
B.
C. 5

D. 0

−∞

Đáp án:

B
1. Nắm định nghĩa 4
2. Nắm qui tắc tìm giới hạn f(x).g(x);
3. Làm các bài tập 3e, 4,5 và 6 (SGK, tr132,133)
1. Nắm định nghĩa 4
2. Nắm qui tắc tìm giới hạn f(x).g(x);
3. Làm các bài tập 3e, 4,5 và 6 (SGK, tr132,133)
( )
( )
f x
g x
DẶN DÒ