phương pháp qui nạp toán học

Tiết 41−42 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC − BÀI TẬP
MĐYC: Kiến thức: Hiểu nguyên lí quy nạp toán học và nắm vững phương pháp chứng minh quy nạp để
giải một số bài toán đơn giản
Phân tiết: Tiết 1: Tiết 2: Bài tập
TG
Công việc của thầy Công việc của
trò
Nội dung
1'
20'
20’
T.2
1'
5'
12'
Ổn đònh:
Bài cũ:
Bài mới: Giải thích
nguyên lí quy nạp toán
học
H1:
H2:
H4:
Củng cố:
H1:
1. Nguyên lí quy nạp toán học:
Cho n
0
là số nguyên dương, P(n) là mệnh đề có nghóa với
mọi số nguyên n
≥

n
0
. Nếu
a) P(n
0
) đúng, và
b) Nếu P(n) đúng thì P(n+1) cũng đúng với mọi số nguyên
n
≥
n
0
, khi đó P(n) đúng với mọi số nguyên n
≥
n
0

Từ nguyên lí trên ta có phương pháp chứng minh quy nạp:
Phương pháp chứng minh quy nạp:
Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi n
≥
n
0
, n
∈
N:
Bước 1: Kiểm tra với n = n
0
: P(n
0
) đúng

Bước 2: Giả sử với n = k,
∀
k
≥
n
0
, k
∈
N thì P(k) đúng. Ta
phải chứng minh n = k+1 thì P(k+1) đúng
Kết luận : P(n) đúng với mọi n
≥
n
0
, n
∈
N
Ví dụ1:
Chứng minh rằng: 1+2+3+…+ n =
2
)1n(n +
với
∀
n
∈
N*
Ví dụ 2:
Tính tổng: Sn =1+ 3 + 5 +…+ (2n−1)
Hướng dẫn:
Tính S

1
= 1
2
, S
2
= 2
2
, S
3
= 3
2
. Dự đoán S
n
= n
2
Chứng minh dự đoán bằng quy nạp
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
a
n
− b
n
= (a−b)(a
n
−
1
+a
n
−
2
b + a

n
−
3
b
2
+ …+ab
n
−
2
+ b
n
−
1
), với mọi
n
≥
2 , n
∈
N
Bài tập
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/ 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ …+ n
2
=

6
)1n2)(1n(n ++
, mọi n
∈
N*
b/ 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ …+ n
3
=
2
2
)1n(n






+
, mọi n
∈
N*
c/ 3+7 + …+ (4n−1) = 2n
2
+n ,mọi n

∈
N*
Bài 2:
Tính tổng: S
n
= 2+4+6+ …+2n, n
∈
N*
ĐS: S
n
= n(n+1)
Bài 3: Chứng minh rằng:
a/ n
3
+ 11n chia hết cho 6 , mọi n
∈
N*
b/ 13
n
− 1 chia hết cho 6 , mọi n
∈
N*
HD:b/ 13
n+1
−1 = 13
n+1
− 13
n
+ 13
n

− 1
Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Đại số và Giải tích 11
1
25'
a/ 1+
n
n
1

3
1
2
1
>+++
, mọi n
≥
2 , n
∈
N
HD:
1n
1n
1n
1n
1nn
1n
1
n
22

+=
+
+
>
+
++
=
+
+
Bài 5: Với giá trò nào của số nguyên dương n thì ta có
2
n+1
> n
2
+3n (1)
HD: Lần lượt thử với n =1, 2, 3, 4, 5, 6 ta thấy n = 4, 5, 6
thỏa mãn (1). Dự đoán (1) đúng với n ≥ 4
Chứng minh bằng quy nạp
Giả sử 2
k+1
> k
2
+3k , k≥ 4 (2)
Nhân hai vế của (2) với 2 ta được
2
k+2
> 2k
2
+ 6k = (k+1)
2

+3(k+1) + k
2
+ k – 4
Do k
2
+ k – 4 > 0 với k ≥ 4 nên 2
k+2
> (k+1)
2
+3(k+1)
Đại số và Giải tích 11
2
1'
1'
PHẦN RÚT KINH NGHIỆM
Phương pháp: Nội dung:









Đại số và Giải tích 11
3