BÀI TẬ ĐH, TIẾP TUYỀN, KSHS

ĐẠO HÀM
Bài 1:Dùng định nghỉa tính các đạo hàm sau:
a.
2
( ) ( 1)f x x x x= − −
tại x=0 , x=1. b.
3 2 2
4 8 8 4
( 0)
( )
sin 2
0( 0)
x x
x
f x
x
x

+ − +

≠
=


=

tại x=0
Bài 2:Tính đạo hàm bằng công thức :

2
2

2 5
2 2
2 3
2
3 4
2 2
3 2
) 1
) os(3x- ) os (t anx)
3
c)y=(1-cos 4 )
sin os
)
1 cot 1 tanx
.) ( 1)( 2) ( 3) .
( 2)
)
( 1) ( 3)
) .
) cot 1
a y x x
b y c c
x
x c x
d y
x
e y x x x
x
f y
x x

x
g y
a x
h y x
π
= + +
= −
= +
+ +
= + + +
+
=
+ +
=
−
= +
Bài 3:Tính đạo hàm bằng định nghĩa và công thức:
2
1
. os( )( 0)
( )
x
0( 0)
x c x
f x
x

≠

=



=


f(x) có đạo hàm tại những điểm nào?Tính đạo hàm tại các điểm đó.
Bài 4: Chứng minh đạo hàm các hàm số sau không phụ phuộc vào x :
a.
6 6 2 2
sin os 3sin . os .y x c x x c x= + +
b.
2 2 2 2 2
2 2
os ( ) os ( ) os ( ) os ( ) 2sin .
3 3 3 3
y c x c x c x c x x
π π π π
= − + + + − + + −
.
Bài 5: a.CM f(x)=
2
1x x+ +
thỏa
2
2. 1 '( ) ( )x f x f x+ =
suy ra
2
4(1 ). ''( ) 4 . '( ) ( ).x f x x f x f x+ + =
Bài 6: Đinh b,c để hàm số có đạo hàm tại x=1 :f(x) =
2

2
( 1)
.
( 1)
x x
x bx c x

≤

− + + >

Bài 7:Cho f(x)=(x-1).sinx và g(x) = x+1 -
osxc

a.Tính f’(x) và g’(x).Suy ra f’(0) và g’(0).
b.Tính giới hạn :
0
( 1)sinx
lim
1 osx
x
x
x c
→
−
+ −
.
Bài 8:Dùng đạo hàm tính các giới hạn sau:
a.
2

1
3 2
lim
1
x
x
x
→
+ −
−
b.
os2x-1
lim
x-
x
c
π
π
→
c.
3
2
sin 1
lim
2
x
x
x
π
π

→
+
+
.
Bài 9: Cho y =
1
1
1
n
x
x
+
−
−
Hãy tính tổng sau:
S= 1+2.x + 3.x
2
+ ….+ n.x
n-1
(n là số tự nhiên khác 0) .
T= 1+4 + 12 + …. +(n+1)2
n
.
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Bài 1: Cho đường cong y= (x-1)
3
.Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong đó :
a.Tại điểm (-2;-27).
b. Tại điểm có hoành độ bằng 2.
c.Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

1
Bài 2: Tìm b , c sao cho đồ thị y = x
2
+ bx + c nhận đường y = x là tiếp tuyến với đồ thị tại điểm (1;1).
Bài 3: Cho hai hàm số y =
1
2x
và y =
2
2
x
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị các hàm số đã cho tại các
giao điểm của chúng .Tìm góc của hai tiếp tuyến nói trên.
Bài 4: Cho hàm số : y = f(x) = mx
2
+ 2x –m có đồ thị (Cm).
a.CMR (Cm) luôn đi qua hai điểm A,B cố định.
b. Định m để tiếp tuyến với (Cm) Tại A và B vuông góc với nhau.
c.Định m để tiếp tuyến với (Cm) tại A tạo với trục hoành một góc 45
0
.
Bài 5: Chứng tỏ rằng không có tiếp tuyến nào với (C) :y =
1
x
x +
đi qua I(-1;1)
Bài 6: Chứng tỏ rằng qua A(2;a) có thể vẽ được đúng một tiếp tuyến với ( C ) y = x
3
– 6x
2

+ 9x – 1.
Bài 7: Chứng tỏ qua A(3;0) có thể vẽ được ba tiếp tuyến với ( C ) : y = -x
3
+ 3x +2 .
Bài 8: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) : y = x
3
– x – 6 có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến của ( C ).
Bài 9: Định m để (Cm):
3
2
3 2
x
y mx
m
= − + −
(m
≠
0) có đúng 1 tiếp tuyến song song với đường phân giác thứ
nhất.
Bài 10: Định m để (d) : y = mx + 1 tiếp xúc với ( C ): y = 2x
3
+ x
2
+ x + 1.
KHẢO SÁT HÀM SỐ:
VẤN ĐỀ 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ :
1. Tìm các khỏang tăng giảm của hàm số :
a.y = x
4
-6x

2
+ 8x +1. b. y = 2x
3
+ 3x
2
+ 12x -5 c.y = 4x + 1 -
1
1x +
d.y = x +
2
1 x−
e. y =
2
1
1
x
x x
+
− +
2.Chứng minh rằng :
a. y = -x
3
+ 3x
2
-3x +8 luôn luôn giảm.
b. y =
2
1
1
x x

x
− −
−
tăng trên từng khoảng xác định.
c. y =
3
2 2
( 1) ( 1) 5
3
x
m m x x− + − + +
luôn luôn tăng với mọi m khác 1.
3. Định m để :y =
3
2
( 1) ( 1) 5
3
x
m m x x− + + + +
giảm trong khoảng (-
∞
, -1/4) và tăng (-1/4 ,+
∞
).
4. Định m để hàm số y = (m
2
-1)
3
2
( 1) 3 5

3
x
m x x+ + + +
luôn tăng Đs:
1, 2m m≤ − ≥
5.Tùy theo m tìm khoảng tăng giảm của hàm số :
a.y = x
3
– 3mx + 4m
3
(m>0) b. y =
2
1
x m
x
+
+
6.Tìm m để hàm số:
a. y = x
3
– 3(2m+1)x
2
+ (2m+5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2, +
∞
). Đs:m
≤
5/22.
b.y =
2
( 3) (2 1)

2
x
m m x− − +
nghịch biến trong đoạn [-1,1]. Đs:
2
4
3
m− ≤ ≤
.
c. y =
2
2
1
x mx
x
+ −
−
đồng biến trên khoảng (2,+
∞
). Đs: m
≤
1
d. y =
2
6 2
2
mx x
x
+ −
+

nghịch biến trên khoảng (1,+
∞
). Đs:m
≤
-14/5.
e. y =
2
1x mx
x m
+ −
+
đồng biến trên khoảng (1,+
∞
). Đs:-1
≤
m
2