De thi Olimpic toan 11 tham khao

Sở GD&ĐT Bắc Giang Kỳ thi olympic trờng thpt tứ sơn
lần I
Trờng THPT Tứ Sơn
*************
Môn:Toán 11
Năm học 2007-2008
( Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề )

Đề bài
Câu 1: ( 1 điểm )
Cho dãy số
1
*
1
2
2
n n
u
u u n N
+

=


= +


Chứng minh rằng dãy số {u
n
}là dãy số tăng và bị chặn trên.
Tìm

lim
n
n
u

.
Câu 2: ( 1 điểm )
Với mọi n

N
*
, chứng minh rằng: U
n
=
1 1 5 1 5
2 2
5
n n


+


ữ ữ
ữ ữ




N

Câu 3: ( 2 điểm )
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a. Các đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện đồng quy tại
một điểm ( gọi là trọng tâm của tứ diện )
b.Bốn đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện đồng quy
tại trọng tâm của tứ diện.
Câu 4: ( 1 điểm )
Giải phơng trình:
cos 2sin 2 cos3 1 2sin cos 2x x x x x+ = +
.
Câu 5: ( 2 điểm )
a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau.
b. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số mà chữ số đứng sau lớn hơn
chữ số đứng trớc.
Câu 6: ( 1 điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2
1
1
x
y
x x
+
=
+ +
Câu 7: ( 1 điểm )
Tìm
3
2
0

1 2 1 3
lim
x
x x
x

+ +
Câu 8: ( 1 điểm )
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
a ab b b bc c a c+ + + + +

, ,a b c R
.
-Hết-
Họ và tên thí sinhLớp
Đáp án
Nội dung Điểm
Câu 1:
1
*
1
2
2
n n
u
u u n N
+

=

= +


* Chứng minh qui nạp theo n u
n
bị chặn trên bởi 2
* Xét u
n+1
-u
n
=
2
n
u+
-u
n
=
( ) ( )
2
2 1
2
2 2
n n
n n
n n n n
u u
u u
u u u u

+
+
=
+ + + +
>0
*n N
suy ra u
n+1
>u
n
vậy dãy số u
n
tăng và bị chặn trên bởi 2 nên có
giới hạn là a.
*Từ công thức
1
2
n n
u u
+
= +
ta có
2a a= +
=> a=2
0,5
0,25
0.25
Câu 2:
*Ta chứng minh: u
n+2

=u
n+1
+ u
n
*Qui nạp theo n
0,5
0,5
Câu 3:
a. Dễ cm
b* Gọi G là trọng tâm của tứ diện và G
1
là trọng tâm của tam
giác BCD.
Ta có :
1 1 1
0
0
GA GB GC GD
G B G C G D
+ + + =
+ + =
uuur uuur uuur uuur r
uuuur uuuur uuuur r
suy ra
1
3GA GG=
uuur uuuur
Vậy A,G,G
1
thẳng hàng

* Tơng tự các đoạn thẳng nối các đỉnh với trọng tâm các mặt
đối diện cũng đi qua G.
1
0,5
0,5
Câu 4:
*
cos 2sin 2 cos3 1 2sin cos 2x x x x x+ = +
1
C
A
B
D
G1
G
sin 2 (1 sin ) sin (1 sin )
sin 1
sin 0
3
sin
2
x x x x
x
x
x
+ = +


=

=



=


kết luận nghiệm.
Câu 5:
a. 9.
5
9
A
b. Mỗi số lập đợc là 1 tổ hợp chập 6 của 9 chữ số từ 1 đến 9
vậy số các chữ số lập đợc là :
6
9
C
1
1
Câu 6:
Maxy = 1; Min y = -1/3.
1
Câu 7:
3
2
1 2 1 3x x
x
+ +
=

3
2 2
1 2 (1 ) (1 ) 1 3x x x x
x x
+ + + +
+
suy ra ĐS: 1/2
1
Câu 8:
2 2 2 2
a ab b b bc c a c+ + + + +
Đặt
2 2
3
( ; )
2 2
b
u a b u a ab b= + => = + +
r r
2 2
3
( ; )
2 2
b
v c c v b bc c= + => = + +
r r
u v a c =
r r
=>
u v a c =

r r
Ta có:
a-c
2 2 2 2
a c u v u v a ab b b bc c = + = + + + + +
r r r r
(đpcm)
1
-Hết-
A