Hàm số liên tục
I/ Kiến thức cơ bản:
1/ Hàm số liên tục tại một điểm:
Giả sử hàm số f xác định trên (a,b) và
0
x
(a,b).Hàm số f đợc gọi là
liên gọi là liên tục tại điểm x
0
nếu:
o
0
x x
lim f(x) f(x )
=
Hàm số không liên tục tại x
0
đợc gọi là gián đoạn tại x
0
2/Hàm số liên tục trên một khoảng,một đoạn.
+/ Hàm số f xác định trên (a,b) gọi là liên tục trên (a,b),nếu nó liên tục
tại mọi điểm trên (a,b).
+/ Hàm số f xác định trên
[ ]
a,b
gọi là liên tục trên
[ ]
a,b
,nếu nó liên tục
trên (a,b) và
x a
lim f(x) f(a)
+
=
,
x b
lim f(x) f(b)
=
3/ Tính chất
+/ Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên.
Giả sử hàm số f liên tục trên
[ ]
a,b
.Nếu f(a)
f(b),thì với mỗi số thực M
nằm giữa f(a) và f(b),tồn tại ít nhất một điểm c
(a,b) sao cho f(c) = M
+/ Hệ quả : Nếu hàm số f liên tục trên
[ ]
a,b
và f(a)f(b) < 0 thì tồn tại ít
nhất c
(a,b) sao cho f(c) = 0
L u ý :Một số kết quả quan trọng
+/ Tổng,hiệu , tích , thơng của hai hàm số liên tục tại một điểm là những
hàm số liên tục tại điểm đó.(Trong trờng hợp thơng,giá trị của mẫu tại
điểm phải khác 0)
+/ Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ(thơng của 2 đa thức) liên tục
trên TXĐ của chúng
+/ Các hàm số y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx liên tục trên TXĐ
của chúng
II/Kỹ năng cơ bản
+/ Chứng minh hàm số liên tục tại một điểm,trên một khoảng,trên một
đoạn,nửa khoảng.
+/ Vận dụng định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng
minh sự tồn tại nghiệm của một phơng trình
III/Một số ví dụ
A.
Ví dụ 1.Xét tính liên tục của hàm số
2
2
x 4
khi x 2
f(x) =
x 2x
2 khi x 2
=
Tại điểm x=2.
Giải:
+/ TXĐ :
Ă
,chứa điểm x = 2
+/
( ) ( )
( )
2
2
x 2 x 2 x 2 x 2
x 4 x 2 x 2 x 2
limf(x) lim lim lim 2
x x 2 x
x 2x
+ +
= = = =
+/ Mà f(2) = 2
Suy ra,hàm số liên tục tại điểm x = 2
Ví dụ 2.Xét xem các hàm số sau có liên tục trên
Ă
hay không ?
1/ f(x)=
3 2
x 2x 3x 1 + +
2/ f(x) =
2
2x 1
x 3x 2
+
+
3/ f(x) =
2
2
x 5x 6
x 2x
+
4/ f(x) =
2
x 16
nếu x 4
x 4
8 nếu x=4
Gii
1/ Hàm số có TXĐ là :R nên nó liên tục trên R,vì đây là hàm đa thức.
2/ Hàm số có TXĐ là :
{ }
\ 1,2Ă
+/Vậy hàm số liên tục
+/Điểm x=1,x=2 là điểm gián đoạn của hàm số
3/ Hàm số có TXĐ là :R\
{ }
0,2
+/Vậy hàm số liên tục trên R\
{ }
0,2
+/Điểm x=0,x=2 là điểm gián đoạn của hàm số.
4/ TXĐ của hàm số là :
Ă
+
( ) ( )
( )
2
x 4 x 4 x 4 x 4
x 16 x 4 x 4
limf(x) lim lim lim x 4 8
x 4 x 4
+
= = = + =
+/f(4) = 8
Suy ra, hàm số liên tục tại x=4
+/Mặt khác,với
2
x 16
x 4,f(x)
x 4
=
là hàm số liên tục (vì đây là hàm
số
phân thức hữu tỷ,xác định tại mọi x
4
)
+/Vậy hàm số liên tục trên R
Ví dụ 3.Cho các hàm số f(x) cha xác định tại x=0
1/
2
x 2x
f(x)
x
=
2/
2
2
x 2x
f(x)
x
+
=
Có thể cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) trở thành liên tục tại
x = 0
Giải
1/ Đặt
2
x 2x
khi x 0
f(x)
x
a khi x 0
=
=
Ta tìm a để hàm số liên tục tại x=0
+/TXĐ của hàm số :R,chứa x=o
+/f(0) = a
+/
( )
2
x 0 x 0 x 0
x 2x
limf(x) lim lim x 2 2
x
= = =
Vậy để hàm số liên tục tại x=0 ta phải có a=
2
2/ Đặt
2
2
x 2x
khi x 0
f(x)
x
a khi x 0
+
=
=
Ta tìm a để hàm số liên tục tại x=0
+/TXĐ củahàm sô :
Ă
,chứa x=0 +/f(0)=a
+/
2
2
x 0 x 0 x 0
x 2x x 2
limf(x) lim lim
x
x
+ +
= =
Ta có :
x 0
x 0
x 2
lim
x
x 2
lim
x
+
+
= +
+
=
Do đó không tồn tại
x 0
limf(x)
Vậy không có giá trị nào của f(0)=a để hàm số đã cho liên tục tại x=0
Ví dụ 4:Tìm a để hàm số
2
2x khi x 1
f(x)
2ax khi x 1
<
=
liên tục trên R
Giải
+ TXĐ :R
+ Khi x<1 ,f(x)=
2
2x
là hàm số liên tục,vì đây là hàm đa thức.
+ Khi x>1 ,f(x)=
2ax-3
là hàm số liên tục,vì đây là hàm đa thức.
+ Để hàm số liên tục trên R thìhàm số phải kiên tục tại x=1
+ Ta có f(1) = 2a-3
( )
x 1 x 1
2
x 1 x 1
lim f(x) lim 2ax 3 2a 3
lim f(x) lim 2x 2
+ +
= =
= =
Hàm số liên tục tại x=1
5
2a 3 2 a
2
= =
Vậy với
5
a
2
=
thì hàm số liên tục trên R
Ví dụ 5.Chứng minh phơng trình
1/
2
3x 2x 2 0 cónghiệm+ =
2/
( )
4 2
4x 2x x 3 0 cóít nhất hai nghiệm phân biệt trên -1,1+ =
Gii
1/ Hàm số
2
fx) 3x 2x 2= +
là hàm số liên tục trên R
+ Mặt khác
f(0) 2
f(1) 3
=
=
f(0).f(1) 0 <
Vậy phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1)
2/ Hàm số
4 2
fx) 4x 2x x 3= +
là hàm số liên tục trên R
+/ Mặt khác :
f( 1).f(0) = 4.( 3) = 12<0
( )
1 1
x 1,0 ,f(x ) 0 =
f(0).f(1) = ( 3).2 = 6<0
( )
( )
2 2
x 0;1 :f x 0 <
+/Vậy phơng trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong (-1;1).
Ví dụ 6.Chứng minh rằng phơng trình
3
x 3x 1 0 + =
có 3 nghiệm phân biệt.
Giải :
+/ Hàm số
3
f(x) = x 3x 1 +
liên tục trên
Ă
+/Ta có
f( 2)= 1, f( 1) = 3, f(1) = 1,f(2) = 3
+/Chứng tỏ tồn tại
( ) ( ) ( )
1 2 3
x 2;1 ,x 1;1 ,x 1;2
cho
1 2 3
f(x ) f(x ) f(x ) 0= = =
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 7.Chứng minh phơng trình
3
x mx 1 0+ =
luôn có một nghiệm dơng
m
Giải:
+/Hàm số f(x)=
3
x mx 1+
liên tục trên
Ă
+/Ta có
( )
f 0 1=
,
x
lim f(x)
+
= +
0
x 0 >
sao cho
( )
0
f x 0>
+/Vì f(x) liên tục trên
Ă
,
( )
( ) ( )
( )
0 0
f 0 .f x 0 c 0;x : f c 0< =
+/ Vậy phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm dơng
B.Bài tập trăc nghiệm.
Chọn những đáp án đúng cho những ví dụ sau
Vý dụ 8.Hàm số f(x) =
2
x 1
x 4
+
có các điểm gián đoạn là:
A.x=
1 và x=2 B.x=
2 và x=2 C.x=1 và x=2 D.x=1 và x=
2
Ví dụ 9.Hàm số f(x) =
x 1+
A.Liên tục trên
Ă
B.Liên tục trên
( )
; 1
C.Liên tục trên
( ;1]
D.Liên tục trên
[1; )+
Ví dụ10.Hàm số f(x)=
2
x khi x 1
2ax -3 khi x 1
<
liên tục trên
Ă
.Khi đó a bằng
A.2 B.1 C.0 D 1
Ví dụ 11.Để hàm số f(x) =
2
x x
x
+
xác định và liên tục tại x=0,cần phải
cho f(0) giá trị là:
A.3 B.2 C.1 D.0
Ví dụ 12.Để hàm số :
F(x)=
2
x 6x 8 khi x 2
a khi x 2
+
=
liên tục trên ,giá trị của a là
A 2 B 3 C.2 D.3
Ví dụ 13.Mệnh đề nào sau đây sai
A.Hàm số y=
3
x
liên tục trên
Ă
B.Hàm số y=
2
sinx+x
liên tục trên
Ă
C.Hàm số y=tgx liên tục trên (0,
p
).
D.Hàm số y=
1
x
liên tục trên
( )
0,+
Ví dụ 14.Hàm số f(x)=
3
1 x 1
khi x 0
x
m khi x 0
+
=
liên tục tai x=0
Giá trị của m bằng:
A.m=
1
3
B.
1
3
C.0 D.1
Đáp án
VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14
B D A C A C A
IV.Bi tp
A.Bài tập tự luận
Bài 1.Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1/
3 2
y x 5x 4x 1= + +
2/
2
2
2x 3x 5
y
x 1
+
=
3/
2
x 1
y
x 4
+
=
+
4/
2
x 1
y
2sinx
+
=
Hớng dẫn
1/TXĐ của hàm số là
Ă
,nên hàm số liên tục trên
Ă
2/ TXĐ của hàm số là
{ }
\ 1
Ă
hàm số liên tục trên
{ }
\ 1
Ă
.
3/TXĐ của hàm số là
Ă
,nên hàm số liên tục trên
Ă
4/ TXĐ của hàm số là
{ }
\ k ,kp Ă Â
hàm số liên tục trên
{ }
\ k ,kp Ă Â
.
Bài 2.Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra.
1/ f(x)=
2
x 4 khi x 2
2x 1 khi x 2
+ <
+
tại x= 1
2/ f(x)=
x 1
khi x 1
2 x 1
2x khi x 1
<
tại x=1
3/ f(x)=
2
3x với x<0
1 x với x 0
+
tại x=0
4/ f(x)=
2
x 9
khi x 3
x 3
6 khi x 3
=
tại x=3
Hớng dẫn
1/ +/ TXĐ:
,chứa x = 2 .Ă
( ) ( )
( )
( )
x 2 x 2
2
x 2 x 2
+/ lim f x lim 2x 1 5
lim f x lim x 4 8
Hàm số đã cho gián đoạn tại x=3 .
+ +
= + =
= + =
2/ +/ TXĐ:
,chứa x = 1 .Ă
( ) ( )
( )
( )
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
+/ lim f x lim 2x 2
x 1
lim f x lim
2 x 1
lim 2 x 1
2
Hàm số đã choliên tục tại x=1 .
+ +
= =
=
= +
=
3/ +/TXĐ:
,chứa x = 0 .Ă
( )
( )
( )
( )
x 0
x 0
2
x 0 x 0
+/ lim f x lim 1 x 1
lim f x lim 3x 0
Hàm số đã cho liên tục tại x=3 .
+
= + =
= =
4/ +/ TXĐ:
Ă
chứa x= 3 .
+/
( ) ( )
2
x 3 x 3 x 3
x 9
limf x lim lim x 3 6
x 3
= = + =
+/
( )
f 3 6=
+/ Vậy hàm số liên tục tại x=3
Bài 4: Tìm a,b để các hàm số sau liên tục trên
Ă
.
( )
( )
( )
( )
2
2
2
3
x 1 khix 2
1/ f x
7 ax khix 2
x 4x 4 khix 3
2 / f x
ax b khix 3 .
5ax b khix 1
3/ f x 2a b 3 khi x 1
x ax b khix 1
x 8
khix 8
4 / f x
x 2
ax 4 khi x 8 .
+ ≤
=
− >
− + ≤
=
+ >
+ >
= − + =
− + <
−
<
=
−
+ ≥
HD:
1/ +/ TX§:
¡
+/ Hµm sè liªn tôc khi x>2 vµ khi x<2 .
+/ Hµm sè liªn tôc trªn
¡
⇔
Hµm sè liªn tôc t¹i x=2.
( )
( )
( ) ( )
( )
2
x 2 x 2
x 2 x 2
+/ lim f x lim 7 ax 7 4a
lim f x lim x 1 3
f 2 3
+ +
− −
→ →
→ →
= − = −
= + =
=
+/ Ta ph¶i cã
7 4a 3 a 1.− = ⇔ =
+/ VËy gi¸ trÞ ph¶i t×m lµ a=1.
2/ +/ TX§:
¡
+/ Hµm sè liªn tôc khi x>3 vµ khi x<3.
+/ Hµm sè liªn tôc trªn
¡
⇔
Hµm sè liªn tôc t¹i x=3.
( ) ( )
( )
( )
( )
x 3 x 3
2
x 3 x 3
/ lim f x lim ax b 3a b
lim f x lim x 4x 4 1
f 3 1
+ +
− −
→ →
→ →
+ = + = +
= − + =
=
+/ Ta ph¶i cã
3a 1 4+ =
.
+/ VËy gi¸ trÞ ph¶i t×m lµ
a
b 1 3a.
∈
= −
¡
3/ +/ TX§:
¡
+/ Hµm sè liªn tôc trªn
¡
⇔
Hµm sè liªn tôc t¹i x=1.
( ) ( )
( )
( )
( )
x 1 x 1
2
x 1 x 1
/ lim f x lim 5ax b 5a b
lim f x lim x ax 2b 1 a 2b
f 1 2a b 3.
+ +
+ = + = +
= + = +
= +
+/ Ta phải có
1
5a b 1 a 2b
a
3
2a b 3 1 a 2b
b 1
+ = +
=
+ = +
=
+/ Vậy giá trị phải tìm là
1
a
3
b 1.
=
=
4/ +/ TXĐ:
Ă
+/ Hàm số liên tục trên
Ă
Hàm số liên tục tại x=8.
( ) ( )
( )
( )
x 8 x 8
3
x 8 x 8
/ lim f x lim ax 4 8a 4
x 8
lim f x lim 12
x 2
f 8 8a 4.
+ +
+ = + = +
= =
ữ
= +
+/ Ta phải có
8a 4 12 a 1+ = =
+/ Vậy a=1 là giá trị phải tìm.
Bài 4:Chứng minh rằng phơng trình
3
2x 6x 1 0 + =
có ba nghiệm phân
biệt trong khoảng
( )
2;2
.
HD:
+/ Hàm số
( )
3
f x 2x 6x 1= +
liên tục trên
Ă
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
/ f 2 .f 0 0,f 0 .f 1 0,f 1 .f 2 0.+ < < <
+/ Phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt trong khoảng
( )
2;2
.
Bài 5: CMR các phơng trình sau có nghiệm.
5 4 3
1/ sinx x 1 0
2 / x ax bx cx d 0.
+ =
+ + + + =
HD:
1/ +/Hàm số
( )
f x sinx x 1 liên tục trên .= + Ă
+/Ta có
( )
3 3
f 0 .f 1. 0 đpcm
2 2
p p
= <
ữ ữ
.
2/ +/Hàm số
( )
5 4 3
f x x ax bx cx d liên tục trên .= + + + + Ă
+/Do
( )
( )
1 1
x
lim f x + nên tồn tại x 1, đủ lớn sao cho f x 0.
= < >
( )
( )
2 2 2
x
lim f x nên tồn tại x 0, x đủ lớn sao cho f x 0.
= < >
Nh vậy
( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
f x .f x 0 c x ;x : f c 0< =
tức là phơng trình đã
cho luôn có nghiệm.
Bài 6: CMR nếu
2a 3b 6c 0+ + =
thì phơng trình
2
a tan x btanx c 0+ + =
Có ít nhất một nghiệm trong khoảng
k ; k
4
p
p p
+
ữ
.
HD:
+/ Đặt t=tanx,
x k ; k
4
p
p p
+
ữ
k Â
.
+/ Ta có pt
+/ Để pt đã cho có nghiệm trên khoảng
k ; k
4
p
p p
+
ữ
,pt
( )
2
phải có
nghiệm thuộc khoảng
( )
0;1
.
+/ Nếu
a 0
ta có :
( )
2 4a 2b
f 0 c,f c
3 9 3
= = + +
ữ
.
( ) ( )
[ ]
2
2 c c
f 0 .f 2 2a 3b 6c 3c
3 9 3
= + + =
ữ
.
+/ Nếu
c 0
thì
( )
2
f 0 .f 0 đpcm
3
<
ữ
.
+/ Nếu c=0 khi đó
( )
1 2
b
2 có nghiệm t 0,t
a
= =
.
Từ giả thiết
b 2
2a 3b 6c 0 .
a 3
+ + = =
( )
2
Vậy t= 0;1 đpcm.
3
+/ Nếu a=0 ta có
( )
( )
bt c 0 3
3b 6c 0 4
+ =
+
Nếu b=c=0
( )
( )
pt 2 nghiệm đúng t đúng t 0;1 đpcm.
Nếu
b 0
thì ta có
( )
c 1
t 0;1 đpcm
b 2
= =
.
Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm trên
k ; k
4
p
p p
+
ữ
,
k Â
.
Bài 7: CMR phơng trình sau có nghiệm
m.
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 7 5
4 3
1/ cosx mcos2x 0
2 / m m 5 x x 1 0
3/ m x 1 x 2 x 1 x 3 0.
+ =
+ + + =
+ =
HD:
1/ +/Hàm số
cosx mcos2x+
liên tục trên
Ă
,
m.
2
+/Ta có f cos mcos
4 4 2 2
3 3 3 2
f cos mcos
4 4 2 2
p p p
p p p
= + =
ữ
= + =
ữ
3 1
f f 0 m.
4 4 2
p p
ì = <
ữ ữ
Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm trên
3
;
4 4
p p
ữ
.
2/ +/Hàm số
( )
( )
2 7 5
f x m m 5 x x 1= + + +
liên tục trên
Ă
m.
.
+/ Ta có
( )
f 0 1=
( )
2
f 1 m m 5= + +
.
( ) ( )
( )
2
f 0 .f 1 m m 5 0 m . = + + < Ă
Do đó phơng trình đã cho luôn có nghiệm trên
( )
0;1
.
3/ +/Hàm số
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 3
f x m x 1 x 2 x 1 x 3= +
liên tục trên
Ă
.
+/Ta có
( )
f 1 16m=
( )
f 3 81m=
( ) ( )
2
f 1 .f 3 16.81m =
Nếu m=0 thì phơng trình đã cho có nghiệm x=1,x=3.
Nếu m
0
thì
( ) ( )
f 1 .f 3 0<
pt đã cho có nghiệm trên
( )
1;3
.
Vậy ta luôn có pt đã cho có nghiệm
m.
B.Bài tập trắc nghiệm.
Bài 8: Hàm số
( )
2
x 1
f x
x 2x
+
=
có các điểm gián đoạn là :
A.x=1và x=0 B.x=0 và x=2
C.x=
1 D.x=
1 và x=
2
Bài 9: Hàm số nào sau đây liên tục trên
Ă
.
A.y=
2
2
x 1
x 2x 1
+ +
C.y=
2
x 3x 2
x
+
B.y=xsinx D.y=
x 1
cosx
+
Bài 10:Cho hàm số
( )
x 2 x 2
f x
x
+
=
,x
0.Bổ xung giá trị
( )
f 0
bằng bao nhiêu để hàm số liên tục trên
Ă
.
A.0 B.1 C.
1
2
D.
1
2 2
Bài 11: Cho hàm số
( )
2
x x 2
khi x 2
f x
x 2
a khi x 2
=
=
Liên tục tại x=1. Giá trị của a là:
A.3 B.2 C.1 D.0
Bài 12: Phơng trình
5
x 3x 7 0 =
có nghiệm trên
A.
( )
1;0
D.
( )
3;4
B.
( )
0;2
C.
( )
2;3
Bài 13 : Hàm số
( )
2
x x 1 khi x 1
f x
ax 2 khi x 1
+ <
=
+
liên tục trên
Ă
,khi đó giá
trị a là:
A.2 B.
2 C.
1 D.1
Bài 14: Hàm số
( )
2
ax 2x 1 khi x 0
f x
acosx bsinx khix 0
+ +
=
+ <
liên tục trên
Ă
khi đó
( ) ( )
f 1 f p+
bằng
A.0 B.1 C.2 D.3
Bài 15: : Cho hàm số
( )
2
ax khi x 2
f x
2x 1 khi x 2
=
>
Liên tục tại x=2. Giá trị của a là:
A.
1
4
B.
1
2
C.
3
4
D.1
Bµi 16: Hµm sè
( )
4
2
x x
khi x 0,x 1
x x
f x 3 khi x 1
1 khi x 0
+
≠ ≠
+
= = −
=
Khi ®ã :
A.Hµm sè liªn tôc t¹i mäi ®iÓm trõ ®äan
[ ]
1;0−
B. Hµm sè liªn tôc trªn
¡
.
C.Hµm sè liªn tôc trªn
¡
\{1}.
D.Hµm sè liªn tôc trªn
¡
\{0}.
§¸p ¸n:
B.8 B.9 B.10 B11
B B C A
B12 B13 B14 B15 B16
B C D C B