Giao an phu dao hinh giải tích trong không gian

§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
I> Lý thuyết .
1) Hệ trục tọa độ trong khơng gian: Một hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đơi một vng góc được gọi là hệ
trục tọa độ vng góc trong khơng gian.
2) Tọa độ của véc tơ:
.kz jy i x u z) y, (x,u z) y, (x, u ++=⇔⇔=
Tính chất: Cho các véc tơ
)z ,y ,(x u ),z ,y ,(x u
22221111
==
và số k tùy ý, ta có:
);z z ;y y ; x (x u u )2 ;z z ,y y , x x u u )1
21212121
0
21212121
0
±±±=±===⇔=
;z y x u )5 ;zz yy x x uu )4 );kz ;ky ;(kx uk )3
2
1
2
1
2
11
0
21212121
0
1111
0
++=++==
( )

0. zz yy x x 0 u .u u u )7 ;
z y x.z y x
zz yy xx
u ,ucos )6
2121212121
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
0
=++⇔=⇔⊥
++++
++
=
3) Tọa độ của điểm:
z). y, (x, OM z) y, (x, M =⇔=
4) Liên hệ giữa tọa độ của véc tơ và tọa độ của hai điẻm mút:
A(x
A

, y
A
, z
A
), B(x
B
, y
B
, z
B
) thì
.)z - z( )y - (y ) x- (x AB )2 );z - z ,y - y , x- (x AB )1
2
AB
2
AB
2
AB
0
ABABAB
0
++==
5) Tích có hướng của hai véc tơ: Tích có hướng của hai véc tơ
)c' ,b' ,(a'v vàc) b, (a, u
là một véc tơ, ký
hiệu là
[ ]









=
b' s'
b a
;
a' c'
a c
;
c' b'
c b
v ,u
. Tích có hướng có những tính chất và ứng dụng sau:
[ ] [ ] [ ]
( )
[ ]
;v // u 0 v ,u )3 ;v ,usin.v.u v ,u )2 0; v.v ,u u.v ,u )1
000
⇔====
w ,v ,u )4
0
đồng phẳng ⇔
[ ] [ ] [ ]
.AD.AC ,AB
6
1
V )6 ;AC ,AB

2
1
S )5 0; w.v ,u
ABCD
0
ABC
0
===
∆
6) Phương trình mặt cầu tâm I(x
0
; y
0
; z
0
) bán kính R là: (x – x
0
)
2
+ (y – y
0
)
2
+ (z – z
0
)
2
= R
2
.

Ngược lại, pt x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là pt của mặt cầu tâm I(- a; - b; - c) bán kính
d - c b a R
222
++=
nếu
d - c b a
222
++
> 0
II> Bài tập áp dụng.
VD1: Trong kg với hệ tọa độ oxyz cho tgABC với A(1;0;1) ,B(-1;1;2) , C(-1;1;0)
a) Tính độ dài AB và AC
b) Xác đònh góc BAC và góc giữa hai đ/t AB và AC
Giải: Ta có
AB
= (-2;1;1) ,
AC
= (-2;1;-1)
a) AB =
6
AC =
6
b)Gọi
Ψ

là góc giữa hai véc tơ
AB
&
AC
. Ta có cosA = cos
Ψ
= 2/3

⇒
Ψ
nhọn , vậy
Ψ
là góc giữa hai đ/t AB và AC .
Ví dụ 2 :Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1,0,1) , B(-1,1,2) , C(-1,1,0) vàD(2,-1,-2)
a)Chứng minh 4 điểm A,B,C,D là 4 đỉnh một tứ diện.
b) Tính đường cao DK của tam giác BCD.
c)Tính góc CBD và góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.
d)Tính thể tích của tứ diện ABCD và tính đường cao AH của tứ diện ABCD.
Hướng dẫn giải :
a/Chứng minh các véctơ AB, AC, AD không đồng phẳng
Ta có :
02., ≠−=






ADACAB

⇒
đpcm
b) Ta có S = ½ BC.DK
⇒
DK = 2S/BC
Mà S =






DKBC,
2
1
=
13
, BC = 2 . Vậy : DK =
13
c/Góc BCD = (CB,CD) =
29
4
.Góc giữa AB và CD là
ϕ
thì cos
ϕ
= |cos(AB,CD)|=
102
10
d) Ta có thể tích tứ diện ABCD = 1/6 thể tích hh có ba cạnh xuất phát từ A là AB,AC,AD

Vậy : V
ABCD
= 1/3
Ta có AH =
13
13
3
=
S
V
ABCD
III>Bài Tập tự làm.
1. Cho ba véc tơ
5) 5; (-2; a 3),- 2; (2; b 3), 0; (-1; a ===
Tìm tọa độ của véc tơ
x
biết:
.c
3
2
b - a x d) ;c3 - b
3
1
- a5 x c) ;c
3
2
- b3 a
2
1
- x b) ;c2 - b a x )a

+==+=+=
.0 c
3
2
- b x
3
1
- a3 h) ;0 c2 b3 - x
3
1
a
2
1
g) ;0 c3 b2 x5 a2 - f) ;0 c2 - b - x3 a )e
=+=++=+++=+
2. Bộ ba điểm A, B, C nào sau đây thẳng hàng:
a) A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1); b) A(1; 1; 1), B(-4; 3; 1), C(-9; 5; 1);
c) A(0; -2; 5), B(3; 4; 4), C(2; 2; 1); d) A(1; -1; 5), B(0; -1; 6), C(3; -1; 5);
e) A(1; 2; 4), B(2; 5; 0), C(0; 1; 5); f) A(1; 1; 1), B(0; -1; 0), C(3; 5; 3);
3. Cho điểm M(x; y; z). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ.
b) Trên các trục tọa độ.
4. Cho điểm M(x; y; z). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua:
a) Gốc tọa độ; b) mp(Oxy; c) Trục Oy.
5. a) 3 điểm A(-1; 6; -5), B(7; 3; 4), C(x; y; 8). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng.
b) Cho A(-1; 2; 4), B(2; -5; -7). Tìm M ∈ mp(Oxy) để MA + MB nhỏ nhất.
c) Cho A(-1; 3; 4), B(2; -5; 11). Tìm M ∈ mp(Oxy) để MA + MB nhỏ nhất.
6. a) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1, 0, 1), B(2, 1, 2), D(1, -1, 1), C’(4, 5, -5). Tìm tọa độ
của các đỉnh còn lại.
b) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(x

1
, y
1
, z
1
), C(x
3
, y
3
, z
3
), B’(x’
2
, y’
2
, z’
2
), D’(x’
4
, y’
4
,
z’
4
). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.
7. CMR: A(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) là các đỉnh của một hình chữ nhật. Tính độ dài các
đường chéo, tọa độ tâm và góc giữa hai véc tơ
.BD vàAC
8. CMR: (1; 1; 1), (2; 3; 4), (6; 5; 2), (7; 7; 5) là các đỉnh của một hình bình hành. Tính độ dài các đường
chéo và diện tích của hình bình hành đó.

9. Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm M. Điểm M chia đoạn AB theo tỷ
số nào? Tìm tọa độ của điểm M.
10. Cho ba véc tơ
1) 2; (3; c 1),- 0; (4; b 1), 1;- (1; a ===
Tính:
( ) ( ) ( )
.c5 - b ca4 e) ;bc bba2 - a3 d) ;ac cb ba c) ;cba b) ;cba )a
2222222
++++
11. Tính góc giữa hai véc tơ
b vàa
trong mỗi trường hợp sau:
3) 2;- (1; b 1),- 3;- (4; a )c 3);- 0; (6; b 4), 5; (2; a )b 3); 2; (-1; b 1), 3; (4; a )a
======
12. a) Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm A = (3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
b) Trên mp(Oxz), tìm điểm cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).
13. Tính tích có hướng
[ ]
.v ,u
. Biết rằng:
( ) ( )
;3- 1;- 3; v ,1- 1; 1; u )a ==
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.0 4; 4; v ,1 1;- 1; u )d ;2 1; 4; v ,1 1; 0; u )c ;3 0; 3;- v ,1- 1;- 0; u )b ======
14. Tính
[ ]
.w. v ,u
Biết rằng:
( ) ( )
1); 3; (0; w ,3 1; 4; v ,1- 1;- 1; u )a ===

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.3 1;- 4;- w ,4 0; 4;- v ,1- 1; 2;- u )c ;1- 1; 2;- w ,3- 1; 3; v ,2- 1;- 0; u )b
======
15. Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ
c vàb ,a
trong mỗi trường hợp sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
;1 2; 1; c ,2 1;- 2; b ,4 3; 4; a )b ;3 2; 4; c ,2 1; 0; b ,1 1;- 1; a )a
======
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
;1 2; 2;- c ,1 1; 1; b ,2- 1; 3;- a )d ;1 0; 2; c ,3 1; 3; b ,5 2; 4; a )c
======
16. Cho ba điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 0; 1), C = (2; 1; 1).
a) CMR: ∃ ∆ABC; b) Tính chu vi và diện tích ∆ABC;
c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành;
d) Tính độ dài đường cao AH và các góc của ∆ABC.
e) Tính độ dài đường phân giác trong của góc B.
17. Cho bốn điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 1; 0), C = (0; 0; 1), D = (-2; 1; -1).
a) ∃ tứ diện ABCD; b) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối;
c) Tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
18. Hãy chứng minh các tính chất sau đây của tích có hướng của hai véc tơ:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
;bk ,a b ,ak b ,ka c) ;0 a ,a b) ;a ,b - b ,a a) ====
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )
.b.a b.a b ,a f) ;c.b ,a c ,b.a e) ;b ,c a ,c b a ,c d)
2
222
−==+=+
19. Tứ diện ABCD có A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D thuộc trục Oy. Biết V

ABCD
= 5. Tìm tọa độ
đỉnh D.
20. Cho 4 điểm A(2; -1; 6), B(-3; -1; -4), C(5; -1; 0), D(1; 2; 1).
a) CMR: ∆ABC vng và tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.
b) CMR: ∃ tứ diện ABCD và tính thể tích của tứ diện.
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
21. Cho hình lậpphương ABCD cạnh a. M, N là trung điểm của AD, BB’.
a) CMR: A’C ⊥ (AB’D’) và A’C ⊥ MN.
b) Tính
( )
.V và'AC ,MNcos
CMNA'
22. Tứ diện ABCD có SC = CA = AB =
,2a
SC ⊥ (ABC), ∆ABC vng tại A. Các điêm M ∈ SA, N ∈
BCAM = CN = t (0 < t < 2a).
a) Tính độ dài MN và tìm t để MN ngắn nhất.
b) Khi MN ngắn nhất, CMR: MN là đường vng góc chung của BC và SA.

$2 :PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu
* Giả Sử mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R>0
Điểm M(x;y;z) ∈ (S) ⇔ IM
2
= R
2
⇔ (x – a)
2
+ (y – b)

2
+ (z – c)
2
= R
2
(1)
Phương trình (1) gọi là phương trình mặt cầu
Đặc biệt khi I ≡ O (góc tọa độ)
Phương trình (1) trở thành :
x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2

* Ngược lại phương trình dạng :
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (2)
y
I(a;b;c)
z
(x;y;z)

M
R
x
o
với A
2
+B
2
+C-D>0
là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) và bán kính R=
2 2 2
A B C D+ + −
2. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mp (
α
) và mặt cầu (s) có phương trình :
(
α
) : Ax+By+Cz+D=0 (S) : (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
= R
2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I (a,b,c) của (S) trên mp
α
⇒ IH = d(I,(

α
))
Ta xét các trường hợp :
a) Nếu IH<R : thì giao của (
α
)
∩
(S) là một đưong tròn tâm H và có bk r =
22
− IHR
; xác đònh bởi
hệ pt :



=−+−+−
0=+++
2222
R)cz()by()ax(
DCzByAx
với đk : d(I, (
α
)) <R
b) Nếu IH = R thì (
α
)
∩
(S)=
φ
*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:

+ bán kính
),(
22
α
IdRr
−=
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp(α))
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(α) : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu






+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
d
3o
2o
1o

:
(1) và
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp( α )
222

)(

CBA
D
I
zC
I
yB
S
++
+++
==
I
A.x
)d(I, R
I tâmcầu mặt Pt
α
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2)
0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
A,B,C,D ∈ mc(S)
⇒
hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I
€ (α)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
(2)

 A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2).
 I(a,b,c)∈ (α): thế a,b,c vào pt (α).
 Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d.
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A.
Tiếp diện (
α
) của mc(S) tại A : (
α
) qua A,
→
= IA n vtpt

3 .Bài t ập áp dụng.
Ví dụ1 : Lập pt mặt cầu tâm I(-2,1,1) và tiếp xúc với mp (
α
) có phương trình : x+2y-2z+5=0
Giải :Bán kính R của mặt cầu : R =
1=
2−+2+1
5+12−12+2−
222
)(
)()()(

Phương trình mặt cầu cần tìm : (x + 2)
2
+ (y - 1)
2
+ (z - 1)
2

= 1
Trong kg (Oxyz) cho mặt cầu (S) & mp (
α
) có pt
Ví dụ2 : (S) : x
2
+y
2
+z
2
-6x-2y+4z+5=0 (
α
) : 2x+y-2z-8=0
a. Tìm tâm và bán kính mặt cầu (S).
b. Viết pt tiếp diện mặt cầu (S) tại M(4;3;0)
c. C/m (
α
) cắt (S). Viết phương trình đường tròn giao tuyến. Tìm tâm & bán kính đường tròn giao
tuyến
Giải :
a. Đưa về phương trình : (x-3)
2
+(y-1)
2
+(z+2)
2
=9 ⇒ Tâm I (3;1;-2) ; bk R=3
b. M
0
∈ (S) ;

0
IM
= (1;2;2). Phương trình tiếp diện : x+2y+2z-10=0
c/ d(I;(
α
) =1<R=3 ⇒ (
α
) cắt (S) phương trình đường tròn giao tuyến



9=2++1−+3−
0=8−2−+2
222
)z()y()x(
zyx

* Đường thẳng
∆
∋
I,
∆
⊥
α
có pt tham số ;






2−2−=
+1=
2+3=
tz
ty
tx
; (t ∈ R tham là số) tham số giao điểm
∆
và (
α
) : t=
3
1
−
toạ độ tâm đường tròn ; H






3
4
−
3
2
3
7
;;
.BK: r =

22
− IHR
= 2
2
Ví d ụ 3: Lập pt mặt cầu tâm I(2;3;-1) và cắt đt (d)là giao tuyến của hai mp : 5x–4y+3z+20=0 và 3x –
4y + z –8 = 0 tại hai điểm A và B sao cho AB=16
Giải: Gọi H làhình chiếu vuông góc của I/AB → H là trung điểm AB
Từ đó R
2
= IA
2
= IH
2
+ AH
2
= IH
2
+
4
2
AB
Gọi (P) là mp qua I & vuông góc với (d) (nhận vtcp của (d) là
a
=(2,1,-2) làm 1 vtpt) có phương trình :
2x+y-2z-9=0 . Ta có H là giao điểm của d và (P) ⇒ H (-3,-7,-11) ⇒ IH =15 suy ra R
2
=289.
Vậy phương trình mặt cầu lập là :(x-2)
2
+ (y - 3)

2
+ (z + 1)
2
= 289
4) Bài t ập về nhà.
Bài 1:
Xác định tọa độ của tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
1.
0128
222
=++−++
yxzyx
2.
04284
222
=−−++++
zyxzyx
3.
07524
222
=−−++−−− zyxzyx
4.
03936333
222
=+−+−++ zyxzyx
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu:
1.Tâm I(2;1;-1), bán kính R = 4. 2.Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
3.Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
4.i qua bn im (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1)
5.i qua im A(1;3;0) ,B(1;1;0) v tõm I thuc 0x.

Bi 3.
1.Vit phng trỡnh mt cu (S) tõm I bỏn kớnh R cho trong cỏc trng hp sau:
a) I(1; 0; -1), 2R = 8; b) 2R = AB vi A(-1; 2; 1), B(0; 2; 3);
c) I O v tip xỳc vi S
1
(I
1
, r). Vi I
1
(3; -2; 4), r = 1;
d) I(3; -2; 4) v i qua A(7; 2; 1); e) I(2; -1; 3) v tip xỳc mp(Oxy);
f) I(2; -1; 3) v tip xỳc mp(Oxz); g) I(2; -1; 3) v tip xỳc mp(Oyz).
2. Phng trỡnh no sau õy l phng trỡnh ca mt cu m ta phi tỡm I v R.
a) x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 6y - 8z + 1 = 0; b) x
2
+ y
2
+ z
2
+ 10x + 4y + 2z + 30 = 0;
c) x
2
+ y
2

+ z
2
- y = 0; d) 2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
- 2x - 3y + 5z - 2 = 0;
e) x
2
+ y
2
+ z
2
- 3x + 4y - 8z + 25 = 0; f) 2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
- 3x + 4y - 2z - 4 = 0;
3. Vit phng trỡnh mt cu trong mi trng hp sau:
a) i qua A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) v cú tõm thuc mp(Oxy);
b) i qua A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) v cú tõm thuc trc Oz;
c) i qua 4 im A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1).
4. Cho 6 im A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), A(a; 0; 0), B(0; b; 0),
C(0; 0; c) vi aa = bb = cc 0; a a, b b, c c.
a) CMR: cú mt mt cu i qua 6 im núi trờn;
b) CMR: .thng i qua gc O v trng tõm ABC vuụng gúc vi mp(ABC).

5. a) Tỡm tp hp tõm cỏc mt cu i qua im A(a; b; c) cho trc v cú bỏn kớnh R khụng i.
b) Cho 4 im A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Tỡm tp hp cỏc im M trong khụng
gian sao cho
4. MD MC MB MA =+++
c) Cho 3 im A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Tỡm tp hp cỏc im M trong khụng gian sao cho
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= MO
2
(O l gc ta ).
Bài 4 : Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
04624:
2222
=++++ mmzmymxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định.
Bài 5 : Cho họ mặt cong (S

m
) có phơng trình:
( )
05824:
22222
=+++ mymmxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) Tìm quĩ tích tâm của họ (S
m
) khi m thay đổi.
c) Tìm điểm cố định M mà (S
m
) luôn đi qua.
Bài 6 : Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
03cos2sin2:
222
=++ mymxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S

m
) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.
c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m

0) ,cắt (C) tại T, S , đờng
thẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi .
Bài 7 : Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4.
b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x.
d) Hai đầu đờng kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Bài 8. Tỡm tõm v bỏn kớnh ca cỏc ng trũn sau:
.
0 1 z 2y 2x
0 24 6z -4y 12x - z y x
a) ;
0 1 2z -2y x
0 10 2z -2y 6x - z y x
a)
222222



=+++
=++++



=++
=++++

Bài 9. Lp phng trỡnh tip din () ca mt cu (S): (x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= R
2
bit () song song
vi mt phng (): Ax + By + Cz + D = 0.
Bµi 10 b) Viết p.trình mặt cầu tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mp x + 2y – 2z + 5 = 0.
c) Cho bốn điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A,
tiếp xúc với mp(BCD).
d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và có tâm I nằm trên
mp(α): x + y + z – 3 = 0.
§3PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG.
HĐ 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp
α
:
n

≠
0

là véctơ pháp tuyến của α
⇔

n


⊥ α
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp
α
:
a


b

là cặp vtcp của α
⇔
a

,
b

cùng // α
3 Quan hệ giữa vtpt
n

và cặp vtcp
a

,
b

:
n

= [

a

,
b

]
4. Pt mp
α
qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n

= (A;B;C)
A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n

= (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

1
c
z
b
y
a
x
=++
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Vò trí tương đối của hai mp (α
1
) và (α
2
) :
°
222111
C:B:AC:B:Acắt
≠⇔βα
°
2
1
2
1
2
1
2
1
//
D

D
C
C
B
B
A
A
≠==⇔
βα
°
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
===⇔≡
βα
ª
0

212121
=++⇔⊥
CCBBAA
βα
9.KC từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0

222
ooo
CBA
D Cz By Ax
++
+++
=
)d(M,
α
10.Góc gi ữa hai mặt phẳng:
21
21
.
.
nn
nn



=
),cos(
βα
HĐ 2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
°
]
)(
→→
=
AC , AB[nvtpt
qua

ChayBhayA
α
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°
→
=
AB vtpt
AB điểm trungMqua
n

α
Dạng 3: Mặt phẳng (
α
) qua M và
⊥

d (hoặc AB)
°
) (AB
n
→
⊥
=
d
a vtpt nên (d) Vì
Mqua

α
α
//
Dạng 4: Mp
α
qua M và // (
β
): Ax + By + Cz + D = 0
°
βα
βα
α
n n vtpt nên // Vì
M qua

=
Dạng 5: Mp(
α
) chứa (d) và song song (d

/
)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
 Mp(α) chứa (d) nên
α
aa
d
=
Mp(α) song song (d
/
) nên
α
ba
d
=
/
■ Vtpt
[ ]
/
,
d
d
aan =
Dạng 6 Mp(
α
) qua M,N và
⊥

β
:

■ Mp (α) qua M,N nên
α
aMN =
■ Mp (α) ⊥ mp (β) nên
αβ
bn =
°
],[
β
α
n nvtpt
N) (hayM qua

→
=
MN
Dạng 7 Mp(
α
) chứa (d) và đi qua M
■ Mp(
α
) chứa d nên
α
aa
d
=
■ Mp(
α
) đi qua
)(dM ∈

và A nên
α
bAM =
°
],[ AM nvtpt
A qua
→
=
d
a

α

HĐ 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Ví d ụ 1 .
Viết PT mp(
α
)đi qua điểm P(1,-2,3)và song song với mặt phẳng(
)
β
có PT :2x + y–z +1= 0 ø
Giải : Vì mp(β) có PT 2x + y – z +1 = 0 nên nó có VTPT là
n
1
(2,1,-1) .
Do mp(
α
) song song với ømp(β) nên mp(
α
)cũng nhận

n
1
(2,1,-1) làm VTPT.Do đó mp(
α
) có PT
là:2(x-1) + y+2 –(z-3) = 0 hay 2x+y-z+3= 0
Ví d ụ 2.Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1,3,-2) và B(1,2,1)
Giải : HD: Mp trung trực của AB qua trung điểm của AB và nhận
AB
làm véc tơ pháp tuyến
Ví d ụ 3.Viết PT mp(
α
) đi qua các hình chiếu của điểmM(2,-2,1) lên các trục tọa độ
Giải:Hình chiếu của M trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là
M
1
(2,0,0) ,M
2
(0,-2,0), M
3
(0,0,1) . Vậy PT mp cần tìm là :
1
122
=+
−
+
zyx
Ví d ụ 4 : Viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp sau :
a. Đi qua điểm M=(1,3,-2) và vuông góc với Oy
b. Đi qua điểm M=(1,3,-2) và vuông góc với đường thẳng MN với M=(0,2,-3) ; N=(1,-4,1)

c. Đi qua điểm M=(1,3,-2) và song song với mặt phẳng 2x –y +3z +4=0
Giải :
a. Mặt phẳng đi qua điểm M0=(1,3,-2) và vuông góc với Oy là mặt phẳng đi qua điểm M=(1,3,-2) và
nhận
→
n
=(0,1,0) làm VTPT nên có phương trình là : y=3
b. Mặt phẳng đi qua điểm M=(1,3-2) và vuông góc với đường thẳng MN là mặt phẳng đi qua điểm
M=(1,3-2) và nhận
MN
→
=(1,-6,4) VTPT nên có phương trình là : x-6y+4z +25=0
c. Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 2x-y+3z+7 =0
Ví dụ 5: Cho hai điểm M=(2,3,-4) , N=(4,-1,0) . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng MN
Giải :Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm I=(3,1,-2) của MN và nhận
MN
→
làm VTPT Do đó
phương trình mặt phẳng là x-2y+2z + 3=0
Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC với A=(-1,2,3) ; B=(2,-4,3) ; C=(4,5,6) . Hãy viết phương trình mặt phẳng
(ABC).
Giải :Ta có mặt phẳng qua A,B,C đi qua A và nhận
→
n
=[
AB
→
.
AC

→
] =(-18,-9,-39) làm vectơ pháp
tuyến . Vậy phương trình mp là : 6x +3y +13z –39 = 0
Ví dụ7 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm P=(3,1,-1) , Q=(2,-1,4) và vuông góc với mặt
phẳng 2x-y+3z –1=0 .
Giải :Ta có
→
n
=(2,-1,3) ;
PQ
→
=(-1,-2,5) làm cặp vectơ chỉ phương . Nên có vectơ pháp tuyến là
→
n
=(-1,13,5) và đi qua P nên có phương trình là : -x+13y +5z –5=0
Bài tập về nhà.
Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt
n
r
biÕt
a,
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2= −
r
b,
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1− =
r
c,
( ) ( )

M 4; 1; 2 , n 0;1;3− − =
r
d,
( ) ( )
M 2;1; 2 , n 1;0;0− =
r
e,
( ) ( )
M 3;4;5 , n 1; 3; 7= − −
r
f,
( ) ( )
M 10;1;9 , n 7;10;1= −
r
Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)
c,
1 1
A ; 1;0 , B 1; ;5
2 2
   
− −
 ÷  ÷
   
c,
2 1 1
A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3
   
−

 ÷  ÷
   
Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
( )
α
®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng
( )
β
biÕt:
a,
( ) ( ) ( )
M 2;1;5 , Oxyβ =
b,
( ) ( )
M 1;1;0 , :x 2y z 10 0− β − + − =
c,
( ) ( )
M 1; 2;1 , : 2x y 3 0− β − + =
d,
( ) ( )
M 3;6; 5 , : x z 1 0− β − + − =
Bµi 4 LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M(2;3;2) vµ cỈp VTCP lµ
(2;1;2); (3;2; 1)a b −
r r
.
Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ:
a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z.
Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ:
a) Cïng ph¬ng víi trơc 0x. b) Cïng ph¬ng víi trơc 0y.

c) Cïng ph¬ng víi trơc 0z.
Bµi 7: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a. Viết phương trình tổng qt các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b. Viết phương trình tổng qt của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói CD.
C.ViẾT PTTQ của MP trung trực cạnh AB
Bµi 8: Cho hai đt d và d’ lần lượt có PTTS là
= − +


= −


= +

x 7 3t
d : y 4 2t
z 4 3t
= +


= − +


= − −

x 1 t '
;d ' y 9 2t '
z 12 t'
Viết PT mp chứa d và song song với d’
Bµi 9: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt :

a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.
b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài 10: Lập PTTQ của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ.
Bài11: (ĐHL-99):Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0, (Q): y-z-1=0.
Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q).
Bài 12. Vit phng trỡnh cỏc mt phng () trong mi trng hp sau:
a) i qua M(-1; 3; 2) v () Oy; b) i qua M(1; 3; 2) v () // mp(Oxz);
c) i qua M(1; -2; -3) v vuụng gúc vi ng thng AB vi A(5; -4; 1), B(2; 0; 3)
d) i qua M(0; 4; -1) v vuụng gúc vi mp(): 2x y + 3z + 5 = 0.
Bài 13. Cho A(2; 0; 7), B(-2; 1; 4), C(1; -1; 2). Vit phng trỡnh mp(ABC).
Bài 14. Vit phng trỡnh mt phng () i qua hai im P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) v vuụng gúc vi mp():
2x y + 3z 1 = 0.
Bài15. Cho im A(2; 3; -4). Hóy vit phng trỡnh mt phng i qua cỏc hỡnh chiu ca im A trờn cỏc
trc ta .
Bài16. Vit phng trỡnh mt phng () i qua im M
0
(2; -1; 2), song song vi trc Oy v vuụng gúc vi
mt phng (): 2x y + 3x + 4 = 0.
Bài 17. Cho hai t d v d ln lt cú PTTS l
= +


=


= +

x 7 3t

d : y 5 t
z 9 4t
=


=


= +

x 3t '
;d ' y 4 t'
z 18 4t '
Vit PT mp cha d v d.
Bài 18. Xột v trớ tng i ca mi cp mt phng sau:
a) x + 2y - z + 5 = 0 v 2x + 3y 7z - 4 = 0;
b) x 2y + z + 3 = 0 v 2x y + 4z 2 = 0;
c) x + y + z 1 = 0 v 2x + 2y 2z + 3 = 0;
Bài 19. Xỏc nh l v m () // (), bit:
a) (): 2x + ly + 2z + 5 = 0 v (): mx + 2y 4z + 8 = 0;
b) (): 2x + y + mz 3 = 0 v (): x + ly + 2z + 9 = 0.
Bài 20. Hai mp (): 2x - my + 3z - 6 + m = 0; (): (m + 3)x - 2y + (5m + 1)z - 10 = 0. Vi giỏ tr no ca
m thỡ: a) () // (); b) () (); c) () ct ();() ().
Bài 21. Trong khụng gian 0xyz cho t d :

= =
x 1 y 2 z 3
2 1 3
v mp (P) cú PT :3x+y+2z+2=0
Vit PT mp cha t d v vuụng gúc vi mp (P).

Bài 22.Cho hai t d v d ln lt cú PTTS l
= +


=


= +

x 5 2t
d : y 1 3t
z 13 2t
= +


=


=

x 7 3t '
;d ' y 1 2t '
z 8
Vit PT mp tip xỳc vi mt cu (S) : x
2
+y
2
+z
2
-10x+2y+26z+170=0 v song song vi hai ng thng

trờn.
Bài 23.Cho mt cu (S) cú ng kớnh l AB bit A(6;2;-5) v B(-4;0;7).Vit PTMP tit xỳc vi mt cu
(S) ti A.
Bài 24a) Cho mt cu cú phng trỡnh (S): x
2
+ y
2
+ z
2
6x 2y + 4z + 5 = 0 v im M
0
(4; 3; 0). Vit
phng trỡnh mt phng tip xỳc vi mt cu (S) ti M
0
.
Bài 25 a) Cho mp(): 2x + y -
z7
= 0. Vit phng trỡnh mt phng (P) cha trc Oz v to vi mp()
mt gúc 60
0
.
b) Viêt phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A(3; 0; 0), B(0; 0; 1) và tạo với mp(Oxy) một góc 60
0
.
Bµi 26 a) Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng: (α): x + y - z + 1 = 0 và (β): x – y + z – 5 = 0.
b) Cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là những số thực dương thay đổi thỏa a
2
+ b
2
+ c

2
= 3. Tìm a, b, c để d(O, (ABC)) lớn nhất.
Bµi 27Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, chiều cao AA’ = b, M là
trung điểm của CC’. Bằng phương pháp tọa độ, hãy:
a) Tính thể tích tứ diện BDA’M; b) Tìm tỷ số
b
a
để mp(A’BD) ⊥ mp(MBD).
Bµi 28 Viết PT mp đi qua điểm M(1;2:4) và cắt các trục tọa độ 0x,0y,0z lần lượt tại các điểm A,B,C sao
cho OA=OB=OC ≠0. ( Chia làm 4 trường hợp cùng dấu và khác dấu)
Bµi 29. Cho 4 điểm A(3; 5; -1), B(7; 5; 3), C(9; -1; 5), D(5; 3; -3). CMR: ABCD là một tứ diện và lập
phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh của tứ diện đó.
Bµi 30. Viết PT mp đi qua điểm M(1;1:1) và cắt các tia 0x,0y,0z lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho thể
tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.(x+y+z-3=0)
Bµi 31. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a à chiều cao bằng h. Gọi I là trung điểm
của SC. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI).
Bµi 32 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’,
BC, DD’.
a) Tính góc (AC’, A’B); b) CMR: AC’ ⊥ mp(MNP); c) Tính V
AMNP
.
Bµi 33. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O; OA =
a; OB = b; OC = c. Gọi α, β, γ lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng mp(OBC); mp(OCA); mp(OAB)
với mp(ABC). Chứng minh rằng: cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ = 1.

Bµi 34. Cho các điểm A(1; 1; -1), B 3; 4; 5) và mp(α): x + y – 2z + 5 = 0. Tìm trên mp(α) điểm M sao cho
MA + MB nhỏ nhất.


§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I>Lý thuyết .
1) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng:
• Đường thẳng ∆ đi qua M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) với véc tơ chỉ phương
c) b; (a; u =
có phương trình tham số là





+=
+=
+=
ct z z
bt y y
at xx
0

0
0
và phương trình chính tắc là
.
c
z z

b
y y

a
xx
000
−
=
−
=
−
2) Phương trình tổng quát của đường thẳng: Hai mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có véc tơ
pháp tuyến
C) B; (A; n =
và (β): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 có véc tơ pháp tuyến
)'C ;'B ;(A' ' n =
với A: B:
C ≠ A’: B’: C’ ⇒ (α) cắt (β) theo giao tuyến ∆ có phương trình tổng qt là



=+++
=+++

0 D' zC' y B' x A'
0 D Cz By Ax
.
Khi đó
[ ]
.'n ,n u =
là một véc tơ chỉ phương của ∆.
3) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Hai đường thẳng d (đi qua M
0
và có véc tơ chỉ phương
u
) và
d’ (đi qua M’
0
và có véc tơ chỉ phương
'u
). Khi đó:
• d và d’ đồng phẳng ⇔
[ ]
0 MM.'u ,u
'
00
=
. Trong trường hợp này có 3 khả năng xảy ra:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
)3 ;
0 MM ,u

0 'u ,u
'd // d )2 0; MM ,u'u ,u d' d )1
0
'
00
0'
00
0





=
=
⇔==⇔≡
d cắt d’
[ ]
[ ]





≠
=
⇔
0 'u ,u
0 MM.'u ,u

'
00
.
• d và d’ chéo nhau ⇔
[ ]
0. MM.'u ,u
'
00
≠
4) Góc: Xét hai đường thẳng d, d’ và mp(α) có phương trình như trên. Ta có:
( ) ( )
.
c b a.C B A
Cc Bb Aa

n.u
n.u
)( d,sin ;
'c 'b 'a.c b a
'cc 'bb 'aa

'u.u
'u.u
'd d,cos
222222222222
++++
++
==α
++++
++

==
5) Khoảng cách: Vẫn xét hai đường thẳng d, d’ và mp(α) có phương trình như trên. Ta có:
• Khoảng cách từ điểm M
1
đến đường thẳng d là
( )
[ ]
.
u
u ,MM
d ,Md
01
1
=
• Khoảng cách cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’ là
( )
[ ]
[ ]
.
'u ,u
MM.'u ,u
'd d,d
'
00
=
II>CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B





=
ABaVtcp
hayBquaA
d
d
)(
)(
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (
∆
)
∆
=∆
a
d
a vtcp nên )( // (d) Vì
qua

A
d )(
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp(
α
)
α
α
n
d
a vtcp nên )( (d) Vì
qua


=⊥
A
d)(
Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên
α
: d
/
=
α

∩

β
 Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα

( )
( ) ( )







=⇒
=⇒⊥
=⇒⊃
∈
];[
)()(

)(
αβ
βα
β
αβ
β
β
nan
bn
aad
dquaM
d
d
ª



)(
)(
)(
/
β
α
d
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d
1
),(d
2
)
]

d
a ,
d
a [ avtcp
qua
1 2
)(

=
A
d
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d
1
và d
2

:
+ Tìm
d
a
= [
a

d1
,
a

d2
]
+ Mp (α) chứa d

1
, (d)
; mp(β)
chứa d
2
, (d)
⇒
d = α ∩ β
Dạng 7: PT qua A và d cắt d
1
,d
2
: d = (
α
)
∩
(
β
)
với mp(α) = (A,d
1
) ; mp(β) = (A,d
2
)
Dạng 8: PT d //
∆
và cắt d
1
,d
2

: d = (
α
1
)
∩
(
α
2
)
với mp (α
1
) chứa d
1
// ∆ ; mp (α
2
) chứa d
2
// ∆
Dạng 9: PT d qua A và
⊥
d
1
, cắt d
2
: d = AB
với mp (α) qua A, ⊥ d
1
; B = d
2
∩ (α)

Dạng 10: PT d
⊥
(P) cắt d
1
, d
2
: d = (
α
)
∩
(
β
) với mp(α) chứa d
1
,⊥(P) ; mp(β) chứa d
2
, ⊥ (P)
Dạng 11: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp α :
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp(α) :( như dạng 3)
Tọa độ H(x ;y ;z) thỏa hpt :
( )
Ptr d
Ptr ( )



α



.
2.H là hình chiếu của M(
1 1 1
( ; ; )M x y z
trên đường thẳng d :
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

.
B1 :Tìm VTCP của d.
B2 : Lấy
0 0 0
( , ; )H x at y bt z ct+ + +
∈
d. ; Tính
MH
uuuur
.
B3 : H là hình chiếu của M lên d

d
MH u⇔ ⊥
uuuur uur
. 0
d
MH u⇔ =
uuuuruur
.Giải pt tìm t thay vào H ta được hình
chiếu H .
Dạng 12 : Điểm đối xứng
a/ Tìm điểm M
/
đối xứng với điểm M qua mp(P) :
• Lập pt đt (d) đi qua điểm M và vuông góc mp(P).
• Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .
• A
/
đối xứng với A qua (P) ⇔ H là trung điểm của MM
/
nên :
•
/
/
/
2
2
2
H M
M
H M

M
H M
M
x x x
y y y
z z z

= −

= −


= −

b/ Tìm điểm M
/
đối xứng với điểm M qua đt(d) :
• Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .
• A
/
đối xứng với A qua (d) ⇔ H là trung điểm của MM
/
nên :

/
/
/
2
2
2

H M
M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z

= −

= −


= −

Dạng 1 3: Xét sự tương đối giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình :
d:
1 1
1 2
1 3
x x ta
y y ta
x z ta
= +


= +



= +

, d’:
2 1
2 2
2 3
' '
' '
' '
x x t a
y y t a
x z t a
= +


= +


= +

Ta có :
1 1 1 1
( ; ; )
:
d
qua M x y z
d
VTCP u






uur
d’:
( )
2 2 2 2
'
M x , y , z

VTCP
d
Qua
u





uur
TH1 : d//d’
'
2
d d
u ku
M d

=


⇔

∉


uur uur
.
TH2 : : d
≡
d’
'
2
d d
u ku
M d

=

⇔

∈


uur uur
.
TH3: d cắt d’
'd d
u ku⇔ ≠
uur uur

và hệ pt sau có nghiệm duy nhất:
1 1 2 1
1 2 2 2
1 3 2 3
' '
' '
' '
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
+ = +


+ = +


+ = +

.
TH4: d và d’chéo nhau
'd d
u ku⇔ ≠
uur uur
và hệ pt sau vô nghiệm:
1 1 2 1
1 2 2 2
1 3 2 3
' '
' '
' '

x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
+ = +


+ = +


+ = +

.
Cách CM hai đường cắt nhau và chéo nhau:
B1: Tìm VTCP của d và d’:
'
Nếu và không cùng phương
d d
u u
uur uur
.
B2: Xét hệ :
1 1 2 1
1 2 2 2
1 3 2 3
' '
' '
' '
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a

+ = +


+ = +


+ = +

.
-Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì d cắt d’.Tìm giao điểm của d và d’ thì ta thay t vào pt của d hoặc thay
t’ vào pt của d’.
-Nếu hệ vô nghiệm thì d và d’ chéo nhau .
b/ Cm đt(d) // mp(P) :
• đt(d) đi qua điểm M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) và có VTCP
1 2 3
( , , )a a a a=
r
• mp(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT
( , , )n A B C=
r
.
• đt(d) // mp(P)

1 1 1
. 0
0
a n
Ax By Cz D

=

⇔

+ + + ≠


r r
Dạng 14 : CM sự vuông góc :
a/ Cm đt(d)
⊥
đt(d
/
) :
• đt(d) có VTCP
1 2 3
( , , )a a a a=
r
• đt(d
/
) có VTCP
1 2 3
( , , )b b b b=
r

.
• đt(d)
⊥
đt(d
/
)
1 1 2 2 3 3
0a b a b a b⇔ + + =
b/ Cm đt(d)
⊥
mp(P) :
• đt(d) có VTCP
1 2 3
( , , )a a a a=
r
• mp(P) có VTPT
( , , )n A B C=
r
.
• đt(d)
⊥
mp(P)
1 2 3
: : : :a a a A B C⇔ =
III .BÀI TẬP ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1,0,-1); B(2,-1,3) Viết pt t/số đường thẳng AB.
Giải : pttsố đường thẳng AB :






∈
+−=
−=
+=
Rt
tz
ty
tx
(;
41
1
tham số)
Ví dụ 2 : Viết phương trình tham số,chính tắc,của đường thẳng d đi qua điểm A(2,0,-1) và có vectơ chỉ
phương
u
= (-1;3;5)
Giải : pttsố :





5+1−=
3=
−2=
tz
ty
tx

; t ∈ R tham số
pt chính tắc :
5
1+
=
3
=
1−
2− zyx
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng có phương trình tổng
quát :
( )
( )2 3 0; 1 0x y z x y z
α β
+ − − = + + − =
Hãy viết phương trình tham số và tìm vectơ chỉ phương của d.
Giải :Đặt x=t ta có :




20=1−++
10=3−−+2
)(zyt
)(zyt
cộng (1) và (2) ta được y=
2+
2
3
− t

thay vào (2) ta được z=
1−
2
1
t
Phương trình tham số d :









1−
2
1
=
2+
2
3
−=
=
tz
ty
tx
(t ∈ R tham số)
Vectơ chỉ phương :
u

= (1; -
2
1
2
3
;
) hay
a
= (2,3,1)
Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ M(2,3,1) đến đường thẳng
2−
1+
=
2
1−
=
1
2+
∆
zyx
:
Giải: Ta có ĐT
2−
1+
=
2
1−
=
1
2+

∆
zyx
:
đi qua M
o
(-2,1,-1);và có VTCP
u
=(1,2,-2)) có
0
MM
uuuuuur
=(4,2,2)
=> d(M,
∆
)=
3
210

Ví dụ 5:Tính khoảng cách giữa hai đt chéo nhau ∆:
3
z
3
2y
3
2x
:';
0
1z
1
1y

1
1x
=
+
=
−
−
∆
−
=
−
−
=
−

Giải: Đường thẳng ∆ đi qua điểm ù M
o
(1,1,1) và có VTCP
u
=(1,-1,0)
Đường thẳng ∆’ đi qua điểm M’
o
(2,-2,0) và có VTCP
u
’=(-3,3,3)
Ta có: M
o
M’
o
=(1,-3,-1)

2 2 2
1 0 0 1 1 1
( 1) (3) (1)
3 3 3 3 3 3
2
( , ') 2
2
1 0 0 1 1 1
3 3 3 3 3 3
d
− −
− + +
− −
∆ ∆ = = =
− −
+ +
− −
IV.BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hỵp sau :
a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn
(3;2;3)a
r
lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c giao tun cđa mỈt ph¼ng
( ): -3 2 -6 0 P x y z+ =
vµ c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é
Bài 3: Viết phơng trình của đờng thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đờng thẳng (d) có phơng
trình:
( )

R t,
21
22:





+=
+=
=
tz
ty
tx
d
Bài 4: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phơng trình là :
( )
R t,
21
22:





+=
+=
=
tz
ty

tx
d
và
(P): x+y+z+1=0.Tìm phơng trình của đờng thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông
góc với đờng thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phơng trình tham số của đờng
thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó.
Bài6: Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với mặt
phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a)
( ): 2 3 -4 0P x y z+ + =
b)
( )
: 2 3 1 0P x y z+ + =
.
Bài 7 : (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )

34
24
37
:
1

+=
=
+=
tz
ty
tx
d

( ) ( )
R
tz
ty
tx
d





=
+=
+=
1
1
1
1
2
tt,

12
29
1
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bà i8 : Cho hai ng thng d:
2
1
1
1
1
2
=


=
zyx
v d:

=
=
+=
tz
ty
tx
2
4
a.Tỡm phng trỡnh tng quỏt ca mp(P) qua im M (1; 2; 3) v vuụng gúc vi d.
b.Tỡm phng trỡnh tng quỏt ca mp(Q) cha d v song song vi d.
c.Chng minh rng d chộo d.Tớnh di on vuụng gúc chung ca d v d.
d.Tỡm phng trỡnh tng quỏt ca ng vuụng gúc chung d v d.
Bài 9 : : Cho ng thng (d) :
2
3
1
2
1
1
=

+
=
zyx
v hai mt phng (P): x + 2y - z + 4 = 0,
(Q): 2x + y + z + 2 = 0.
a.Chng t (P) v (Q) ct nhau.Tớnh gúc gia (P) v (Q).
b.Tớnh gúc gia d v (Q).

c.Gi

l giao tuyn ca (P) v (Q).Chng minh rng d v

vuụng gúc v chộo nhau.
d.Tỡm giao im A, B ca d ln lt vi (P) v (Q).Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh AB.
Bài 10 : Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz mp(

): x + 2y + z + 1 = 0 v ng thng d:



=++
=
03
022
zy
yx
a.Tớnh gúc gia d v (

).
b.Vit phng trỡnh hỡnh chiu d ca d trờn mp(

).
c.Tỡm ta giao im ca d v d.
Bài 11 : Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz cho hai ng thng
d:

=+
=++
01
012
zyx
yx
d:



=+
=++
012
033
yx
zyx
a.Chng t rng d ct d ti I.Tỡm ta im I.
b.Vit phng trỡnh mp(

) cha d v d.
c.Tớnh th tớch phn khụng gian gii hn bi mp(

) v cỏc mt phng ta .
Bài 12 : Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, vit PT mt cu cú tõm I thuc ng thng d:



=++
=+
01454

0742
zyx
zyx
ng thi tip xỳc vi (

): x + 2y - 2z - 2 = 0 v
)(

: x + 2y - 2z + 4 = 0.
Bài 13 : Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz cho hai ng thng
d:



=+
=
022
032
zy
zx
d:



=+
=+
0104
0238
zy
yx

a.Tớnh khong cỏch gia d v d.
b.Vit phng trỡnh mp(

) cha d v song song vi d.
c.Vit PT ng thng

vuụng gúc vi mp(Oxy) v ct c hai ng thng d, d.
Bài 14 : Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song với đ-
ờng thẳng (

) cho bởi :
( )
2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t
= +


=


= +

.
Bài 15 : Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a)
( )

R t,
2
3
1
:





+=
=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0 b)
( )
R t,
1
9
412
:





+=

+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
Bài 16 : (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và
( )
3
2
12
1
:

+
==
zyx
d
.
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 1 7 : Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )

1
1
2
1
1
2
:
1

=

=
zyx
d

( ) ( )
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d

+=
+=
+=

a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
Bài 18. Vit p.trỡnh tham s, p.trỡnh chớnh tc v p.trỡnh tng quỏt ca mi .thng sau:
a) i qua im M(2; 0; -1) v cú vộc t ch phng
5); 3; (-1; u =
b) i qua im M(-2; 1; 2) v vuụng gúc vi mp(): 2x y x + 3 = 0;
c) i qua hai im A(2; 3; -1) v B(1; -2; 4).
Bài 19.Vit phng trỡnh ng thng () trong mi trng hp sau:
a) i qua im M(4; 3; 1) v song song vi ng thng
;
2t - 3 z
3t - y
2t 1 x
:(d)





=

=
+=
b) i qua im M(-2; 3; 1) v song song vi .thng
;
1
2 z

4-
1 y

2
2 -x
:(d)
+
=

=
c) i qua im M(2; -3; 3) v song song vi .thng
.
0 4 - 5z y -2x
0 3 z -y x
:)d(



=+
=++
d) i qua M(2; -3; 3) v v.gúc vi 2 .thng:
.
0 1 - z y x

0 1 z -y -x
:)d( ;
0 4 - z y -x
0 3 z -y x
:)d(
21



=++
=+



=+
=++
Bài 20.Vit phng trỡnh tham s ca mi ng thng sau:
.
0 5 3z y 3x
0 7 2z -4y -x
:)d( ;
0 1 - 2z 3y x
0 5 z -2y -3x
:)d( ;
0 4 - z y -2x
0 3 3z -2y x
:)d(
321

=+++
=+



=++
=+



=+
=++
Bài 21. Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ln lt trờn cỏc mt phng ta ca mi ng thng
sau:
.
0 1 - z -2y 2x
0 3 2z -y -x
:)d( ;
1-
3 - z

3
2 y

2
1 -x
:)d(
21

=+
=+
=
+
=
Bµi 22.Viết phương trình hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (α): x + y + z – 7 = 0 của mỗi đường thẳng
sau:
.
0 3 z -2x
0 5 z y -2x
:)d( ;
1
3 - z

3 -
2 y

2
1 x
:)d(
21



=+
=++
=
−

=
+
Bµi 23.Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(3; -2; 1) và vuông góc với một trong hai đường thẳng
.
0 9 - z y x
0 10 z -2y -3x
:)d( ;
0 7 - 2z 2y -3x
0 5 z -3y x
:)d(
21



=+−
=+



=+
=−+
Bµi 24.Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng d và d’ sau đây:
;
1
2 z

2-
1 y

3

6 -x
:)'(d ,
4
3 z

1
7 y

2
1 -x
:(d) a)
+
=
+
=
−
=
−
=
;
0
4 z

3
5 y

2-
x
:)'(d ,
1

z

2-
2 -y

2
1 -x
:(d) b)
−
=
+
===
;
12
z

9
2y

6-
7 -x
:)'(d ,
8-
1 z

6-
y

4
2 -x

:(d) c) =
−
=
+
==
Bµi 25. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) sau đây:
;0 2 z -5y 3x :)( ,
1
1 z

3
9 y

4
12 -x
:(d) a) =−+α
−
=
−
=
;0 5 2z 3y 3x :)( ,
3
z

4
3 y

2
1 x
:(d) b) =−+−α=

−
=
+
Bµi 26.Tìm giao điểm của đ.thẳng: x = 2t, y = 1 - t, z = 5 + 2t và mp: x + y + z - 10 = 0.
Bµi 27. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng



=+
=−++
0 2 - 5z y -2x
0 4 z y x
:)d(
và song song với
đường thẳng (d’): x = 2 – t, y = 1 + 2t, z = 5 + 2t.
Bµi 28. Viết p.trình của đ.thẳng ∆ song song với đ.thẳng (d): x = 3t, y = 1 – t, z = 5 + t và cắt hai đường
thẳng
.
0 1 z -y - x2
0 3 4z y x
:)d( ,
3
2 z

4
2 y

1
1 -x
:)(d

21



=+
=−+−
−
=
+
=
Bµi 29. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; -1; 1) và cắt cả hai đường thẳng
{
.
0 3 - 2z y
0 1 z y x
:)'(d , t- 3 z t;y t;2 1 x :(d) g)



=+
=+++
==+=
Bµi 30. Viết phương trình đường thẳng ∆ ⊂ mp(α): y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng
.
1 z
2t 4 y
t 2 x
:)'(d và
4t z
ty

t 1 x
:(d)





=
+=
−=





=
=
−=
Bµi 31.Cho hai đường thẳng
.
2 -
z

5
2 y

1
2 -x
:)'(d ,
1

2 - z

3
1 -y

2
1 x
:(d) =
+
===
+
CMR: d và d’ chéo
nhau rồi viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
Bµi 32. Với giá trị nào của k thì đ.thẳng
.
0 1 - z ky -x
0 1 z -y 2kx
:)d(



=+
=++
nằm trong mp(Oyz).
Bµi 33.Tìm tập hợp những điểm cách đều hai mặt phẳng:
a) (α): 2x – y + 4z + 5 = 0 và (β): x + 2y + 2z – 10 = 0;
b) (α): x + 2y - 3z + 15 = 0 và (β): 2x + 4y - 6z – 50 = 0.
Bµi 34. Tính khoảng cách từ các điểm M(2; 3; 1), N(1; -1; 1), P(1; 1; 1) đến đường thẳng
.
2 -

1 z

2
1 y

1
2 x
:(d)
+
=
−
=
+
Bµi 35 Tính khoảng cách từ các điểm M(-2; 3; -1), N(1; -4; 1), P(-1; 5; 1) đến đường thẳng
.
0 2 2z 3y x
0 1 - 2z -y x
:(d)



=+++
=+
Bµi 36. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
;
3t - 5 z
t 2 - y
3t 2 x
:)'(d và
2t - 1 z

t 1 - y
4t 1 x
:(d) b) ;
3t z
3t 2 - y
3t 2 x
:)'(d và
1 z
t- 1 - y
t 1 x
:(d) a)





=
+=
+=





=
+=
+=






=
+=
−=





=
=
+=
Bµi 37. Bằng phương pháp tọa độ, hãy tính khoảng cách giữa đường chéo của một hình lập phương cạnh a
và đường chéo của một mặt bên (nếu chúng không cắt nhau).
Bµi 38. Tìm góc tạo bởi đường thẳng

1
2 z

1
1 y

2
3 x
:)(
−
=
−
=

+
∆
với các trục tọa độ.
Bµi 39. Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD với A(3; -1; 0,),
B(0; -7; 3), C(-2; 1; -1), D(3; 2; 6).
Bµi 40.Tìm góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (α) sau đây:
{
0; 1 - 2z y -2x :)( t,- 2 z 3t, 1 - y 2t, 1 x :(d) a) =+α=+=+=
; 0 2 z y x :)( ,
2-
3 z

1
1 y

4
2 x
:(d) b) =+−+α
−
=
−
=
+
; 0 1 - z y -3x :)( ;
0 2 z y x
0 1 - 3z y 2x
:(d) c) =+α




=+−−
=+−
Bµi 41.Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp (α), với
{
0; 10 - 2z -y -2x :)( 2t, - 2 z 3t, 1 - y 3t, 1 x :(d) a) =α=−=+=
; 0 3 z -y x - :)( ,
2-
3 z

1-
1 -y

4
2 x
:(d) b) =++α
−
==
−
; 0 4 - 2z y -3x :)( ;
0 2 z 2y x
0 1 - 3z y 2x
:(d) c) =+α



=+−−
=++
Bµi 42. Viết pt đường thẳng (∆) đi qua M(0; 1; 1), vuông góc với đ.thẳng (d) và cắt đ.thẳng (d’), biết
.
0 z x

0 2 z -y x
:)'(d ,
1
z

1
2 y

3
1 -x
:(d)



=+
=++
=
+
=
Bµi 43. Viết pt đường thẳng (∆) đi qua M(0; 1; -1), v.góc và cắt đ.thẳng
.
0 z x
0 1 -4y x



=+
=+
Bµi 44. Viết pt đường thẳng (∆) đi qua giao điểm của đ.thẳng d và mp(α), nằm trong (α) và v.góc với d,
biết (α): x + y + z – 1 = 0,

.
1- z
1 y



=
=
Bµi 45.Lập phương trình đường thẳng (∆) vuông góc với mp(Oxz) và cắt cả hai đường thẳng (d): x = t, y =
- 4 + t, z = 3 – t và (d’): x = 1 – 2y, y = - 3 + t, z = 4 – 5t.
BÀI TẬP ÔN TỔNG HỢP
Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).
1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số của đương thẳng AB.
2. Gọi M là điểm sao cho
MCMB 2−=
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường
thẳng BC. (Đề thi tốt nghiệp 2006)
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng
)(
α
có phương trình x + 2y – 2z + 6 = 0.
1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là góc tọa độ O và tiếp xúc mặt phẳng
)(
α
.
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng (
∆
) đi qua điểm E và vuông góc mặt phẳng
)(
α

. (Đề thi
tốt nghiệp 2007 Lần 1)
Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) và đường thẳng (d) có phương trình





−=
+−=
+=
tz
ty
tx
6
3
21
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d).
2. Viết phương trình tham số của đương thẳng đi qua hai điểm M và N.
(Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 2)
Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1)
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
2. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. (Đề thi tốt nghiệp 2008)
Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình: (S):
( ) ( ) ( )
36221
222
=−+−+− zyx
và (P): x + 2y + 2z +18 = 0.
1. Xác định tọa độ tâm T và bán kính mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P).

2. Viết phương trình tham số của đương thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của
d và (P). (Đề thi tốt nghiệp 2009)
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2,-2,0) , N(-4;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình
6y+8z+1=0
1.Viết phương trình tham số của đường thằng d đi qua hai điềm M và N.
2.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm M nhận mặt phẳng (P) là mặt phẳng tiếp diện.
Bài 7: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;-1;3), C(3;1;4)
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua ba điểm A,B,C
2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và có đường kính bằng 4
Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm
( )
2; 1;0A −
và đường thẳng d:
1 2
1
2 3
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

1. Viết phương trình mặt phẳng

( )
P
đi qua A và vuông góc với d.
2. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2 ; -1 ; 1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0).
1. Chứng minh A,B,C không thẳng hàng .Viết phương trình mp(ABC).
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
Bài 10: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A( 1 ; -3 ; -1), B( -2; 1 ; 3)
1/ Viết phương trình đường thẳng AB
2/Viết phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ và vng góc AB
Bài 11: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) và đường thẳng d có phương trình
1 1 1
2 1 2
x y z− + −
= =
.
1) Viết phương trình mặt phẳng
α
qua A và vng góc d.
2) Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng
α
.
Bài 12: Trong khơng gian Oxyz , cho A(2 ;-3;1) và mp (Q) : x + 3y - z + 2 = 0 .
1
. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A và vng góc với (Q).
2. Tìm tọa độ H hình chiếu của A trên (Q).Suy ra tọa độ A' đối xứng của A qua (Q).
Bài 13: Trong khơng gian
Oxyz
, cho 4 điểm
( ) ( ) ( )

3;2;0 , 0;2;1 , 1;1;2 , (3; 2; 2)A B C D− − −
.
1. Viết phương trình mặt phẳng
( )ABC
. Suy ra
DABC
là một tứ diện.
2. Viết phương trình mặt cầu
( )S
tâm
D
và tiếp xúc mặt phẳng
( )ABC
.
Bài 14: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3)
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua M và song song với mặt phẳng
2 3 4 0x y z− + − =
.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (
α
).
Bài 15: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm
( )
2; 1;0A −
và đường thẳng d:
1 2
1
2 3

x t
y t
z t
= +


= − −


= +

1.Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua A và vng góc với d.
2.Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Bài 16:
Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng
x 1 y 3 z 2
d :
1 2 2
+ + +
= =
và điểm A(3;2;0)
1. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H của A lên d
2. Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d.
Bài 17:
Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3)
1. Viết phương trình tổng qt của mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C
2. Gọi (d) là đường thẳng qua C và vng góc mặt phẳng (ABC). Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng

(d) và mặt phẳng (Oxy).
Bài 18:
Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x + y + z – 9 = 0 và đường thẳng
∆ :
2 4
1
3
x t
y t
z t
= − +


= +


=

( t là tham số)
1. Tìm giao điểm I của ∆ và (α).
2. Viết phương trình đường thẳng d qua I và vng góc với (α).
Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) và đường thẳng (d) có
phương trình
x 1 2t
y 3 t
z 6 t
= +


= − +



= −

1. Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d).
2.
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm hai điểm M và N.
B i 20.à
1. Cho bốn điểm A(0; 0; 3), B(1; 1; 5), C(-3; 0; 0), D(0; -3; 0).
a) Tính
( )
;AB.CD CA.BC.AB
2
+
b) Tính diện tích tam giác ABC;
c) CMR: bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
2. Giả sử A(3; 0; 4), B(1; 2; 3), C(9; 6; 4) là ba đỉnh của hình bình hành ABCD. Tìm: a) Tọa độ điểm
D; b) Tọa độ giao điểm của hai đường chéo;
c) Số đo góc B; d) Độ dài đường chéo AC và S
ABCD
.
3. Trong k.gian tọa độ Oxyz cho hai đ.thẳng



=++
=+−






=
+=
+=
0 4 z -y x
0 z 3y x
:)(D' ;
4 z
2t 1 - y
t 3 x
:(d)
.
a) Xét vị trí tương đối giữa (d) và (d’);
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua (d’) và song song với (d);
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 1; 0) và vuông góc với (d)
d) Tính khoảng cách giữa (d) và (d’);
e) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d) và (d’).
4. Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (α) lần lượt có phương trình:
0. 2 - z -5y 3x :)( ;
1
1 -x

3
9 -x

4
12 -x
:(d) =+α==
a) CMR: đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (α) và tìm giao điểm của chúng;

b) Viết p.trình mặt phẳng (β) đi qua điểm M(1; 2; -1) và vuông góc với (d);
c) Viết phương trình hình chiếu của (d) trên mặt phẳng (α);
d) Cho điểm A(1; 0; -1). Hãy tìm tọa độ của điểm A’ sao cho (α) là mặt phẳng trung trực của AA’;
e) Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc chứa điểm M
1
(1; 2; 1) tạo bởi hai mặt phẳng (α)
và (β).
5. Cho hai điểm M
1
(x
1
; y
1
; z
1
), M
2
(x
2
; y
2
; z
2
) và mp (α): Ax + By + Cz + D = 0. CMR: M
1
, M
2
ở về hai
phía của mặt phẳng (α) khi và chỉ khi:
(Ax

1
+ By
1
+ Cz
1
+ D)( Ax
2
+ By
2
+ Cz
2
+ D) < 0.
6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) CMR: đường chéo A’C vuông góc với mặt phẳng (A’B’D’);
b) CMR: giao điểm của A’C và mp(AB’D’) là trọng tâm ∆AB’D’;
c) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD);
d) Tìm góc giữa hai mặt phẳng (DA’C) và (ABB’A’).
7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm M ∈ AD’, N ∈ BD sao cho AM = DN = k
( )
.2a k 0 <<
a) Tìm k để độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất;
b) CMR: MN luôn song song với mp(A’D’BC) khi k thay đổi;
c) Khi MN ngắn nhất, CMR: MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD và MN // A’C.
8. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình:
x
2
+ y
2
+ z
2

– 2x – 4y – 6z = 0
a) Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S);
b) Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(α): x + y – z + k = 0 theo k;
c) Tìm tọa độ giao điểm của (S) và đ.thẳng ∆ đi qua hai điểm M(1; 1; 1) và N(2; -1; 5) và viết
p.trình các mặt phẳng tiếp xúc của (S) tại các giao điểm đó.
9. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0)
a) CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện và tính V
ABCD
.
b) Viết p.trình, xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện;
c) Viết p.trình, xác định tâm và bán kính đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.
10. Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a; I, J là trung điểm của A’D’, BB’.
a) CMR: IJ ⊥ AC’ và tính độ dài đoạn IJ;
b) CMR: D’B ⊥ mp(A’C’D), D’B ⊥ mp(ACB’);
c) Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và A’D.
11. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(5; -4, 3) và cắt ba trục tọa độ tại ba điểm cách đều gốc tọa
độ.
12. Ba điểm A(2; -1; -1), B(-1; 3; -1), M(-2; 0; 1). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng
AB.
13. Cho hai điểm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3) và đường thnẳng (d):
.
2
2- z

2-
2 -y

3
1 x
==

+
Tìm điểm I ∈ AB sao
cho IA + IB nhỏ nhất.
14. Trong không gian Oxyz, xét điểm S(2; 0; -1) và véc tơ
)1;0;1(u =
. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua S và
có véc tơ chỉ phương
u
.
a) CMR: tập hợp những điểm M ∈ mp(Oxy) mà góc giữa ∆ và đường thẳng SM bằng 60
0
là
hypebol (H). Tìm tọa độ các tiêu điểm của (H);
b) Gọi (α), (β) là các mặt phẳng đi qua S và chứa một trong hai đường tiệm cận của (H). CMR:
tích các khoảng cách từ một điểm thuộc (H) đến hai mặt phẳng (α), (β) là một đại lượng không đổi.
15. Cho hai điểm A(1; 0; 0), A’(-1; 0; 0), ∆ là đường thẳng đi qua A và song song với Oz, ∆’ là đường
thẳng đi qua A’ và song song với Oy.
a) Tìm tập hợp các điểm M ∈ mp(Oxy) cách đều ∆ và ∆’;
b) Tìm tập hợp các điểm M ∈ mp(Oyz) cách đều ∆ và ∆’
16. Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = 1, AD = 2, AA’ = 3. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của
AB, B’C’, C’D’, D’D.
a) CMR: M, N, P, Q đồng phẳng và viết p.trình mặt phẳng (α) chứa chúng;
b) Xác định thiệt diện của hình hộp cắt bởi (α) và tính thể tích khối chóp đỉnh C với đáy là thết
diện đó;

24